APPUNTI D ELETTRONICA. Integratori e Derivatori attivi: F.d.T., diagrammi di Bode, risposte nel dominio del tempo

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1 Appuni di ELETTRONICA Classi QUINTE Inegraori e Deriaori aii: F.d.T., diagrammi di Bode, rispose nel empo A.S gioedì 2 dicembre 999 Pagina n. 29 ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE STATALE «G. Marconi» PONTEDERA (PI) / Fax: marconi@rcne.ne ANNO SCOLASTICO 999/2 APPUNTI D ELETTRONICA (Prof. Pierluigi D Amico) Inegraori e Deriaori aii: F.d.T., diagrammi di Bode, rispose nel dominio del empo Pag

2 Appuni di ELETTRONICA Classi QUINTE Inegraori e Deriaori aii: F.d.T., diagrammi di Bode, rispose nel empo A.S gioedì 2 dicembre 999 Pagina n F.d.T. con un POLO NELL'ORIGINE: Inegraore inerene ideale. 8. Analisi nel dominio delle Trasformae di Laplace. + Vin(s) I(s) R I(s) /sc Il circuio in esame (Figura n. 3) è cosiuio da un Amplificaore Operazione nella configurazione inerene. La Funzione di Trasferimeno (F.d.T.) del circuio è: sc R s Vou Z2 F(s) eq. 8.. V Z in - V ou(s) Tale funzione presena un POLO NELL'ORIGINE, giacché il Figura n. 3 alore s annulla il denominaore della F.d.T. 8.2 Ricerca della F.d.T. direamene dalla ree. Il circuio presena un polo perché uno è l'elemeno reaio. Per s la ensione d'uscia, e quindi anche la F.d.T., ende a (il Condensaore ende a comporarsi come un corocircuio e la ensione d'uscia ende quindi alla massa iruale). Di conseguenza il numero dei poli è superiore al numero degli zeri. Quindi non ci sono zeri. Il alore del polo è dao dal alore finio di s che manda ad infinio la ensione d'uscia e quindi anche la F.d.T.. La coninua, cioè s, manda ad infinio la reaanza del Condensaore di reazione, rasformando il circuio nella configurazione "ad anello apero". Quindi per s anche la ensione d'uscia ende ad infinio. Il polo della F.d.T. è nell origine. Si giunge allo sesso risulao calcolando la Resisenza che si ede ai capi di C, uilizzando lo schema riporao in Figura n. 32. La Resisenza R ha l'esremo A a massa reale e l'esremo B a massa iruale; la d.d.p. ai suoi capi è quindi nulla e nulla dee essere anche la correne che la araersa. Di conseguenza la correne I è anch'essa I nulla giacché non può circolare su R né enrare nell'amplificaore V Operazionale daa la Resisenza d'ingresso idealmene infinia. Se la correne I è nulla la Resisenza che si ede è infinia; quindi la R cosane empo associaa a C è anch'essa infinia e il suo inerso, che A B equiale alla pulsazione del polo, ale. A queso puno sappiamo dall'analisi direa della ree che la F.d.T. è del ipo: K F (s) eq s - rimane da calcolare il K, che in queso caso non può essere calcolao né per s, né per s, poiché in enrambi i casi il alore della F.d.T. è deerminao Figura n. 32 direamene dalla ariabile s. In queso caso per roare il K è necessario imporre un paricolare alore a s, per esempio -/, ed eguagliare il alore della F.d.T. che si ricaa dalla (8.2.) con il alore che si ricaa direamene dalla ree. Per s-/ la (8.2.) ci dice che: K F( ) K eq dalla ree, per s-/, l'impedenza del Condensaore diiene uguale a -R e, di conseguenza, l'amplificazione che coincide con la F.d.T. assume il alore. Imponendo che il alore della F.d.T. roao nella (8.2.2) sia uguale a quello roao dalla ree, si ha: K K Sosiuendo ale alore della cosane K nella (8.2.) si ricaa: F(s) K eq s s che coincide con l'espressione della F.d.T. roaa per ia analiica nel paragrafo Risposa del circuio al segnale sinusoidale - DIAGRAMMI DI BODE. Sosiuendo nella F.d.T. alla ariabile s il ermine jω roiamo la risposa del circuio al segnale sinusoidale. Abbiamo: Il modulo di ale funzione complessa ale: + Vou(s) F(jω ) jω Pag

