Diario del corso di Matematica per le scienze sociali Facoltà di Sociologia anno accademico 2001/02. Andrea Pugliese

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1 Dirio del corso di Mtemtic per le scienze socili Fcoltà di Sociologi nno ccdemico 2001/02 Andre Pugliese

2 Cpitolo 1 Primo periodo 1.1 lunedì 18 febbrio - 1 or Introduzione generle l corso. Introduzione ll sttistic descrittiv Vribili qulittive e quntittive. 1.2 mrtedì 19 febbrio -1 or Istogrmmi. [Per i prticolri vedere le note...] Indici di posizione e dispersione. L medi ritmetic. L medin: vntggi e svntggi rispetto ll medi. Esempi di distribuzioni simmetriche e simmetriche. Clcolo dell medi d dti tbulti. 1.3 lunedì 25 febbrio - 1 or Indici di dispersione: vrinz e devizione stndrd. Come clcolre l vrinz. Cos rppresent l devizione stndrd: in un distribuzione unimodle non troppo simmetric circ i 2/3 delle osservzioni si trovno un distnz dll medi inferiore o ugule ll devizione stndrd. Medi e vrinz per popolzioni suddivise in gruppi. Ad esempio supponimo di conoscere l medi e l vrinz (di un qulche vribile) seprtmente per mschi e femmine. Quli srnno l medi e l vrinz nell popolzione nel suo complesso? 1.4 mrtedì 26 febbrio - 2 ore I percentili. Introduzione ll probbilità Si ritiene l probbilità un concetto intuitivo, non suscettibile di spiegzione mtemtic. Dl punto di vist mtemtico, le probbilità possono essere ssegnte rbitrrimente purché rispettino condizioni di coerenz. L pproccio frequentist. L probbilità può essere ssegnt solo nel cso di prove ripetibili indefinitmente. In questo cso l probbilità di un evento A srà dt dl numero di volte in cui A si è verificto (k) diviso il numero di prove effettute (n) qundo n si molto grnde. Spesso ciò viene scritto come lim n k/n; non si intende però un limite nel senso rigoroso dell nlisi. Noi considereremo questo pproccio non come un definizione, m semplicemente come un metodo per ssegnre in modo rgionevole le probbilità. 1

3 In lcuni csi (d esempio nel lncio di un ddo, o nell estrzione di un pllin d un urn) ppre rgionevole considerre tutti i csi o eventi elementri come equiprobbili. Formlizzzione: Si consider che esist un insieme, detto universo o spzio cmpionrio e spesso denotto Ω, che comprende tutti i csi possibili del fenomeno che studimo. Gli elementi di Ω sono detti eventi elementri e ognuno di essi dovrà essere ssegnt un probbilità. In generle chimeremo evento ogni sottoinsieme A Ω e ssegneremo d esso un probbilità. Operzioni fr eventi: e e o e loro formulzioni insiemistiche. Due eventi A e B si dicono incomptibili se non possono vvenire contempornemente, ossi se A B =. Risult nturle chiedere che, se A e B sono incomptibili, llor P(A B) = P(A) + P(B). Quest relzione (dett spesso regol dell somm) è l unic richiest che devono soddisfre (dl punto di vist logico) le probbilità, oltre quelle (nturli): P(Ω) = 1 P( ) = 0. Elenczione degli eventi possibili nel cso del lncio di tre monete. Clcolo dell probbilità doi ottenere esttmente 2 Teste nei 3 lnci sotto l ipotesi che i csi elementri sino equiprobbili. 1.5 lunedì 4 mrzo - 1 or Indipendenz di eventi. Tbelle doppi entrt 1.6 mrtedì 5 mrzo - 2 ore Ancor sull indipendenz. L relzione P(A B) = P(A) P(B) si può usre in due modi. Possimo cioè conoscere P(A) e P(B), supporre che A e B sino indipendenti e d ciò ricvre P(A B) (o nche conoscere P(A) e P(A B) e dll indipendenz di A e B ricvre P(B)). Altrimenti, possimo conoscere P(A), P(B) e P(A B), e usre l definizione precedente per verificre se A e B sino indipendenti. Esempi. Clcolo (usndo le regole dell somm e dell indipendenz) dell probbilità di non fre mi 1 lncindo tre volte un ddo; di fre 1 lmeno un volt; di fre 1 tutte le volte. Probbilità condiziont: spere che si è verificto un evento B può modificre il giudizio di probbilità sull evento B. L esempio più fcile è quello delle estrzioni d urne senz reimmissione: vendo un urn con 4 plline binche e 2 plline nere, qul è l probbilità di estrrre un pllin binc ll second estrzione, spendo di vere estrtto un pllin ner ll prim estrzione? l rispost si può considerre intuitiv. L probbilità di A condiziont l verificrsi dell evento B si denot P(A B). Attenzione: A B non è un evento; invece P(A B) è un divers probbilità ssegnt ll evento A. Tbelle di contingenz: riprendo l esempio del libro sulle probbilità di essere mncini e di essere donn in uno studio. Sull bse di questo esempio sserisco che deve vlere l relzione P(A B) = P(A B)/P(B). 1.7 lunedì 11 mrzo - 1 or Ancor sull probbilità condiziont. L relzione P(A B) = P(A B)/P(B) si può nche leggere come regol del prodotto: P(A B) = P(A B) P(B). Quest relzione si può usre si per clcolre 2

4 l probbilità condiziont P(A B) conoscendo P(A B) e P(B), ovvero per clcolre P(A B) un volt che sino note (su bse intuitiv) P(A B) e P(B). Costruzione di digrmmi d lbero: è un metodo intuitivo per pplicre correttmente le regole dell somm e del prodotto, senz usre l notzione insiemistic: in un digrmm d lbero l probbilità di un evento è l somm delle probbilità di tutti i cmmini nei quli l evento si verific; l probbilità di un cmmino è il prodotto delle probbilità di ogni singolo rmo. 1.8 mrtedì 12 mrzo - 2 ore Appliczione in vri esempi dei digrmmi d lbero: si lnci un monet più volte; si estrggono, con o senz reimmmissione, plline d urne; vendo più urne con un numero diverso di pllline binche e nere, si sceglie un urn cso e d quell si estre un o più plline. Ide intuitiv di vribile csule. Vi sono dei vlori possibili: x 1,... x k..., ognuno dei quli h un cert probbilità di verificrsi. Se chimimo X l vribile csule, ponimo p k = P(X = x k ); l insieme dei x k e p k è l distribuzione di X. L somm dei p k su tutti i k deve fre 1. Vlore tteso (o medi) di un vribile csule. Motivzioni: nlogi con l medi in sttistic descrittiv; qunto mi ttendo di vincere (o perdere) prtecipndo un gioco: un gioco si dice equo se l vincit ttes è 0 (considerndo nche il costo di prtecipre l gioco). Se X è un vribile csule discret con vlori possibili {x 1, x 2,...} e corrispondenti probbilità {p 1, p 2,...}, definisco vlore tteso (o medi) di X E(X) = k p k x k. Anlogmente l vlore tteso, si definisce l vrinz di X: V (X) = k p k (x k E(X)) 2. Anlogmente qunto visto in sttistic descrittiv, ess quntific l vrizione dell vribile csule intorno l vlor medio. Cenni su più vribili cusli. Se X e Y sono due vribili csuli, non mi bst spere l distribuzione di ognun delle due seprtmente. Per conoscere l distribuzione congiunt di due vribili csuli [discrete] X e Y devo quindi ssegnre per tutti i vlori possibili x i e y j i vlori p ij = P(X = x i, Y = y j ). Due vribili X e Y si dicono independenti, se per ogni coppi x i e y j gli eventi (X = x i ) e (Y = y j ) sono indipendenti, ossi P(X = x i, Y = y j ) = P(X = x i ) P(Y = y j ). Si definisce Cov(X, Y ) si chim covrinz di X e Y ed è ugule E ((X E(X)) (Y E(Y ))). Si può vedere che se X e Y sono indipendenti, llor Cov(X, Y ) = 0. E possibile comunque che due vribili csuli X e Y non indipendenti soddisfino Cov(X, Y ) = 0. 3

