Trasformata di Laplace e Trasformata Z

Transcript

1 Teoria dei sisemi - Appendice Trasformaa di Laplace e Trasformaa Z Trasformaa di Laplace... Inroduione ai segnali (causali, regolari, di ordine esponeniale)... Il segnale di Heavyside...3 Definiione di rasformaa di Laplace...3 Proprieà generali della rasformaa di Laplace...4 Proprieà di linearià...4 Proprieà di derivaione nel dominio rasformao...4 Proprieà di smorameno nel empo...4 Proprieà di sposameno (shif) nel empo...5 Proprieà di derivaione (del ordine) nel empo...5 Caso paricolare: presena di una disconinuià...5 Proprieà di inegraione nel empo...6 Legame ra le rasformae di Fourier e Laplace...6 Proprieà di derivaione (di ordine n ) nel empo...7 Trasformae di Laplace di alcuni segnali noevoli...7 Teorema del valore iniiale...8 Teorema del valore finale...8 Troncameno di un segnale...8 Trasformaa di Laplace di segnali periodici...9 Osservaione... Il segnale rampa... Anirasformaione di Laplace... Applicaione alle equaioni differeniali... 3 Trasformaa Z... 4 Definiione di sequena... 4 Definiione di rasformaa Z... 5 Trasformaa dell impulso di Kroneker... 5 Trasformaa del gradino uniario... 5 Trasformaa della funione poena... 6 Anirasformaa Z... 6 Esempio... 6 Esempio... 8 Esempio

2 Appuni di Teoria dei Sisemi - Appendice Trasformaa di Laplace INTRODUZIONE AI SEGNALI (CAUSALI, REGOLARI, DI ORDINE ESPONENZIALE) Consideriamo d ora in poi, salvo diverso avviso, solo funioni del ipo f : R C f() ossia funioni di variabile reale a valori complessi. A quese funioni si dà il nome di segnali. In paricolare, si dice che un segnale f è causale se è nullo per qualsiasi <, ossia quindi se < : f() E molo facile verificare che somme e prodoi di segnali causali sono ancora dei segnali causali. Tra i segnali causali, si disinguono caegorie molo imporani (che sono quelle delle quali ci occuperemo per la maggior pare delle vole): una segnale causale si dice regolare se, preso un qualsiasi inervallo limiao della rea reale, in esso il segnale presena un numero finio di disconinuià di specie, ossia un numero finio di puni in ciascuno dei quali esisono finii il limie sinisro e il limie desro di f ma sono diversi; un segnale causale si dice invece di ordine esponeniale se esisono un valore M> e un valore reale α ali che, per sufficienemene α grande, sia verificaa la relaione f ( ) Me N.B. Ques ulima condiione equivale a dire che esise γ reale ale che f lim ( ) e γ Queso implica che ue le funioni LIMITATE soddisfano la condiione di prima per α. Per i segnali causali di ordine esponeniale, si può definire un ordine specifico: si raa dell esremo inferiore dei valori reali α che soddisfano la condiione prima scria per queso ipo di segnali. Si è solii indicare ale ordine con il simbolo α f. N.B. Quando consideriamo una qualsiasi funione reale f(x) e diciamo che si raa di un segnale f(), in definiiva inendiamo dire che consideriamo quella funione che è nulla prima di e che coincide con f(x) per x>. Queso compora una conseguena imporane: consideriamo ad esempio la funione cos( ), che in vale ; quesa funione, consideraa nel campo reale, ossia per che va da - a, è coninua in ; al conrario, il corrispondene segnale, in - vale menre in + vale, per cui presena in una disconinuià. Diverso è il caso, per esempio, del segnale sin( ), il quale, invece, vale comunque in per cui è coninuo in ale puno. Auore: Sandro Perielli

