CAPITOLO XII ANALISI FATTORIALE, DISEGNI COMPLESSI CON FATTORI INCROCIATI

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1 CAPITOLO XII ANALISI FATTORIALE, DISEGNI COMPLESSI CON FATTORI INCROCIATI.. Anlisi fttorile ed interzione.. Interzione tr due fttori più livelli.3. Rppresentzione grfic dell'interzione due fttori 8.4. Anlisi dell vrinz due fttori con repliche ineguli 0.5. Il test T di Tukey per il confronto tr le medie in disegni due fttori con repliche 3.6. Esperimenti fttorili x e x x con i confronti ortogonli 7.7. Esperimenti fttorili con P fttori k livelli Test di Tukey per l non-dditivit con df 4.9. Qudrti ltini con repliche Lettur di un tbulto informtico 58

2 C A P I T O L O XII ANALISI FATTORIALE E DISEGNI COMPLESSI CON FATTORI INCROCIATI.. ANALISI FATTORIALE ED INTERAZIONE Qundo si studino due o più fttori vri livelli, non import se qulittivi (come diversi tipi di frmci) o quntittivi (quli l quntità di frmco o l clsse d età), spesso l interesse è rivolto d nlizzre non i singoli effetti, m le interzioni tr i fttori: se, come e qunto ogni livello o modlità di un fttore intergisce con quelli degli ltri fttori, esminti in tutte le combinzioni. Ad esempio, qundo si somministr un frmco persone di di età e di sesso diverso, può essere di grnde importnz spere se esso h effetti differenti, potenziti o inibiti, nei giovni rispetto gli dulti o gli nzini, nei mschi rispetto lle femmine Se non esiste interzione, il frmco medimente migliore srà il più dtto per tutte le persone e potrà essere somministrto tutti indifferentemente, in qulunque condizione; m se esiste un su interzione con l età e/o con il sesso, occorre procedere d un scelt pproprit medinte lo studio delle interzioni. Nell ricerc mbientle, qundo si confrontno i livelli d inquinmento in vrie zone di un città tenendo in considerzione nche l or, è probbile che le ree d inquinmento mggiore non sino sempre le stesse, m che presentino vrizioni in rpporto ll fse del giorno. Il trffico e l ttività delle fbbriche, che non hnno l stess intensità tutte le ore del giorno e sono distribuiti sul territorio in modo non omogeneo, possono determinre grdutorie d inquinmento che si modificno nel corso dell giornt. Di conseguenz, nche le politiche d intervento potrnno essere diverse, se l interzione tr zone ed ore è significtiv qundo si nlizzno i livelli d inquinmento. Gli esperimenti fino d or nlizzti nei due precedenti cpitoli sull nlisi dell vrinz permettono di evidenzire gli effetti principli di ogni fttore, i suoi diversi livelli; m esistono nche effetti più complessi, determinti dll loro zione congiunt, l interzione. Qundo si nlizzno due fttori (α e β), come nel disegno blocchi rndomizzti con repliche, si prl di interzione di primo ordine o di interzione due fttori (αβ). Con 3 fttori con repliche, si hnno - gli effetti principli dei 3 fttori (α, β, γ), - le 3 interzioni di primo ordine (αβ, αγ, βγ) custe dll effetto dei fttori due due ed infine - un interzione di secondo ordine (αβγ), determint dll effetto congiunto dei tre fttori.

3 Qundo si considerno contempornemente molti fttori, il numero delle loro combinzioni di primo ordine e di ordine superiore cresce in modo rpido; divent difficile nlizzre tutte le interzioni. Per esempio, con 4 fttori (α, β, γ, δ) nel modello dditivo dell nlisi dell vrinz con interzione, per ogni singolo vlore X ijkp è possibile stimre gli effetti di 7 quntità X ijkp = µ + α i + β j + γ k + δ p + αβ ij + αγ ik + αδ ip + βγ jk + βδ jp + γδ kp + αβγ ijk + αβδ ijp + dove: - µ è l medi generle; + αγδ ikp + βγδ jkp + αβγδ ijkp + ε ijkpr - α i, β j, γ k, δ p sono i 4 effetti principli (cioè le C 4 ); - αβ ij, αγ ik, αδ ip βγ jk, βδ jp, γδ kp sono le 6 interzioni di primo ordine o due fttori (cioè le C 4 ); - αβγ ijk, αβδ ijp, αγδ ikp, βγδ jkp sono le 4 interzioni di secondo ordine o tre fttori ( C ); - αβγδ ijkp è l interzione di terzo ordine o quttro fttori ( C ); - ε ijkpr è l vrinz d errore o residuo, misurt ttrverso le differenze delle repliche rispetto ll medi di csell ll incrocio tr i 4 fttori Con l nlisi fttorile dell vrinz, è possibile fornire un misur per ognuno di questi effetti e stimre l significtività si dei fttori principli si delle interzioni dei vri ordini. In questo modello dditivo, si hnno - si interzioni positive (qundo l presenz di un fttore potenzi l effetto dell ltro), - si interzioni negtive (qundo uno o più fttori si inibiscono in modo vicendevole). Non esiste interzione e si prl di interzione null, qundo il risultto complessivo è determinto esclusivmente dll somm dei singoli effetti principli... INTERAZIONE TRA DUE FATTORI A PIU LIVELLI Per il rpido incremento dell complessità dell nlisi ll umentre del numero di fttori, lo studio dell interzione è qui limitto i csi più semplici. Come già vvenuto per vri ltri rgomenti e come srà ripetuto nche in ltri csi dei cpitoli successivi, per nlisi più complesse che superno le finlità di questo corso elementre si rinvi trttzioni specifiche. Con due fttori e con dti riportti in un tbell due entrte, secondo le modlità già presentte nel cso di esperimenti blocchi rndomizzti, è possibile nlizzre l interzione solo qundo si dispone di più osservzioni in ognun delle celle poste ll'incrocio tr righe e colonne.