5 Cpitolo 2 Secondo periodo 2.1 mrtedì 2 prile -2 ore Richimi di elementi di mtemtic delle superiori. Numeri nturli N, numeri interi Z e numeri rzionli Q. Introduzione i reli. Se voglimo fre le rdici (e tnte ltre cose) non bstno i numeri rzionli. Si introducono ltri numeri, detti reli. Anche se non esiste nessun numero rzionle x tle che x 2 = 2, possimo fre fint che un qulche numero con queste proprietà esist e chimrlo 2; nche se tle numero non può essere rzionle, possimo però pprossimrl dll lto e dl bsso con dei numeri rzionli con un numero rbitrrio di cifre decimli. Inftti, usndo l proprietà che, se e b sono due numeri rzionli positivi (quest ultimo ggettivo è essenzile), < b se e solo se 2 < b 2 si ottiene (con molt pzienz) 1 < 2 < 2 1, 4 < 2 < 1, 5 1, 41 < 2 < 1, , < 2 < 1, (2.1) Senz fre un costruzione formle dei numeri reli, credimo nel ftto che questo procedimento di pprossimzione identific un numero, in questo cso 2: quello che rimne in mezzo tutti questi intervllini che si stringono. In ltri termini (e sempre livello intuitivo), possimo identificre i numeri reli con gli sviluppi decimli finiti o infiniti. Se lo sviluppo è finito o periodico, bbimo un numero rzionle (quindi, i rzionli sono un prte dei reli), se lo sviluppo è infinito e non periodico, bbimo un numero rele che non è rzionle (irrzionle). Sono irrzionli tutte le rdici dei numeri nturli che non sino qudrti perfetti (d esempio 3, 17...) m nche infiniti ltri numeri che non si scrivono come rdici di numeri interi o rzionli. Fr questi lcuni sono fmosi fr i mtemtici e hnno un nome: π (il rpporto fr l lunghezz di un circonferenz e il suo dimetro), e (l bse dei logritmi nturli). Qundo voglimo fre dei clcoli, dovremo necessrimente pprossimre i reli con dei rzionli. Per esempio, pprossimeremo (fermndoci due cifre decimli) 2 1, 41 e 3 1, 73, ottenendo , 14 (m non è ugule π). Se volessimo usre quttro cifre decimli, vremmo 2 1, 4142, 3 1, 7321 e quindi , Vedendo le cifre successive, notimo che 4

6 , 14 non è l pprossimzione migliore e srebbe stto meglio scrivere , 15. Come controllre l meglio l errore in questi clcoli pprossimti è un rgomento che esul dl progrmm di questo corso. E importnte vere però presente che tutti i clcoli ftti in questo modo sono pprossimti e che ci può essere un errore lmeno sull ultim cifr decimle. Proprio per ricordre che si trtt di pprossimzioni, sono ccettbili le scritture 2 1, 41 oppure 2 = 1, m è un errore scrivere 2 = 1, 41: inftti (1, 41) 2 = 1, Il pino crtesino. Rppresentzione geometric dei numeri: i numeri si possono rppresentre in modo geometrico come punti su un rett. Le coppie di numeri si possono rppresentre come punti sul pino crtesino: rppresentzione di lcuni insiemi. Rette nel pino, coefficiente ngolre. Distnz di due punti nel pino. Funzioni e grfici. Ide di funzione: esempi dell re di un cerchio in funzione del rggio; dell impost IRPEF in funzione del reddito. Un funzione è l insieme di definizione (di prtenz, dominio), l insieme di rrivo (codominio) e un legge che ssoci d ogni elemento del dominio un unico elemento del codominio. Spesso un funzione verrà indict semplicemente con l legge f(x) lscindo impliciti dominio e codominio. Funzioni reli di vribile rele. Il grfico di un funzione è un sottoinsieme del pino, cioè {(x, y) : y = f(x) dove x pprtiene ll insieme di definizione di f.} Esempi: il grfico dell funzione che ssoci d ogni nno (ccdemico) il numero degli iscritti l primo nno di Sociologi. I grfici di f(x) = x + b, f(x) = x 2, f(x) = 1/x, f(x) = { 1 se x < 0 0 se x 0. Costruzione dei grfici di f(x) + 1, f(x + 1), conoscendo il grfico di f(x). 