Metodi e Modelli Matematici di Probabilità per la Gestione Prova scritta 29/01/2009

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1 Metodi e Modelli Mtemtici di Probbilità per l Gestione Prov scritt 29/0/2009 Esercizio (4 punti). Un ufficio dell ngrfe effettu due tipi di servizio, che richiedono tempi (letori esponenzili) T id e T ds : fornisce crte d identità e dichirzioni sostitutive di tti notori. Medimente, ogni or, rrivno 9 persone che desiderno l crt d identità e 6 che hnno bisogno di un dichirzione sostitutiv. ) Immginimo l situzione più semplice in cui E [T id ] = E [T ds ]. Se l ufficio h un solo sportello perto, qunto deve impiegre medimente l impiegto per un servizio, per grntire l equilibrio? b) In reltà, medimente, un impiegto per fre bene e senz rischi le operzioni necessrie d un servizio impieg 5 minuti. Allor l ordine ricevuto è il seguente: se nell ufficio ci sono l mssimo 6 persone inclus quell che st servendo, lvorerà come si deve; con più di 6 persone, deve ccelerre e impiegre.5 minuti in medi solmente. Dimostrre che l cod rggiunge l equilibrio. c) Nell situzione precedente, clcolre il numero medio di persone che ttendono, sedute nell ufficio, di essere chimte dll impiegto. Esercizio 2 (8 punti). erchimo di descrivere con un processo di Mrkov slti un situzione compless che richiederebbe l uso del continuo per gli stti possibili del sistem. Idelizzndo, immginimo di vere solo 4 stti. Si trtt di 4 livelli diversi del mercto di un certo prodotto, detti A, B,, D. ome già detto, decidimo per ssunto di usre un processo di Mrkov slti, quindi supponimo che il sistem resti in uno stto per un tempo esponenzile e poi effettui un trnsizione. Supponimo di vere le seguenti trnsizioni possibili: A B, A, B, D B, D, B. i) In questo punto dell esercizio, per semplicità, si elimini lo stto A e le sue trnsizioni. Supponimo di non conoscere i tssi, m solo le seguenti informzioni: - qundo il sistem è in B (risp. in, in D), lì rest per un tempo esponenzile di medi 2 mesi (risp. mese, mesi); - qundo il sistem è in, 2 volte su trnsisce in B. lcolre l probbilità ll equilibrio di essere in B.

2 ii) Or considerimo nche lo stto A. Inoltre, supponimo che se il sistem si trov in A (risp. B,, D) il gudgno giornliero di un cert ziend si di 500 euro (risp. 000, 700, 500). lcolre, ll equilibrio, il gudgno medio giornliero di quell ziend. Esercizio (8 punti). Nei vettori x, y, z, tutti di lunghezz 60, bbimo i vlori di tre grndezze; x ed y sono reltivi l grdo di inquinmento, z l grdo di slute delle persone. I 60 vlori diversi corrispondono i vlori mensili degli nni , riferiti d un cert zon geogrfic in dui l popolzione è rimst sostnzilmente costnte negli nni considerti. i) Sospettimo che lmeno uno tr x ed y influenzi z, o forse tutti e due. ome possimo esminre questi nostri sospetti ed in bse cos trrremo certe conclusioni piuttosto che ltre (mx. mezz pgin di svolgimento, solo le cose più interessnti)? ii) Piu precismente, pensimo che l inquinmento impieghi un po di tempo cusre effetti negtivi nelle persone. Supponimo di ver deciso di usre Rˆ2 dell regressione multipl come indictore di influenz. ome possimo determinre il ritrdo più ttendibile tr inquinmento ed effetti sull slute? Si decid però che sotto l numerosità 0, non considerimo più ttendibili le nlisi di legme tr vribili. [Si intende che l rispost lle domnde dev essere l descrizione di come si frebbe con R svolgere quelle cose, elencndo i comndi e commentndo l risoluzione.] iii) Uno dei modelli del punto (i) è Z = X by c σε (ε di vrinz σ unitri). himimo vrinz non spiegt dl modello l grndezz 2 V r[z] (l percentule di vrinz di Z che è propri dell errore del modello). Supponendo X, Y ed ε indipendenti, esprimere l vrinz spiegt trmite le correlzioni tr Z ed X e tr Z ed Y. 2