4 Il modello dditivo dell'anova divent X ijk = µ + αi + β j + αβij + ε ijk dove: - µ è l medi generle che, riferit i dti dell esperimento, è stimt nel modo migliore medinte l medi cmpionri di tutti i dti X - α i è l'effetto del trttmento i che, con i dti cmpionri, può essere clcolto come differenz dell su medi dll medi generle: α i = Xi X - β j è l'effetto del blocco j che, nell esperimento, è determinto dll differenz dell su medi dll medi generle: β j = Xj X - αβ ij è l'interzione tr l'effetto α del trttmento i e l'effetto β del trttmento j; con dti sperimentli, può essere misurt come somm dei qudrti delle differenze tr l medi osservt e quell ttes entro ogni csell dove n p αβ ij = X ij Xij i= j= ( $ ) - X $ ij è l medi ttes e può essere clcolt sommndo ll medi generle l'effetto-rig e l'effettocolonn ll qule l csell pprtiene: X$ = X + ( X X) + ( X X) = X + X X ij i j i j - ε ijk è l differenz tr un singol osservzione e l su medi di csell: ε ijk = X ijk Xij L devinz totle, quell tr trttmenti e quell tr blocchi sono clcolte con le stesse modlità già spiegte nel cpitolo precedente. L devinz d interzione SQ( αβ ) secondo l formul euristic è l somm dei qudrti degli scrti tr medi osservt e medi stimt in ogni csell 3

5 n p SQ( αβ ) = ( X X $ ij ij ) = ( X ij X i X j + X) i= j= n i= p j= mentre l devinz entro od errore SQ( ε ) è l somm dei qudrti degli scrti di ogni replic dll su medi di csell SQ( ε) = n p r (X ijk Xij) i= j= k= Di conseguenz, nel modello ANOVA due fttori con repliczioni, l devinz totle può essere suddivis in 4 devinze: - devinz del fttore α; - devinz del fttore β ; - devinz dovut ll'effetto dell'interzione αβ; - devinz d'errore o residuo. Esse ed i loro gdl godono dell proprietà dditiv Devinz = Devinz + Devinz + Devinz + Devinz totle α β αβ errore che permette di verificre i clcoli oppure di stimre un di esse prtire dlle ltre quttro. In questo modello, di norm i dti sono riportti in un tbell secondo lo schem generle successivo. In esso, - i trttmenti sono indicti in colonn, - i blocchi sono indicti nelle righe, - le repliche sono riportte nelle cselle, ll incrocio tr trttmenti e righe: 4

6 TRATTAMENTI BLOCCHI A B C D Totle di rig Medi di rig I X ij X ij Repliche Repliche Repliche S jr X j II Repliche Repliche Repliche Repliche II Repliche Repliche Repliche Repliche Totle di colonn S ir Totle S ijr generle Medi di colonn X i Medi X generle e dove - X ijk è il vlore dell k-esim osservzione nel livello i-esimo del fttore A (trttmento) e nel livello j-esimo del fttore B (blocco), - Sij e Xij sono rispettivmente l somm e l medi dei vlori (repliche) dell csell, colloct ll'incrocio tr il trttmento i-esimo ed il blocco j-esimo, ed inoltre, con l simbologi consuet, - Sir e X i sono l somm e l medi dei vlori per l colonn i del fttore A (trttmenti), - Sjr e X j sono l somm e l medi dei vlori per l rig j del fttore B (blocchi), - S e ijr X sono l somm e l medi generle. Per vlutre l significtività delle differenze tr i vri livelli del fttore A e del fttore B oltre quell dell'interzione AB, il test F dell'nlisi dell vrinz richiede il clcolo delle quntità riportte nell tbell sottostnte, con i reltivi gdl: 5

7 DEVIANZA GDL VARIANZA Totle npr- --- Tr medie delle cselle o tr fttori np- --- Tr trttmenti o del fttore A n- Tr trttmenti Tr blocchi o del fttore B p- Tr blocchi Interzione A B (n-) (p-) Interzione Errore (r-) (np) Errore - dove, - n è il numero di livelli del fttore A; - p è il numero di livelli del fttore B; - r è il numero di repliche entro ogni csell. Come per l devinz totle, l devinz tr le medie di csell o devinz di tutti i fttori non è utile l clcolo dei test F; ess h solo il duplice scopo di - essere didtticmente utile per comprendere più compiutmente il significto delle ltre devinze e - soprttutto di permettere clcoli più semplici per ottenere l devinz d'interzione, medinte un semplice differenz con le devinze già note dei fttori A e B nlizzti in modo seprto. L devinz totle SQ(T), definit come l somm dei qudrti degli scrti di ogni dto rispetto ll medi generle, con l formul bbrevit può essere clcolt come differenz tr l somm dei qudrti di ogni dto ed il qudrto dell somm generle diviso il numero totle di dti (chimto nche termine di correzione): n p r SQ( T) = ( X X) = X ijk i= j= k= i= j= k= n p r ijk n p ( X ) i= r j= k= Il numero di gdl dell devinz totle è ugule l numero totle di dti od osservzioni meno uno (npr- ). npr ijk 6

8 L devinz tr le medie delle cselle o devinz dei fttori, indict con SQ ( Xij), per definizione è l somm dei qudrti degli scrti di ogni medi di csell dll medi generle, moltiplict per il numero di dti entro ogni csell; per comprendere il significto dell formul, è utile ricordre che, se esistesse solmente l vribilità tr le cselle, tutte le repliche entro ogni csell vrebbero lo stesso vlore. Con l formul bbrevit, quest devinz può essere clcolt per differenz tr l somm dei qudrti delle somme dei dti entro ogni csell diviso il numero di repliche e tr il qudrto dell somm generle diviso il numero totle di dti (termine di correzione): SQ( Xij) = n p i= j= r( X ij X ) = r n p ( k = i= j= X r ijk ) ( n p r i= j= k= npr X ijk ) Il numero di gdl dell devinz tr le medie di ogni csell è ugule l numero di cselle meno uno, corrispondente (np-). L devinz tr trttmenti o del fttore A, indict con SQ(A), è l somm dei qudrti degli scrti tr l medi di ogni trttmento e l medi generle, moltiplict per il numero di dti del trttmento; inftti se l vribilità fosse determint solmente dgli effetti del trttmento, tutti i dti dello stesso trttmento dovrebbero essere tr loro uguli. Con l formul bbrevit, l devinz tr trttmenti può essere clcolt per differenz tr l somm dei qudrti dell somm di ogni trttmento, diviso il numero di dti del trttmento, e tr il qudrto dell somm generle diviso il numero totle di dti (termine di correzione): n ( X ) ( X ) SQ( A) = pr( Xi X) = pr i= n i= p r j= k= ijk n i= p r j= k= npr ijk L devinz tr blocchi o del fttore B, indict con SQ(B) è l somm dei qudrti degli scrti tr l medi di ogni blocco e l medi generle, moltiplict per il numero di dti del blocco: se l vribilità tr le osservzioni fosse determint solmente dll'effetto del blocco, tutti i dti dello stesso blocco dovrebbero vere lo stesso vlore. Con l formul bbrevit, l devinz tr blocchi può essere clcolt per differenz tr l somm dei qudrti delle somme di ogni blocco, divis per il numero di dti del blocco, e tr il qudrto dell somm generle diviso il numero totle di dti (termine di correzione): 7