3 Trasformaa di Laplace e Trasformaa Z IL SEGNALE DI HEAVYSIDE Un segnale di paricolare uilià nella praica è il cosiddeo segnale di Heavyside, che si indica generalmene con H() ed è definio nel modo seguene: H( ) R S T In primo luogo, si raa di un segnale a pare immaginaria nulla; in secondo luogo, è evidenemene un segnale causale, in quano assume valore nullo prima di ; è anche un segnale regolare, in quano presena un numero finio () di disconinuià di prima specie; infine è di ordine esponeniale in quano è possibile rovare M> ed α reale ali che H( ) Me α : per esempio, basa < prendere M e α, il che ci dice, ra l alro, che è l ordine del segnale. DEFINIZIONE DI TRASFORMATA DI LAPLACE Supponiamo di avere un segnale f() e supponiamo in paricolare che sia regolare di ordine esponeniale. Per queso ipo di segnale ha senso parlare dell operaore rasformaa di Laplace, che è definio nel modo seguene: [ ] s L f ( ) ( s) f ( ) e d Si raa dunque di un operaore che fa corrispondere al segnale f (ossia una funione complessa di variabile REALE), una funione complessa nella variabile complessa s. Non è deo che quell inegrale converga sempre, ossia non è deo che, dao il segnale f(), se ne possa in ogni caso rovare la rasformaa di Laplace. Sussise infai il seguene crierio di esisena: Teorema - Indicao con α f l ordine del segnale f, la rasformaa di Laplace di f esise solo se Re(s) > α f. Queso eorema dice in praica che è possibile calcolare quell inegrale, che prende appuno il nome di inegrale di Laplace del segnale considerao, solo assumendo per ipoesi che il numero complesso s abbia pare reale maggiore dell ordine del segnale f in quesione. 3 Auore: Sandro Perielli

4 Appuni di Teoria dei Sisemi - Appendice Proprieà generali della rasformaa di Laplace PROPRIETÀ DI LINEARITÀ L operaore rasformaa di Laplace di un segnale (regolare di ordine esponeniale) è un operaore lineare, ossia verifica sempre le segueni relaioni: L f( ) + g( ) ( s) L f( ) ( s) + L g( ) ( s) L af( ) ( s) al f( ) ( s) dove f e g sono segnali regolari di ordine esponeniale e a una qualsiasi cosane reale o complessa. PROPRIETÀ DI DERIVAZIONE NEL DOMINIO TRASFORMATO Dea F(s) la rasformaa di Laplace di un segnale f(), possiamo applicare ad essa il eorema di Cauchy-Riemann: in base a queso eorema, poso sµ+iσ, si ha che d ds L f s d d F s d ( µ + iσ) s d ( ) ( ) ( ) f( ) e d f( ) e d L f( ) ( s) L f( ) ( s) d ds L f ( ) ( s ) µ µ Quesa proprieà dice dunque queso: se noi abbiamo il segnale f() e vogliamo la rasformaa di Laplace del segnale f(), è sufficiene che calcoliamo la derivaa di L[f()](s) e che la cambiamo di segno. PROPRIETÀ DI SMORZAMENTO NEL TEMPO Sia dao il segnale f(); si definisce segnale smorao di f nel puno a il segnale g()f()e a. Nell ipoesi che f sia di ordine esponeniale, anche g() lo è, per cui è possibile calcolare anche per ques ulimo la rasformaa di Laplace: si oiene allora che a ( a s) ( s a) L f( ) e ( s) f( ) e d f( ) e d L f( ) ( s a) Quindi, la rasformaa di Laplace del segnale smorao di f è pari alla rasformaa di f calcolaa però nel puno s-a aniché nel puno s. E evidene che ale rasformaa esise solo per Re(s-a)>α f. N.B. Il ermine smorameno è appropriao per a numero reale negaivo, menre, nella proprieà enunciaa, a può essere una qualsiasi cosane complessa. 4 Auore: Sandro Perielli

5 Trasformaa di Laplace e Trasformaa Z PROPRIETÀ DI SPOSTAMENTO (SHIFT) NEL TEMPO Dao sempre il segnale f(), si definisce segnale shifao di f nel puno a il segnale g()h(-a)f(-a). Si raa in praica del segnale f() raslao verso desra di un rao pari ad a. Nel caso che f() sia di ordine esponeniale, lo è anche g() e possiamo quindi calcolarne la rasformaa di Laplace: s s ( T+ a) s as L H( a) f( a) ( s) H( a) f( a) e d f( a) e d f( T) e dt e L f( ) ( s) a dove abbiamo evidenemene poso T-a. Quesa proprieà mosra dunque come la rasformaa di Laplace del segnale shifao di f sia il prodoo del ermine e -as (che dipende proprio dallo shif considerao) per la rasformaa della f. PROPRIETÀ DI DERIVAZIONE (DEL ORDINE) NEL TEMPO Sia dao il segnale f(). Diremo che esso è DERIVABILE con coninuià a rai se la sua derivaa f () esise per > ranne un numero finio o numerabile di puni e se è una funione coninua a rai. Supponiamo che il segnale f goda di quese due proprieà e sia inolre regolare di ordine esponeniale: soo ques ulima ipoesi si dimosra che f () è a sua vola un segnale di ordine esponeniale e prende il nome di segnale derivao della f. Vediamo allora quano vale la sua rasformaa di Laplace: si ha che L f'( ) ( s) f '( ) e s d f e s ( ) f( )( s) e s d f( ) + sl f( ) ( s) Quindi, la rasformaa di Laplace del segnale derivao è pari alla somma di ermini: il primo è il prodoo di s per la rasformaa di f; il secondo è il valore assuno da f nel puno, cambiao però di segno. Facciamo osservare una cosa molo imporane: nel caso la funione f non sia coninua in uo [,[, noi poremmo comunque calcolare la sua derivaa ed affermare che essa vale nei puni in cui è ammessa la derivaione; uavia, in queso caso non poremo parlare di segnale derivao e non poremo applicare il risulao appena rovao. Caso paricolare: presena di una disconinuià Nelle sesse ipoesi della proprieà precedene, supponiamo che il puno α sia un puno di disconinuià per la funione f(). Dea allora f () la derivaa di f() (derivaa che è valida solo nelle regioni in cui è possibile calcolarla), si dimosra che L f'( ) ( s) sl f ( ) ( s) f( α + ) f( α ) E evidene che i ermini ra parenesi onda al secondo membro sono quelli che engono cono della disconinuià della f nel puno α c h 5 Auore: Sandro Perielli

