Metodi statistici per l analisi dei dati

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1 Metodi sttistici per l nlisi dei dti Introduzione In ogni esperimento, possono essere presenti diversi fttori di disturo che mplificno l vriilità presente nei dti. In genere, si definisce fttore di disturo un fttore presente nell cmpgn sperimentle che proilmente h un effetto sull rispost m non simo interessti d esso. Tli fttori di disturo possono essere: ignoti e incontrollti (possiile rimedio: rndomizzzione) noti e incontrollti noti e controllili L tecnic del loccggio (in inglese: locking) può essere ust nell ultimo cso per eliminre sistemticmente gli effetti dei disturi dll nlisi sttistic. Rndomized Complete Block Design

2 Introduzione Esempio introduttivo Si considerino 4 diverse punte di metllo e si vuole confrontre l loro cpcità di incidere su metllo. Per ciscun punt si intendono ripetere 4 prove sperimentli su 4 diversi stmpi di metllo usndo un ordine del tutto csule per le prove (rndomizzzione). Il numero totle di prove sperimentli è pertnto N=4 4=6 Prolem: Un ulteriore sorgente di vriilità può essere dt dlle diverse durezze degli stmpi che sono uste per il test. L errore sperimentle complessivo rifletterà quindi (i) l componente csule e (ii) l vriilità presente tr gli stmpi. Introduzione Esempio introduttivo Strtegi: Testre ciscun punt di metllo un ed un sol volt su ogni stmpo. Intuitivmente, si fiss l eventule fttore di disturo (locco) per identificre (e quindi eventulmente filtrre ) l vriilità dovut d esso Nel cso in esme: Trttmento punt Blocco stmpo Rndomized Complete Block Design

3 Rndomized complete lock design Definizioni L strtegi sperimentle propost prende il nome di cmpgn sperimentle rndomizzt complet, in inglese: rndomized complete lock design (RCBD) rndomized: l ordine delle prove sperimentli è stilito comunque in modo csule complete: ogni locco contiene tutti i trttmenti Procedur molto comune nelle ppliczioni, per isolre l eventule influenz di fttori di scrso interesse opertori specifici tch diversi di mterili tempo etc. Rndomized complete lock design Anlisi sttistic Si consideri il cso in cui si ino: distinti trttmenti C è un sol osservzione per trttmento in ogni locco. L ordine con cui sono stte eseguite le prove è csule. Blocco Blocco Blocco ij i-esimo trttmento i=,, j-esimo locco j=,, Rndomized Complete Block Design 3

4 Rndomized complete lock design Anlisi sttistic Il modello sttistico per effetti può essere scritto: ij m ti j eij i,,, j,,, m Medi complessiv t i Effetto del trttmento i-esimo j effetto del locco j- esimo e ij Errore sperimentle e ij ~N(0,s ) Rndomized complete lock design Anlisi sttistic Anche in questo cso l soluzione del modello è indetermint meno che non sino fissti dei vincoli: t 0 i i 0 j j Rndomized Complete Block Design 4

5 Rndomized complete lock design Anlisi sttistic L ipotesi null d verificre per il cso in esme è ncor l eguglinz delle medie: H 0 : H : m =m = =m m i m j per lmeno un coppi (i,j) Inoltre, dto che mi m t j i j m ti j j m t i Le ipotesi possono nche essere scritte come: H 0 : t =t = =t =0 H : t i 0 per lmeno un i Rndomized complete lock design Anlisi sttistic Definizione grndezze utili per l nlisi sttistic j i j i ij ij i i j ij i j j Totle osservzioni per il trttmento i-esimo Totle osservzioni per il locco j-esimo Totle di tutte le osservzioni i i Medi trttmento i-esimo j j N Medi osservzioni per il locco j-esimo Grnde Medi per tutte le osservzioni Rndomized Complete Block Design 5

