Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in evoluzione dinamica

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1 Uniersià degli Sudi di assino serciazioni di leroecnica: circuii in eoluzione dinamica nonio Maffucci er seembre

2 ircuii dinamici del primo ordine S onsiderao il seguene circuio che o all isane laora in regime sazionario calcolare la correne nell'induore per ogni isane e ( Per < il circuio è in regime sazionario quindi l'induore si compora come un coro circuio Per ale ragione poso a // si ha: ( ) a i < a Per > applicando le leggi di Kirchhoff si ha: ix i y e i y i ix i y i da cui sosiuendo in modo da lasciare come unica incognia la correne i ( : e i doe τ eq τ eq lernaiamene si può dapprima aluare l equialene di Noron ai capi dell induore: eq e I cc ( e quindi ricaare l equazione differenziale nell incognia ( i Icc τ τ a radice dell equazione caraerisica dell omogenea associaa è pari a λ / τ s quindi la soluzione generale si esprime nella forma: i ( Ke i doe i P ( è una soluzione paricolare che si può aluare calcolando la soluzione di regime ssendo ale regime sazionario uilizzando quano oenuo per < è facile oenere i P ( P i ( a cosane K si oiene imponendo la coninuià della ariabile di sao i ( ( ) i ( ) K K 4 i ( i da cui: i ( 4e > Ω Ω mh < > S Nel seguene circuio all'isane si apre l'inerruore alcolare la ensione sul condensaore per ogni isane ( Per < il circuio è in regime sazionario quindi il condensaore si compora come un circuio apero Per ale ragione si ha: ( Per > applicando la K all'unica maglia e la caraerisica del condensaore si oiene facilmene l'eq differenziale di primo ordine nell'incognia ( d d i i doe τ τ τ a radice dell equazione caraerisica dell omogenea associaa è pari a λ / τ s quindi la soluzione generale si esprime nella forma: Ke P ( doe P ( è una soluzione paricolare che si può aluare calcolando la soluzione di regime Poiché per si ende ad un regime sazionario il condensaore si compora come un circuio apero ai capi del quale ci sarà P ( 8 esa da deerminare la cosane K che si oiene dalla condizione iniziale oenua imponendo la coninuià della ariabile di sao ( ( ) ) K 8 K da cui 8 e > S Dao il seguene circuio aluare la ensione ( per > e ( 7 isulao: 7 7e 8 kω mf > ) mf Ω 4 Ω 4

3 S 4 Il seguene circuio è a riposo o a isane in cui si chiude l'inerruore alcolare: a) la cosane di empo τ del circuio; b) la ensione ai capi del condensaore per > (racciarne anche il grafico) ( cos( ω ω rad / s Ω Ω Ω mf S Il seguene circuio è in regime sazionario o a isane in cui si apre l'inerruore alcolare la correne nell induore in ogni isane e racciarne l andameno qualiaio isulao: i ( 88 m per < ; i ( 47 e m per > i H kω Ω a) Per calcolare la cosane di empo basa aluare la resisenza dell equialene di héenin iso ai capi del condensaore: eq ( // ) Ω τ eq 7 ms b) Per < il circuio è a riposo quindi c ( ) c ( ) Per > ricaando la ensione a uoo dell equialene di héenin iso ai capi del condensaore si ha: ( pplicando le leggi di Kirchhoff al circuio oenuo sosiuendo ai capi di il generaore equialene di héenin si ricaa l equazione differenziale nell incognia c : dc c τ τ a radice dell equazione caraerisica dell omogenea associaa è pari a λ / τ 8 s quindi la soluzione generale si esprime nella forma: ( exp( 8 ( c doe cp ( è la soluzione di regime sinusoidale aluabile araerso il meodo fasoriale Poso: j j ω e applicando ripeuamene la regola del pariore di ensione si ha poso x // : x c j8 c 7e [] x da cui: cp ( 7 cos( 8) Dalla condizione iniziale si ha: c ( ) 7 cos( 8) 4 Quindi in deiia si oiene la ensione c ( 4exp( 8 7 cos( 8) > il cui andameno è racciao nella figura a lao c cp [s] S Nel seguene circuio è assegnaa la correne nell induore all isane icaare la ensione sull induore per > aluando l equialene di Noron ai capi dell induore: eq 7 Ω I cc si ricaare facilmene l equazione differenziale nell incognia ( i Icc doe τ ms τ τ eq a radice dell equazione caraerisica dell omogenea associaa è λ / τ 7 s quindi la soluzione generale si esprime nella forma: 7 i ( Ke i doe i P ( rappresena il ermine di regime sazionario: i ( I P P a cosane K si oiene imponendo la condizione iniziale: ( i ( ) 4 4 K K 8 7 da cui i ( 8e per > i i () 4 H kω Ω I i per > eq i

