Lezione 2. Sistemi dinamici a tempo continuo. F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 2 1

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1 Leione. Sisemi dinamici a empo coninuo F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le.

2 Schema della leione. Cos è un sisema dinamico?. Modelli di sisemi dinamici 3. Il conceo di dinamica 4. Variabili di sao 5. Rappresenaione in variabili di sao di un sisema dinamico 6. Classificaione dei sisemi dinamici 7. Scela delle variabili di sao F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le.

3 . Cos è un sisema dinamico? Ingressi Uscie CAUSE SISTEMA EFFETTI Un sisema dinamico è un oggeo o insieme di oggei ra loro inerconnessi che ineragisce col mondo circosane mediane: ingressi aioni compiue sul sisema da ageni eserni uscie descrivono la risposa del sisema agli simoli E indispensabile disporre di modelli maemaici dei sisemi dinamici per descrivere il loro comporameno F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 3

4 . Modelli di sisemi dinamici ingresso u S empo uscia y Sisemi a empo coninuo empo variabile reale Sisemi digiali o a empo discreo empo variabile inera relaiva IMAD+Conrolli Au cfu I sem I anno LS Ing Sisemi di Conrollo 6 cfu Sisemi a eveni discrei non c è il empo Auomaione Indusriale 6 cfu I sem III anno F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 4

5 u relaione maemaica y funioni reali del empo coninuo Che ipo di relaioni maemaiche servono? F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 5

6 3. Il conceo di dinamica Cosa significa l aggeivo dinamico? u S y u? y 0 0 La conoscena del valore delle variabili di ingresso al empo non è sufficiene a deerminare univocamene il valore delle variabili di uscia al medesimo empo F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 6

7 Esempio w in w ou h kh w in w in wou S w ou poraa in ingresso poraa in uscia Per deerminare w ou bisogna conoscere olre a w in il livello iniiale del serbaoio h, 0, w in 0 w ou, 0, E un sisema dinamico F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 7

8 Esempio i R i S v v i correne nella resisena v ensione ai capi della resisena Legge di Ohm v Ri Basa conoscere i per deerminare univocamene v E un sisema NON dinamico F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 8

9 Bisogna conoscere qualcosa di più olre al semplice andameno delle variabili di ingresso condiioni iniiali a.c. Serve memoria per sapere in che condiioni, in che sao si rova il sisema nell isane in cui si comincia ad applicare l ingresso La ragione non è puramene maemaica Se uso eq.differeniali devo conoscere le condiioni iniiali F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 9

10 4. Variabili di sao Variabili inerne del sisema la cui conoscena al empo 0 cosiuisce la minima informaione necessaria per deerminare y, per ui i 0, in conseguena di u, per ui i 0 i i,,, n n è l ordine del sisema n veore di sao u, 0 0 y, 0 F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 0

11 Noa bene dy d y!! Pausa Cenni sulle Equaioni Differeniali lineari, a coeff. cosani F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le.

12 Esempio w in poraa volumerica in ingresso h w ou livello poraa volumerica in uscia kh L area di base è A, quindi il volume è V Ah Conservaione del volume dv d w in w ou Ah w w in Equaione differeniale del ordine, lineare, a coefficieni cosani ou F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le.

13 w in h u sao y k w ou Ah w w in ingresso causa ou uscia effeo A y u k k y u k A k A Equaione d uscia Equaione differeniale del ordine, lineare, a coefficieni cosani F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 3

14 Esempio F Fora apparene y y y u y M y k ingresso causa uscia effeo y M Bilancio fore F k y h y sao due variabili h y F Fora di richiamo della molla Fora ario viscoso Fora morice Equaione differeniale del ordine, lineare, a coefficieni cosani F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 4

15 F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 5 y u M M h M k y h k u M y y Sisema di equaioni differeniali del ordine, lineari, a coefficieni cosani Equaione d uscia

16 F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 6 y u M M h M k Il sisema di equaioni differeniali può essere scrio anche in forma veoriale Definendo y u M M h M k 0 0 0

17 Esempio C a Coppia ario viscoso C l q M Coppia morice J C Ml Momeno di ineria hq Coppia ario viscoso a Mg Coppia apparene J q Bilancio coppie C Mgl sinq C a Coppia di gravià Ml q Mgl sin q hq C F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 7

18 C q q q y u y ingresso causa sao due variabili uscia effeo q Mgl h q sin u Ml Ml Ml Ml q Mgl sin N.B. Non si può meere in forma mariciale. q hq C Sisema di equaioni differeniali del ordine, NON lineari, a coefficieni cosani F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 8

19 5. Rappresenaione di sao sisemi SISO saionari y f, u g, u 0 0 equaione di sao rasformaione di uscia sao iniiale n u y veore scalare scalare n f è una funione veoriale a valori in g è una funione scalare a valori in F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 9

20 Esempio u y u 0 0 f,u g,u 0 0 u y sono ui scalari f e g sono funioni scalari lineari di u ed L ordine del sisema è n= F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 0

21 Esempio y 3 ; u f,,u g,,u f,, u La rasformaione d uscia non dipende espliciamene da u u y sono scalari L ordine del sisema è n= F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le.