3 Appuni di ELETTRONICA Classi QUINTE Inegraori e Deriaori aii: F.d.T., diagrammi di Bode, rispose nel empo A.S gioedì 2 dicembre 999 Pagina n. 3 In scala logarimica abbiamo: F( jω ) eq ω Log F(jω ) Log Log Log( ω) Logω + Log ω Ques'ulima funzione nel piano LogF( jω) Logω è l'equazione di una rea di coefficiene angolare -, quindi parallela alla biserice del secondo e quaro quadrae. Tale rea inconra l'asse delle ordinae (che ha equazione Log ω ) per F (jω). Inconra inece l'asse delle ascisse (che ha equazione Log F(jω ) ) per ω. Troiamo ora l'andameno della Fase in funzione della frequenza: quindi: F(jω ) jω j ω b π φ arcg arcg arcg (8.3.2) a ω 2 LO SFASAMENTO RISULTA ESSERE π/2, CIOÈ 9, TEORICAMENTE PER TUTTE LE FREQUENZE DALLA CONTINUA A FREQUENZA INFINITA. Gain (db Diagrammi di BODE di un Inegraore inerene ideale Occorre soolineare che il nosro è un circuio inerene e quindi, se si uole ricaare il conribuo in Fase del solo polo nell'origine, occorre aggiungere (o ogliere) allo sfasameno roao i 8 legai al segno meno. Quindi: IL CONTRIBUTO IN FASE DI UN POLO NELL'ORIGINE È DI 27, (CHE EQUIVALE A -9 ) SU TUTTO IL CAMPO DELLE FREQUENZE. La simulazione a Calcolaore del circuio in esame, con RKΩ e CnF, fornisce i Diagrammi di Bode in Figura n. 33; essi risulano in accordo con quano roao per ia eorica. 8.4 Risposa del circuio nel dominio del empo ad un segnale qualsiasi. Ricaiamo ora il legame nel DOMINIO DEL Figura n. 33 TEMPO ra la ensione d'uscia e la ensione d'ingresso. Dalla (8..) ed applicando uno dei eoremi fondamenali delle Trasformae di Laplace, quello dell'inegrale, si ha: V FASE RKΩ, CnF MODULO M M M K K K MEG Frequency in Hz - Vin ( ) ( ) [ ( )] s Vin s l Vou s l - ou( ) in( ) d K eq s s ou + Alla sessa relazione nel empo arriiamo analizzando il circuio in Figura n.34. Essendo idealmene infinia la Resisenza d'ingresso dell'amplificaore Operazionale, la correne che circola in R è uguale a quella che circola in C. Dall'equazione della maglia d'ingresso, chiusa sulla massa iruale, ricaiamo: Phase (Deg) ( ) Ri ( ) i ( ) in C C in R ( ) Pag

4 Appuni di ELETTRONICA Classi QUINTE Inegraori e Deriaori aii: F.d.T., diagrammi di Bode, rispose nel empo A.S gioedì 2 dicembre 999 Pagina n. 32 Dalla maglia d'uscia, anch'essa chiusa sulla massa iruale, ricaiamo: ma sappiamo che: e quindi: Quindi: Doe la cosane K rappresena la ensione d'uscia (e quindi C ) all'isane iniziale. Possiamo quindi affermare che: C ou ( ) ( ) ( ) d C ic ( ) C eq d C ou eq C ( ) i ( ) d + K ( ) in ( ) d + K in ( ) d + R ou ( ) K eq C La ensione d'uscia è direamene proporzionale all'inegrale della ensione d'ingresso. Il circuio si compora come un INTEGRATORE INVERTENTE, dalla coninua fino, eoricamene, a frequenza infinia. La caraerisica di inegrare