6 Appuni di Teoria dei Sisemi - Appendice PROPRIETÀ DI INTEGRAZIONE NEL TEMPO Consideriamo un generico segnale f(). Consideriamo inolre la funione f( x) dx che cioè associa al nosro segnale il suo inegrale ra e. Quesa funione cosiuisce a sua vola un segnale, che per di più è di ordine esponeniale. Possiamo allora calcolarne la rasformaa di Laplace. Per farlo consideriamo una funione g() che goda di due proprieà: essa deve essere coninua e ale che g () f() Calcolando la sua rasformaa di Laplace, abbiamo che L g'( ) ( s) sl g( ) ( s) g( + ) sl g( ) ( s) e quindi ricaviamo che L L g( ) ( s) s L g '( ) ( s ) s L f ( x ) dx ( s ) s L f ( ) ( s ) N M O P In alre parole, abbiamo concluso che la rasformaa di Laplace dell inegrale di un segnale è pari al prodoo di /s per la rasformaa del segnale sesso. Quindi, all operaione di inegraione la rasformaa di Laplace fa corrispondere la moliplicaione per /s. Q LEGAME TRA LE TRASFORMATE DI FOURIER E LAPLACE Esise un ineressane legame ra la rasformaa di Laplace di un cero segnale f() e l inegrale di Fourier di una funione in qualche modo legaa a quello sesso segnale. Infai, si ha quano segue: s s s L f( ) ( s) f ( ) e d H( ) f( ) e d H( ) f( ) e d Poso adesso sµ+iω (nell ipoesi che µ>α f ), abbiamo che ( µ + iω ) µ iω L f( ) ( s) H( ) f( ) e d H( ) f( ) e e d Quindi, la rasformaa di Laplace del segnale f() è pari all inegrale di Fourier della funione H()f()e -µ. 6 Auore: Sandro Perielli

7 Trasformaa di Laplace e Trasformaa Z PROPRIETÀ DI DERIVAZIONE (DI ORDINE N ) NEL TEMPO Abbiamo in precedena viso a che cosa equivale l operaione di derivaa prima rispeo all operaore rasformaa di Laplace. Adesso vogliamo qui esendere il discorso alla derivaa n. Cominciamo dalla derivaa seconda per poi arrivare al caso generale: si ha che c h c h L f''( ) ( s) sl f'( ) ( s) f'( + ) s sl f( ) f( + ) f'( + ) s L f( ) ( s) f'( + ) + sf( + ) Si deduce allora la seguene regola generale: ( n) n n n ( n ) ( n ) L f ( ) ( s) s L f( ) ( s) s f( + ) s f'( + )... sf ( + ) f ( + ) N.B. Quesa proprieà è di noevole uilià praica quano di sudiano le equaioni differeniali: infai, è evidene che applicando l operaore rasformaa di Laplace ad una equaione differeniale, di qualsiasi grado, nella incognia f(), l equaione viene rasformaa in una equaione algebrica nella incognia F(s); una vola ricavaa F(s), mediane una operaione di anirasformaione di Laplace (che vedremo più avani) sarà possibile rovare f(). TRASFORMATE DI LAPLACE DI ALCUNI SEGNALI NOTEVOLI L H( ) ( s) s n n! L H( ) ( s) n+ s a L H( ) e ( s) s a n a n! L H( ) e ( s) ( s a) L H( ) sin ( s) s + L H( ) sin a ( s) a s + a L H( ) cos ( s) s s + L H( ) cos a ( s) s s + a n L H( ) sin ( s) n+ n+ b g bs e n! s + i Re(s) > Re(s) > Re(s) > Re(a) Re(s) > n i( s i) ( s + i) n+ + n+ i g j 7 Auore: Sandro Perielli