9 X X p p ( ijk ) ( ijk ) i= k= i= j= k= SQ( B) = nr( X j X) = nr npr j= j= n r n p r L devinz d'interzione tr i fttori A e B, indict con SQ(AB), è l somm dei qudrti degli scrti di ogni medi di csell rispetto l vlore tteso dll'effetto trttmento e dll'effetto blocco ritenuti dditivi n p SQ( AB) = r( Xij Xi X j + X) i= j= In modo molto più semplice e veloce, l devinz d'interzione e i suoi gdl sono misurti per sottrzione dll devinz tr le medie delle devinze si del fttore A che del fttore B: SQ(AB) = SQ(X ) - SQ(A) - SQ(B) ij L devinz d'errore o residuo, indict con SQ(e), per definizione è l somm dei qudrti degli scrti di ogni vlore rispetto ll medi dell su csell: n p SQ(e) = (X - X ij) r i= j= k= ijk Con r dti entro ogni csell, i suoi gdl sono n p (r -). Più rpidmente, l devinz d'errore è ottenut sottrendo dll devinz totle l devinz tr le medie delle cselle: SQ(e) = SQ(T) - SQ(X ij ) Dividendo l devinz tr trttmenti, quell tr blocchi, quell d'interzione e quell d'errore per i rispettivi gdl si ottengono le vrinze corrispondenti: S = A SQ(A) n- ; S = B SQ(B) p- ; S = SQ(AB) AB (n-)(p-) ; S = e SQ(e) np(r-) Nel modello ANOVA due fttori con repliche, si possono verificre 3 ipotesi distinte ed eseguire i tre test corrispondenti. - Si verific l'ipotesi null di nessun differenz tr le medie del fttore A: 8

10 H: 0 µ = µ = µ 3 =... = µ n contro l'ipotesi lterntiv: H : non tutte le medie sono tr loro uguli µ medinte il test F, con gdl n- l numertore e np(r-) l denomintore, F = s (n-), np(r-) s dove l'ipotesi null viene respint se il rpporto super il vlore critico ll significtività α prescelt. A e - Si verific l'ipotesi null di nessun differenz tr le medie del fttore B contro l'ipotesi lterntiv H: 0 µ = µ = µ 3 =... = µ p H : non tutte le µ sono tr loro uguli medinte il test F con gdl p- l numertore e np(r-) l denomintore SB F( p ), np( r ) = Se dove l'ipotesi null viene respint se il rpporto super il vlore critico ll significtività prescelt. 3 - Si verific l'ipotesi null di nessun interzione tr i fttori A e B i vri livelli H 0 : AB ij = 0 per ogni i e j contro l'ipotesi lterntiv H : AB ij 0 per lmeno un ij medinte il ricorso d un test F con gdl - (n-)(p-) l numertore - np(r-) l denomintore F ( n )( p ), np( r ) = e si respinge l'ipotesi null se il rpporto super il vlore critico ll probbilità α prefisst. S S AB e ESEMPIO. Si vuole verificre se insetti dulti dell stess specie che vivono in 4 loclità differenti (A, B, C, D) hnno differenze significtive nelle loro dimensioni, considerndo pure che dll primver ll'utunno continuno d umentre. 9

11 LOCALITA A B C D Primver Estte Autunno In ltri termini, ci si chiede se l crescit è divers nelle 4 loclità in rpporto lle stgioni (per semplificre l mssimo i clcoli, sono stte riportte solmente misure per loclità e stgione). Rispost. E un nlisi due fttori con repliche, con nlisi dell interzione tr loclità e stgioni. Dpprim si devono stimre i totli e le medie, necessri per i clcoli successivi LOCALITA' A B C D Totli Medie Primver ,50 Totli (95) (0) (35) (00) Medie (47,5) (60,0) (67,5) (50,0) Estte ,50 Totli () (46) (54) (6) Medie (6,0) (73,0) (77,0) (58,0) Autunno ,875 Totli (49) (57) (70) (47) Medie (74,5) (78,5) (85,0) (73,5) Totli gen Medie gen. 6,00 70,50 76,50 60,50 67,5 0

12 - L devinz totle, con 3 gdl (per tutti e 4 i dti) è ottenut con e corrisponde : (45-67,5) + (50-67,5) (70-67,5) + (77-67,5) = L devinz tr le medie delle cselle o dei vri livelli dei due fttori, con gdl (le medie delle cselle ll incrocio loclità per stgione sono ) è dt d (47,5-67,5) + (60,0-67,5) (73,5-67,5) e corrisponde (con i totli delle cselle) = L devinz tr trttmenti o del fttore A, con 3 gdl è clcolt (per le 4 medie di colonn) d Devinz = 6 (6,00-67,5) + 6 (70,50-67,5) (60,50-67,5) A ed è ugule (con i totli dei 4 trttmenti): 366 Devinz A = = L devinz tr blocchi o del fttore B, con gdl è ottenut medinte Devinz = 8 (56,50-67,5) + 8 (67,50-67,5) + 8 (77,875-67,5) B e corrisponde (con i totli dei 3 blocchi) Devinz B = - = L devinz d'interzione AB viene stimt per differenz: DevinzAB = Devinztr medie DevinzA DevinzB = = 97 e nello stesso modo vengono clcolti i rispettivi gdl gdlab = gdltr medie gdla gdlb = 3 = 6 - L devinz d'errore o residuo nei clcoli mnuli viene qusi sempre stimt per differenz Devinzerrore = Devinztotle - Devinztr medie = = 48 e nello stesso modo sono clcolti i suoi gdl gdlerrore = gdltotle - gdltr medie = 3 - =

