Equazioni differenziali lineari

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1 Equazioni differenziali lineari Da un puno di visa dinamico, i sisemi lineari sazionari sono descrii da equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficieni cosani: a n d n y d n +a n d n y d +...+a d m x 0y = b n m d +b m m o con noazione più compaa: n d i y() a i = d i m b i d i x() d i dove y() è la funzione uscia ed x() è la funzione ingresso. Condizione di fisica realizzabilià: n m. se n > m il sisema è sreamene proprio se n = m il sisema è proprio se n < m il sisema è improprio Per risolvere l equazione differenziale occorre conoscere d m x d m +...+b 0x i) le condizioni iniziali: y(0 ), dy d =0,..., d n y d n =0 ii) il segnale di ingresso: x(), 0 T Si suppone che la funzione x() sia coninua a rai, limiaa per ogni finio e che le condizioni iniziali della funzione x() all isane = 0 sono ue nulle: x(0 ) = 0, dx d =0 = 0,..., d n x d n =0 = 0 R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

2 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 2 La soluzione dell equazione differenziale è la somma di due funzioni: y() = y 0 ()+y (). l evoluzione libera y 0 (), cioè la soluzione dell equazione differenziale omogenea associaa che si oiene ponendo uguale a zero il segnale di ingresso: x() 0, 0 T. 2. l evoluzione forzaa y (), cioè la soluzione paricolare che si oiene ponendo a zero ue le condizioni iniziali. Per la soluzione delle equazioni differenziali sono di noevole uilià le rasformazioni funzionali, in paricolare la rasformazione di Laplace. Le rasformazioni funzionali sabiliscono una corrispondenza biunivoca fra funzioni oggeo, normalmene funzioni del empo, e funzioni immagine. Tipicamene il problema immagine è di più facile soluzione. Esempio: a b = e ln(a b) = e (lna+lnb) Le equazioni differenziali si rasformano in equazioni algebriche, per cui la loro soluzione è immediaa. Dalla soluzione immagine si passa poi alla soluzione oggeo eseguendo sulle funzioni immagine l operazione di anirasformazione. R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

3 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 3 Orienameno di un sisema dinamico Un equazione differenziale è correamene orienaa (con una causalià di ipo inegrale) se la variabile di uscia del sisema è quella a cui è associao il massimo grado di derivazione all inerno dell equazione differenziale. Quesa regola è equivalene alla condizione di fisica realizzabilià: n m. Per meglio comprendere quesa condizione si consideri il seguene sisema lineare: I(s) C V() = I() CsV(s) = I(s) V(s) C L energia accumulaa nel sisema è: E() = 2 CV2 (). Tale energia varia nel empo solo se è presene un flusso di poenza p() = Ė() = V()I() in ingresso al sisema. Da un puno di visa maemaico il sisema può essere orienao in due modi diversi: a) V(s) I(s) b) I(s) V(s) Cs Cs Da un puno di visa energeico solo l orienameno b), cioè I(s) in ingresso e V(s) in uscia, è fisicamene realizzabile perchè è l unico compaibile con una scela arbiraria del segnale I(s) in ingresso. L orienameno a) non è compaibile con un gradino di ensione V() in ingresso perchè quesa condizione implicherebbe, per = 0, una variazione isananea dell energia E() accumulaa nel sisema e quindi un flusso di poenza p() infinio per = 0. a) b) V() V 0 E() 2 CV 0 2 p() 2 CV 2 0 δ() p() =0 =. L orienameno b) è invece compaibile con un gradino di correne I(): I() I 0 E() p() V 0 I 0 p() =0 = V 0 I 0. R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

