Simulazione di II prova di Matematica Classe V

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Costantino Filippo Belloni
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1 Liceo Scientifico Pritrio R. Bruni Pdov, loc. Ponte di Brent, 31/05/2018 Simulzione di II prov di Mtemtic Clsse V Studente/ss Risolvi uno dei due problemi. 1. Un tpp giornlier di un percorso di trekking prevede un trgitto di 12 km. Il grfico in figur rppresent l ltitudine y (in metri) in funzione dello spzio x percorso (in chilometri) dl punto di prtenz. i. Tr le seguenti fmiglie di funzioni, dipendenti di prmetri reli λ e µ, un sol è dtt rppresentre, per x 0; 12, il grfico in figur: f ( x)= 150e λx2 + µ dove λ,µ > 0 ; f ( x)= 150e λx2 + µ dove λ < 0 e µ > 0 ; f ( x)= 150xe λx2 + µ dove λ,µ > 0 ; f ( x)= 150xe λx2 + µ dove λ < 0 e µ > 0. Individu qule, giustificndo degutmente l tu rispost. ii. Tr le funzioni dell fmigli individut, determin i vlori dei prmetri λ e µ che individuno l funzione il cui grfico è dto in figur, spendo che il punto di prtenz è posto un ltitudine di 300 m e che il punto di mssim ltitudine si rggiunge dopo ver percorso 5 km dll prtenz. Determin poi il dislivello in slit e in disces (pprossim i risultti l metro). Determin infine l ltitudine medi dell intero percorso (pprossim il risultto l metro). 1 di 5

2 L pendenz (in vlore ssoluto) di un strd è mtemticmente definito come l tngente dell ngolo cuto ϑ in figur, cioè come rpporto Δy Δl. L misur dello spzio percorso Δx è tuttvi più semplice d determinre rispetto ll misur Δl (si può ottenere semplicemente con un contchilometri). Di ftto l pendenz di un strd è definit nel codice strdle come il seno dell ngolo cuto ϑ in figur, cioè come rpporto Δy Δx. iii. iv. Discuti il vlore di verità di quest ffermzione: Per strde con pendenze inferiori l 20%, l pendenz mtemtic può essere pprossimt ll pendenz definit nel codice strdle, con un errore minore del 2%. Determin in qule punto del trgitto si h l pendenz mssim, si in slit che in disces, ed esprimi tle pendenze mssime in percentule. Polo e Frncesc sono due escursionisti che percorrono il trgitto in esme. Entrmbi prtono lle ore 9:00 e, cmminndo indipendentemente uno dll ltro, rrivno ll conclusione del percorso lle 16:00. Frncesc fferm che deve esserci stto lmeno un istnte, durnte il percorso, in cui l su velocità si stt ugule quell di Polo. Ritieni che Frncesc bbi rgione? Motiv esurientemente l tu rispost. [trtto d Simulzioni, L. Ssso] 2 di 5

3 2. Fissto λ!, si g λ l funzione definit dll posizione y = g λ ( x)= x 3 ( x +λ). i. Determin il vlore di λ in modo che il grfico dell funzione mmett un flesso nel punto F di sciss x = 1. Verificto che risult λ = 2, rppresent il grfico Γ di g 2 dopo verne individuto le principli crtteristiche (prità, segno, eventuli sintoti, crescenz e concvità). Trov l equzione dell rett t tngente Γ in F e le coordinte del punto A, ulteriore intersezione tr Γ e l rett t. Determin l re dell regione pin delimitt d tli curve (l rett t e l curv Γ ). ii. Clcol le coordinte del punto B, pprtenente ll rco FA e distinto d F, tle che l tngente Γ in B si prllel t. iii. Determin il vlore del prmetro λ in modo che g λ si simmetric di g 2 rispetto ll sse delle ordinte. Indic, motivndo esurientemente l rispost, se è possibile determinre un vlore di λ in modo tle che g λ si simmetric di g 2 rispetto ll sse delle scisse. Consider, or, l funzione G :!! definit dll posizione y = G( x)= g 2 ( t) dt. x 2 iv. Verific che l funzione G non mmette estremi reltivi né ssoluti e clcol G( 2), G( 3 2) e G( 0). Dopo ver trovto i punti stzionri di G e vere studito l concvità dell funzione, trcci un grfico indictivo. [trtto d Simulzione Znichelli 2018] 3 di 5

