INTRODUZIONE ALL ANALISI DEI SISTEMI

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1 INTRODUZIONE ALL ANALII DEI ITEMI Universià

2 isemi dinamici Il conceo di sisema u Un sisema è un enià caraerizzaa da alcune grandezze inerne, suppose osservabili, la cui evoluzione è regolaa da alcune grandezze eserne u mediane una equazione differenziale del ipo: d d f, u Modello Dinamico

3 Modelli maemaici Modelli dinamici in grado di descrivere il comporameno degli oggei o dei fenomeni considerai anche quando le variabili in gioco non sono ue cosani nel empo R n d d variabili di sao f, u u n R m variabili di ingresso ordine del sisema

4 isemi del I ordine esempi

5 erbaoio a efflusso forzao q i h q o h = livello = area della sezione cosane q i = poraa volumerica d ingresso imposa q o = poraa volumerica d uscia imposa Equazione di bilancio di massa dh d q i q o

6 erbaoio a efflusso libero q i Equazione di Bernulli h q o Pamb v Poiché p v p Pamb gh si oiene vo v o gh Da cui q o k gh k = area sezione efflusso

7 erbaoio a efflusso libero h q i h = livello = area della sezione cosane q i = poraa volumerica d ingresso k = area sezione efflusso q o Dall equazione di Bernoulli q o k gh Equazione di bilancio di massa dh d q i q o

8 erbaoio a efflusso libero h q i h = livello = area della sezione cosane q i = poraa volumerica d ingresso k = area sezione efflusso q o Dall equazione di Bernoulli q o k gh Equazione di bilancio di massa dh d q i k gh

9 Circuio elerico Cv v R c i Ri Equazione del condensaore Equazione della resisenza Legge di Kirchoff s alla maglia v g v c Ri v vc RC c RCv c v v g c RC v g R C vr v c

10 Economia nazionale un modello keynesiano - I iano: Y = prodoo nazionale lordo C = consumi delle famiglie I = invesimeni delle imprese, della pubblica amminisrazione, al neo delle impose, le esporazioni al neo delle imporazioni Risula Y = C + I

11 Economia nazionale un modello keynesiano - II I consumi delle famiglie aumenano all aumenare del prodoo nazionale lordo dc d ac by b a C bi a e b sono opporuni coefficieni posiivi. Aumenando gli invesimeni aumenano anche i consumi e cresce il prodoo nazionale lordo. e le famiglie consumano molo, enderanno a diminuire il consumo in fuuro con un coefficiene opporuno a. Fu la ricea per uscire dalla grande depressione dopo il 9. Infai, secondo le eorie keynesiane,il livello di occupazione è deao dal prodoo nazionale lordo

12 Modelli di crescia delle popolazioni Modello di Malhus crescia esponenziale d bd b d e d = numero degli individui concenrazione b = asso di nascia d = asso di moralià Modello di Verhuls logisic growh - crescia limiaa d b d K K = capacià della popolazione dovua a limii nella disponibilià di alimeno subsrao, a limii di spazio, ad alri faori che impediscono la crescia

13 Modelli di crescia delle popolazioni Modello - crescia esponenziale d bd b d e d Modello più semplice: soluzione esplicia ma non realisica Modello - crescia limiaa d b d K Modello più complesso: soluzione più difficile da calcolare ma maggior precisione Qual è il migliore? Dipende dalle necessià

14 Logisic growh.8.6 Inserire figura.4. /K b=

15 isemi del II ordine esempi

16 M F Carrello Carrello collegao a una molla e un pisone con coefficieni k ed h rispeivamene Enrambi creano delle forze d ario al moo Ma F risulane La forza di ario dovua alla molla è proporzionale alla posizione, menre quella dovua al pisone è proporzionale alla velocià F molla k F pisone h

17 Carrello M F upponendo che ci sia una forza di ario proporzionale alla posizione e una proporzionale alla velocià risula M k h F Poso,, u F, il modello è k h u M

