Lezione n. 3. Metodo delle differenze finite (classificazione delle equazioni e consistenza, stabilità e convergenza nel caso parabolico)

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1 Lezione n. 3 Meodo delle differenze finie (clssificzione delle equzioni e consisenz, silià e convergenz nel cso prolico) Pg. 1

2 Principli meodi numerici per l nlisi eleromgneic differenze finie elemeni finii meodi inegrli (di volume ed l conorno) Pg.

3 Pg. 3 Crerisiche e clssificzione PDE (1) Eq. D αϕ xx +βϕ xy +γϕ yy +δ = con α, β, γ e δ funzioni di x, y, ϕ x, ϕ y Prolem di Cuchy nel D: ϕ e ϕ n ssegni su curv per Γ Cmio vriili: ξ= cx+sy+ξ c=cosθ, s=sinθ η=-sx+cy+η ϕ x = ϕ ξ c - ϕ η s, ϕ y = ϕ ξ s + ϕ η c ϕ xx = ϕ ξξ c -ϕ ξη cs + ϕ ηη s η y ϕ xy = ϕ ξξ cs + ϕ ξη (c -s ) - ϕ ηη cs ξ θ ϕ yy = ϕ ξξ s + ϕ ξη (c -s )+ ϕ ηη c x Nel nuovo riferimeno: α ϕ ξξ +β ϕ ξη +γ ϕ ηη +δ =, Se γ = α s β cs +γc =, ϕ e ϕ n (= ϕ η ) non possono essere ssegni d ririo, lrimeni ϕ, ϕ ξ,ϕ η,ϕ ξξ, ϕ ξη non verificno l equzione Crerisiche = direzioni su cui non possimo ssegnre cond. Cuchy

4 Crerisiche e clssificzione PDE () discriminne =β 4αγ =: > crerisiche eq. iperolic = 1 crerisic ( coinc.) eq. prolic < crerisiche eq. elliic Sulle crerisiche: α (ϕ ξ ) ξ +β (ϕ η ) ξ +δ = (ODE) Meodo delle crerisiche per eq. iperoliche: coordine fornie dll incrocio delle cr.di fmiglie ϕ fornio d un sisem di equz. in incognie ϕ deermin dl vlor medio di ϕ nel ringolo e d ϕ no negli lri due verici Pg. 4

5 Pg. 5 Meodi lle differenze finie per equzioni proliche (1) κϕ xx +q-ϕ y = α=κ, β=γ=, δ= q-ϕ y, = β 4αγ = diffusione del cmpo mgneico in un lsr pin: (σ -1 H/ x) / x =µ H/ in (,) (, mx ) condizioni inizili ed l conorno (effei dell eliminzione di D/ ): µ u u ( σ 1 / dx u / x) / x dx d = µ u ( = ) / dx u µ u / dx d, ( u / x) u = H ' H '' dx d + es. H(x, ), H(,) ed H(,) (senz H/ ll isne ) σ 1 [ uσ 1 u / x] d

6 Pg. 6 Meodi lle differenze finie per equzioni proliche () Schem esplicio con σ uniforme (H xx =µσh ), grigli uniforme H(x i, +1 ) = H(x i, ) + H (x i, ) + O[ ] espr. per H(x i, ) Meodo-θ: H(x i+1, ) = H(x i, )+ H x (x i, ) x + H xx (x i, ) x / + H xxx (x i, ) x 3 /3! +O[ x 4 ] H(x i-1, ) = H(x i, ) H x (x i, ) x + H xx (x i, ) x / H xxx (x i, ) x 3 /3! + O[ x 4 ] H(x i+1, ) + H(x i-1, ) = H(x i, )+ H xx (x i, ) x +O[ x 4 ] espr. per H xx (x i, ) H Hi, + H i+ 1, Hi, + 1 H = µσ x i 1, i, Consisenz dello schem esplicio (errore = O[ ] + O[ x ]) H θ Hi, Hi+ 1, + 1 Hi 1, Hi, + Hi+ 1, Hi, + 1 H + (1 θ ) = µσ x x i 1, + 1 Consisenz del meodo-θ: errore = (1 θ )O[ ] + O[ ] + O[ x ] i,

7 Pg. 7 Meodi lle differenze finie per equzioni proliche (3) Schem esplicio non convergene se e x con x/ =cosne Silià schem esplicio: H +1 =H +αm H =(I+αM) H... M =, α= /µσ x cerchi di Gerschgorin di I+αM con cenro in 1 α e rggio α: uovlori dell mrice di ggiornmeno (I+αM): 1 4α <λ<1 ρ(i+αm) < 1 per 1 4α > 1, cioè /µσ x < ½ Alri meodi di nlisi di silià: von Neumnn: cosni di empo uofunzioni sviluppo di Fourier in x energi numeric: nlogo discreo dell eq. di Poyning su H -H Silià meodo θ: come per ODE (silià incondizion per θ ½

8 Meodi lle differenze finie per equzioni proliche ed elliiche D e 3D Esempio: clcolo dell cpcià di un condensore pino Prolemi del meodo delle differenze finie: Operori generici Domini non limii Condizioni l conorno di Neumnn Superfici di disconinuià Sorgeni concenre Pg. 8