SISTEMI DINAMICI DEL PRIMO ORDINE

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1 SISTEMI DINAMICI DEL PRIMO ORDINE I sisemi dinamici del primo ordine sono sisemi dinamici SISO rappresenai da equazioni differenziali lineari e a coefficieni cosani del primo ordine (n=): dy() dx() a + ay() = b + bx() d d dove si è indicao con x() il segnale ingresso e con y() l uscia del sisema. Considerando un ingresso causale e rasformando secondo Laplace l equazione differenziale che modella il sisema con condizioni iniziali nulle, si oiene la relazione ra le rasformae di Laplace dell uscia forzaa e dell ingresso: ( + ) = ( + ) as a Y(s) bs b X(s) si oiene la funzione di rasferimeno del sisema Y(s) bs + b G(s) = = X(s) as + a che ha una evidene corrispondenza con il modello nel empo (ossia l equazione differenziale) del sisema e poeva da esso essere deerminaa per ispezione. ESEMPIO Il sisema di riferimeno del primo ordine è la ree inegrarice o circuio RC serie. R x()=vi() + _ i() C y()=vo() Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene

2 Si raa di una ree elerica cosiuia dalla serie di una resisenza R e di un condensaore di capacià C, alimenaa da un generaore di ensione vi(). L uscia del quadripolo è la ensione ai capi del condensaore vo(): l obieivo è dunque sudiare l andameno della ensione ai capi della capacià in risposa all applicazione di un segnale di ingresso. Deerminiamo la funzione di rasferimeno del sisema. Applichiamo la legge di Kirchoff delle ensioni e le proprieà caraerisiche della resisenza e del condensaore. Si ha: o anche, se x è l ingresso vi e y l uscia vo: v i() = Ri() + v o() dv o() v i() = R C + v o() d dy() RC + y() = x(). d Trasformando secondo Laplace l equazione differenziale con condizioni iniziali nulle (vo()=, il condensaore è supposo inizialmene scarico) si ha: o anche V i(s) = (RCs + ) V o(s) (RCs + )Y(s) = X(s) Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 2

3 Y(s) V o(s) G(s) = = = = =. X(s) V i(s) + RCs +s s + Un meodo alernaivo per deerminare la funzione di rasferimeno del sisema consise nell uilizzare la regola del pariore nel dominio della frequenza complessa s, facendo uso delle impedenze: Y(s) sc G(s) = = = X(s) R + + RCs sc che coincide con il risulao precedenemene deerminao. La funzione di rasferimeno del sisema ha m= zeri e n= polo, il sisema è del primo ordine (infai ale è l ordine dell equazione differenziale che lo descrive). La funzione di rasferimeno è espressa nella forma in cosani di empo, con un polo reale negaivo p = che presena una cosane di empo posiiva misuraa in secondi pari a Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 3 RC = RC = p Osserviamo che quesa ree, anche se è dea inegrarice, non è un inegraore vero e proprio, infai l uscia vo() non è l inegrale dell ingresso vi() ma è pari all inegrale della correne i() che scorre nella serie. Infai, per la legge che descrive il condensaore si ha: v o() = i( ) d. C

4 La funzione di rasferimeno della ree elerica può rappresenare anche un sisema differene dal sisema in quesione, ma sempre con un modello del ipo: dy () + y() = x() d cui corrisponde un polo reale che può essere negaivo o evenualmene posiivo, a seconda che la cosane di empo relaiva sia posiiva o meno. Indipendenemene dalla naura fisica del sisema modellao, se la sua funzione di rasferimeno è la sessa della ree elerica inegrarice esso presena evidenemene lo sesso comporameno dinamico del circuio elerico considerao. Prendiamo ad esempio il sisema meccanico raslaorio in figura, in cui una massa M si muove sooposa ad una forza orizzonale f() con ario B su un piano. Evidenemene, dea v() la velocià orizzonale della massa, si ha: dv() M + Bv() = f() d M dv() f() + v() = B d B M v() f() B e ponendo =M/B, x()=f()/b, y()=v(), si ha ancora il sisema del primo ordine oenuo analizzando il circuio RC serie con cosane di empo posiiva: dy () + y() = x(). d Calcoliamo la risposa all impulso del sisema di riferimeno del primo ordine. Si ha Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 4