13 I gdl dell devinz d'errore possono essere clcolti nche in modo diretto: ognun delle cselle con dti contribuisce ll devinz d'errore complessiv con gdl, fornendo un totle di gdl. E' utile disporre le devinze e i gdl in tbell, con il clcolo delle 4 vrinze utili i 3 test F: DEVIANZA GDL VARIANZA Totle Tr medie Tr trtt. (A) ,33 Tr blocchi (B) ,50 Interzione (AB) ,6 Errore 48 0,66 Per le differenze tr trttmenti o effetto del fttore A si clcol un test F con gdl 3 e F = 36,33 3, = 7, 49 0,66 il cui vlore critico ll probbilità α = 0.05 è ugule 3,49. Per le differenze tr blocchi o effetto del fttore B si clcol un test F con gdl e 935, 5 F, = = 45, 8 0, 66 il vlore critico del qule ll probbilità α = 0.05 è 3,89. Per l'effetto dell'interzione AB si clcol un test F con gdl 6 e F = 6,6 0,66 = 0,78 6, che fornisce un rpporto inferiore d e quindi non è significtivo. Con i risultti dell'esempio, si possono trrre le conclusioni reltive i tre test F: - nelle 4 loclità, le dimensioni medie degli insetti sono significtivmente differenti;

14 - tr primver, estte ed utunno le dimensioni medie degli insetti vrino significtivmente; 3 - non esiste interzione: nelle 4 loclità le dimensioni medie degli insetti vrino con intensità simile durnte le stgioni. Il disegno sperimentle dell nlisi dell vrinz più criteri è l ver novità introdott d Fisher; su di ess si fond l sttistic modern. Con l'ssunzione che l ntur risponde solmente domnde semplici, si er diffuso tr i ricerctori un metodo d'indgine che imponev l vrizione di un solo fttore sperimentle ll volt. Fisher dimostrò il vntggio del disegno sperimentle di tipo fttorile: se si seguono contempornemente più fttori, si riesce d evidenzire le loro interzioni e si h un visione più corrett dell complessità delle risposte. Si ottengono nche i vntggi di poter utilizzre un numero minore di osservzioni e di ridurre sensibilmente l vrinz d'errore. Gli esperimenti fttorili per l nlisi dell interzione tr fttori vri livelli sono condotti in lbortorio ltrettnto spesso che nelle ricerche di cmpgn. Per chi non h esperienz, l pproccio metodologico utilizzto in lbortorio ppre diverso d quello impiegto in cmpgn, poiché i risultti spesso sono presentti in tnte colonne, qunte sono le combinzioni dei livelli dei due fttori confronto, come se si trttsse di un nlisi d un criterio di clssificzione. Con il fttore A tre livelli (,, 3 ) ed il fttore B due modlità (b e b ) si devono formre 6 gruppi, dte dlle loro combinzioni, ognuno con lo stesso numero d osservzioni. Di norm i risultti sono riportti in un tbell che solo pprentemente è d un sol entrt. b b b b X X X b 3b X X X X 3 X 3 X 3 X X E sufficiente un corrett impostzione tbellre come quell sottostnte 3

15 3 b Repliche Repliche Repliche b Repliche Repliche Repliche per rendere evidente che si trtt di un esperimento due fttori con repliche. E quindi un esperimento fttorile, con il qule è possibile nlizzre contempornemente se esiste differenz tr le vrie modlità entro ognuno dei due fttori e se l interzione tr loro è significtiv. ESEMPIO. Si vogliono verificre gli effetti di 3 mngimi industrili, contenenti ormoni sintetici, sull crescit di nimli: un spetto fondmentle dell ricerc è dimostrre se nei due sessi hnno un effetto di segno opposto. A questo scopo, i 3 tipi di mngime (,, 3 ) sono stti somministrti - tre gruppi di femmine ( b ), formti ognuno d 5 individui scelti per estrzione csule d un grnde gruppo di femmine, e - tre gruppi di mschi ( b ), formti ognuno d 5 individui scelti per estrzione csule d un grnde gruppo di soli mschi. Dopo un mese di diet, è stto misurto l ccrescimento di ogni cvi. Per ognuno dei gruppi, i risultti sono riportti nell tbell sottostnte: b b b b 3 b Medie 0,0 3,4 4,6 8,6 6,0 8,4 3b 4

16 Esiste interzione tr frmci e sesso? Rispost. Se non già ftto nell presentzione dei risultti, soprttutto per l pprendimento dei metodi risult utile impostre i dti secondo un tbell che evidenzi che si trtt di un nlisi due fttori con repliche, non di un ANOVA d un solo criterio di clssificzione: b b Nel pssggio successivo, d ess è utile ricvre un nuov tbell con tutte le medie d nlizzre: 3 Medie b 0,0 4,6 6,0 0,00 b 3,4 8,6 8,4 6,33 Medie 5,7 6,6 7, 3,66 Con questi dti rissuntivi, è più semplice formulre le tre ipotesi lle quli il test permette di rispondere. ) L prim è reltiv lle medie dei tre mngimi (,, 3 ) con ipotesi null H 0 : µ = µ = µ 3 ed ipotesi lterntiv H che le µ dei tre frmci non sono tutte uguli. ) L second ipotesi null è reltiv ll medi dei sessi (b e b ) con ipotesi lterntiv bilterle H 0 : µ b = µ b 5

17 H : µ µ 3) L terz ipotesi rigurd l significtività dell interzione tr il fttore A e il fttore B, con ipotesi null H 0 : αβ = 0 che fferm che non esiste interzione ed ipotesi lterntiv H : αβ 0 che fferm che l interzione è significtiv, pure senz specificrne l direzione. Per rispondere questi quesiti, si deve utilizzre lo stesso schem dell'nlisi due criteri di clssificzione con misure ripetute; pertnto si devono clcolre: - l devinz totle che è fondt sugli scrti di ogni vlore dll medi generle (3,); con 30 dti, i gdl sono 9; - l devinz tr le medie di csell o delle combinzioni tr i due fttori, che è fondt sugli scrti di ognun delle 6 medie (0,0; 4,6; 6,0; 3,4; 8,6; 8,4) dll medi generle; i gdl sono 5; 3 - l devinz dovut l fttore A, tr le medie dei 3 tipi di mngime (5,7; 6,6; 7,) con gdl; 4 - l devinz dovut l fttore B, tr le medie dei sessi (0,00; 6,33), con gdl; 5 - l devinz d'interzione AB, mngime per sesso, ottenut fcilmente per sottrzione dell devinz del fttore A più quell del fttore B dll devinz tr le medie di csell; nello stesso modo si stimno i gdl; quest devinz stim se le sei medie di csell sono determinte dll somm degli effetti di rig e di colonn o se risentono in modo significtivo dell interzione; 6 - l devinz d'errore o residuo, dt dgli scrti di ognun delle 30 osservzioni dll loro medi di gruppo; con 5 dti, ogni gruppo contribuisce con 4 gdl per un totle di 4 gdl (4 x 6); più rpidmente, l devinz d'errore ed i suoi gdl sono ottenuti per sottrzione dell devinz tr le medie di csell dll devinz totle. Con le formule già presentte, si clcolno le devinze, i gdl e le vrinze 6