anche la coninua, che a prima isa porebbe sembrare solo un anaggio, in realà si riela nella maggior pare dei casi un inconeniene di poraa ale da rendere in praica non uilizzabile il circuio in esame. Infai, sappiamo che l'inegrale di una cosane è una rampa, in() i c() RKΩ Figura n. 34 c() + - CnF C cioè una funzione che, in alore assoluo, cresce linearmene ed indefiniamene con il empo. Poiché un qualsiasi segnale reale, anche se eoricamene a alor medio nullo, ha sempre un ancorché piccolo alor medio, aremo che, ponendo ale segnale in ingresso, il circuio esegue l'inegrale non solo della componene a alor medio nullo ma anche del piccolo alor medio presene. In uscia aremo dunque una rampa che farà saurare l'amplificaore Operazionale. Per meglio comprendere quano affermao si esamini la Figura n. 35 che ripora la simulazione oenua ponendo all'ingresso dell'inegraore, con i alori di R e C riporai nello schema di Figura n. 34, un segnale impulsio /5V, di frequenza KHz e Duy Cicle %, cioè di alor medio.5v. La simulazione mosra come, in uscia, si abbia una gradinaa negaia che si arresa quando la ensione raggiunge il alore di saurazione dell Amplificaore Operazionale (nel caso della simulazione -5V). Tale risulao è in accordo con la eoria. Infai, quando arria il primo impulso si ha: 5 ( ) 5d + K K ou + Poiché il Condensaore è inizialmene scarico, anche la ensione d'uscia del circuio è inizialmene nulla e di conseguenza la cosane K ale in queso caso. L'equazione della ensione d'uscia non è alro che l'equazione di una rea passane per l'origine di coefficiene angolare -5/(). Al ermine del primo impulso la ensione d'uscia ha raggiuno il alore: ou T µ sec 5T 5V Terminao il primo impulso, la ensione d'ingresso rimane a zero per la resane pare del periodo. Di conseguenza abbiamo che la ensione d'uscia è: ( ) d + K K ou Cioè la ensione d'uscia rimane cosane al alore che aea raggiuno al ermine del primo impulso. + ou() Risposa dell Inegraore ideale inerene ad un segnale impulsio di alor medio,5v in() (Vol) RKΩ, CnF in() ou() in msec. Figura n ou() (Vol) Pag

5 Appuni di ELETTRONICA Classi QUINTE Inegraori e Deriaori aii: F.d.T., diagrammi di Bode, rispose nel empo A.S gioedì 2 dicembre 999 Pagina n. 33 All'arrio del secondo impulso si ripee quano è aenuo sul primo, con l'unica differenza che ora la ensione iniziale dell'uscia non è più nulla ma ale -5V. Risposa dell Inegraore inerene ideale alla componene coninua del segnale impulsio Durane il secondo impulso la ensione d'uscia si pora da -5V a -V. in() (Vol) ou() (Vol) RKΩ, CnF Quano deo si ripee sul erzo impulso;. 2. l'amplificaore Operazionale raggiunge la ensione di saurazione (-5V) Gli impulsi successii non hanno effeo sulla ensione d'uscia che rimane al alore di -5V. Allo sesso risulao arriiamo araerso il seguene procedimeno: in() in msec Figura n. 36 ou(). scomponendo il segnale d'ingresso, a alor medio non nullo, nel suo alor medio e nella componene a alor medio nullo; 2. applicando separaamene al circuio le due componeni; 3. sorapponendo i due effei. Il alor medio del segnale in esame ale.5v. Applicando in ingresso ale alore cosane l'equazione della ensione d'uscia è:.5 '( ).5d + K K ou + Anche in queso caso il Condensaore