4 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 4 Trasformae di Laplace La rasformaa di Laplace associa in modo biunivoco a una generica funzione reale del empo f() una funzione complessa F(s) della variabile complessa s: F(s) = L [ f() ] È definia nel modo seguene: F(s) := 0 f()e s d La rasformazione inversa viene dea anirasformaa di Laplace: f() = L [ F(s) ] È definia nel modo seguene: f() = 2πj σ0 +j σ 0 j F(s)e s ds La funzione F(s) è definia in un dominio di convergenza che consise in un semipiano del piano s poso a desra di una rea parallela all asse immaginario La funzione f() è rasformabile secondo Laplace se: f() = 0 per < 0; f() è coninua a rai e limiaa al finio per 0; l inegrale 0 f() e σ d esise per f() un qualche valore reale di σ. Si iene cono della soria passaa della variabile f() per < 0 considerando opporune condizioni iniziali all isane = 0. R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

5 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 5 Trasformae di Laplace dei segnali di uso più comune L [ n e a] = n! (s a) n+ Come casi paricolari di quesa relazione si oengono le rasformae di Laplace dei segueni segnali: a) Gradino uniario (n = 0, a = 0): x() = u() X(s) = s x() b) Rampa uniaria (n =, a = 0): x() x() = X(s) = s 2 c) Parabola uniaria (n = 2, a = 0): x() x() = 2 2 X(s) = s 3 d) Esponenziale (n = 0, a < 0): x() = e a X(s) = s a x() R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

6 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 6 e) Sinusoide: x() = sin ω. Tale segnale si ricava dalla composizione di due esponenziali: x() = sinω = ejω e jω 2j Per la linearià della rasformaa di Laplace si ha infai che: L[x()] = L[sinω] = 2j da cui si ricava: [ s jω s+jω x() ] = 2j [ 2ωj s 2 +ω 2 ] x() = sinω X(s) = ω s 2 +ω 2 f) Cosinusoide: x() = cos ω. Per ale funzione valgono le relazioni: L[cosω] = L[ ejω +e jω ] = [ 2 2 s jω + ] = [ ] 2s s+jω 2 s 2 +ω 2 da cui si oiene: x() x() = cosω X(s) = s s 2 +ω 2 R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

7 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 7 Proprieà della rasformaa di Laplace Linearià. Dee c e c 2 due cosani complesse arbirarie, f () ed f 2 () due funzioni del empo le cui rasformae siano rispeivamene F (s) e F 2 (s), vale la relazione L [ c f ()+c 2 f 2 () ] = c F (s)+c 2 F 2 (s) Traslazione nel empo. Sia F(s) la rasformaa di Laplace della funzione f(), nulla per <0. Vale la relazione L [ f( 0 ) ] = e 0s F(s) cioè moliplicare per la funzione e 0s nello spazio rasformao vuol dire, nel empo, raslare in riardo la funzione f() della quanià 0. f() f( 0 ) 0 Esempio: Il segnale f() è scomponibile nella somma di re rampe, di pendenze K/τ, 2K/τ e K/τ, applicae rispeivamene agli isani =0, =τ e =2τ uilizzando il eorema della raslazione nel empo, si deduce f() K F(s) = K τ s 2 ( 2e τs +e 2τs ) = K τ s 2 ( e τs ) 2 0 τ 2τ R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

8 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 8 Trasformaa dell inegrale. Sia F(s) la rasformaa di Laplace della funzione f(). Vale la relazione [ ] L f(τ)dτ = s F(s) 0 Moliplicare per s segnale f(). una funzione F(s) vuol dire calcolare l inegrale del Trasformaa della derivaa generalizzaa. Sia F(s) la rasformaa di Laplace della funzione f(). Vale la relazione [ ] df L = sf(s) f(0 ) d dove f(0 ) è il valore che la funzione f() assume all isane = 0. Nel caso di condizioni iniziali nulle, moliplicare per s una funzione F(s) vuol dire calcolare la derivaa del segnale f(). Teorema del valore iniziale. Sia X(s) = L[x()]. Vale la relazione: lim = lim 0 +x() sx(s) s Queso eorema è valido per qualsiasi funzione X(s). Teorema del valore finale. Sia X(s) = L[x()]. Vale la relazione: lim x() = lim sx(s) s 0 Queso eorema è valido solamene per funzioni X(s) che abbiamo ui i poli a pare reale negaiva, eccezion faa per un polo nell origine. R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