4 Risolvi cinque dei dieci quesiti. 1. Un solido h per bse il trpezoide di f ( x)= 1 1+ x 2 ( ) in x 0; 3 ; le sue sezioni ottenute su pini perpendicolri ll sse x sono tutti tringoli isosceli di ltezz k x, con k!. Determinre il vlore di k in modo che il volume del solido si pri 2. [trtto d Ord2016 Americhe] 2. D un nlisi di mercto è risultto che il 32% dell popolzione us il dentifricio AtoZ. Scelto cso un gruppo di 12 persone, determinre il vlore medio, l vrinz e l devizione stndrd dell vribile letori X: numero di persone che utilizz il dentifricio AtoZ. Clcolre inoltre l probbilità che, ll interno del gruppo scelto, il numero di persone che usno tle prodotto si compreso tr 2 e 5, estremi inclusi. [trtto Ord2015 Europ] 3. Determin tipo, crttere ed eventule somm dell serie e 2nln π. [inventto] + n=0 x 1 4. Se f ( x)= 3 1+ lnt dt per x 1; + 1, qul è il vlore numerico di f ( 2)? [trtto d Ord2015 Europ] 5. Consider l funzione: f ( x)= ln x se x 1 k( x 2 1) se x <1, k!. i. Determin i vlori di k per i quli f è derivbile in!. ii. Trcci i grfici di f e di f per uno dei vlori di k ottenuto l punto precedente. [trtto d Simulzioni, L. Ssso] 6. Nello spzio coordinto Oxyz consider tre punti A( 0; 1; 0), B( 1; 2; 1), e C( 1; 3; 3). i. Determin l equzione del pino pssnte per i tre punti dti. ii. Clcol l re del tringolo ABC. [inventto] 7. L popolzione di un coloni di btteri è di btteri l tempo t = 0 e di btteri l tempo t = 3 (tempo espresso in ore). Si suppone che l crescit dell popolzione si esponenzile, cioè descrivibile dll equzione differenzile y = k y, dove k è un costnte rele non null e y l popolzione di btteri l tempo t. Al tempo t = 10, l popolzione supererà i btteri? Dopo qunti minuti l popolzione rggiungerà tle numerosità? [trtto d Ord2015 Europ] 4 di 5

5 8. Il grfico in figur è quello dell derivt prim f x in!. Tle grfico è simmetrico rispetto ll origine, pss per 1; 0 ( ) di un funzione f ( x) continu ( ) ed h come sintoti le rette di equzione x = 0 e 5x + 2y = 0. Descrivere e trccire un possibile grfico di f ( x) e di f ( x). [trtto d Ord2016 Americhe] ( ), Q( 1; 1; 0) e tngente l pino π : y = 0 nel punto R( 1; 0; 1). [inventto] 9. Determin l equzione dell sfer pssnte per P 1; 2; Dimostr che se f è un funzione dispri continu in! llor,!, f ( x)dx = 0. Dimostr che se invece f è un funzione pri continu in! llor,!, f ( x)dx = 2 f ( x)dx. [inventto] 0 NOTE: i. Tempo disposizione: 6 ore (360 minuti). È possibile uscire dll ul solo qundo sono trscorse 3 ore (180 minuti) dll inizio dell simulzione. ii. È mmesso l uso dell clcoltrice in ccordo con l llegto ll not MIUR n del 30 mrzo iii. Punteggio mssimo 15 p.ti. Per l sufficienz è necessrio rggiungere il punteggio di 10 p.ti. 5 di 5

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