18 DEVIANZA GDL VARIANZA F Totle Tr medie Fttore A ,74 Fttore B ,7 Interzione AB 5 57,5 6,57 Errore 0 4 8, utili i 3 test F. Per il fttore A F = 69 8, 75 = 30,74,4 si ottiene un F con gdl e 4 ugule 30,74 mentre il vlore critico ll probbilità α = 0.05 è ugule 3,40. Per il fttore B, F = 64 8, 75 = 30,7,4 si ottiene un F con gdl e 4 ugule 30,7 che deve essere confrontto con un vlore critico ll probbilità α = 0.05 ugule 4,6. Per l'interzione A x B, F = 57,5 8, 75 = 6,57,4 il vlore di F con gdl e 4 è ugule 6,57 mentre il suo vlore critico ll probbilità α = 0.05 è ugule 3,40. Dl confronto dei tre vlori di F con i rispettivi vlori critici, si possono trrre le conclusioni reltive lle tre ipotesi nulle: - i tre mngimi dnno medie di ccrescimento significtivmente differenti; - i due sessi hnno ccrescimenti significtivmente differenti; 3 - l'interzione tr i due fttori (mngime e sesso) è significtivo, presumibilmente per l presenz di ormoni sintetici. 7

19 .3. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELL'INTERAZIONE A DUE FATTORI L semplice lettur dell tbell che riport le medie di csell, quelle di rig e quelle di colonn è utile per comprendere il significto dell'interzione. Qundo il test F per l interzione non risult significtivo, l medi del livello del fttore A minore (o mggiore) è tle in tutti i livelli del fttore B; vicevers, qundo il test F per l'interzione A x B risult significtivo, l medi del livello del fttore A che risult minore (o mggiore) è tle solmente per lcuni livelli del fttore B. Nell'esempio precedente, dove l'interzione A B è risultt significtiv, è possibile osservre che per il sesso femminile (b ) l crescit mggiore è determint dl trttmento con l'ormone (con medi 4,6), mentre per il sesso mschile (b ) il vlore medio mggiore è determinto dl trttmento con l'ormone (con medi 3,4). SESSO TRATTAMENTO 3 Medie b 0,0 4,6 6,0 0,00 b 3,4 8,6 8,4 6,33 Medie 5,7 6,6 7, 3,66 Se non esistesse interzione sesso x trttmento, ognun delle medie dei 6 gruppi sperimentli risentirebbe solmente dell'effetto del fttore A (colonn) e del fttore B (rig) in modo dditivo, secondo l relzione: X = X + X X b b i j i j Pertnto, se non esistesse interzione A x B, le medie dei 6 gruppi sperimentli vrebbero dovuto essere: SESSO TRATTAMENTO 3 Medie b,734 3,634 4,34 0,00 b 8,667 9,567 0,67 6,33 Medie 5,7 6,6 7, 3,66 come quelli riportti nell tbell precedente. 8

20 Il trttmento che fornisce l medi minore ( 3 con 7,) determin l medi minore si nel sesso b (4,34) che in quello b (0,67); simmetricmente, il trttmento che cus l medi mggiore ( con 6,6) determin i vlori medi più lti si in b (3,634) che in b (9,567). L devinz d'interzione è l somm dei qudrti degli scrti tr questi vlori medi stimti ed i vlori medi osservti. Poiché i vlori medi stimti nelle cselle sono clcolti di totli mrginli e d quello totle, i suoi gdl sono (n-) (p-); nell'esempio riportto, (3-) ( -) =, come già clcolto utilizzndo l proprietà dditiv dei gdl. Nell'nlisi di un disegno fttorile, in genere l vrinz d interzione h numerosi gdl. Di conseguenz, è determint d più differenze d qunto tteso e l'interpretzione non sempre è bnle, m richiede ttenzione. Un modo semplice per evidenzire l'esistenz dell'interzione ed i suoi effetti è l rppresentzione grfic dei vlori medi osservti e del suo confronto con quelli stimti. Nelle due figure sottostnti sono riportti A B A Grfico dei vlori medi osservti B Grfico dei vlori medi stimti (in ssenz di interzione) 9

21 - nell figur A i vlori medi osservti per il sesso b (i qudrti) e per il sesso b (le plline), - nell figur B sono riportti i vlori medi stimti in ssenz d interzione. Qundo non esiste interzione, i segmenti che uniscono i punti risultno prlleli, come nell figur B, poiché le medie sono determinte solo dgli effetti dditivi del fttore A e del fttore B. Nell'esempio con i vlori medi stimti (esempio B), le linee risultno esttmente prllele, poiché mncno totlmente si l vribilità csule si l interzione. Qundo esiste interzione, come nel grfico con i vlori medi osservti (esempio A), le linee si llontnno sensibilmente dl prllelismo: il trttmento che risult migliore o peggiore per un sesso non ottiene lo stesso risultto con l'ltro sesso, poiché si h un ulteriore fttore di inibizione o di potenzimento per lmeno un medi..4. ANALISI DELLA VARIANZA A DUE FATTORI CON REPLICHE INEGUALI Le procedure illustrte nei prgrfi precedenti per l nlisi dell vrinz nel cso di due fttori con repliche richiedono che il loro numero (r) entro ogni cell si sempre ugule. L potenz del test è mssim e l interpretzione dei risultti è più semplice; m nell prtic dell ricerc non sempre è possibile rispettre uno schem così rigido. Qundo il numero di dti entro ogni csell non è costnte, in un nlisi due fttori è ncor possibile ricorrere formule semplici, utilizzbili per clcoli mnuli, se il numero di repliche entro ogni csell è proporzionle. Come nell tbell sottostnte (con 4 livelli per il fttore A e 3 livelli per il fttore B), nell qule i dti riportti ( n ij ) in ogni csell rppresentno il numero di osservzioni, 3 4 Totle b b b Totle si può prlre di numero proporzionle di repliche qundo ni n j nij = N 0