9 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 9 Impulso di Dirac: δ(). Èunsegnaleidealecheapprossimaunimpulso di area uniaria. F(,τ) δ() = lim τ 0 F(,τ) τ τ L impulso di Dirac viene rappresenao nel modo seguene: δ() Funzione δ() La rasformaa di Laplace dell impulso di Dirac è: Valgono infai le segueni relazioni: Essendo si ha che F(s) = L[δ()] = F(s) = L[lim τ 0 F(,τ)] = lim τ 0 L[F(,τ)] = lim τ 0 F(s,τ) F(s,τ) = τs τs e τs = ( ) e τs τs F(s) = lim τ 0 F(s,τ) = lim τ 0 d dτ ( e τs ) d dτ (τs) se τs = lim τ 0 s La risposa di un sisema all impulso di Dirac coincide con l anirasformaa della funzione di rasferimeno: = Y(s) = G(s)X(s) = G(s) }{{} y() = L - [G(s)] = g() R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

10 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 0 Teorema della raslazione in s. Sia F(s) la rasformaa di Laplace della funzione f(). Vale la relazione: L [ e a f() ] = F(s+a) Derivae di ordine superiore al primo. Sia F(s) la rasformaa di Laplace della funzione f() e siano f(0 ), df() d, d2 f() =0 d 2... =0, le condizioni iniziali della funzione f() e delle sue derivae all isane 0. Valgono le relazioni: [ ] df L = sf(s) f(0 ) d [ d 2 ] f L = s 2 F(s) sf(0 ) df() d 2 d = [ d i ] i f L = s i F(s) s j di j f() d i d i j j=0 =0 Teorema della rasformaa del prodoo inegrale.sianof (s) e F 2 (s) le rasformae di Laplace delle funzioni f () e f 2 (). Vale la relazione [ ] L f (τ)f 2 ( τ)dτ = F (s)f 2 (s) 0 L inegrale di convoluzione delle funzioni f () e f 2 () gode della proprieà commuaiva: f (τ)f 2 ( τ)dτ = 0 0 f 2 (τ)f ( τ)dτ R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

11 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. Funzione di rasferimeno Si consideri l equazione differenziale: n d i y() a i = d i m b i d i x() d i Sosiuendo alle funzioni e alle loro derivae le rispeive rasformae, si oiene la relazione n m n i a i s i Y(s) = b i s i X(s)+ a i s j di j y() d i j i= j=0 =0 in cui con X(s) e Y(s) si indicano le rasformae di Laplace dei segnali di ingresso e uscia x() e y(). La rasformaa di Laplace Y(s) è daa quindi dalla somma di due funzioni: n i / Y 0 (s) = a i s j di j y() n a d i j i s i i= j=0 =0 Y (s) = ( m b is i / n a is i ) X(s) che sono, rispeivamene, le rasformae dell evoluzione libera y 0 () e dell evoluzione forzaa y (). La seguene funzione di rasferimeno del sisema G(s) = Y (s) X(s) = m b i s i n a i s i X(s) G(s) Y (s) è definia a parire da condizioni iniziali idenicamene nulle. R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

12 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 2 Esempio. Si consideri un elemeno meccanico con inerzia J, coefficiene di ario lineare b che ruoa alla velocià angolare ω al quale venga applicaa una coppia eserna c(). c() 0 c() ω() J b ω() 0? Si richiede di deerminare la risposa del sisema al gradino uniario. Per rispondere esaamene a quesa domanda occorre deerminare il modello dinamico del sisema. L equazione differenziale che caraerizza il sisema è la seguene: d[jω()] = c() bω() J ω()+bω() = c() d Parendo da condizioni iniziali nulle e rasformando secondo Laplace si oiene: J sω(s)+bω(s) = C(s) ω(s) = b+j s C(s) La funzione di rasferimeno G(s) che caraerizza il sisema è quindi la seguene: G(s) = b+j s C(s) c() G(s) b+j s ω(s) ω() I coefficieni di quesa funzione sono in corrispondenza biunivoca con i coefficieni dell equazione differenziale. Poso C(s) =, la risposa al gradino del sisema in ambio s rasformao è la seguene: ω(s) = G(s)C(s) ω(s) = (b+j s)s Alcune informazioni sull andameno di ω() si possono ricavare direamene da ω(s) anche senza anirasformare. Applicando il eorema del valore iniziale, per esempio, si ricava il valore di ω() per = 0 + : ω(0 + ) = ω() 0 = lim s sω(s) = lim s s (b+j s)s = 0 Applicando invece il eorema del valore finale si ricava il valore di ω() per : s ω( ) = ω() = limsω(s) = lim s 0 s 0 (b+j s)s = b Applicando il eorema del valore iniziale è anche possibile calcolare il valore dell accelerazione ω() per = 0 + : ω(0 + ) = ω() 0 = lim s[sω(s) ] = lim s }{{} (b+j s)s = J ω(s) s s 2 R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