2.2 lunedì 8 prile -2 ore rett secnti e rette tngenti un grfico; derivt Rett secnte un grfico. Dt un funzione f : [, b] R, e x 1, x 2 [, b], con x 1 < x 2, considerimo l rett pssnte per i punti P 1 = (x 1, f(x 1 )) e P 2 = (x 2, f(x 2 )); tle rett si dice secnte. Il coefficiente ngolre di quest rett, il numero f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 viene detto rpporto incrementle e può essere considerto l pendenz medi del grfico di f nell intervllo [x 1, x 2 ]. Interpretzione fisic: se x è il tempo e f(x) l posizione, quel numero rppresent l velocità medi nell intervllo di tempo [x 1, x 2 ]. Interpretzione economic: se x è il cpitle investito e f(x) il gudgno ricvto, quel numero rppresent il ritorno medio dell umento di investimento d x 1 x 2. Sorge nturle l esigenz di pssre d un concetto medio uno istntneo: l pendenz del grfico in un punto, l velocità di un oggetto in un istnte. Quest srà il vlore del rpporto incrementle qundo i due punti x 1 e x 2 diventno sempre più vicini. Tle vlore verrà detto il limite. Mostro or degli ingrndimenti successivi del grfico di lcune funzioni. Si vede che, per molte funzioni, dopo lcuni ingrndimenti il grfico divent indistinguibile d quello di un rett: diremo che un funzione è derivbile qundo succede questo (sul libro di testo viene dto un enuncito preciso di questo concetto). L rett che pprossim vicino x 0 il grfico dell funzione f(x) viene dett rett tngente. 5

7 Come trovre l rett tngente. Dll definizione dt si cpisce che l rett tngente in x 1 deve essere molto simile lle rette secnti in x 1 e x 2 qundo x 2 si vvicin x 1 : ne è l posizione limite. Attenzione: per le coniche (cerchio, ellisse, prbol, iperbole) l rett tngente in un un punto P è quell rett che intersec l curv nel solo punto P, m in generle questo non è vero. L rett tngente d un curv in un punto P dipende dl comportmento dell curv in un intorno di P. Per clcolre il coefficiente ngolre dell rett tngente in un punto x 0 in [, b], tenimo fisso x 0 e considerimo un ltro punto x in [, b], x x 0, che pensimo vribile; conviene porre tle punto x = x 0 + h in modo che h costituisc l incremento sulle scisse. Se l pendenz medi f(x 0 + h) f(x 0 ) h qundo h tende 0, tende d un numero ben definito, llor questo numero lo chimeremo pendenz del grfico di f nel punto (x 0, f(x 0 )). Tle numero srà il coefficiente ngolre dell rett tngente. Clcoli del rpporto incrementle con f(x) = x 2 e x 0 = 2, e con f(x) = x e x 0 = 1. dimo l seguente Definizione 1 Si dice derivt di un funzione f : [, b] R in un punto x 0 (, b), il numero f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 Per l derivt di f in x 0 useremo nche l notzione d dx f(x) x=x 0. Affinché l definizione precedente si vlid occorre che si precisi cos intendimo con l scrittur lim x x 0 g(x) = L che si legge: limite per ics che tende ics con zero di gi di ics ugule elle In questo corso ci si limiterà un concetto intuitivo e operzionle: in lcuni csi è evidente cos si vvicin g(x) qundo x si vvicin x 0 ; nelle lezioni successive verrnno dte come plusibili lcune regole opertive e lcuni limiti come noti. Ricordo inoltre che se f è derivbile in un punto x 0, il grfico di f(x) si può pprossimre loclmente con un rett di equzione y = + b(x x 0 ), dove = f(x 0 ) e b = f (x 0 ); inftti il coefficiente ngolre b è per definizione l derivt di f, mentre = f(x 0 ) si trov uguglindo il vlore dell funzione e dell rett in x 0. Clcolo delle derivte di f(x) = x 2, f(x) = x 3, f(x) = x, f(x) = 1/x. Si not che tli regole rientrno tutte nell formul generle: se f(x) = x α, f (x) = αx α 1. Si ccett, senz dimostrzione, che tle formul vlg per tutti gli α R. Approssimzione delle derivte. Il rpporto incrementle per h fissto può essere considerto un pprossimzione ll derivt in un punto. In tl cso, si dice nche quoziente di Newton: f (x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ). h Dl punto di vist teorico, l pprossimzione miglior qunto più h è vicino 0; d ltr prte, usndo un clcoltrice, si introducono degli errori in ogni operzione per cui h non può essere rbitrrimente piccolo. 6