22 dove - n ij = numero di dti nell cell ll incrocio dell rig i e dell colonn j, - n i = numero totle di dti nell rig i, - n j = numero totle di dti nell colonn j, - N = numero complessivo di osservzioni riportte nell tbell. Nell esempio riportto, si può prlre di numero proporzionle di repliche poiché per tutte le celle è ver l relzione precedente; d esempio, - in quell post ll incrocio tr 3 e b (), 3 7 = 7 - in quell post ll incrocio tr e b 3 (), 9 6 = 7 Utilizzndo le formule bbrevite, in uno schem con repliche proporzionli, in cui - ogni rig i bbi q livelli - ogni colonn j bbi p livelli - ogni k cell bbi un numero vribile di repliche n ij, si stim - l devinz totle SQ(T) con gdl = N- (nell esempio, 7- = 7) SQ( T ) = q p nij i= j= k= X ijk ( q p nij i= j= k= N X ijk ) - l devinz tr le celle SQ( Xij) con gdl = q p- (nell esempio, = ) SQ( Xij) = q p i= j= ( n q p n ij ij X X ijk ) ( ijk ) k= i j k = = = n ij N - l devinz del fttore A SQ(A) con gdl = q- (nell esempio, 4- = 3)

23 SQ( A) = q i= ( p nij j= k= p j= X n ij ijk ) ( q p nij i= j= k= N X ijk ) - l devinz del fttore B SQ(B) con gdl = p- (esempio, 3- = ) SQ( B) = p j= ( q n q p n ij ij X X ijk ) ( ijk ) i= k= i= j= k= q i= n ij N - l devinz d interzione SQ(AB) con gdl = (q p-) (q-) (p-) = (q-) (p-) (nell esempio, 3 = 3 = 6) SQ(AB) = SQ( Xij) - SQ(A) - SQ(B) - l devinz d errore SQ(e) con gdl (N ) - (q p ); (nell esempio, 7 = 60) SQ(e) = SQ(T) - SQ( Xij) Se le frequenze di osservzioni entro ogni cell non è proporzionle (l uguglinz del numero di repliche ne rppresent solo un cso prticolre), le formule sono più complesse e l loro ppliczione divent possibile solo con progrmmi informtici. E quindi utile cercre di condurre i csi che se ne llontnno di poco llo schem del modello proporzionle, - eliminndo csulmente l osservzione in eccesso entro le celle interesste, - inserendo il dto mncnte. Come stimre un dto mncnte nei csi più semplici è come correggere le vrinze è già stto presentto nel cpitolo precedente. In questo cso, G. P. Sherer nel 973 (vedi l rticolo Missing dt in quntittive designs.pubblicto su Journl of the Royl Sttisticl Society, Ser. C Appl. Sttist. : 35-40), ripres d Jerrold H. Zr nel testo Biosttisticl Anlysis del 999 (fourth edition, Prentice Hll, New Jersey), propone di inserire il vlore Xˆ ijk stimto con Ai Xˆ ijk = ij + bb j Xi b n i= j= k= N + b jk

24 dove - = numero di livelli del fttore A (nell esempio, è ugule 4), - A i = somm di tutti i vlori nel livello i del fttore A (ovvimente senz il dto mncnte), - b = numero di livelli del fttore B (nell esempio, è ugule 3), - B j = somm di tutti i vlori nel livello j del fttore B (ovvimente senz il dto mncnte). Se il numero di dti mncnti è superiore, m secondo vri utori non devono superre il 0% del numero totle di osservzioni, si deve usre un metodo itertivo, già illustrto nei suoi concetti nel cpitolo precedente. Nel cso di disegni sperimentli non proporzionli, l procedur è più compless. In tutti questi csi, l soluzione rele è demndt i progrmmi informtici. E importnte ricordre che - eliminre uno o più dti riduce di ltrettnto i gdl totli e dell devinz d errore, senz incidere sulle ltre; - ggiungere uno o più dti non modific i gdl totli e dell devinz d errore..5. IL TEST T DI TUKEY PER IL CONFRONTO TRA LE MEDIE IN DISEGNI A DUE FATTORI CON REPLICHE Qundo lmeno uno dei tre test F risult significtivo, è possibile chiedersi tr quli medie si bbi un differenz effettiv, volendo confrontre quelle di rig, quelle di colonn e/o quelle di csell. Con un numero costnte di repliche entro ogni csell e molte medie, i metodi più semplici sono quelli fondti sull differenz minim significtiv. Tr essi il metodo di Tukey è utilizzto con mggior frequenz. Con l stess tbell dei vlori del Q studentizzto già riportt, per ognuno dei tre gruppi di medie sono d considerrsi significtive le differenze che risultno uguli o mggiori del vlore critico T determinto d T = Q α, p, np( r- ) se k dove - il primo indice (α) è l probbilità prescelt, - il secondo indice (p) è il numero di medie confronto simultneo, - il terzo indice (np(r-)) è il numero di grdi di libertà dell vrinz d'errore (con n ugule l numero di medie del secondo fttore ed r ugule l numero di repliche), - s e è l vrinz d errore, 3

25 - k è il numero di dti sui quli sono clcolte le medie confronto. Nel cso del confronto tr vrie medie, per il fttore A si utilizz l formul T = Q α, p, np( r- ) s e nr per il fttore B l formul, T = Q α, n, np( r- ) s e pr per le medie di csell l formul T = Q α, np, np( r- ) dove - il secondo indice (p, n o np) sono il numero di medie confronto simultneo, - i denomintori (nr, pr, r) sono il numero di dti sui quli sono stimte le medie confronto. s e r Le tre formule di seguito riportte se se se,, nr pr r sono, nell ordine, l errore stndrd delle medie del fttore A, quello del fttore B e quello delle medie di csell. ESEMPIO. Con i dti dell'esercizio precedente (di cui vengono riportte tutte le medie), SESSO TRATTAMENTO 3 Medie b 0,0 4,6 6,0 0,00 b 3,4 8,6 8,4 6,33 Medie 5,7 6,6 7, 3,66 nel qule con S e = 875, ; n = ; p = 3; r =5; α =

26 - per il confronto tr le medie dei tre livelli del fttore A, si utilizz il vlore di Q 3,4 = 3,53 - per il confronto tr le medie dei due livelli del fttore B si utilizz Q,4 =,9 - e per le 6 medie di csell, ottenute dlle combinzioni dei tre livelli del fttore A e dei due livelli del fttore B, si utilizz Q 6,4 = 4,37 Il confronto tr le 3 medie del fttore A ( = 5,7 = 6,6 3 = 7,) = 5,7 = 6,6 3 = 7, = 6,6 0, = 7, 8,5 9,4 --- determin 3 differenze (in grssetto nell tbell); di esse sono significtive con probbilità P < 0.05 quelle che superno l quntità 875, T = 353, = 3,30 0 Risultno significtive l differenz tr e 3 (8,5) e quell tr e 3 (9,4) mentre non è significtiv l differenz tr le medie di e (0,9). Il fttore B h medie ( b = 0,00 b = 6,33) e quindi un sol differenz (5,933). Il test F h già dimostrto che ess è significtiv; tuttvi, pplicndo ugulmente scopo didttico il test T di Tukey 875, T = 9, =,3 5 si dimostr che l differenz (5,933) risult significtiv, perché mggiore del vlore del T clcolto (,3). 5