13 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 3 Infai, in ambio rasformao, l accelerazione ω(s) si oiene semplicemene moliplicando la velocià ω(s) per la variabile s (che rappresena l operaore derivaa di Laplace). Per oenere esaamene l andameno emporale ω() occorre anirasformare la funzione ω(s). Il modo più semplice per farlo è uilizzare la scomposizione in frai semplici. Nel caso in esame, esisono sempre due coefficieni α e β che permeono di scomporre la funzione ω(s) nel modo seguene: ω(s) = (b+j s)s ω(s) = α b+j s + β s I coefficieni α e β si deerminano (per esempio) imponendo l uguaglianza fra le due espressioni: ω(s) = α b+j s + β s Risolvendo si ricava: = αs+β(b+j s) (b+j s)s { α+βj = 0 βb = = (α+βj)s+βb (b+j s)s { α = J b β = b = (b+j s)s per cui si ha ω(s) = (b+j s)s = [ b s J ] [ ] = b+j s b s s+ b J Anirasformando i singoli elemeni si ricava la funzione ω(): ω() = b ( e b J ) L andameno emporale è di ipo esponenziale: ω() b J 0 R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

14 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 4 Il guadagno saico K 0 di un sisema G(s) è definio come il rapporo Y 0 /X 0 ra l ampiezza Y 0 del segnale in uscia y() che si oiene a regime quano il sisema G(s) è solleciao in ingresso con un gradino cosane di ampiezza X 0. X 0 x() y() G(s) X(s) Y(s) Y 0 K 0 = Y 0 X 0 = G(0). Uilizzando il crierio del valore finale è facile dimosrare che il guadagno saico K 0 di un sisema G(s) coincide con G(0) = G(s) s=0, cioè con il valore della funzione G(s) per s = 0: Y 0 = lim s 0 sy(s) = lim s 0 sg(s) X 0 s = G(0)X 0 K 0 = Y 0 X 0 = G(0). Da un puno di visa praico il guadagno saico è definibile solo per sisemi G(s) asinoicamene sabili (gli unici per i quali l uscia a regime ende ad un valore cosane), ma per esensione è prassi parlare di guadagno saico G(0) anche per i sisemi G(s) insabili o semplicemene sabili. La risposa y() al gradino uniario x() = X 0 = di un sisema dinamico G(s) gode delle segueni proprieà: ) y( ) = lim y() = lim s 0 sy(s) = lim s 0 G(s) = G(0) 2) y(0 + ) = lim = lim sy(s) = lim G(s) = G( ) 0 +y() s s 3) ẏ(0 + ) = lim = lim 0 +ẏ() s s2 Y(s) = lim sg(s) s 4) ÿ(0 + ) = lim = lim 0 +ÿ() s s3 Y(s) = lim s 2 G(s) s. =. Quese proprieà si oengono direamene applicando il eorema del valore finale e il eorema del valore iniziale. La proprieà ) vale solo per sisemi G(s) asinoicamene sabili, menre ue le alre proprieà valgono per un qualunque sisema G(s). R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

