PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 10 Settembre 2008 Cognome Nome Matricola

Transcript

1 PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Biani, BIO A-K) Seembre 8 Cognome Nome Maricola Verificare che il fascicolo sia cosiuio da 9 pagine. Scrivere le rispose ai singoli esercizi negli spazi che seguono ogni domanda. Non consegnare fogli addizionali. Non scrivere sul rero. Non si possono consulare libri, appuni, dispense ec. ===============================================================================================================. Si consideri il seguene sisema reroazionao: y () _ e() R(s) G(s) + d() + y() La chiarezza e precisione nelle rispose saranno oggeo di valuazione s ( s+ 4) con Gs () =, Rs () =. ( s+ 5)( s + 8s+ 4).a Facendo uso della cara semilogarimica soo riporaa, si raccino i diagrammi di Bode asinoici, del modulo e della fase, associai alla funzione d anello Ls (). Si giusifichi la risposa. Bode Diagram Phase (deg) Magniude (db) Frequency (rad/sec)

2 .b Si deermini, evenualmene in maniera approssimaa, la pulsazione criica della funzione d anello Ls (). Si calcoli poi la fase criica di Ls (). Infine, mediane il crierio di Bode, si deermini se il sisema in anello chiuso sia asinoicamene sabile oppure no. Noa: come valore della fase di un numero reale negaivo, si adoi +8, ovvero + π rad..c Sia F(s) la funzione di rasferimeno in anello chiuso dal segnale d() al segnale y(). In base al diagramma di Bode del modulo di L(s), si deermini una possibile approssimazione per il diagramma di Bode del modulo di F(s). Si giusifichi opporunamene la risposa. Si faccia uso, se occorre, della cara semilogarimica qui soo riporaa. Bode Diagram Magniude (db) Frequency (rad/sec)

3 . Si consideri queso sisema dinamico: y () e() G(s) _ R(s) _ + d() y() s ( s+ 4) Si assuma che Gs () =, Rs () =. ( s+ 5)( s + 8s+ 4).a In base ad opporune considerazioni svole con il meodo dei veori, si deermini quale sia, ra i segueni A, B, C, D, il diagramma di Nyquis della funzione d anello Ls ( ). Si giusifichi la risposa. Si evidenzi anche, sul grafico designao, il diagramma polare di Ls ( ) A B

4 C D 5 5.b Si assuma ora che Rs () = (e G(s) rimanga la sessa di prima). Mediane il crierio di Nyquis, si deermini se il sisema in anello chiuso sia asinoicamene sabile oppure no. 4

5 5.375 s ( s 4) +.c Ci si ponga nelle condizioni di cui al puno.b, ossia si assuma che Gs () = e ( s+ 5)( s + 8s+ 4) Rs () =. Si deermini il valore a ransiorio esaurio (ossia per + ) di e() quando y () = 3 sca() e d () = ramp (). Si giusifichi opporunamene la risposa. 3. Si consideri il seguene sisema dinamico lineare a coefficieni cosani a empo discreo: x( + ) = (3 + α) x( ) + αu( ) x( + ) = x( ) β x( ) y () = 6 x() + x() u () con i parameri α, β R. 3.a Si deermini la funzione di rasferimeno Zea dall ingresso u() all uscia y(). 3.b Si dica per quali valori di α e β il sisema sia asinoicamene sabile, giusificando la risposa. 5

6 3.c Si consideri il caso paricolare α = 3 e β =. Si deerminino, in al caso, i primi re campioni (cioè da = a = ) di y() quando u () = imp (). 3.d Si consideri ora il caso α = 3 e β = e si assuma che u () = sca (). Si deerminino i valori y() e y(+ ), giusificando la risposa in base all applicazione di opporuni eoremi. 6

7 4. Si assuma di voler analizzare il comporameno di un sisema dinamico lineare a empo coninuo con l ausilio di un calcolaore. Più precisamene, si assuma di avere a disposizione il programma Malab e di far eseguire al calcolaore i segueni comandi: num = [ ]; den = [ ]; F = f(num, den); [A, B, C, D] = fss(num, den); [y, ] = impulse(f); 4.a Quali valori hanno le marici A, B, C, D? In alre parole, si deermini di quale dei sisemi I, II, III, IV soo riporai F è la funzione di rasferimeno (dall ingresso u() all uscia y()). x () = x() x() + u() x () = x() x() + u() I x () = x() II x () = x() y () = 99 x() + u () y () = x() x () = x() x() + u() x () = x() x() u() x () = x() x () = x() III IV x 3() = x() x 3() = x() y () = x() + x() + x3() y () = x() + x() + x3() + u () Si giusifichi accuraamene la risposa. 4.b Il sisema è asinoicamene sabile? Perché? 7

8 4.c Si deermini l espressione analiica della risposa y () del sisema, scegliendo quella correa ra le alernaive A, B, C, D di seguio propose: A. y ( ) = e 99 sin ( 99 ) sca ( ) + cos( 99 ) sca ( ) + sca ( ) + ramp ( ) 99 B. y ( ) = sin ( ) sca( ) 99e cos ( ) sca( ) sca( ) C. y () = sin( 99 ) sca() + cos( 99 ) sca() sca() ramp() 99 D. y () = e sin( 99 ) sca() + 99cos( 99 ) sca() + sca() Si giusifichi accuraamene la risposa, evidenziando ui i passaggi che occorrono per arrivare all espressione scela. 5. Si consideri un sisema lineare a coefficieni cosani a empo coninuo. Sia A la sua marice dinamica. 5.a Si dica come, a parire dagli auovalori della marice A, si possa indagare sulle proprieà di sabilià (asinoica, in paricolare) del sisema. 8

9 5.b Si enunci un opporuno crierio che permea di concludere riguardo l asinoica sabilià o meno del sisema, senza dover calcolare gli auovalori di A. 5.c Si consideri ora un sisema nonlineare a empo coninuo. Come si può applicare il crierio enunciao al puno 5.b al fine di indagare le proprieà di sabilià di un suo sao di equilibrio? 9