18 u l M C Pendolo Il pendolo è soggeo a una coppia morice u e a una coppia d ario proporzionale alla velocià angolare che si oppone al moo. Ma F o F braccio Il momeno del pendolo viene eguagliao alla coppia oale conribuo della forza peso + coppie F C peso ario Mg sen k C lmg sen F

19 Pendolo u C o lmg sen k u l l Ma C o M s l s l a l Ml lmg sen k u Ml lmg sen k u

20 Pendolo u l upponendo che ci siano una coppia morice u e una coppia di ario proporzionale alla velocià angolare, risula M Ml glmsin k u Poso, il modello è g l sin k Ml Ml u

21 Cineica baerica dinamica delle colonie baeriche alghe, lievii, baeri, proozoi uilizzae per la produzione di enzimi Reaore a volume cosane d biomassa d subsrao = concenrazione della biomassa = concenrazione del subsrao d = poraa specifica alimenazione subsrao

22 Cineica baerica dinamica delle colonie baeriche alghe, lievii, baeri, proozoi uilizzae per la produzione di enzimi Reaore a volume cosane d biomassa d subsrao Nel subsrao l alimeno viene rasformao con una velocià nel prodoo. Il asso con cui viene rasformao dipende dalla concenrazione. In ingresso e in uscia abbiamo un quaniaivo proporzionale a d ed evenualmene a una definia. i k

23 R/mo Modello di Monod 94 o di Michaelis-Menen Il asso di crescia R dipende dalla concenrazione dell alimeno subsrao K R R K Valore limie di R per Cos. uguale a per cui R=.5 curva di Monod /Ks

24 Cineica baerica modello maemaico d d d d K k K d d i i k concenrazione dell alimenazione del subsrao faore di resa

25 Modello preda-predaore Loka - Volerra In un ecosisema si hanno due specie: prede e predaori. Il asso di crescia delle prede segue il modello di Verhuls viso per la popolazione, inolre vengono immesse prede nell ecosisema secondo l andameno di una variabile u. Il asso di decrescia dei predaori è invece proporzionale al numero di predaori preseni. L inerazione preda predaore è di ipo non lineare, con coefficieni e.

26 Modello preda-predaore Loka - Volerra In un ecosisema a due specie, siano = numero di prede al empo = numero di predaori al empo u = immissione di prede al empo e = asso di crescia delle prede e = asso di decrescia dei predaori k = capacià della popolazione delle prede = coefficiene = coefficiene e u k e

27 isemi dinamici e modelli maemaici serbaoio a efflusso forzao serbaoio a efflusso libero circuio elerico economia nazionale, modello keynesiano crescia delle popolazioni carrello pendolo cineica baerica preda-predaore

28 Uilià dei modelli dinamici Comprensione dei fenomeni Analisi imulazione Progeo e oimizzazione Diagnosica dei malfunzionameni Progeo del conrollore Addesrameno operaore Prooipazione rapida...

29 isemi dinamici Il conceo di sao u d d f, u Il veore raccoglie quelle grandezze che, nel modello adoao, descrivono compleamene la siuazione inerna dell enià consideraa. Una configurazione = può essere raggiuna a seguio di diverse forme di ingresso per i empi <. Lo sao memorizza in qualche modo la soria del sisema

30 isemi dinamici classificazione isemi monovariabili, o mulivariabili IO: una sola variabile di ingresso, una sola variabile di uscia MIMO: più variabili di ingresso, più variabili di uscia isemi propri e sreamene propri ia y g la rasformazione di uscia equazione algebrica., u Il sisema si dice sreamene proprio puramene dinamico se y g e l uscia dipende anche dall ingresso il sisema è deo proprio

31 isemi non dinamico isemi dinamici classificazione y g isemi invariani e variani nel empo Un sisema è deo variane nel empo se f e/o g dipendono espliciamene dal empo d f, u, d y g, u, u e sia f che g non dipendono espliciamene da il sisema è deo empo invariane o sazionario