27 Il test T di Tukey dimostr l su utilità soprttutto nel cso di confronti tr più medie: con N medie il numero di confronti è N(N-) 6 5 Tr 6 gruppi dell esempio, il numero di differenze è ugule 5 ( ) (tutte riportte in grssetto nell tbell sottostnte): b b b b 3b 0,0 4,6 6,0 3,4 8,6 8,4 b 4,6 4, b 6,0 4,0 8,6* b 3,4,4* 6,8* 5,4* b 8,6 8,6* 4,0,6*, b 8,4,6 6,*,4 3,0* 0,* --- 3b Tr esse risultno significtive ll probbilità α = 0.05 quelle che superno l quntità 875, T = 437, = 5,78 5 T ugule 5,78 (le 9 differenze con l sterisco). L nlisi può essere ftt contempornemente per più livelli di probbilità (oltre 0.05 nche 0.0 e/o 0.00), riportndo uno, due o tre sterischi vicino lle differenze che sono significtive per l probbilità minore. L rppresentzione tbellre, come quelle grfiche, permette di evitre l lung descrizione necessri d elencre in modo dettglito quli sino, e che livello di probbilità, le differenze significtive. 6

28 .6. ESPERIMENTI FATTORIALI x E x x CON I CONFRONTI ORTOGONALI I metodi per clcolre le devinze ed i reltivi gdl, nei disegni complessi più fttori in cui si nlizzno nche le interzioni, sono numerosi. In vri testi di sttistic pplict dei decenni scorsi, è riportto nche il metodo dei confronti ortogonli; erno di grnde utilità soprttutto in un periodo in cui i clcoli erno svolti mnulmente, l mssimo con l iuto delle clcoltrici d tvolo, per ridurre l probbilità di errori e bbrevire i tempi necessri. Or, con i risultti ottenuti medinte progrmmi informtici, per i quli si richiede solo un corrett impostzione dell input, divent essenzile comprendere quli concetti sono ll bse delle vrie nlisi, come si devono interpretre gli output e qule è l estto significto dei risultti ottenuti. A questo fine, come generlizzzione dei metodi già presentti per due fttori con repliche, è utile considerre due csi semplici: un esperimento fttorile x ed uno, reltivmente più complesso, di modlità per 3 fttori ( 3 ). In un esperimento fttorile x (cioè modlità x fttori = 4 trttmenti), il fttore A ed il fttore B hnno due sole modlità: ssente ( 0 e b 0 ) e presente ( e b ) oppure dose minim ( e b ) e dose mssim ( e b ); di solito i dti sono riportti in un tbell come quell sottostnte Fttore A Fttore B 0 0b Repliche 0b Repliche b 0 0 b b 0 Repliche b Repliche Questo disegno sperimentle non deve essere confuso con quello del test χ in tbelle x, che serve per vlutre l ssocizione, medinte il confronto di frequenze o conteggi di vribili qulittive o nominli. In questo disegno x, entro ogni csell sono riportte non le frequenze m tnte misure qunte sono le repliche. Di confronti tr le 4 medie o i 4 totli (poiché è richiesto un numero di repliche sempre costnte), si può stimre l devinz tr trttmenti con 3 gdl; successivmente, è possibile l su scomposizione in 3 devinze, ognun con gdl. 7

29 ESEMPIO. Con un esperimento di tossicologi sull crescit di semi, si vogliono vlutre gli effetti indipendenti e quelli congiunti di un sostnz (presenz o ssenz) e di due diversi livelli di tempertur (0 grdi e 5 grdi). A questo fine sono stti coltivti 4 gruppi di semi, ognuno con 5 unità o repliche, posti in 4 situzioni differenti: - il primo gruppo di semi tempertur di 0 C e senz l sostnz tossic ( b ); - il secondo gruppo ll tempertur di 0 C e con l presenz dell sostnz tossic ( b ); - il terzo ll tempertur di 5 C e senz l sostnz ( b ); - il qurto ll tempertur di 5 C e con l presenz dell sostnz ( b ). Dopo un mese, sono stte misurte le crescite (in mm) di ogni seme: Sostnz (A) Tempertur (B) b (0 C) b (5 C) Assente Presente Vlutre se si è mnifestto un effetto significtivo dei due fttori e se tr loro esiste interzione. Rispost. Come primo pssggio è utile clcolre le somme 8

30 GRUPPO b b b b Totle Somm dei 4 gruppi e quell totle. Con esse è possibile stimre: - l devinz totle ( ) - 9 /0 = = 9,95 che risult ugule 9,5 ed h 9 gdl, - l devinz tr i 4 trttmenti 5 / / / /5-9 /5 = 50, + 3, + 95, + 73,8-84,05 = 53,35 che risult ugule 53,35 ed h 3 gdl. - l devinz d errore, come somm dei qudrti delle differenze di ogni replic rispetto ll medi del suo gruppo o, più rpidmente, per differenz, 9,95-53,35 = 39,6 che risult ugule 39,6 ed h 6 (9-3) gdl. L tbell di sintesi, che riport nche il vlore di F e l su significtività, DEVIANZA DF VARIANZA F P Totle 9, Tr Trttmenti 53,35 3 5, 0,65 < 0.00 Errore 39,6 6, evidenzi che tr i 4 trttmenti esiste un differenz significtiv. L su scomposizione in tre devinze, ognun con df, è possibile con un metodologi che non si discost d quell già utilizzt, m richim l pproccio dei confronti ortogonli e permette di meglio comprendere si l effetto di ognuno dei due fttori che quello dell loro interzione. Tle regol di scomposizione dell devinz tr trttmenti segue lo schem seguente 9