3 Soluzioni Esercizio. ) Gli rrivi per crte d identità sono un processo di Poisson di prmetro λ id = 9 (in 60 minuti ), in qunto il numero medio di rrivi in 60 minuti è 9 e deve essere ugule 60 λ id. Mentre per le d.s. il prmetro è λ id = L somm dei due processi è Poisson di prmetro λ = = Qui si rriv nche, più intuitivmente, pensndo che il tempo medio tr un rrivo e l ltro è di 4 minuti. Se il tempo di servizio è lo stesso, non serve distinguere le due ctegorie. Posto µ = E[T id, deve essere µ > λ quindi ] E [T id ] < 4 minuti. b) I tssi di crescit sono tutti pri λ =, mentre quelli di clo sono 4 pri = se si prte d k =, 2,, 4, 5, 6, µ 5 = per k > 6. Pertnto.5 ( ) k λ k = per k = 0,, 2,, 4, 5, 6 Vle ( ) 6 ( λ λ 6j = per j =, 2,... = = 6 ( ) k λ k=0 k=0 ( ) 6 λ j= 5 ( ) k ( ) 6 λ λ dove l serie converge in qunto λ <. Si rggiunge l equilibrio. c) Indicndo con k il generico numero di persone nel sistem e con N l v.. numero di persone in ttes, vle E [N ] = (k ) π k = k= (k ) π k. Inoltre, vle = ( ) 6 λ λ ) 6 λ =

4 ) k per k = 0,, 2,, 4, 5 π k = ( ) 6 λ per j = 0,, 2,... quindi E [N ] = π 6j = 5 (k ) ( ) k λ ) k (j 5) ( ) 6 λ = 5 (k ) ( ) ( 6 λ ( λ ( ) λ j 5 = = = ) 6 λ ( ) 2 5 λ λ Esercizio 2. i) Usimo i simboli λ AB ecc. per i tssi. D B si v solo in, quindi λ B = (in 2 mesi ). D D si v solo in B, quindi λ DB =. Invece d si v in B e D. Il tempo di permnenz nello stto è il minimo tr i tempi dei due orologi, quindi h tsso λ B λ D, che vle. Inoltre, siccome qundo il sistem è in, 2 volte su trnsisce in B, l probbilità di ndre in B è 2 λ, che è pri Le equzioni di bilncio sono B λ B λ D π B 2 = π 2 π D π = π B 2 π D = π = λ B. Quindi λ B = 2, λ D =. quindi ci conviene usre le ultime due trovndo π B = 2π, π D = π, che sostituite in π B π π D = fornisce π = /4, d cui poi π B = /2, π D = /4. L probbilità richiest è π B = /2. 4

5 ii) Se si conosce l teori dell clssificzione degli stti, bst osservre che A è trnsitorio, per cui non c è probbilità invrinte su di esso. Altrimenti, scrivimo le equzioni di bilncio con nche lo stto A, lscindo indeterminti i tssi di uscit d A: π A (λ AB λ A ) = 0 π B 2 = π 2 π D π Aλ AB π = π B 2 π Aλ A π D = π. Or, dll prim equzione trovimo necessrimente π A = 0, quindi i termini con π A spriscono nche dlle equzioni successive ed ll fine si ritrov l stess soluzione di prim. Il gudgno medio giornliero è pri d euro 500π A 000π B 700π 500π D = = 800. Esercizio. enno di soluzione. i) Per rispondere quest domnd si possono descrivere correlzione -, regressione - e 2-, discutere come Rˆ2 cmbi d - 2- per cpire l importnz di due invece che un fttore, vlori p per decidere i fttori più rilevnti. ii) Fissto un ritrdo k, si introducono i vettori X.k <- X[:(60-k)] Y.k <- Y[:(60-k)] Z.k <- X[(k):60] e si esegue lm(z.k~x.ky.k) e si legge Rˆ2. Si sceglie il vlore di k che produce il mggio Rˆ2 (si può utomtizzre l ricerc). iii) Il procedimento è identico quello usto nel corso nel cso dell regressione semplice. lcolndo V r [Z] si trov un prim formul dell vrinz spiegt in termini delle vrinze di X ed Y. Poi, clcolndo ov (Z, X) e ov (Z, Y ) si trovno dei legmi tr queste covrinze e le vrinze di X ed Y, che vnno sostituiti nell formul dell vrinz spiegt trovt prim. 5