32 Esempio sisema variane M F M k h F k k o e o i suppone che la cosane elasica diminuisca esponenzialmene nel empo.

33 isemi liberi, o auonomi isemi dinamici classificazione d d L evoluzione dello sao dipende solo dalle condizioni iniziali, alrimeni il sisema si dice forzao. isemi lineari d d f A Bu La dipendenza dallo sao e dall ingresso è lineare ramie le marici n, n n, m dei coefficieni A R, B R

34 Classificazione dei sisemi dinamici - esempi

35 erbaoio a efflusso forzao Poso = h livello u = q i poraa d ingresso u = q o poraa d uscia E un sisema lineare e forzao u u U B X A X u u

36 erbaoio a efflusso libero Poso = h livello u = q i poraa d ingresso u k g E un sisema non lineare e forzao

37 Circuio elerico Poso = ensione sul condensaore u = ensione del generaore A u RC RC isema lineare e forzao B RC RC

38 Economia nazionale Poso = C consumi delle famiglie u = I invesimeni ba bu isema lineare e forzao

39 Modelli di crescia della popolazione b d R R K isema lineare e libero isema non lineare e libero

40 Pendolo g l sin k Ml Ml u isema non lineare e forzao

41 Cineica baerica isema non lineare e forzao Poso = concenrazione biomassa = concenrazione subsrao u = d poraa specifica alimenazione subsrao u = i concenrazione alimenazione subsrao u d K k u K

42 Movimeno dello sao Dao l isane iniziale, la funzione d ingresso u,, lo sao iniziale, la soluzione del sisema di equazioni differenziali d d f, u è il movimeno dello sao.,,, u,.

43 Traieoria dello sao Definisco raieoria dello sao la proiezione del movimeno sullo spazio di sao.

44 Movimeno dello sao sisemi lineari Nei sisemi lineari il movimeno è dao dalla formula di Lagrange e A A e Bu Movimeno Movimeno libero forzao d Nei sisemi lineari il movimeno dello sao è deerminao dalla composizione somma del movimeno libero sao iniziale con quello forzao ingresso lungo uo l inervallo emporale. Nel calcolo del movimeno i due conribui possono essere calcolai in maniera indipendene sovrapposizione degli effei

45 Principio di sovrapposizione degli effei d ' A' Bu',, ' ' d d '' A'' Bu'',, '' '' d i consideri ora il caso in cui l ingresso e lo sao iniziale siano cosiuii dalla sessa combinazione lineare degli ingressi e degli sai iniziali precedeni u' '' u' u'' ''' ' '' Allora ' '' ' '',

46 isemi dinamici equilibrio Dao un ingresso cosane si definiscono sai di equilibrio quegli sai per cui u u f, u Gli sai di equilibrio sono quindi sai in cui il sisema, soggeo all ingresso cosane corrispondene, permane indefiniamene.

47 Per i sisemi lineari poso u isemi lineari d d equilibrio A Bu, l origine è un puno di equilibrio. Per un generico ingresso equilibrio è u A, se A è inveribile lo sao di Bu

48 Economia nazionale equilibrio ac by b a C b I Y C I i noi che all equilibrio b/a = consumi/prodoo nazionale lordo Inolre all equilibrio risula prodoonazionalelordo invesimeni a a b k k è il moliplicaore di Keynes

49 Carrello puni di equilibrio M k h u La forza elasica k u equilibra la forza eserna imposa

50 Cineica baerica puni di equilibrio K s d k d i K s i d dk s i d k s k

51 Cineica baerica puni di equilibrio k s.4, k.35, d., i

52 Pendolo puni di equilibrio g l sin k Ml Ml u u Equilibrio sabile k Come formalizzare il conceo di sabilià dell equilibrio? Equilibrio insabile

53 isemi dinamici sabilià dell equilibrio - I Uno sao di equilibrio è asinoicamene sabile se ui i movimeni perurbai generai da sai iniziali sufficienemene prossimi a rimangono in vicinanza di e endono asinoicamene a. Quindi, e, ale che, per ui gli sai iniziali che soddisfano la relazione risula e e, lim

54 isemi dinamici sabilià dell equilibrio - II Uno sao di equilibrio è semplicemene sabile se ui i movimeni perurbai generai da sai iniziali sufficienemene prossimi a rimangono in vicinanza di. Uno sao di equilibrio è insabile se non è sabile