22 6. Classificaione dei sisemi dinamici Sisema sreamene proprio Non c è dipendena esplicia dell uscia y dall ingresso u y f,u g 0 0 Non compare u Alrimeni, si dice proprio non sreamene F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le.

23 Sisema SISO Single Inpu Single Oupu Ingresso ed uscia sono scalari, cioè In queso corso non saranno raai i sisemi MIMO Muliple Inpu Muliple Oupu u y Sisema lineare f e g sono funioni lineari di u e di Alrimeni, si dice non lineare F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 3

24 Esisono anche sisemi empo-variani C è presena esplicia della variabile empo y f,u, g,u 0 0, Compare espliciamene In queso corso si useranno solo sisemi empo-invariani o saionari F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 4

25 Esempio 3 u y 0 0 Ingresso ed uscia sono scalari, cioè u y Non c è dipendena esplicia dell uscia y dall ingresso u Non c è presena esplicia della variabile empo f e g sono funioni lineari di u e di SISO Sreamene proprio Tempo invariane Lineare F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 5

26 Esempio 3 sin u y 0 0 Ingresso ed uscia sono scalari, cioè u y Non c è dipendena esplicia dell uscia y dall ingresso u C è presena esplicia della variabile empo f non è funione lineare di u e di SISO Sreamene proprio Tempo variane Non lineare F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 6

27 Esempio 3 u 3u y u 0 0 L ingresso non è uno scalare, infai u C è dipendena esplicia dell uscia y dall ingresso u Non c è presena esplicia della variabile empo f e g sono funioni lineari di u e di MIMO Proprio Tempo invariane Lineare F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 7

28 7. Scela delle variabili di sao Come si scelgono,,? n Esisono crieri generali per la scela delle variabili di sao? La scela è univoca? L ordine del sisema è fissao? SI NO SI F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 8

29 Crierio maemaico Sisema descrio da un equaione differeniale di ordine n nell incognia y n d y d n d y dy n d n,, d, Scegliere come variabili di sao l incognia e le sue prime n- derivae n y dy d d d n y n y, u F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 9 y n n,,,, u 3

30 Esempio y y y 5u y Scegliere 3 y y y y 3 3 5u 3 F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 30

31 Crierio fisico Variabili di sao Grandee associae ad accumuli di energia, massa,... Sisemi elerici Sisemi meccanici Sisemi ermici Sisemi idraulici ensione condensaori correne induori posiione velocià emperaura livello serbaoi Energia elerica Energia magneica Energia poeniale Energia cineica Energia inerna Accumulo massa F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 3

32 La scela delle variabili di sao non è univoca Non è obbligaorio scegliere le variabili di sao affidandosi ai crieri visi Fare scele originali può essere svanaggioso o vanaggioso! in ermini di complessià della rappresenaione maemaica anche se il sisema è lo sesso! Mediane rasformaione lineare è comunque possibile passare da una rappresenaione all alra. F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 3

33 L ordine del sisema è univocamene fissao L ordine del sisema è fissao a parià di complessià e accuraea usae nel descrivere i fenomeni modelliai Maggiore è l accuraea con cui desidero descrivere i fenomeni, maggiore sarà il numero di variabili di sao da usare F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 33

34 F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 34 mg k k c m Mg k c M r s s Esempio Modellisica di una sospensione a smorameno conrollao

35 F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 35 mg k k c m Mg k c M r s s c u r Sisema MIMO, del 4 ordine n=4, non-lineare, empo-invariane, sreamene proprio. N.B. r è un disurbo y

36 F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 36 mg k k c m Mg k c M r s s r u Sisema SISO, del 4 ordine n=4, lineare, empo-variane, sreamene proprio. E lo sesso sisema di prima! Le sesse equaioni! y

37 F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 37 c in r c u Sisema MIMO, del 5 ordine n=5, non-lineare, empo-invariane, sreamene proprio y ma min c c c c c c mg k k c m Mg k c M in in r s s Posso descrivere anche la dinamica dello smorameno dinamica dell auaore

38 ma anche alernaivamene NON descrivere la dinamica dello pneumaico! M body mass c shock absorber k spring road profile r k Mg M c r F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 38 r s

39 Rappresenaione di sao complea approfondimeno y f, u, g, u 0 0, equaione di sao rasformaione di uscia sao iniiale n m p u y n f è una funione veoriale a valori in p g è una funione veoriale a valori in f e g possono dipendere espliciamene dal empo F. Previdi - Fondameni di Auomaica - Le. 39