8 Appuni di Teoria dei Sisemi - Appendice TEOREMA DEL VALORE INIZIALE Supponiamo di avere un segnale f regolare di ordine esponeniale. Supponiamo che si rai anche di un segnale coninuo, per cui ha senso parlare del segnale derivao f (). Supponiamo che ale segnale sia anch esso di ordine esponeniale, per cui ne possiamo valuare la rasformaa di Laplace. Il eorema del valore iniiale dice allora quano segue: + lim sl f( ) ( s) f ( ) Re( s) TEOREMA DEL VALORE FINALE Sia dao sempre il segnale f regolare di ordine esponeniale. Supponiamo che f() sia un segnale coninuo con derivaa prima coninua a rai (o generalmene coninua). Supponiamo infine che esisano e siano finii i segueni limii: lim f( ) e lim sf( s) s Il eorema del valore finale afferma che ali limii coincidono: lim f( ) lim sf( s) s N.B. Il ermine valore finale indica il valore di f all. Queso eorema fornisce un crierio per il calcolo di queso valore finale, ma solo soo quelle opporune ipoesi, le quali garaniscono l esisena di queso valore. TRONCAMENTO DI UN SEGNALE Sappiamo che il segnale di Heavyside H() è definio nel modo seguene: H( ) R S T < Prendiamo allora un qualsiasi puno α reale posiivo e diverso da e consideriamo quindi il segnale definio nel modo seguene: g() H() - H(-a) Queso non è alro che il segnale di Heavyside roncao nel puno α, cioè il segnale che coincide con quello di Heavyside fino al puno α e poi risula nullo: g( ) R S T H( ) α > α 8 Auore: Sandro Perielli

9 Trasformaa di Laplace e Trasformaa Z E molo facile rovare la rasformaa di Laplace di queso segnale: si ha infai, in base alle noe proprieà, che αs s e e L H( ) H( ) ( s) α α s s s Queso conceo di segnale roncao ci permee di fare il seguene discorso: supponiamo di avere un generico segnale f() e supponiamo di essere ineressai solo al rao di segnale compreso nell inervallo [α,β], con α e β numeri reali posiivi non nulli. Per rappresenare analiicamene queso rao di segnale noi lo scriviamo come [ α H β ] f ( ) H( ) ( ) Anche qui risula facile il calcolo della rasformaa di Laplace: b L f( ) H( α) H( β) ( s) L H( α) f( ) ( s) L H( β) f( ) ( s) α s β s L H( α) f( α) ( s) L H( β) f( β) ( s) e L f( ) ( s) e L f( ) ( s) c h αs βs e e Lf( ) ( s) g TRASFORMATA DI LAPLACE DI SEGNALI PERIODICI Un segnale f() si dice che è periodico di periodo T se e solano se gode della proprieà per cui f ( + T) f ( ) che poi equivale anche a f ( T) f ( ) T. Quando si vuole calcolare la rasformaa di Laplace di un segnale periodico è ovvio che sorgono dei problemi con gli srumeni fino ad ora esposi, per il semplice fao che non è possibile rovare una comoda rappresenaione analiica del segnale. E perciò uile inrodurre il conceo di segnale roncao di un segnale periodico. Se T è il periodo del nosro segnale f(), noi diremo che il segnale roncao di f in T è quel segnale f T () che è idenico a f() nell inervallo [,T] e che è nullo alrove: possiamo scrivere perciò che Rf f ( T ) ( ) [,T] S alrimeni T Proviamo a calcolare la rasformaa di Laplace di ale segnale: è ovvio che quesa rappresenaione non ci è affao di aiuo; uavia, sfruando quano deo nel paragrafo precedene, possiamo scrivere che f ( ) f ( ) T H ( ) H ( T ) e quindi abbiamo che [ ] Ts L f( ) H( ) H( T) ( s) L H( ) f( ) ( s) L H( T) f( ) ( s) L f( ) ( s) e L f( ) ( s) c b h Ts e L f( ) ( s) g 9 Auore: Sandro Perielli