15 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 5 Si consideri un sisema dinamico caraerizzao dalle seguene funzione G(s): G(s) = b ms m +b m s m +...+b s+b 0 a n s n +a n s n +...+a s+a 0 Se il sisema è fisicamene realizzabile(n m) e asinoicamene sabile(ui i poli della G(s) sono a pare reale negaiva), l andameno qualiaivo della risposa y() del sisema G(s) ad un gradino uniario x() = è il seguene: ) Per n = m: y() b 0 a 0 a n b n b n a n a 2 n b n a n 2) Per n = m+: y() 0 b m an b 0 a 0 3) Per n m+2: y() 0 b 0 a 0 0 Infainelcaso),quandoilgradorelaivoènullo,lafunzioneG(s)puòsempre essere riscria nel seguene modo: G(s) = b n + (b n bn an a n )s n +(b n 2 b n an a n 2 )s n a n a n s n +a n s n +...+a s+a 0 dove b n an è un guadagno che moliplica il gradino uniario in ingresso. R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

16 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 6 Esempio. Calcolare l andameno qualiaivo della risposa y() al gradino uniario della seguene equazione differenziale:... y()+4ÿ()+3ẏ()+y() = 3ẍ()+5ẋ()+2x() Uilizzando la rasformaa di Laplace si ricava immediaamene la funzione G(s): G(s) = 3s2 +5s+2 s 3 +4s 2 +3s+ In queso caso il grado relaivo della funzione G(s) è r = n m = per cui l andameno qualiaivo della risposa y() al gradino uniario è il seguene: y() b m an = Risposa al gradino b 0 a 0 =2 2 y y() Time [s] Esempio. Calcolare l andameno qualiaivo della risposa y() al gradino uniario della seguene funzione di rasferimeno G(s): G(s) = 6s+8 2s+ In queso caso il grado relaivo della funzione G(s) è nullo per cui l andameno qualiaivo della risposa y() al gradino uniario è il seguene: y() a n b n b n a n a 2 =2.5 n 2 0 Risposa al gradino b 0 a 0 =8 8 y y() 6 b n a n = La funzione G(s) può infai essere riscria nel seguene modo: G(s) = s Time [s] Il primo ermine corrisponde al gradino di ampiezza 3, menre il secondo ermine rappresena un segnale di ampiezza 5 la cui pendenza iniziale è 5 2 = 2.5. R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI

17 2.. TRASFORMATE DI LAPLACE 2. 7 Esercizi sull uilizzo delle Trasformae di Laplace. Calcolare la rasformaa di Laplace X(s) dei segueni segnali x(): Soluzione: X (s) = x () = 2(+ 2 )e 5, x 2 () = 4+3e 3 sin(7) 2 (s 5) + 4 (s 5) 3, X (s) = 4 s + 2 (s+3) Calcolare la rasformaa di Laplace X(s) dei segueni segnali x(): Soluzione: x () = 2e 5 sin(8), X (s) = x 2 () = 2 2 e 4 6 (s 5) 2 +64, X 2(s) = 4 (s+4) 3 3. Scrivere, in funzione dei segnali x() e y(), l equazione differenziale corrispondene alla seguene funzione di rasferimeno: Soluzione: G(s) = Y(s) X(s) = 3s 2 +b s(s 2 +2s+a)... y()+2ÿ()+aẏ() = 3ẍ()+bx() 4. Calcolare la rasformaa Y(s) del segnale di uscia corrispondene all equazione differenziale 3ẏ() + 4y() = 0 con condizione iniziale y(0). Soluzione. Si rasforma secondo Laplace l equazione differenziale: da cui si ricava: L[3ẏ()+4y() = 0] 3 [sy(s) y(0)]+4y(s) = 0 Y(s) = 3y(0) 3s+4 = y(0) s+ 4 3 y() = y(0)e Calcolare il valore iniziale y 0 = lim 0 + del segnale y() corrispondene alla seguene rasformaa di Laplace Y(s): bs+3 Y(s) = y 0 = b (s+b)(s a)+2 6. Calcolare il valore il valore finale y = lim del segnale y() corrispondene alla seguene rasformaa di Laplace Y(s): Y(s) = s a y = a (bs+3)s 3 R. Zanasi - Conrolli Auomaici - 20/2 2. SISTEMI DINAMICI LINEARI