4 S 7 Il seguene circuio è in regime sazionario o a isane in cui si chiude l'inerruore alcolare la ensione sul condensaore in ogni isane e racciarne l andameno 4 isulao: ( 7 per < ; ( 4 874e per > S 8 a seguene ree dinamica è a riposo per < a) racciare l andameno della ensione ai capi di per > b) alcolare l energia dissipaa da nell inerallo < < ms j ( ( Per < il circuio è a riposo quindi i ( Per < < applicando le leggi di Kirchhoff e scriendo le caraerisiche dei bipoli si ha: i j i i i da cui si ricaa l equazione differenziale nell incognia ( J d j la cui omogenea associaa fornisce un equazione caraerisica aene radice pari a λ ( ) / s Perano si ha: Ke P ( doe P ( è una soluzione paricolare che si può aluare calcolando la soluzione di regime Per si ende ad un regime sazionario quindi l'induore si compora come un coro circuio: P ( J 48 j ( esa da deerminare la cosane K che si oiene dalla condizione iniziale (si osseri che la ensione pur non essendo una ariabile di sao è coninua in quano proporzionale ad una ariabile di sao): F kω Ω J 4 ms Ω Ω mh 7 da cui Per ) i ( ) i ( ) ) K 48 K 48 48( e ) < < > l'equazione differenziale sarà d e quindi ragionando come prima si arà He doe H è una cosane arbiraria deerminaa imponendo la condizione iniziale per ( ) i ( ) i ( ) ) 48(e ) He H 8 da cui 8e per > andameno della soluzione è racciao nel grafico a lao Per calcolare l energia dissipaa da nell inerallo [ ] con ms W W ( ( ( ( ( 48 ) ) 48 J basa inegrare la poenza isananea assorbia: ( e ) 8 e S a seguene ree rappresena un semplice circuio di carica e scarica di un condensaore a carica aiene ra l'isane e l'isane inerallo in cui l'inerruore resa chiuso Per > inece il condensaore iene collegao al reso della ree araerso la chiusura dell'inerruore B Supponendo la ree a riposo per < aluare: a) la ensione sul condensaore ( per < < ; b) l'energia massima W max erogabile da per > ; e ( ( isulao: a) 4e 447sin( ) per < < ; b) Wmax 8 4 J ; B apero [] 4 [ms] chiuso apero mf s sin( Ω 8

5 ircuii dinamici del secondo ordine s Il seguene circuio è in regime sazionario o a quando il generaore si spegne alcolare: a) il alore delle grandezze di sao all'isane b) la correne i ( per > j ( ) a) Per < il circuio è in regime sazionario quindi il condensaore si compora come un circuio apero e l'induore come un coro circuio Per ale ragione: i ( j( / ( j( / < Per la coninuià delle ariabili di sao si ha: c ( ) c ( ) e i ( ) i ( ) b) Per > il circuio è in eoluzione libera pplicando le leggi di Kirchhoff e le caraerisiche dei bipoli si ricaano le equazioni di sao del sisema: dc c i i lle sesse equazioni si periene risolendo il circuio resisio associao: j ( ) icaando dalla prima e sosiuendola nella seconda si oiene l'equazione differenziale: d i i ( i la cui equazione caraerisica ammee le radici λ α ± j β ( ± j) a soluzione si può esprimere quindi nella forma: i ( exp( α[ k cos( β ksin( β] doe le cosani k k anno deerminae imponendo le condizioni iniziali su i e su di / : i ( ) k αk ( ) i ( ) αk βk k [ ] β a soluzione è quindi: i ( exp( [cos( sin( ] > _ j( Ω μh μf i < > S on riferimeno al seguene circuio in regime sazionario per < calcolare la ensione ( e la poenza p ( assorbia dal condensaore in ogni isane a) Per < il circuio è in regime sazionario quindi il condensaore si compora come un circuio apero e l'induore come un coro circuio Per ale ragione: i ( / ( / < Per la coninuià delle ariabili di sao si ha: c ( ) c ( ) e i ( ) i ( ) Osseriamo che essendo i c ( si ha banalmene p ( ( i ( c c c b) Per > il circuio è forzao dal generaore a parire dalle condizioni iniziali indiiduae al puno a) isolendo il circuio resisio associao mosrao in figura: i e i si oengono le equazioni di sao: d e i i i icaando i dalla prima e sosiuendola nella seconda si oiene l'equazione differenziale: d c dc de e c 'equazione caraerisica dell'omogenea associaa fornisce: λ α ± j β ( ± j) quindi la soluzione si può esprimere nella forma: ( P e α [ k cos( β k sin( β] ( ) doe P ( è una soluzione paricolare che può essere scela come la soluzione di regime a cui il circuio ende per (regime sazionario): P ( / e cosani k k anno deerminae imponendo le condizioni iniziali su e su d / : d c e ( i a ensione sul condensaore per > è quindi: ( ) k k ; ( ) ( ) e ( ) 8 α k βk k ( Ω μh μf e ( < > i i