10 Appuni di Teoria dei Sisemi - Appendice da cui concludiamo che L f( ) ( s) L f ( ) ( s) T e Ts In al modo, la ricerca della rasformaa di Laplace di un segnale periodico si riconduce alla ricerca di quella del suo segnale roncao. Osservaione Soffermiamoci sull ulima relaione oenua: indicae con F(s) e F T (s) le rasformae di Laplace rispeivamene della f e della f T, possiamo scriverla nella forma FT ( s) F( s) e La funione F(s), in quano rasformaa di Laplace, è una funione olomorfa nella regione in cui esise l inegrale di Laplace della f(). Le evenuali singolarià di quesa funione sono le sesse della funione a secondo membro e andiamo perciò a ricercarle. FT ( s) Le singolarià della funione sono da ricercarsi ra caegorie di puni: Ts e le singolarià della funione al numeraore, ossia F T (s); gli eri del denominaore. Per quano riguarda la F T (s), essa è definia e olomorfa nella regione in cui esise l inegrale di Laplace della funione f T (): ale inegrale esise per ogni s complesso ale che Re(s)>α ft. Ci serve dunque l ordine della f T : è evidene che l ordine è pari a -, per cui F T (s) è olomorfa in uo C. Quindi, le evenuali singolarià della F(s) corrispondono alle radici della equaione Quesi eri sono i puni s C ali che Ts e Ts ( ) st Log( ) log + i arg( ) + kπ Ricordando che log e che anche arg(), ques ulima relaione divena st ikπ per cui le singolarià della F(s) sono semplicemene i puni kπ s i k Z T Auore: Sandro Perielli

11 Trasformaa di Laplace e Trasformaa Z Traandosi di eri del primo ordine per il denominaore e di puni regolari per il numeraore, quese singolarià sono poli del ordine per la funione F(s). Si noa anche che si rovano ui sull asse immaginario, ossia mancano della pare reale. La conclusione è dunque che la rasformaa di Laplace di un segnale periodico è una funione olomorfa in uo C privao di un numero infinio di puni che sono poli del ordine e si rovano ui sull asse immaginario. Il risulao inverso non è sempre vero, ma lo è spesso: in alre parole, se noi roviamo una funione olomorfa le cui singolarià si rovano ue sull asse immaginario, è molo probabile che si rai della rasformaa di Laplace di un segnale periodico. IL SEGNALE RAMPA Si definisce rampa il seguene segnale: r( ) H( ) Messo soo quesa forma, queso segnale ha rappresenaione grafica coincidene con quella della biserice del e 3 quadrane, ossia la rea passane per l origine e di coefficiene angolare. L uilià di queso segnale sa nel fao che consene di rappresenare analiicamene, in modo efficace ai fini del calcolo della rasformaa di Laplace, segnali comunque complessi. Ad esempio, supponiamo di voler calcolare la rasformaa di Laplace del seguene segnale: f ( ) R S T [,[ [,[ Dobbiamo rovare una comoda rappresenaione analiica per queso segnale: il rao compreso nell inervallo [, [ coincide proprio con la funione rampa; si raa cioè del segmeno di coefficiene angolare che congiunge i puni (,) e (,); il secondo rao è invece il segmeno che congiunge (,) con (,), per cui è un segmeno che, rispeo al precedene, pare da (,) ed ha coefficiene angolare -; l ulimo rao è una semirea che coincide con l asse delle ascisse. La rappresenaione analiica del segnale sarà allora f ( ) r( ) r( ) + r( ) Di queso segnale è immediao rovare la rasformaa di Laplace: s e e L[ f ( ) ]( s) + s s s Facciamo comunque noare che allo sesso risulao è possibile arrivare sfruando il segnale derivao, che esise in queso caso in quano la funione f è coninua a rai. Tale segnale è precisamene [,[ f '( ) R S T s [,[ Auore: Sandro Perielli

12 Appuni di Teoria dei Sisemi - Appendice e la sua rappresenaione analiica è f '( ) H( ) H( ) + H( ) La sua rasformaa di Laplace è s e e L[ f '( ) ]( s) + s s s s e quindi quella di f() sarà s s L[ f ] s [ ] s L f s disconinuià e e ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + + ( disconinuià) s s s ANTITRASFORMAZIONE DI LAPLACE Una delle proprieà fondamenali della rasformaa di Laplace è quella per cui condiione necessaria affinché una funione F(s) possa essere la rasformaa di Laplace di un segnale f() è che essa sia infiniesima all infinio, ossia che lim F( s). Re( s) Supponiamo allora che la nosra F(s) sia una funione raionale del ipo F( s) P( s) Q( s) dove P e Q sono due polinomi a coefficieni complessi di grado rispeivamene p e q e dove s C. In queso caso, il limie per Re(s) della F(s) esise e si ha quano segue: lim Re( s) P( s) Q( s) R S T a p / b q se p > q se p q se p < q dove è ovvio che a p è il coefficiene di massimo grado di P(s) e b q quello di massimo grado di Q(s). E possibile dimosrare, soo cere ipoesi che adesso elenchiamo, che la condiione necessaria ciaa prima sia anche sufficiene: se la F(s) è del ipo prima viso, ossia daa dal rapporo P(s)/Q(s), se p<q e se i due polinomi hanno eri diversi, allora F(s) sarà ceramene la rasformaa di Laplace di un qualche segnale. E ovvio che la funione F(s), in quano rapporo di polinomi di grado diverso e con eri disini, è olomorfa in uo C privao degli eri di Q(s), che sono dei poli per la funione sessa: siano α,α,...,α k ali poli con moleplicià rispeivamene r,r,...,r k. Possiamo allora sviluppare la funione P(s)/Q(s) mediane la formule dei frai semplici : oeniamo che P( s) Q( s) k k A A A r A A A A r rk r r s α s α s α s α s α s α k s α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rk b g b g b g b g b g b g b kg Auore: Sandro Perielli

