Variabili Casuali e Distribuzioni di Probabilità Definizione: VARIABILI CASUALI VARIABILI CASUALI PROBABILITÀ

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Variabili Casuali e Distribuzioni di Probabilità Definizione: VARIABILI CASUALI VARIABILI CASUALI PROBABILITÀ"

Oliviero Alessi
6 anni fa
Visualizzazioni

1 Vriili Csuli e Distriuzioni di Proilità Un vriile csule X è un vriile numeric il cui vlore misurto può cmire ripetendo lo stesso esperimento di misur X può essere un vriile continu o discret 1 Esempi di vriili continue: Il tempo, lo spzio, l energi, l tempertur, l pressione, l corrente elettric Tutte le grndezze che possono essere messe in corrispondenz con il cmpo dei numeri reli (ttrverso un opportun unità di misur) Esempi di vriili discrete: Numero di giornte piovose, numero di pezzi difettosi in un lotto di produzione, pgine di un liro, numero di ccessi un server Tutte le grndezze che possono essere messe in corrispondenz con il cmpo dei numeri interi (ttrverso un opportun unità di misur) PROBABILITÀ L proilità è utilizzt per quntificre numericmente l possiilità che un dto evento si relizzi. Ad esempio, per stilire se è fcile o no che un misur fornisc un vlore ll interno di un determinto intervllo. Può essere interprett come il grdo di fiduci che un evento si relizzi, o come l su frequenz reltiv di relizzzione. L proilità è quntifict ssegnndo un numero tr 0 e 1 (0% e 100%) Più è lto il numero più l evento è proile: 0 evento impossiile 1 evento certo 3 4 1

2 Proprietà dell funzione Proilità Se X è un vriile csule 1. P(X R) 1, dove R è l insieme dei numeri reli. 0 P(X E) 1 per ogni insieme ( solitmente E R ) 3. Se E 1, E,, E k sono insiemi mutumente esclusivi, llor P(X E 1 E E k ) P(X E 1 )+ P(X E )+ + P(X E k ) Utilizzo delle proprietà dell Proilità 1. Mostr che il mssimo vlore di un proilità è 1. Implic che un proilità non può essere negtiv 3. Può essere utilizzt per mettere in relzione l proilità di un insieme E e del suo complementre E (insieme degli elementi che non pprtengono d E): E E R, 1 P(X R) P(X E E ) P(X E)+ P(X E ) P(X E ) 1-P(X E) Mutumente esclusivi (o disgiunti) insieme intersezione vuoto 5 6 Eventi Il concetto di proilità non è pplicile solo insiemi di numeri, m nche d eventi: non sempre il vlore misurto è ottenuto d un esperimento. Gli eventi si possono clssificre in ctegorie ed essere trttti esttmente llo stesso modo degli insiemi di numeri reli. CONTINUE 7 8

Funzione Densità di Proilità (PDF) L funzione densità di proilità f(x) di un vriile csule continu X è utilizzt per determinre l proilità che X pprteng un dto intervllo: P( < X < ) f ( x) dx Funzione

3 Funzione Densità di Proilità (PDF) L funzione densità di proilità f(x) di un vriile csule continu X è utilizzt per determinre l proilità che X pprteng un dto intervllo: P( < X < ) f ( x) dx Funzione Densità di Proilità Un istogrmm è un pprossimzione dell funzione densità di proilità: l re di ogni settore rppresent l frequenz reltiv (proilità) dell intervllo in scisse (clsse) corrispondente. P ( < X < ) f ( x) dx 9 Per x 0 l istogrmm tende ll curv continu f(x) che è l funzione densità di proilità (PDF) 10 + Proprietà dell PDF P( < X < + ) 1 AREA UNITARIA dell PDF f(x) è ust per clcolre ree e non vlori puntuli: se X è un vriile csule continu, P(Xx 0 ) 0, per ogni x 0 P ( X ) P( < X ) P( X < ) P( < X < ) Esempio di PDF Distriuzione di proilità uniforme L ltezz di f(x) è fisst dll condizione di normlizzzione dell su re tr - e + ATTENZIONE: volte ci si può confondere con l notzione, lscindo sottinteso un intervllo di vlori (tipicmente l risoluzione dello strumento di misur) ESEMPIO: V1.74 V, con risoluzione 0.01 V signific V V < V 11 L vriile csule X può ssumere in mnier equiproile un qulsisi vlore x tr 0 e 0 1 3

4 Esempio di PDF Distriuzione di proilità esponenzile Funzione di Distriuzione Cumultiv x ( x ], ]) F( x) f ( u)du P x P ( < X < ) F( ) F( ) Proprietà dell cumultiv: F(x) è monoton non decrescente F(x)>0 per ogni x L vriile csule X può ssumere solo vlori > 1.5 e con un proilità esponenzile decrescente 13 lim F( x) 1 x + 14 Vlor Medio Si X un vriile csule continu con PDF f(x). Il vlor medio o vlore tteso di X, indicto con μ o E(X), vle: [ X] + x E( X) μ E Vrinz e Devizione Stndrd Si X un vriile csule continu con PDF f(x). L vrinz di X, indict con σ o V(X), vle: σ E [( x μ ) ] + x + ( x μ) μ V ( X ) L devizione stndrd σ di X vle σ σ V(X)

Distriuzione Normle o Gussin Esempi di distriuzione normle Un vriile csule X con funzione di densità di proilità f ( x μ ) 1 σ ( x) g( x) e πσ per - < x <+ H un distriuzione normle (ed è chimt vriile

5 Distriuzione Normle o Gussin Esempi di distriuzione normle Un vriile csule X con funzione di densità di proilità f ( x μ ) 1 σ ( x) g( x) e πσ per - < x <+ H un distriuzione normle (ed è chimt vriile csule normle), con prmetri μ e σ, dove - < μ <+ e σ >0. Inoltre: E(X) μ e V(X) σ Grfici di funzioni densità di proilità normle per diversi vlori dei prmetri μ e σ. (μ indic il centro e σ l lrghezz dell curv cmpn) Proilità ssocite d un distriuzione normle Grfici di g(z) e di Φ(z) 19 Φ(z) C U M U L A T I V A 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 Distriuzione cumultiv VNS: Φ(z) PDF di un vriile normle stndrd: f(z) 0, z 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,15 0,10 0,05 f(z) o g(z) P D F 0 5

Documenti analoghi

Appendice 2B: Probabilità e densità di probabilità

Appendice 2B: Probabilità e densità di probabilità Appendice B: Proilità e densità di proilità Concetto di proilità normlmente pplicto eventi csuli non predeterminili! Esempi di eventi cusli: Vlori limite: P A 0 : A P : A uscit dell fcci 6 nel lncio di