5 G (s) = + s = s + quindi la risposa all impulso vale g() = e () ossia è un esponenziale che converge a zero per >, che è il caso della ree elerica e del sisema meccanico. Se invece la funzione di rasferimeno descrive un sisema del primo ordine con una cosane di empo < la risposa all impulso diverge. Le rispeive rispose al gradino oenue nei due casi = e =- sono confronae nelle figure alla pagina seguene. Risposa all impulso (=) Risposa all'impulso (au=) Risposa all impulso (=-) Risposa all'impulso (au=-) Ampiezza.6.4 Ampiezza Tempo (sec) Tempo (sec) Calcoliamo ora la risposa al gradino del sisema. k k Y(s) = G(s) = = = + 2 s s( + s) s s s + s + con Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 5

6 k = = s + s= k2 = k = dove l ulima condizione deriva dal eorema dei residui. Quindi Y (s) = s s + y() = e (). La risposa al gradino diverge se <, ossia se il polo del sisema è posizionao nel semipiano desro del piano complesso (nel caso di un circuio RC serie o di un sisema meccanico massa-smorzaore o massa-ario nauralmene si ha >). Inolre, per > sono rispeae le ipoesi del eorema del valore finale, la validià del quale è facilmene verificabile. Rappreseniamo ora l andameno nel empo della risposa al gradino del sisema per > su una scala dei empi normalizzaa rispeo a. L uscia del sisema converge al valore finale del gradino, ossia raggiunge il regime con un andameno di ipo aperiodico. Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 6

7 = y()=63,2% =2 y()=86,5% =3 y()=95,% =4 y()=98,2% =5 y()=99,3% Risposa al gradino normalizzaa (cosane di empo posiiva). y() /au Evidenemene la risposa del sisema rappresena la carica di un condensaore quando si connee l ingresso del quadripolo ad un generaore di ensione di V. Il condensaore, inizialmene scarico, si carica fino a che, a regime, la ensione ai suoi capi è pari a quella applicaa in ingresso e nella resisenza non scorre più correne. Dalla risposa al gradino si osserva che dopo una cosane di empo il sisema raggiunge il 63.2% del valore finale, menre raggiunge il 95% del valore finale dopo circa 3 cosani di empo. Dalla risposa indiciale o risposa al gradino del sisema si possono misurare diverse caraerisiche del sisema. In paricolare si definisce empo di assesameno il empo che la risposa del sisema impiega per raggiungere il regime (nell ipoesi che ci sia convergenza). Evidenemene il regime viene raggiuno solo per +, quindi per moivi praici il empo di assesameno viene definio come il empo che la risposa indiciale impiega per raggiungere il valore finale a meno di un errore del 5% (2% o B%). Si definisce perciò una banda B di assesameno inorno al valore di regime: il empo di assesameno al 5% (2% o B%) è dunque il empo che la risposa impiega per enrare una vola per ue in una fascia di olleranza inorno al valore di regime, ossia nella banda di assesameno ra.95 e.5 (.98 e.8 o -B e +B ). Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 7

8 = y()=63,2% =2 y()=86,5% =3 y()=95,% =4 y()=98,2% =5 y()=99,3% rea angene in + Risposa al gradino normalizzaa (cosane di empo posiiva). y() B 5% d /au r s5% Se ad esempio s5% è il empo di assesameno al 5%, si ha: e s5% =.95 =.5 e s5% =.5 e s 5% = ln.5 3. Quindi dopo re cosani di empo il sisema ha già raggiuno il 95% del valore finale. Analogamene si ha s 2% = ln.2 4 ossia dopo quaro cosani di empo il sisema raggiunge il 98% del valore finale. Per una generica banda B% si ha infine: Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 8

9 B sb % = ln. Dalle espressioni rovae per il empo di assesameno si deduce che il sisema è ano più leno a raggiungere il regime quano più elevaa è la cosane di empo. Alla sessa conclusione si giunge calcolando la angene alla risposa indiciale in = +. Si ha: + y'() = e y'( ) = che è la pendenza della rea angene in + alla curva. Ne consegue che ale rea vale: y () = dunque la sua inercea con l ingresso x()=() si ha per =. In definiiva, quano più grande è la cosane di empo, ano più sposaa verso desra è ale inercea, ossia ano minore è la pendenza della angene alla curva e ano più leno è il sisema a raggiungere il regime. Calcoliamo ora l errore relaivo alla risposa al gradino, che vale: e() = x() y() = e () ossia è un esponenziale che converge a zero per >, che è il caso della ree elerica e del sisema meccanico. Se invece la funzione di rasferimeno descrive un sisema del primo ordine con una cosane di empo < l errore diverge. Gli andameni dell errore oenui nei due casi = e =- sono confronai nelle figure alla pagina seguene. Nel primo caso si osserva che l errore decresce sino ad annullarsi in circa 3-4 cosani di empo. Nel secondo caso esso evidenemene diverge, poiché la risposa al gradino è illimiaa. Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 9