13 Trasformaa di Laplace e Trasformaa Z A queso puno, una vola calcolai i vari coefficieni A, per anirasformare la F(s), ci basa anirasformare le fraioni che compaiono a secondo membro: ricordandoci allora che deduciamo facilmene che R S T L n n L e n! ( s) n+ s α ( s) b n! s α f L F s A e A e A r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e A r e!! ( r )! g n+ α α α α +... Applicaione alle equaioni differeniali L applicaione più imporane di queso conceo è quella sulle equaioni differeniali: sappiamo infai che una equaione differeniale, con relaivi valori iniiali (quindi un problema di Cauchy), può essere visa come rappresenaione analiica di un sisema che subisce un ingresso x() (cioè il ermine noo) e reagisce con una uscia (la funione incognia y()). Applicando l operaore rasformaa di Laplace all equaione differeniale si passa ad una nuova equaione dove l unica incognia è la funione Y(s) (rasformaa di y()). Quesa equaione, nel caso più generale possibile, è espressa nella seguene forma: Y( s) H( s) Γ( s) + H( s) X( s) La funione Γ(s) è una funione che dipende esclusivamene dalle condiioni iniiali, cioè dai valori che la funione incognia y(), ed evenualmene le sue derivae (a seconda del grado della equaione), assume nel puno. Nel caso che le condiioni iniiali siano nulle, quesa funione vale ero, per cui la Y(s) è daa solo dal prodoo ra H(s), dea funione di rasferimeno del sisema, e X(s), ossia la rasformaa del segnale x() in ingresso. Per oenere l espressione di y(), basa dunque anirasformare la funione Y(s), ossia anirasformare il secondo membro di quella relaione. Dao che lo scopo di quesa anirasformaione è ricavare la risposa del sisema alla solleciaione x(), spesso non serve conoscere l espressione esaa di y(), bensì solo quella per, ossia ciò che accade a regime. In ques oica, non influiscono più di ano sulla risposa y() le condiioni iniiali del sisema, per cui noi possiamo limiarci ad anirasformare la funione H( s) X( s). Quesa funione è sempre una funione raionale, daa cioè dal rapporo ra due polinomi. Possiamo allora provare ad applicare quano viso prima circa l anirasformaione delle funioni raionali. Tuo viene a dipendere dalla funione di rasferimeno e dai suoi poli: si dice che il sisema è asinoicamene sabile se i poli di H(s) hanno pare reale negaiva (per cui danno conribuo infiniesimo per ); si dice che è sabile se essi hanno pare reale nulla e si dice che è insabile se hanno pare reale posiiva. Supponiamo allora che H(s) preseni poli, α e β, il primo di ordine ed il secondo di ordine : in quesa ipoesi possiamo scrivere che A B C Y( s) H( s) X( s) G( s) s α s β s β b g 3 Auore: Sandro Perielli