6 Rndomized complete lock design Anlisi sttistic È possiile definire l somm totle corrett dei qudrti T i j ij i j i j i j ij Espndendo il secondo memro e verificndo che i prodotti misti sono nulli si tterr ll seguente espressione T i j i j ij i j i ij j i j Rndomized complete lock design Anlisi sttistic Qulche considerzione ij i j ij i j i j T i Tretments j Blocks i j E Somm dei qudrti totle - gdl Somm dei qudrti spiegt di trttmenti - gdl Somm dei qudrti spiegt di - gdl Somm dei qudrti residu Errori (-)(-) gdl Rndomized Complete Block Design 6

7 Rndomized complete lock design Anlisi sttistic Se è soddisftt l ssunzione di normlità, l sttistic F 0 Tretments E è quindi un F di Fisher ((-), (-) (-)) gdl che può essere clcolt e confrontt con i corrispondenti vlori critici. MS MSE Tretments Rndomized complete lock design Tell ANOVA L procedur può essere sintetizzt nell tell ANOVA: Sorgente di vrizione Somm dei qudrti Grdi di liertà Vrinz F 0 Trttmenti Tretments - Tretments /(-) MS Tretments /MSE Blocchi Blocks - Blocks /(-) Errore E (-) (-) E/((-)(-)) Totle T - Rndomized Complete Block Design 7

8 Rndomized complete lock design Formule per il clcolo mnule L procedur ANOVA è in genere eseguit con softwre specifici Nel cso si de procedere l clcolo mnule può essere conveniente ricorrere d lcune formule semplifictive per le somme dei qudrti: T i j Tretments Blocks ij N i i N j j N E T Tretments Blocks Rndomized complete lock design Esempio Si consideri il cso di studio presentto nell introduzione: ci sono quttro punte per quttro stmpi. In seguito ll cmpgn sperimentle si sono ottenuti i seguenti risultti: Tipo di punt (Trttmento) Stmpi (Blocco) Rndomized Complete Block Design 8

9 Rndomized complete lock design Esempio Applicndo un trsformzione linere è possiile codificre i dti in modo che sino più semplici d gestire: * Tipo di punt (Trttmento) Stmpi (Blocco) 3 4 i j =0 Rndomized complete lock design Esempio Applicndo le formule si perviene : T i j Tretments Blocks ij N j i i j N N 4 E T Tretments Blocks Rndomized Complete Block Design 9

10 Rndomized complete lock design Esempio: Tell ANOVA Tell Anov per l esempio Sorgente di vrizione Somm dei qudrti Grdi di liertà Vrinz F 0 P-vlue Trttmenti (tipo di punt) Blocchi (stmpi) Errore Totle Rndomized complete lock design Esempio: Tell ANOVA D notre che, nel cso in cui vessimo trscurto l vrinz dei, il test ANOVA fttore singolo vree riportto i risultti illustrti in tell: Sorgente di vrizione Trttmenti (tipo di punt) Somm dei qudrti Grdi di liertà Vrinz F 0 P-vlue Errore Totle Si not come i rndomizzti ino permesso un significtiv diminuzione dell errore, e conseguente riduzione delle incertezze sul test effettuto Rndomized Complete Block Design 0

11 Rndomized complete lock design Studio degutezz del modello Anche in questo cso uno strumento molto utile può essere l nlisi dei residui eij ij ˆ ij ij i j Osservzione sperimentle Previsione del modello Anlogmente llo studio sul singolo fttore si possono considerre i residui stndrdizzti: d ij e ij MSE Rndomized complete lock design Anlisi dei residui Digrmm dei residui su crt proilistic Proilit Norml Proilit Plot Residui I dti si dispongono con uon pprossimzione sull rett L ssunzione di normlità dell errore sperimentle risult rgionevole Rndomized Complete Block Design

12 Rndomized complete lock design Anlisi dei residui Rppresentzione dei residui rispetto i trttmenti e i e ij 0 e ij e ij rispetto i trttmenti e ij rispetto i Rndomized complete lock design Anlisi dei residui Rppresentzione dei residui rispetto lle previsioni del modello. e ij e rispetto i residui ij Anche quest nlisi non evidenz prticolri difetti nel modello. Nel cso di form curvilinere dei residui, si può ipotizzre un interzione tr e trttmenti In tl cso, si può tentre di trovre un trsformzione che minimizzi l interzione Rndomized Complete Block Design