10 Errore con ingresso a gradino (cosane di empo posiiva) Errore con ingresso a gradino (=) Errore con ingresso a gradino (cosane di empo negaiva) 4 Errore con ingresso a gradino (=-) Ampiezza Ampiezza Tempo (sec) Tempo (sec) Tracciando la mappa poli-zeri del sisema (>) si conclude che la risposa indiciale del sisema è ano più lena quano più vicino è il polo del sisema all asse immaginario. Mappa poli - zeri Asse immaginario Asse reale Si definisce poi il empo di riardo d, pari al empo necessario perché la risposa indiciale raggiunga il 5% del valore finale (si veda la figura a pagina 7), ovvero: Si ha: d = 5%. 5%.5 = e 5% = ln.5.7, Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene

11 d = 5%.7. Infine il empo di salia r indica il empo necessario a che la risposa indiciale passi dal % (5%) al 9% (95%) del valore finale (si veda la figura a pagina 7), ovvero: Si ha: ( ) r = 9% % r = 95% 5%. 9%.9 = e 9% = ln. 2.3 ( 95% = ln.5 3.), %. = e % = ln.9. ( 5% = ln.95.), ( ) r = 9% % 2.2 r = 95% 5% 2.9. Si osserva che, menre il empo di assesameno indica la rapidià del sisema in riferimeno al regime, il empo di riardo e di salia indicano la rapidià del sisema in riferimeno al ransiorio. In definiiva le precedeni formule sul empo di assesameno, il empo di riardo e il empo di salia di un sisema del secondo ordine permeono di arare la cosane di empo o, equivalenemene, l unico polo =-/, in modo da conseguire la specifica desideraa (il desiderao empo di assesameno, di riardo o di salia). Calcoliamo la risposa alla rampa uniaria del sisema. k k2 k Y(s) = G(s) = = = s s (+ s) s s s s+ s + Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene

12 con k = = s + s= k = 2 = 2 s s= k2 = k2 = dove l ulima relazione deriva dall applicazione del eorema dei residui. Quindi Y(s) = 2 s + s s + y() = + e (). con y () =, y( + ) = +. In paricolare si ha un errore e() = r() y() = e () con un valore finale non nullo Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 2

13 e (+ ) =. Nella figura successiva sono rappresenai degli esempi di risposa alla rampa lineare uniaria e di relaivo errore con =. Risposa alla rampa lineare uniaria (=) 5 Risposa alla rampa lineare uniaria Errore con ingresso a rampa lineare uniaria (=) Errore Ingresso Uscia Tempo [s] Tempo [s] ESEMPIO Si deerminino il empo di riardo, il empo di salia e il empo di assesameno al 5% della risposa al gradino uniario associaa al sisema del primo ordine con funzione di rasferimeno: G(s) =. s + Evidenemene il sisema è espresso nella forma elemenare del primo ordine con cosane di empo =, perano la sua risposa indiciale (o risposa al gradino uniario) vale ( ) y() = e (). Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 3

14 Per deerminare il empo di riardo d è sufficiene calcolare l isane di empo per il quale ale risposa raggiunge il 5% del valore finale, ovvero vale.5, perano si deve risolvere l equazione ovvero e =.5 e =.5 d = ln.5.7s. Per deerminare il empo di salia r è sufficiene calcolare gli isani di empo per i quali la risposa indiciale raggiunga il % (5%) e il 9% (95%) del valore finale, perano si devono risolvere le equazioni ovvero e quindi e =.; e =.9 e =.9 ; e =. = ln.9.s; 2 = ln. 2.3s Infine, si ha r = s. s5% 3 = 3 s. Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 4

15 ESEMPIO Si calcoli la risposa del sisema elemenare del primo ordine al segnale in figura. Ingresso del sisema a Tempo [s] Evidenemene si ha quindi x() = r() r( a) a a X(s) = 2 as as e 2 as as e = 2 as as e Y(s) = G(s) X(s) =. ( + s) 2 as Anirasformare quesa funzione con il meodo dei frai semplici non è possibile, poiché essa non è razionale fraa (sarebbe necessario scomporla nella somma algebrica di due funzioni). Per la linearià del sisema è uavia possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effei, per cui si ha: Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 5