55 Asinoica sabilià definisce la regione di arazione e e è l inero spazio, il puno di equilibrio è globalmene asinoicamene sabile può anche essere molo piccolo

56 d abilià dell equilibrio Puno di equilibrio B Comunque perurbi il sisema mi allonano dall equilibrio Equilibrio Insabile d d d d Puni di equilibrio A e C crescene decrescene Equilibrio abile

57 Pendolo sabilià dell equilibrio

58 piano di fase M=g=l= equilibrio as. sabile equilibrio insabile u=

59 Cineica baerica sabilià dell equilibrio

60 piano di fase equilibrio insabile equilibrio as. sabile k s.4, k.35, i., d.,.4

61 abilià dell equilibrio sisemi lineari Movimeno di equilibrio e Movimeno perurbao A e A Bu d A A e e Bu d La sabilià asinoica dipende dalla marice A ed è una proprieà del sisema A e

62 / isemi lineari del I ordine sabilià d a d La marice A = a coincide con il suo auovalore a> a > sisema insabile a = sisema sabile.5 a= a< a < sisema asinoicamene sabile

63 Economia nazionale un modello keynesiano dc d ac by b Y C I a C b I La sabilià asinoica si ha per b < a cioè se all equilibrio i consumi sono inferiori al prodoo nazionale lordo

64 isemi lineari del II ordine sabilià A e Come valuare il movimeno dello sao e la sabilià quando il sisema non è di primo ordine?

65 isemi lineari del II ordine sabilià Ipoesi La marice A ha auovalori reali o complessi coniugai ma disini de I A Le n soluzioni i dell equazione caraerisica si dicono auovalori di A.

66 isemi lineari del II ordine sabilià Agli auovalori a e a corrispondono gli auoveori v e v poso T AT ~ Av i T risula: a, a d d ~ a A TAT ~ ~ d d a N.B. La corrispondenza ra ed ~ è biunivoca. a i v i, i, T v v

67 isemi lineari del II ordine sabilià ~ ~ T e e T e e T T a a a a Il movimeno libero dello sao è combinazione lineare di ermini esponenziali dei modi. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ e a d d e a d d a a

68 isemi lineari del II ordine sabilià Condizione necessaria e sufficiene perché il sisema sia asinoicamene sabile è che Rea < e Rea <

69 isemi lineari sabilià I risulai precedeni possono essere esesi anche al caso di sisemi del secondo ordine con auovalori coincideni o a sisemi di ordine più elevao Condizione necessaria e sufficiene affinché un sisema lineare sia asinoicamene sabile è che ui i suoi auovalori abbiano pare reale minore di zero Condizione sufficiene affinché un sisema lineare sia insabile è che almeno un auovalore abbia pare reale maggiore di zero e ui gli auovalori hanno pare reale minore o uguale a zero, il sisema può essere sabile o insabile, ma non asinoicamene sabile

70 Carrello sabilià u M M h M k 4, M k M h M h a Rea, < per h,k> asinoica sabilià

71 isemi non lineari linearizzazione - I Dao il sisema d d f, u e l equilibrio,u f, u si ponga u u u

72 isemi non lineari linearizzazione - II viluppando il sisema in serie di Taylor aorno a e arresando lo sviluppo al I ermine si oiene f d d, u d d,u f, u f, u d, u f, u du, u u cioè, poso A f, u f, B d, u, u du, u

73 isemi non lineari linearizzazione - II con che è chiamao sisema linearizzao,,,,, u du u f d u f u f d d u u u u du u f B d u f A,,,,, u B A d d

74 isemi non lineari sabilià dell equilibrio Lo sao di equilibrio,u è asinoicamene sabile se ui gli auovalori del sisema linearizzao corrispondene hanno pare reale minore di zero Lo sao di equilibrio,u è insabile se almeno uno degli auovalori del sisema linearizzao corrispondene ha pare reale maggiore di zero i osservi che per la sabilià asinoica si ha in queso caso solo una condizione sufficiene, per cui nel caso di auovalori con pare reale minore o uguale a zero non si può concludere nulla. ono necessarie alre ecniche di analisi