8 Un pprossimzione migliore si ottiene con l formul dei tre punti: f (x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 h). 2h Tli pprossimzioni si usno nche nel cso di dti tbulti (d esempio serie storiche in cui i dti sono rccolti ogni nno) per i quli bisogn usre il vlore di h esistente in tbell. Tornndo ll definizione teoric di derivt, vlgono le regole d dx [f(x) + g(x)] x=x 0 = d dx f(x) x=x 0 + d dx g(x) x=x 0 d dx [k f(x)] d x=x 0 = k dx f(x) x=x 0, k R. Tli regole si dimostrno fcilmente usndo l ide che le funzioni f(x) e g(x) sono pprossimte loclmente d rette. 2.3 mercoledì 10 prile - 1 or Derivte di polinomi. Ide che il segno dell funzione derivt corrispond ll crescenz o decrescenz dell funzione: post f(x) = x 2 + 2x 3, studio del segno di f (x) per trovre il mssimo di f(x). Derivt del prodotto e del quoziente. Appliczione ll derivt di f(x) = (x 1)/(x 2 + 2). Clcolo pprossimto dell derivt dell funzione 2 x, nel punto x 0 = 0: clcolimo il rpporto incrementle per h = ±1, = ±0, 1, = ±0, 01, = ±0, 001. Sembr che l derivt in tle punto si minore di 1 e circ ugule 0, lunedì 15 prile - 2 ore (D. Pnizzolo) In modo nlogo qunto visto per 2 x, si stim che l pendenz dell funzione 3 x in x 0 = 0 si mggiore di 1. Si ritiene llor plusibile (si potrebbe dimostrre) che c è un numero, compreso fr 2 e 3, con l proprietà che x h pendenz 1 in x 0 = 0. Questo numero si denot con l letter e. Il numero e non è rzionle e un su stim è 2, Spendo che l derivt dell funzione e x in x = 0 è ugule 1, un semplice clcolo fornisce l regol d dx ex = e x. Composizione di funzioni: esempio e f(x). Dll regol generle sull derivzione delle funzioni composte, si h d dx ef(x) = f (x)e f(x). Richimi sul logritmo. D or in poi per log(x) si intenderà sempre (trnne esplicit scrittur di un divers bse) il logritmo in bse e, spesso chimto logritmo nturle e denotto ln(x). Si h d dx log x = 1 x. Inftti, per ogni x > 0 vle x = e log(x). Derivndo mbo i membri, dll formul si ottiene che d dx log x = 1 x. 1 = d dx x = d dx elog x = e log x ḋ dx log x = x d dx log x 7

9 Prime discussioni sulle proprietà dei grfici delle funzioni, discutendo l uso del linguggio nturle in mtemtic: funzioni crescenti [non-decrescenti, strettmente crescenti] e decrescenti. punti di mssimo e minimo [locli /globli] [stretti o no]. Definizione di mssimo e minimo di un funzione Definizione 2 Si f : A R un funzione. Si dice che f h mssimo se esiste un elemento ā di A tle che per ogni A si h f() f(ā). Il vlore f(ā) si chim mssimo di f. Il punto ā si chim punto di mssimo. Se ā B A e l relzione f() f(ā) vle per ogni B, llor f(ā) si chim mssimo di f su B. Anlogmente si può dre l definizione di minimo di f. Definizione di mssimo e minimo locle (o reltivo) di un funzione Definizione 3 Si f : (, b) R un funzione. Si x 0 (, b). Se esiste un intorno H di x 0 tle che f h mssimo su H, llor si dice che f(x 0 ) è un mssimo locle (o reltivo) di f. Il vlore f(x 0 ) si chim mssimo locle (o reltivo) di f. Il punto x 0 si chim punto di mssimo locle (o reltivo). Anlogmente si può dre l definizione di minimo locle di f che è lscit come esercizio. Osservzione. L definizione di mssimo è tle che se f(x) = c costnte, ogni punto x 0 è punto si di mssimo si di minimo. Si può llor dre l definizione di punto di mssimo stretto (locle o globle) come un punto x 0 tle che f(x) < f(x 0 ) per ogni x x 0 nell insieme considerto. Tle definizione non compre perònei teoremi seguenti. Teorem 1 Si f : (, b) R un funzione derivbile. Si x 0 (, b). Si x 0 un punto di mssimo (minimo) locle. Allor f (x 0 ) = 0. Osservzione. In generle non vle il vicevers. Si consideri, inftti, l funzione f(x) = x 3 e x 0 = mercoledì 17 prile - 1 or (D. Pnizzolo) Definizioni precise di funzione crescente e decrescente. Si perviene infine ll seguente Definizione 4 Si I un intervllo e si f : I R. Si dice che f è crescente su I se x, y I e x y f(x) f(y). Notre che, secondo quest definizione, l funzione costnte f(x) = c è crescente. Poiché ciò non corrisponde ll intuizione, si introduce l nozione di funzione strettmente crescente. Si dice che f è strettmente crescente su I se Si dice che f è decrescente su I se x, y I e x < y f(x) < f(y). x, y I e x y f(x) f(y). 8