16 y() = yr() yr( a) a a dove con yr() si è indicaa la risposa alla rampa lineare del sisema. Ne consegue, uilizzando l espressione della risposa alla rampa calcolaa in precedenza: ( a) a y() e = + () + e ( a). a a a a Consideriamo ancora la ree RC del primo ordine elemenare. Essa può essere modellaa diversamene da quano fao, se si oriena il sisema con una scela differene delle variabili di causa ed effeo. Se ad esempio si considerano quale ingresso x() ancora la ensione vi() e come uscia la correne che scorre nella maglia y()=i() si ha, per la legge di Kirchoff delle ensioni e per le proprieà del condensaore e della resisenza: x () = R y() + o anche, derivando primo e secondo membro: C i( )d RC y'() + y() = C x'(). Trasformando secondo Laplace l equazione differenziale con condizioni iniziali nulle si ha in queso caso: ( RC s + ) Y(s) = C s X(s) G(s) = Y(s) X(s) Cs = + RCs Cs = + s In alernaiva, possiamo deerminare la funzione di rasferimeno del sisema uilizzando le impedenze associae ai componeni elerici preseni nel circuio e scrivendo Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 6

17 l espressione della correne direamene nel dominio della frequenza complessa s: X(s) Y(s) = R + sc Y(s) sc G(s) = = = X(s) R + + RCs sc che coincide con il risulao precedenemene deerminao. La funzione di rasferimeno del sisema è espressa ancora nella forma in cosani di empo, con m= zero nell origine (s=) e n= polo reale negaivo in p = <, che presena una cosane di empo RC posiiva misuraa in secondi pari a = RC = >. p Mappa poli - zeri Asse immaginario Asse reale -.5 Come nel caso in cui si scelga come uscia la ensione ai capi del condensaore, anche scegliendo come uscia la correne nella serie il sisema è del primo ordine (infai ale è ancora l ordine dell equazione differenziale che lo descrive). La mappa poli-zeri del sisema in queso caso è differene, essendoci uno zero nell origine. Si conclude che se uno sesso sisema è orienao in modo differene, esso è modellao da funzioni di rasferimeno diverse. Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 7

18 Un alro sisema del primo ordine comunemene usao nei conrolli auomaici è la ree derivarice, rappresenaa nella figura alla pagina successiva. Come per la ree inegrarice, si raa di una ree elerica cosiuia dalla serie di una resisenza R e di un condensaore di capacià C, alimenaa da un generaore di ensione vi() che è l ingresso x() del sisema. L uscia del quadripolo è in queso caso la ensione ai capi della resisenza y()=vo(): l obieivo è sudiare l andameno di ale ensione in risposa all applicazione di un segnale di ensione in ingresso. C x()=vi() + _ i() R y()=vo() Deerminiamo la funzione di rasferimeno del sisema. Applichiamo la legge di Kirchoff delle ensioni e le proprieà caraerisiche della resisenza e del condensaore. Si ha: x () o anche, derivando primo e secondo membro: = y( ) d + y() C R RC y'() + y() = RC x'(). Trasformando secondo Laplace l equazione differenziale con condizioni iniziali nulle si ha in queso caso: G(s) = Y(s) X(s) RCs = + RCs s = + s Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 8

19 In alernaiva, per deerminare la funzione di rasferimeno del sisema facciamo uso delle impedenze dei componeni elerici e della regola del pariore: Y(s) R RCs G(s) = = = X(s) R + + RCs sc che coincide con il risulao precedenemene deerminao. La funzione di rasferimeno del sisema è espressa ancora nella forma in cosani di empo, con m= zero nell origine e n= polo negaivo con cosane di empo posiiva. La mappa poli-zeri del sisema è ancora quella visa per la ree precedene. Vediamo ora la funzione di rasferimeno della ree riardarice. R x()=vi() + _ i() C y()=vo() R 2 Applichiamo la legge di Kirchoff delle ensioni e le proprieà caraerisiche delle resisenze e del condensaore. Si ha: dove v o() = R2 i() + i( )d C v() i v o() i() = R Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 9

20 e sosiuendo la seconda espressione nella prima si ha: v() i v o() v o() = R 2 + [v i( ) v o( )]d R RC o anche, derivando primo e secondo membro: ossia ( x'() y'() ) + ( x() y() ) RC y'() = R2C. ( R + R2)C y'() + y() = R2C x'() + x(). Trasformando secondo Laplace l equazione differenziale con condizioni iniziali nulle si ha in queso caso: G(s) = Y(s) X(s) R + 2 (R + R2)Cs R2Cs + R + R = = 2 (R + R2)Cs + + (R + R2)Cs + αs = + s dove si è poso R α = 2 <, = (R + R2)C. R + R2 In alernaiva, per deerminare la funzione di rasferimeno della ree riardarice facciamo uso delle impedenze dei componeni elerici e della regola del pariore: R2 + Y(s) G(s) = = sc X(s) R+ R2 + sc che dopo pochi passaggi può essere messa in una forma che coincide con il risulao precedenemene deerminao. Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 2