6 ( e [cos( sin( ] 8e [cos( 7)] a poenza assorbia per > si può aluare in due modi: possiamo calcolare preliminarmene la correne che circola nel condensaore: d ( ) i ( 4e sin( 7) da cui: 4 p ( ( i ( e [sin(4 ) 7] 4e sin( 7) W llo sesso risulao si periene ricordando l espressione dell energia di un condensaore: p d ( ) d ( [8e cos( 7) ] S Nella seguene ree sono assegnai i alori delle grandezze di sao all isane alcolare la ensione sul condensaore per > isulao: ( e [cos(87 7sin(87 ] per > S 4 Il seguene circuio rappresena un semplice sisema rasmeiorecanalericeiore alcolare la ensione sul riceiore ( U ) in ogni isane e racciarne l andameno e ( S 44 isulao: ( per < ; 74e 74e per < < ; e 44 U ( e S ( 4 e ( ) i( ) Ω μh μf ns S U Ω nh pf per > per > ( e S S Il seguene circuio è in regime sinusoidale o isane in cui il generaore si spegne alcolare la correne i ( in ogni isane e racciarne l andameno Per < il circuio è in regime sinusoidale quindi si può ricorrere al meodo fasoriale ponendo: J j Per il pariore di correne nell'induore si ha: I J 7 j 4exp( j) j pplicando la K si ricaa: I J I 7 j da cui la ensione: Z & I i ( 4cos( ) 74exp( 4 j) ( 74cos( 4) Per la coninuià delle ariabili di sao: c ( ) c ( ) 7 i ( ) i ( ) 7 Per > il circuio è in eoluzione libera pplicando la K all'unica maglia si oiene: i Deriando ale equazione e sosiuendoi la caraerisica di si oiene l'equazione differenziale d i i la cui equazione caraerisica ammee le radici λ 74 e λ 7 a soluzione si può esprimere quindi nella forma: i ( k exp( λ ) k exp( λ doe le cosani k k sono deerminae dalle condizioni iniziali su i e su di / : i ( ) 7 k k ( ) i ( ) 8 8 λ k λ k k 48 k Per > la soluzione è quindi daa da: i j ( ) ( 48exp( 74 exp( 7 ( i cos( j( Ω mh mf 4 [] < > a figura a lao ripora l andameno della soluzione in ogni isane 4 [s]

7 S a ree in figura è in regime sazionario o isane in cui si chiude l'inerruore alcolare la correne i ( per > ( i Il circuio da analizzare per < è disegnao a lao ssendo in regime sazionario il condensaore si compora come un circuio apero e l'induore come un coro circuio: i ( / ( / ( < ) c c Per la coninuià delle ariabili di sao si ha: ( ) ( ) e i ( ) i ( ) Il circuio da analizzare per > è disegnao a lao nalizzando il circuio resisio associao si ricaa il sisema di equazioni: i i da cui è semplice oenere le equazioni di sao della ree: d i / Ω mh mf ( i ( icaando dalla seconda e sosiuendola nella prima si oiene l'equazione differenziale: i ( ( ( i S 7 a ree in figura è in regime sazionario per < Deerminare: a) le grandezze di sao all isane b) la correne nel condensaore e la ensione nell induore all isane c) la ensione sul condensaore per > d) la ensione sull induore per > i ( i ( j ( ( ( isulao: a) ( ) i ( ) b) i ( ) ( ) c) ( ) 8 e cos( ) cos( ) per > d) ( 44cos( 4) e [sin( ) sin( 48)] per > < j( sin( ω > ω rad/s Ω μh μf d i i e radici dell'equazione caraerisica dell'omogenea associaa sono: λ λ quindi la soluzione si può esprimere nella forma: i ( k e ke i P doe i P ( è una soluzione paricolare che può essere scela come la soluzione di regime a cui il circuio ende per (regime sazionario): i P ( / ( ) e cosani k k anno deerminae imponendo le condizioni iniziali su i e su di / : i ( ) k k ; ( ) k k da cui: k k 4 e quindi la soluzione per > è i ( e 4e 4