è inizialmene scarico e quindi anche la ensione d'uscia è inizialmene nulla. La cosane K ale e l'equazione della ensione d'uscia è l'equazione di una rea passane per l'origine di coefficiene angolare -.5/(). Il empo impiegao dall'uscia per raggiungere la ensione di saurazione è pari a 3msec. Quindi ponendo in ingresso il alor medio di.5v abbiamo che ra e 3msec l'equazione della ensione d'uscia è: ' ou.5 ( ) menre per 3msec l'equazione della ensione d'uscia è: ' ou ( ) 5V Figura n. 37 La Figura n. 36 ripora la simulazione dell'effeo della componene coninua esaminao. Se poniamo ora in ingresso la componene del segnale a alor medio nullo abbiamo che, quando nel primo "semiperiodo" la ensione d'ingresso ale 4.5V, la ensione d'uscia ha equazione: '' ou 4.5 ( ) Il alore di 4.5V permane in ingresso per un empo pari a µsec. In ques inerallo di empo la ensione d'uscia raggiunge il alore di -4.5V. Nel secondo "semiperiodo" il segnale d'ingresso ale -.5V e l'equazione della ensione d'uscia è: '' ou.5 ( ) In queso caso la ensione d'uscia pare dal alore di -4.5V raggiuno nel primo "semiperiodo"; è queso il alore che assume la cosane K. Il alore di -.5V permane in ingresso per un empo pari a 9µsec. In ques inerallo di empo la ensione d'uscia raggiunge il alore di V, cioè orna al alore che aea all'inizio del periodo. Nei periodi successii non può che ripeersi quano aenuo nel primo. La Figura n. 37 ripora la simulazione del caso ora esaminao. Sommando maemaicamene le equazioni o graficamene le cure si oiene la erifica della alidià del meodo della scomposizione e della sorapposizione degli effei, almeno fino a quando l'amplificaore Operazionale ha un comporameno lineare, cioè fino a quando non saura Risposa dell Inegraore inerene ideale alla componene a alor medio nullo del segnale impulsio in() (Vol) RKΩ, CnF in() ou() ou() (Vol) in msec Pag

6 Appuni di ELETTRONICA Classi QUINTE Inegraori e Deriaori aii: F.d.T., diagrammi di Bode, rispose nel empo A.S gioedì 2 dicembre 999 Pagina n Conribuo di un polo nell origine. Quano ricaao per il paricolare circuio in esame (l Inegraore inerene ideale) ha una alenza generale nel senso che qualsiasi circuio, anche che abbia più poli e più zeri (quesi ulimi ui non nulli), che abbia comunque un solo polo nell origine si compora, almeno fino ad una decade prima del primo polo non nullo o del primo zero, come l Inegraore inerene ideale, a pare il segno meno (-). Quindi un circuio che abbia una F.d.T. con un POLO NELL ORIGINE del ipo: F eq sτ G con G(s) che abbia un numero qualsiasi di poli e zeri non nulli, nel campo di frequenze dee, cioè FINO AD UNA DECADE PRIMA DELLA FREQUENZA DEL PRIMO POLO O DEL PRIMO ZERO DELLA G(S): HA UN DIAGRAMMA DI BODE DEL MODULO DEL GUADAGNO CHE SCENDE, A PARTIRE DALLA CONTINUA, CON UNA PENDENZA DI -2DB PER DECADE (CIA -6DB PER OTTAVA); HA, A PARTIRE DALLA CONTINUA, UN DIAGRAMMA DI BODE DELLA FASE COSTANTE ED UGUALE A -9 ; INTEGRA QUALSIASI SEGNALE POSTO IN INGRESSO CHE ABBIA UNA FREQUENZA COMPRESA NEL DETTO CAMPO DI FREQUENZE; INTEGRANDO, SE PRESENTE (COME AVVIENE DI FATTO IN QUALSIASI SEGNALE REALE) ANCHE LA COMPONENTE CONTINUA DEL SEGNALE POSTO IN INGRESSO, IL CIUITO, DOPO UN TEMPO PIÙ O MENO LUNGO, SATURA. Pag