Appendice 2B: Probabilità e densità di probabilità

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Francesca Giuliani
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1 Appendice B: Proilità e densità di proilità Concetto di proilità normlmente pplicto eventi csuli non predeterminili! Esempi di eventi cusli: Vlori limite: P A 0 : A P : A uscit dell fcci 6 nel lncio di un ddo B misur di un ltezz compres tr.75 cm e.77 cm con un person seleziont csulmente In ogni singol relizzzione esperimento, prov si suppone esistno solo due possiilità: l evento csule si relizz, oppure non si relizz. Per quntificre l relizzilità dell evento csule, si introduce l su proilità ProA { } che ssume vlori nel corpo dei numeri reli con il vincolo 0 Pro{ A } A se l evento A è impossiile: non si relizz mi! se l evento A è certo: si relizz sempre!

2 Qule significto empirico ttriuire ll proilità? Cmpione sttistico costituito d prove in cui l evento si relizz un numero di volte. A el limite di un numero infinito di prove, l frequenz con cui si relizz l evento A tende l vlore dell su proilità : A Pro A ot: cmpioni sttistici diversi con l stess numerosità in genere producono frequenze diverse. Il limite numerosità infinit del cmpione sttistico è richiesto per identificre un vlore univoco dell frequenz. Composizione dell proilità: dti due eventi e incomptiili che non si possono relizzre contempornemente, l proilità che si relizzi l unione dei due eventi cioè uno dei due eventi è A B Pro A B Pro A + Pro B Esempio nel lncio di un ddo: Eventi incomptiili: A uscit dell fcci 3, B uscit dell fcci 6 CA B : uscit di un fcci multiplo di 3 ProC ProA +ProB A B A

3 Come crere un funzione numeric per l proilità? Come descrivere in termini numerici i possiili eventi csuli? Descrizione degli esiti di prove csuli secondo il vlore ssunto misurto di un proprietà dett vriile stocstic letori, cioè non predeterminile. Esempi: età di un person scelt cso: vriile stocstic discret. ssume vlori interi. ltezz di un person scelt csulmente: vriile stocstic continu. umeri reli come possiili vlori di Vlore medio medi delle vriile stocstic in un cmpione sttistico costituito d vlori,,, n n Generlizzzione: medi di un funzione f dell vriile stocstic f n f n Limite per individure vlori univoci delle medie 3

4 4 interpretto come vlore tipico dell vriile Qunt è il tipico scostmento dll medi? 0 : + Scostmento qudrtico medio : : σ vrinz come misur dello scostmento dll medi Le descrizioni sttistiche proilistiche di vriili stocstiche discrete e continue sono intrinsecmente diverse e vnno considerte seprtmente.

5 Sttistic di vriili stocstiche discrete Possiili vlori di numeri interi indicti con A Proilità dell evento csule che l vriile stocstic ssum il vlore : P : Pro A Pro Corrispondenz con l frequenz dell evento in un cmpione sttistico con elementi : P numero di esiti con ormlizzzione dell proilità P Giustificzione: Sommtori estes tutti i possiili vlori dell vriile stocstic 5

6 Medi di un funzione f delle vriile stocstic: f : f P sommtori su tutti i possiili vlori dell vriile stocstic Giustificzione: in un cmpione sttistico costituito di vlori dell vriile stocstic, l medi f n f n,,, può essere vlutt sommndo tutti i possiili vlori dell funzione moltiplicti per il di volte che si relizzno f f el limite : f f P f 6

7 Sttistic di vriili stocstiche continue Vlori possiili per : numeri reli A differenz del cso delle vriili stocstiche discrete, l proilità che ssum un dto vlore non è informtiv vedere il seguito: isogn introdurre l proilità che l vriile stocstic cd in un intervllo. A Proilità dell evento csule che l vriile stocstic si compres nell intervllo definito di prmetri < A : < P, : Pro A Pro < ormlizzzione: P, Dll regol di composizione dell proilità: per fissti Pro < c Pro < + Pro < c P, c P, + P, c c < < c 7

8 P, + Densità di proilità: p : lim 0 Se p è continu e è piccolo sufficienz: P, otzione differenzile: P, + d p d + p ot: l contrrio dell proilità che è dimensionle, l densità di proilità h un precis dimensionlità dt dll inverso di. Importnte: l proilità che l vriile stocstic i un vlore fissto è null: L densità di proilità consente di vlutre l proilità per un dto intervllo P, d p Verific: Pro lim 0 P, + lim 0 p 0 P, + P, P, + P, lim 0 lim 0 p P, p d d P, P, P, P, 0 8

9 ormlizzzione dell densità di proilità: d p P, L densità di proilità consente il clcolo dei vlori medi f f,,, f d p f Verific: cmpione sttistico dell vriile stocstic nel limite numerosità infinit f n f n Discretizzzione dell sse in intervlli di mpiezz { / < + / } p Pro + numero di misure di compreso nel -esimo intervllo: / < + / 0 f f p d p f per 0, ±, ±, 9

10 0 Esempio: distriuzione omogene per?, σ < < p K p < < : K K d K p d Vlore dell densità di proilità dll normlizzzione, d p d + Clcolo del vlore medio ot: l distriuzione omogene costnte su tutto l sse rele non è definit poiché non è normlizzile

11 d p d + 3 σ Clcolo dell vrinz y + : 3 3 y y dy 3 3 / / / /

12 Distriuzione gussin normle: G σ G σ : ep σ / σ π σ ln. 355σ dg 0 σ dgσ 0 dgσ Distriuzione gussin centrt in 0 e vrinz σ : p G σ 0 σ

13 Limite per σ 0 dell distriuzione gussin 5 4 G σ 0 p G 0 σ 3 σ 0. Per σ 0 l distriuzione è confint non null solo in 0 σ 0 : p δ 0 delt di Dirc L delt di Dirc non è un funzione ordinri: sree null dppertutto slvo in 0 dove sree infinit, pur preservndo l normlizzzione! Proprietà fondmentle dell delt di Dirc: 0 σ 0.3 σ d f δ lim d f G f lim d G f 0 σ 0 σ 0 0 σ 0 σ 0 0 3

14 D integrle definito singolo integrli multipli d f I d d f, Dt f, : d f, g è un funzione di I : d g d d f, Esempio: I d d y y d + dy y 0 I + + d 0 0 Anlogmente per un numero mggiore di vriili: I d d d f,,, + + 4

15 Generlizzzione: densità di proilità in dimensioni :,,, vriile stocstic dimensionle Proilità che cd nel volume centrto in,, : dv p dv dv dd d : elemento infinitesimo di volume p : densità di proilità ormlizzzione: dv p dv p d d d p,,, f dv p f Vlore medio dell funzione f dell vriile stocstic 5

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