( ) R R = + per k resistenze = + = R R R. Due modi base di collegare resistenze (=conduttori): Serie e parallelo Resistenze in serie: Stessa corrente

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1 Due modi base di collegare resisenze (=conduori): Serie e parallelo Resisenze in serie: Sessa correne φ 1 = i1 R1 φ = φ1 + φ = i1r 1 + ir φ ir = i = i = i φ = i R + R 1 1 R = R + R serie 1 serie = R R per resisenze Resisenze in parallelo: Sessa ensione i i 1 φ1 = R 1 φ1 φ i = i1 + i = + φ R1 R = R 1 1 φ1 = φ = φ i = φ + R1 R = + R R R parall R R = parall per resisenze

2 Problema: Come far circolare correne in un conduore Dissipazione di energia Necessia' di una sorgene di energia Generaore: produce energia per far circolare correne, in vari modi Circuio chiuso: Generaore + Resisenza j ds >, Γ linea chiusa angene alla correne Γ Se j = σ E : σ E ds > E ds > E non conservaivo Γ Possibile se: E non cosane con oppure Preseni forze non elerosaiche Γ E = E sa nel conduore j aniparallelo a E sa nel generaore Forze non elerosaiche nel generaore

3 Sulle cariche mobili: forze elerosaiche e non Non elerosaiche originae nel generaore Condizione sazionaria: Passaggio di correne coninua nel conduore Richiede diff. di poenziale coninua ai capi del conduore Forza eleromorice: agene fisico nel generaore che da' origine alla d.d.p. ai capi del conduore C. elerico: Eo = E + E *, E c. elerosaico, E Nel conduore solo E : c.oale in un puno qualsiasi del circuio E ds =, E conservaivo circuio B φ = E ds = Ri, legge di Ohm A E ds = Ri, E circuio o Nel generaore E A B E * ds = Ri * d = circuio E [ fem] [ ddp] = s * Ri, * o c. non elerosaico (c. eleromoore) non conservaivo ed E : forza eleromorice del generaore

4 Funzionameno di una baeria Le baerie sono disposiivi elerochimici nei quali viene generaa una forza eleromorice a seguio di reazioni chimiche. La forza eleromorice, come si ricordera, e definia come l inegrale di linea lungo un percorso chiuso (di solio coincidene con un circuio) di un campo elerico non conservaivo: essa cosiuisce di fao l agene fisico in grado di sposare le cariche lungo il circuio, conro l azione della resisenza. La pila Daniell, invenaa quasi anni fa come migliorameno della pila di Vola, e oggi poco usaa, puo essere usaa per comprendere piu agevolmene il meccanismo generale con cui funzionano ue le pile. Il funzionameno della pila e basao su reazioni di ossidoriduzione: ci sono semicelle, ognuna cosiuia da un meallo (diverso) immerso in una soluzione di solfao del meallo sesso. Le soluzioni hanno propriea eleroliiche, ossia conengono ioni +vi e -vi liberi: Zn + SO4 - Cu + SO4 -

5 Risulano energeicamene favorii i processi per cui: Gli aomi di Zn nell elerodo perdono e e cosi ionizzai migrano nella soluzione come Zn + (Ossidazione) L elerodo di Zn accumula carica -va Gli ioni Cu + nella soluzione acquisano e nell elerodo e cosi neuralizzai si deposiano come Cu meallico (Riduzione) L elerodo di Cu accumula carica +va Si sabilisce una differenza di poenziale fra gli elerodi che e la forza eleromorice della pila Nel caso esaminao i poenziali agli elerodi risulano Cu + + e Cu: E = +.34 V Zn + + e Zn: E =.76 V Quindi la reazione complea e Cu + + Zn Cu + Zn + con la comparsa di una forza eleromorice oale +.34 V (.76 V) = 1.1 V che puo meere in movimeno gli eleroni dallo Zn al Cu ramie un collegameno meallico eserno. Tuavia l accumulo di carica +va nella soluzione di una semi-cella e di carica -va nella soluzione dell alra semi-cella alera rapidamene gli equilibri agli elerodi, e rende sempre piu lene le reazioni di ossidazione e riduzione: per manenere cosane la velocia di reazione occorre manenere la neuralia

6 elerica delle soluzioni. A queso scopo viene sabilio un pone salino fra le soluzioni, ossia un canale di comunicazione conenene un sale inere, come NaCl o KNO3 : gli ioni posiivi, come Na + o K +, migrano verso la soluzione con eccesso di carica -va, e viceversa, manenendo cosane la neuralia elerica e quindi la velocia di reazione.