10 Rigurdo ll crescenz o decrescenz di un funzione si h il seguente teorem: Teorem 2 Si I un intervllo e si f : I R un funzione derivbile su I. Si h: f è crescente su I se e solo se f (x) 0 per ogni x I; f è decrescente su I se e solo se f (x) 0 per ogni x I. Se f (x) > 0 per ogni x I, llor f è strettmente crescente in I. Se f (x) < 0 per ogni x I, llor f è strettmente decrescente in I. Osservzione. L funzione f(x) = x 3 mostr che è possibile che un funzione si strettmente crescente, m f (x) = 0 in qulche punto (x 0 = 0). Uso del principio :se x 0 un punto di mssimo (minimo) locle. Allor f (x 0 ) = 0. Si dt un funzione derivbile f : (, b) R e un punto x 0 (, b). Per verificre se x 0 è un punto di mssimo o minimo locle, è sufficiente conoscere il segno dell derivt di f in un intorno di x 0. Esempi: f(x) = x 3 2x 2 + x 1/9, f(x) = x 3/2 e 2x. Ricerc dei minimi e mssimi di un funzione f(x) in un intervllo chiuso e limitto. Come trovrli: se f(x) è derivbile, essi possono trovrsi nei punti in cui l derivt si nnull o gli estremi dell intervllo. Esempio: Trovre il mssimo e minimo di f(x) = x 3 2x 2 + x 1/9 su [0, 2]. 2.6 lunedì 22 prile - 1 or Il problem delle ree. Cos è l re di un cerchio? e di un tronco di prbol? Pssimo or un problem più preciso. Si f un funzione nonnegtiv, ossi f(x) 0 per tutte le x; voglimo definire l re sotto il grfico dell funzione e sopr l sse delle scisse compres fr le scisse e b. Esempio dell uso di tle concetto: se f(x) è il tsso cui rrivno telefonte un centrlino l tempo x; se x è l densità di un brr l punto x; più vnti vedremo il cso in cui f(x) è un densità di probbilità. Per definire tle ree considerimo le prtizioni di [, b] e le somme inferiori e somme superiori: l re desidert srà compres fr le somme inferiori e somme superiori. Intuitivmente, potremo dre un senso tle re se, qundo un prtizione divent sempre più fitt (ossi, l lunghezz di tutti gli intervllini che l compongono tende 0), l differenz fr l somm superiore e l somm inferiore tende 0. Affermo che, se f è un funzione continu (definit in modo purmente intuitivo), si può dre un senso rigoroso ll precedente costruzione. In prticolre, si può definire l pprossimzione dell re trmite rettngoli n 1 R n = f(x i )(x i+1 x i ) i=0 dove = x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b è un prtizione di [, b] e si h che, qundo l mpiezz h = mx {x 1 x 0, x 2 x 1,..., x n x n 1 } dell prtizione tende 0, R n tende un vlore ben preciso che rppresent l re l re sotto il grfico dell funzione e sopr l sse delle scisse compres fr le scisse e b e viene detto f(x) dx integrle d b di f. Se inoltre f(x) è derivbile e si h f (x) < M per ogni x (, b) vle R n f(x) dx Mh(b )/2 9

11 dove h è l mssim mpiezz dell prtizione. Nel cso in cui l prtizione si in segmenti tutti uguli (x i+1 x i = (b )/n), l formul precedente si può scrivere R n f(x) dx M(b ) 2 /(2n). Un pprossimzione migliore dell integrle si h trmite l formul dei trpezi, ottenuti congiungendo con segmenti i punti successivi (x i, f(x i ) di un prtizione. 