75 Pendolo sisema linearizzao cos u Ml Ml k l g,, equilibri 4, l g Ml k Ml k a 4, l g Ml k Ml k a Rea, < eq. as. sab. Rea <, Rea > eq. insab. k k k

76 Cineica baerica sisema linearizzao equilibrio insabile equilibrio asinoicamene sabile equilibri..563, j a d d k k k k k k k d k d d d d i i d dk k k d s i.33,. a a

77 y piano di fase ' = mu y/ks + y - d y ' = - k mu y/ks + y + d. - y mu =.4 ks =.4 d =. k = equilibrio insabile..5. equilibrio as. sabile

78 Il problema del conrollo Dao il sisema d d f, u il problema del conrollo consise nell agire sulla variabile di ingresso o di conrollo u in modo da far assumere alle variabili di sao, o a loro combinazioni dee variabili di uscia un dao andameno nel empo o un dao valore cosane

79 Dao il sisema isemi del I ordine conrollo in anello apero - I d d a bu supponendo a< sisema asinoicamene sabile, per far assumere a un dao valore almeno a ransiorio esaurio si può porre u u b a Legge di conrollo che corrisponde al valore di regime di u compaibile con l equilibrio richieso u Regolaore b a u d d isema a bu

80 isemi del I ordine conrollo in anello apero - II osiuendo l equazione del regolaore in quella del sisema si oiene d d a bb a e a e a d a a a a e e a e, poiché e a per per

81 isemi del I ordine conrollo in anello apero - III nel caso di sisemi non asinoicamene sabili a la legge di conrollo precedene non può essere uilizzaa se il sisema vero è errore di modello d bu d,, e si uilizza la legge di conrollo si oiene u u b a a per Errore a ransiorio esaurio a

82 Dao il sisema isemi del I ordine conrollo in anello chiuso - I d d a bu, a si consideri il seguene schema di conrollo in anello chiuso e Regolaore proporzionale u isema d a bu u k pe d in cui la legge di conrollo è u k e k k p p p

83 isemi del I ordine conrollo in anello chiuso - II Uilizzando l equazione del regolaore in quella del sisema si oiene d a bkp bkp d E sempre possibile scegliere k p in modo da rendere asinoicamene sabile il sisema in anello chiuso a bk p Il movimeno dello sao del sisema reroazionao è abk abk p p e e bk d p

84 isemi del I ordine conrollo in anello chiuso - III Per l asinoica sabilià del sisema reroazionao cioè p avere l asinoica sabilià Tuavia, per e abk fisicamene poco realisico k p per p k bk a bk u k p p bk p a bk p p per abk bk con il segno opporuno per p e a bk p p

85 isemi del I ordine conrollo in anello chiuso - IV i consideri il regolaore più complesso e Regolaore proporzionale k p e u isema d a bu d Regolaore inegrale k i e d Equazioni del regolaore dv e d u k e p k v i

86 isemi del I ordine conrollo in anello chiuso - V isema in anello chiuso d dv d d a bk p bk i v bk p condizione di sabilià asinoica: auovalori della marice A con pare reale minore di zero bk bk i p a

87 isemi del I ordine conrollo in anello chiuso - VI Movimeno dello sao v A p e v e, per la asinoica sabilià A bk A e A bk p v A bk p a bki per errore a ransiorio esaurio nullo il conrollo si assesa auomaicamene sul valore richieso

88 Conrollo in anello chiuso presazioni a= sisema insabile, b= k k k p p p k k k i i i 4 8 blu rosso verde

89 Il problema del conrollo conclusioni se il sisema in anello apero è asinoicamene sabile e perfeamene noo, il conrollo in anello apero consene di oenere le presazioni desiderae in conrollo in anello chiuso consene di sabilizzare sisemi insabili, di oenere sabilià, errore a ransiorio esaurio nullo, e le presazioni dinamiche desiderae esise una eoria generale che consena di raare in modo sisemaico sisemi di ordine superiore al primo