14 Appuni di Teoria dei Sisemi - Appendice Supponiamo anche che quesi poli abbiamo enrambi pare reale negaiva, per cui il sisema è asinoicamene sabile. In quese ipoesi, la funione G(s), che non è noa e non dipende in alcun modo dai poli, prende il nome di risposa foraa del sisema è cosiuisce in definiiva la risposa del sisema a regime; gli alri re ermini, legai invece ai poli, danno conribuo infiniesimo alla risposa e cosiuiscono perciò la cosiddea risposa naurale del sisema, ossia una reaione immediaa del sisema alla solleciaione, che però a regime è ampiamene rascurabile. In definiiva, nell ipoesi di sisema asinoicamene sabile, ai fini della valuaione della risposa del sisema, noi possiamo in primo luogo rascurare il conribuo delle evenuali condiioni iniiali non nulle; in secondo luogo, possiamo limiarci a valuare la risposa foraa del sisema, che oeniamo anirasformando la funione A B C G( s) H( s) X( s) s α s β s β b g Trasformaa Z DEFINIZIONE DI SEQUENZA Nei paragrafi precedeni abbiamo considerao funioni del ipo f : R C f() ossia funioni di variabile reale a valori complessi. A quese funioni abbiamo dao il nome di segnali : la caraerisica principale è il fao di essere funioni coninue della grandea (che per noi è sempre il empo ). Da queso puno in poi, invece, consideriamo funioni del ipo f : N C f() ossia funioni, ancora valori complessi, ma empo-discree. A queso nuovo ipo di funioni si dà il nome di sequene : si raa di successioni ordinae di valori. Anche per le sequene è possibile dare la definiione di causalià : una sequena si definisce causale se è idenicamene nulla per <. 4 Auore: Sandro Perielli

15 Trasformaa di Laplace e Trasformaa Z DEFINIZIONE DI TRASFORMATA Z Sia daa una generica sequena causale f; si definisce rasformaa Z di ale sequena la funione F( ) f ( ) dove C. Si raa, dunque, di una funione che associa alla sequena f() una funione complessa. La validià di quesa definiione vale solo per quei valori di C ali che quella sommaoria risuli convergene: in paricolare, si può verificare che la convergena di quella sommaoria (e quindi l esisena della rasformaa) è garania al di fuori di una circonferena avene cenro nell origine del piano complesso e raggio R da deerminare, di vola in vola, sulla base delle caraerisiche della sequena f(). Per queso moivo, la suddea circonferena prende il nome di regione di convergena della rasformaa Z, menre R è il raggio di convergena. Soolineiamo subio che, nei casi in cui faremo uso della rasformaa Z, ci disineresseremo sempre del problema della convergena, ossia, in definiiva, sul problema della deerminaione del valore di R. TRASFORMATA DELL IMPULSO DI KRONEKER Così come, nel campo delle funioni empo-coninue, sussise la definiione di impulso di Dirac, nel campo delle sequene (cioè delle funioni empo-discree) sussise la definiione di impulso di Kroneker, che è una sequena così faa: δ( ) alrimeni Proviamo a calcolare la rasformaa Z di quesa funione, applicando semplicemene la definiione: F( ) f ( ) δ( ) δ( ) δ( ) TRASFORMATA DEL GRADINO UNITARIO Nel campo delle sequene, prende il nome di gradino uniario la seguene funione: ( ) > alrimeni Calcoliamo la rasformaa Z di quesa funione applicando ancora una vola la definiione: F( ) f ( ) ( ) ( ) 5 Auore: Sandro Perielli

16 Appuni di Teoria dei Sisemi - Appendice TRASFORMATA DELLA FUNZIONE POTENZA Sempre con riferimeno alle sequene, la funione poena è definia nel modo seguene: a ( ) > alrimeni La sua rasformaa Z, calcolaa sempre mediane la semplice definiione, vale F( ) f ( ) a ( a ) a Facendo un confrono ra quesa rasformaa e quella del gradino uniario, si osserva immediaamene il seguene legame: { } { ( )} Z a Z a ANTITRASFORMATA Z Supponiamo di avere una funione F() che sia raionale propria : ciò significa che quesa funione può essere espressa nella forma N( ) F( ) D( ) dove N() e D() sono due polinomi ali che grado( N( ) ) grado( D( ) ). Sappiamo che esise una corrispondena biunivoca ra F() e la sequena f() di cui è la rasformaa Z: vogliamo allora far vedere i principali meodi per rovare f() noa che sia F(). ESEMPIO Consideriamo la funione F( ) ( ) ( + 3) Si raa di una funione raionale propria, ale cioè che il grado del numeraore sia pari a quello del denominaore. Il modo più semplice per rovarne l anirasformaa è quello di esprimere F() mediane la sua espansione in frai semplici e, successivamene, di rovare l anirasformaa di ciascun ermine. In queso caso, l espansione in frai semplici pora all espressione F( ) A + B ( ) ( ) ( + 3) + C + D 6 Auore: Sandro Perielli