21 La funzione di rasferimeno del sisema è espressa ancora nella forma in cosani di empo, con m= zero reale negaivo in z = R2C = < α ed n= polo reale negaivo in p = (R + R2)C = < dove p < z essendo <α<. Inolre lo zero ha una cosane di empo e il polo ha una cosane di empo z = z =α> p = => p con p > z essendo <α<. La mappa poli-zeri del sisema è rappresenaa in figura. Mappa poli - zeri.8.6 Asse immaginario Asse reale Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 2

22 ESEMPIO Si deerminino la risposa all impulso e la risposa al gradino uniario della ree riardarice. Si ha α α α α s+ α s+ + Y(s) +αs G(s) = = = = =α+ X(s) +s s+ s+ s+ α g() L { G(s) } () e α = =α δ + () = e (), dove l ulima uguaglianza deriva dalla causalià del sisema e quindi la risposa del sisema ad un generico segnale va consideraa a parire dall isane di empo = +. Deerminiamo ora la risposa al gradino. Si ha con α s + +αs k k Y(s) = = = + 2 +s s s s s+ s + α s + k = = s + s= per la formula sui coefficieni dei frai semplici e α k + k2 = =α Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 22

23 per il eorema dei residui, ovvero Perano k2 =α k =α = ( α ). + αs α Y(s) = = +s s s s + y() = L { Y(s) } = ( α) e (). Vediamo ora la funzione di rasferimeno della ree aniciparice. R C x()=vi() + _ i() R 2 y()=vo() Applichiamo le proprieà caraerisiche delle resisenze e del condensaore e la legge di Kirchoff delle correni. Si ha: dove v o() = R2 i() Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 23

24 ( v ()) v() i v o() d v i() i() = + C R d e sosiuendo la seconda espressione nella prima si ha: o anche: ossia o ( v ()) v i() v o() d v i() v o() = R2 + R2C R d RR 2C y'() + (R + R2) y() = RR 2C x'() + R2 x() (R R ) R C y'() y() = RC x'() + x(). R2 Trasformando secondo Laplace l equazione differenziale con condizioni iniziali nulle si ha in queso caso: o G(s) = Y(s) X(s) = + RCs (R + R2) + RCs R2 R2 + R Cs = (R + R2) R + 2 RCs (R + R2) + s = α + αs dove si è poso R α = 2 <, = RC. R + R2 In alernaiva, per deerminare la funzione di rasferimeno della ree aniciparice facciamo uso delle impedenze dei componeni elerici e della regola del pariore: Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 24

25 Y(s) G(s) = = X(s) R2 + R 2 + sc R che dopo pochi passaggi può essere messa in una forma che coincide con il risulao precedenemene deerminao. La funzione di rasferimeno del sisema è espressa ancora nella forma in cosani di empo, con m= zero reale negaivo in z = RC = < ed n= polo reale negaivo in (R + R ) p = 2 = < RR 2C α dove z < p essendo <α<. Inolre lo zero ha una cosane di empo e il polo ha una cosane di empo z = z => p = =α> p con z > p essendo <α<. La mappa poli-zeri del sisema è rappresenaa in figura. Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 25

26 Mappa poli - zeri.8.6 Asse immaginario Asse reale ESEMPIO Si deerminino la risposa all impulso e la risposa al gradino uniario della ree aniciparice. Si ha s + Y(s) +s α+αs G(s) = =α = = = X(s) +α s +αs s + α s+ + α = α α = + α = s+ s+ α s+ α α α α g() L { G(s) } () e α α = =δ () = e α (), α α dove l ulima uguaglianza deriva dalla causalià del sisema e quindi la risposa del sisema ad un generico segnale va consideraa a parire dall isane di empo = +. Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 26

27 Deerminiamo ora la risposa al gradino. Si ha con s + +s k k Y(s) =α = = + 2 +αs s s s s+ s + α α s + k = =α s + α s= per la formula sui coefficieni dei frai semplici e per il eorema dei residui, ovvero Perano k + k2 = k2 = k = α. + s α Y(s) = Y(s) =α = + +αs s s s + α y() = L { Y(s) } = + ( α) e α (). Copyrigh 2 Mariagrazia Dooli. L auore garanisce il permesso per la riproduzione e la disribuzione del presene 27