2.7 mrtedì 23 prile - 2 ore Richimo dell definizione di integrle. Come clcolrlo? Nei csi più semplici (f(x) = c o f(x) = x) trmite le formule di geometri elementre (questo è possibile nche nel cso in cui f(x) si linere trtti). Nell mggior prte dei csi, è necessrio usre le pprossimzioni dte dll formul dei rettngoli, o dei trpezi, o ltre più ccurte (per lcune funzioni molto uste i risultti si trovno in tbelle opportune). Esistono però lcune funzioni i cui integrli si possono clcolre in modo estto trmite il clcolo delle primitive. Richimo le nozioni di derivt di un funzione in un punto (è un numero) derivt di un funzione (è un funzione) integrle di un funzione (è un numero) Introduco l nozione di primitiv (in sostnz, l inverso dell derivt) di un funzione. Definizione 5 Sino dte due funzioni f, g definite su di un intervllo I. Si dice che g è un primitiv di f su [,b] se g = f su [, b]. Si considerno lcuni esempi, fr i quli: Ogni funzione costnte è un primitiv dell funzione zero. L funzione x 2 è un primitiv dell funzione 2x. Anche tutte le funzioni del tipo x 2 + c dove c è un costnte, sono primitive di 2x. Le funzioni e x + c sono tutte primitive di e x. Enuncio il teorem: Teorem 3 Se g è un primitiv di f, llor tutte le primitive di f sono del tipo g(x) + c. In ltre prole: se h e g sono primitive di f, llor h g è un costnte. Applicndo questo teorem ll esempio precedente, bbimo che le funzioni e x + c sono tutte le primitive di e x. [Quest frse differisce dll precedente solo per un rticolo, m esprime un concetto diverso!] Come trovre primitive? Alcune (come quelle viste sopr) si trovno gurdndo nel verso opposto l tbell delle derivte. Altre si trovno operndo somme o moltipliczioni per un costnte; d esempio x3 3 è un primitiv di x2 ; 2e x log(x) è un primitiv di 2e x 1/x. In generle, d tutte le regole per il clcolo delle derivte, si ottengono regole per l ricerc di primitive. Provndo per tenttivi vedimo che 1 2 e2x è un primitiv di e 2x ; x log(x) x è un primitiv di log(x). Questi esempi sono il prototipo di tecniche ( integrzione per sostituzione e integrzione per prti ) che non verrnno pprofondite in questo corso. Concludo ffermndo che con queste tecniche si possono trovre funzioni primitive molte funzioni elementri. Esistono però molte ltre funzioni elementri (d esempio f(x) = e x2 ) di cui non è possibile trovre un primitiv come combinzione di funzioni elementri. Cos hnno che fre integrli (che rppresentno delle ree) e primitive (l inverso delle derivte). Un rispost è fornit dl seguente teorem (un delle versioni del teorem fondmentle del clcolo). 10

12 Teorem 4 Si f : [, b] R un funzione continu. Si F : [, b] R un primitiv di f. Allor si h f(x) dx = F(b) F() = F(x) b dove si è introdott l notzione F(x) b = F(b) F(). Quindi, qundo un funzione è dott di un primitiv che si può scrivere esplicitmente, llor è fcile clcolrne gli integrli (formul di Torricelli). Esempi: 1 0 x 2 dx, 2 1 e x dx. Per clcolre integrli più complicti, è spesso utile ricordre che l integrle dell somm è ugule ll somm degli integrli e che le costnti si possono portre fuori dll integrle ; ossi [αf(x) + βg(x)] dx = α f(x) dx + β g(x) dx. Introduco l notzione (che h soprttutto rgioni storiche, m può essere utile nei clcoli, nche se rischi di confondere) di integrle indefinito; esso si denot come f(x) dx e rppresent l insieme delle primitive dell funzione f. L notzione è molto simile quell dell integrle (detto nche per contrsto integrle definito) eccetto che mncno gli estremi dell intervllo di integrzione, m è un concetto molto diverso: l integrle [definito] è un numero che rppresent un re orientt; l integrle indefinito è un insieme di funzioni. L notzione è simile perché (formul di Torricelli) si h f(x) dx = f(x) dx b dove con f(x) dx si indic un funzione qulunque dell insieme di primitive. 2.8 mercoledì 24 prile - 1 or L funzione densità di probbilità normle (o gussin) stndrd: p(x) = 1 2 2π e x /2. Cos rppresent p(x) dx. Lettur delle tbelle. Stndrdizzzione di vribili csuli normli con medi divers d 0 e/o devizione stndrd divers d 1. Esercizi vri. 11