17 Trasformaa di Laplace e Trasformaa Z Tui e 4 i ermini che compongono quesa espansione sono rasformae noevoli, per cui possiamo scrivere subio che { } f ( ) Z F( ) AZ + BZ A + B( + ) + C( 3) + Dδ( ) ( ) ( ) ( 3) CZ DZ { } Anche nel caso empo-discreo, quindi, come in quello empo-coninuo, il problema fondamenale sa nel calcolo dei coefficieni preseni nell espansione. I meodi classici di calcolo di ali coefficieni sono chiaramene gli sessi visi a proposio dell anirasformaa di Laplace. Procediamo allora ad illusrare un nuovo meodo di calcolo di ali coefficieni. La prima cosa che osserviamo è che, essendo il grado del numeraore pari al grado del denominaore, possiamo effeuare la divisione ra numeraore e denominaore: così facendo, si oiene F( ) + ( ) ( + ) G( ) Lo scopo di quesa divisione è quello di ricondursi ad una funione raionale sreamene propria, ossia ale che il grado del numeraore sia inferiore a quello del denominaore. Considerando che l anirasformaa della funione idenicamene pari ad è noa (si raa dell impulso), dobbiamo dunque concenrarci su come anirasformare la funione G( ). Facendo ancora una vola l espansione in frai semplici, oeniamo A B C G( ) ( ) I coefficieni di queso sviluppo sono molo facili da calcolare: per esempio, possiamo subio osserva che 9 B G( )( ) 3 C G( )( + 3) 3 5 Inolre, se calcoliamo G() sia mediane la sua espressione iniiale sia mediane l espansione in frai semplici, oeniamo G( ) ( ) ( + 3) A B C G( ) e da qui si ricava evidenemene che B C A Auore: Sandro Perielli

18 Appuni di Teoria dei Sisemi - Appendice Noi i coefficieni, il procedimeno è sempre quello di anirasformare i singoli ermini dell espansione in frai semplici: abbiamo in al modo che { } g( ) Z G( ) AZ BZ + ( ) { } { } { } CZ A ( ) + B ( )( + ) + C ( ) 3 A( ) + B( )( ) + C( ) 3 Noa g(), possiamo concludere che { } { } { } { } f ( ) Z F( ) Z + G( ) Z + Z G( ) δ( ) + A( ) + B( )( ) + C( ) 3 ESEMPIO Consideriamo la funione F( ) + ( ) Si raa di una funione raionale sreamene propria, caraeriaa dal fao di avere un polo doppio nell origine (nel senso che l origine è una radice doppia del denominaore). Vogliamo calcolare la sua anirasformaa Z e possiamo procedere così come abbiamo fao nell esempio precedene: in primo luogo, l espansione in frai semplici di quella funione è F( ) A + B ( ) C + + I coefficieni di quesa espansione si calcolano con i meodi radiionali: C F( ) B F( )( ) F( ) A + B + C D A risolvendo.. F A B C D 3 B ( ) Noi quesi coefficieni, possiamo anirasformare i 4 ermini dell espansione: { } { } f( ) Z F( ) AZ + BZ D CZ CZ + + Aδ( ) + B + Cδ( ) + Dδ( ) Aδ( ) + B + Cδ( ) + Dδ( ) 8 Auore: Sandro Perielli

19 Trasformaa di Laplace e Trasformaa Z Queso è dunque il modo radiionale di procedere. Poevamo, però, seguire anche alre srade. Per esempio, un alro modo di procedere è il seguene: la funione F() può anche essere espressa nella forma + F( ) Dao che il ermine - non è alro che l operaore di shif, possiamo procedere anirasformando il + ermine e considerando poi lo shif. Un alra possibilià è la seguene: sempre parendo dall espressione iniiale di F(), possiamo scrivere che + + F( ) + + ( ) ( ) + 3 Così facendo, abbiamo oenuo la F() come somma di due rasformae noevoli (si raa, ani, della sessa rasformaa), enrambe shifae di una cera quanià: considerando che la funione è la rasformaa della funione, possiamo concludere che f( ) ( ) + ( 3) ESEMPIO 3 Come ulimo esempio, consideriamo la funione F( ) + + ( + ) Quesa è una funione raionale propria avene un polo nell origine e uno nel puno -. Non possiamo procedere come nell esempio precedene, in quano, se ponessimo in evidena il ermine -, avremmo a che fare con una funione impropria. Scegliamo allora la solia srada dell espansione in frai semplici, che in queso caso conduce all espressione F A B C ( ) Il calcolo dei coefficieni è ancora una vola immediao: B F( ) C F( )( + ) 3 F A B C 3 ( ) + + A B C 9 Auore: Sandro Perielli

20 Appuni di Teoria dei Sisemi - Appendice L espansione ha dunque la forma F ( ) + + e la sua anirasformaa vale evidenemene f( ) δ( ) + ( ) Auore: SANDRO PETRIZZELLI sandry@iol.i sio personale: hp://users.iol.i/sandry succursale: hp://digilander.iol.i/sandry Auore: Sandro Perielli