7 Leggi di Kirchoff Ree elerica: Inerconnessione di generaori e resisenze ramie conduori filiformi, spesso considerai come ideali ( = privi di resisenza) Caraerizzaa da Nodi Inerconnessioni di 3 o + conduori Maglie Percorsi chiusi fra nodi Analisi delle rei (in regime sazionario): Deerminazione delle correni nei rami e delle differenze di poenziale fra i nodi e un poenziale di riferimeno I legge di Kirchoff: La somma algebrica delle correni in un nodo qualsiasi (p es considerando - ve le enrani, +ve le usceni) e nulla Dimosrazione: Eq. di coninuia': ρ j+ = Condizioni sazionarie: i = ρ = j = j solenoidale Linee di campo chiuse Assenza di sorgeni/pozzi Φ j = j ds = S S sup. chiusa aorno a un nodo j ds = j S = i = S S

8 Esempio: i1 i i3 + i4 + i5 = II legge di Kirchoff La somma algebrica delle f.e.m. in una maglia qualsiasi e uguale alla somma algebrica delle d.d.p. ai capi delle resisenze preseni nella maglia. Regole sui segni: i R = E j j Immaginando di percorrere ua la maglia da un puno qualsiasi fino ad arrivare allo sesso puno, si sceglie convenzionalmene un verso +vo per il percorso lungo ua la maglia, p es quello orario 1) Se i e nel verso +vo i R +va, alrimeni va ) Se E j viene araversaa dal polo vo a quello +vo E j e +va, alrimeni va

9 Dimosrazione: Legge di Ohm, generalizzaa alla presenza di generaori, per un ramo qualsiasi j: V + E = R i V j j Tj j j d.d.p. ai capi del ramo E gen. -esimo del ramo j-esimo R i j j Tj res. equivalene del ramo correne nel ramo Sommando su ui i rami della maglia: V + E = R i j j Tj j j j j Maglia chiusa, V E = j j j saico V = R i Tj j j j Esempio: R1i 1 + R3i R3i3 + R4i4 = E1 E E3 + E4

10 Carica e scarica di una capacia Leggi di Kirchoff: applicabili a circuii in CC Approssimaivamene corree anche per il caso di correni lenamene variabili Trascurao l effeo di campi magneici variabili Carica/Scarica lena di una capacia ramie una resisenza 1) Carica: Q = per = : carica iniziale nulla V V = Ri, V ddp isananea ai capi di R Incremeno in Q i + va dq = id Q V = C Q dq V = R dq C d i = d dq Q V + =, RC cos.di empo del circuio d RC R In. gen. omogenea: Q = Ae In. par. non omogenea: Q = CV Q = Ae + CV Q = A + CV = A = CV Q = CV 1 e

11 Q V = = V 1 e C dq CV V i = = e = e d R i() 1.5 V/R Vc 1.5 V

12 ) Scarica: Q = Q per = : carica iniziale Decremeno in Q i + va Q V = C Q dq = R dq C d i = d dq Q + =, RC cos. di empo del circuio d RC Inegrale generale: Q = Ae Q = Q A = Q Q = Q e Q Q = = C C dq CV V i = = e = e d R V e Ve

13 Osservazioni: Chiusura isananea dell'inerruore non fisica Alcune grandezze sono disconinue per = Non esise la derivaa in =! Eq. differenziale valida su un dominio limiao: >, < Usando una successione di chiusure con duraa finia Scomparsa delle disconinuia' OK Sol. rovaa come limie della successione delle soluzioni coninue Curiosia': Limie della successione di soluzioni coninue: disconinuo!

14 Bilancio energeico nella scarica En. dissipaa nella resisenza: V V e dw = Pd = d = d R R V W V e W = dw = d = e R R V 1 W = = CV R En. elerosaica iniziale compleamene dissipaa in R Bilancio energeico nella carica Lavoro compiuo dal generaore: dw = V dq W = Q V = CV gen gen Lavoro compiuo a V = V cosane! En. dissipaa nella resisenza: E max V e de = PJouled = i Rd = d R E = de = V 1 E = = CV R V e V V d = e d = e R R R En. spesa dal generaore per mea' dissipaa in R; l'alra mea' come en. elerosaica in C