31 GRUPPO b b b b Somm Fttore A Fttore B Interzione AB dove i gruppi con lo stesso segno devono essere sommti tr loro, per formre due gruppi per ogni confronto. Per stimre l devinz dovut l fttore A, tutti i dti devono essere riuniti in due soli gruppi: in uno (-) quelli che sono indicti con (totle = 5+69 = 0) e nell ltro (+) quelli con (totle = = 7). Se fosse ver l ipotesi null (cioè se il fttore A non h un effetto significtivo), le due somme dovrebbero essere uguli (ricordndo che tutti i gruppi hnno lo stesso numero di dti). Con l formul bbrevit, tle devinz con df è dt d 0 0 e risult ugule 0, = , - 84,05 = 0, Per stimre l devinz dovut l fttore B, devono essere riuniti in un gruppo (-) quelli che sono indicti con b (totle = = 85) e nell ltro (+) quelli con b (totle = = 06). Un differenz tr le due somme che risulti minore (oppure mggiore) dell precedente indic che l effetto del fttore B è minore (oppure mggiore) di quello di A. Per un vlutzione corrett dell significtività di tli effetti, si clcol l devinz = 7,5 + 9,6-84,05 =, che risult ugule,05 ed h df. L devinz dell interzione A x B è ottenut medinte il confronto tr l somm dei gruppi (-) in cui A e B sono ssenti o presenti in modo congiunto ( b e b con totle = = 88) rispetto quell dei gruppi (+) in cui A e B sono presenti seprtmente ( b e b con totle = = 03). 30

32 Inftti, se non esistesse interzione e quindi gli effetti di A e B fossero solo dditivi, l somm in cui A e B compiono seprtmente dovrebbe essere ugule quell in cui tli fttori non compiono o sono presenti contempornemente (sempre qundo il numero di repliche è ugule in ogni gruppo). L differenz tr le due somme indic nche se l effetto è di - inibizione, se l somm delle osservzioni in cui non compiono oppure sono presenti in modo congiunto è minore, - potenzimento, se quest somm è mggiore di quell dei vlori in cui i due fttori sono presenti seprtmente. Con i dti dell esempio, l devinz d interzione è dt d = 774, ,9-84,05 =, e risult ugule,5 con df. I risultti delle 3 devinze e dei vlori di F con l loro significtività possono essere riportti in un tbell conclusiv, che evidenzi come l somm delle 3 devinze (A, B, AB) si ugule quell tr trttmenti e ne rppresenti l scomposizione. L effetto del fttore A, del fttore B e l loro interzione, utilizzndo i dti dell esempio sono verificti medinte un test F con df e 6, il cui vlore critico ll probbilità α = 0.05 è ugule 4,49 e ll probbilità α = 0.0 è ugule In conclusione sull crescit dei semi, come risult nell tbell seguente, - l presenz dell sostnz A inibisce l crescit in modo ltmente significtivo (< 0.00); - l tempertur mggiore fvorisce l crescit in modo molto significtivo (< 0.0); - l lt tempertur potenzi l effetto di riduzione del fttore A in modo significtivo (con probbilità leggermente inferiore 0.05) DEVIANZA DF VARIANZA F P Totle 9, Tr Trttmenti 53,35 3 5, 0,65 < 0.00 A 0,05 0,05 48,50 <0.0 B,05,05 8,90 <0.0 AB,5,5 4,54 <0.05 Errore 39,6 6,

33 Con modlità per 3 fttori ( 3 ), è possibile utilizzre lo stesso schem esteso 8 gruppi. Per un nlisi impostt sull presenz-ssenz di 3 fttori (A, B, C), si richiedono 8 gruppi bilnciti, che possono essere presentti come nell ANOVA d un criterio di clssificzione T R A T T A M E N T I 0b0c0 b0c0 0bc 0 0b0c bc 0 b0c 0bc bc Repliche Repliche Repliche Repliche Repliche Repliche Repliche Repliche Il modello è X ijpk = µ + α + β + γ + αβ + αγ + βγ + αβγ + i j p ij ip jp ijp ε ijpk dove α i, β j, γ indicno gli effetti principli, - p αβ, αγ, βγ indicno le interzioni di primo ordine od interzioni due fttori, - ij ip jp - αβγ ijp indic l interzione di secondo ordine o interzione tre fttori, - ε ijpk indic l errore o residuo di ogni dto o replic. L devinz totle (che con k repliche h gdl (8 x k) ), l devinz tr trttmenti (con gdl 8-) e l devinz d errore (con gdl 8 x (k-)) possono essere clcolti come nell nlisi dell vrinz d un criterio. L devinz tr trttmenti ( con 7 gdl) può essere scompost in - 3 effetti principli, - 3 interzioni di primo ordine, - interzione di secondo ordine medinte un scomposizione ortogonle, rppresentt in uno schem, 3

34 FATTORI E INTERAZIONI 0b0c0 0 b0c0 0bc 0 b T R A T T A M E N T I 0b0c c b bc 0 c b0c b c 0bc bc b c A B C AB AC BC ABC dove + e - indicno i trttmenti che devono essere sommti tr loro, per formre ogni volt i due gruppi che devono essere confrontti. L logic con cui si rggruppno i trttmenti è semplice: - per ognuno dei 3 effetti principli (A, B, C) si sommno tr loro i trttmenti in cui il fttore è ssente (-) e quelli in cui è presente (+); - per le interzioni di primo ordine (AB, AC, BC) si sommno tr loro i trttmenti in cui è presente un solo fttore (-) e quelli in cui o sono ssenti entrmbi o sono entrmbi presenti (+); - per l interzione di secondo ordine (ABC) si sommno tr loro i trttmenti in cui i tre fttori sono presenti singolrmente o tutti insieme (+) e tr loro quelli in cui o sono tutti ssenti o sono presenti coppie (-). Per ognuno dei 7 confronti è possibile clcolre l devinz reltiv, con df, che è dt d ( tot+ ) ( tot ) TOT + n + n n dove - tot + = totle del gruppo i cui trttmenti sono indicti con + - tot - = totle del gruppo i cui trttmenti sono indicti con - - n+ = numero complessivo delle repliche contenute nel gruppo + - n- = numero complessivo delle repliche contenute nel gruppo - - TOT = somm di tutti i dti - n = numero complessivo di dti o repliche. 33

35 ESEMPIO. Per nlizzre gli effetti dell presenz-ssenz di tre sostnze e delle loro interzioni sull crescit di cvie, sono stti formti 8 gruppi, ognuno di 4 individui. Per un mese, d ogni gruppo sono stte somministrte con il cibo le 3 sostnze due diversi livelli, secondo lo schem ed i risultti di seguito riportti T R A T T A M E N T I 0 b c b c b c b c 5,6 6,7 6,9 6,5 7,8 7,4 7,6 7,6 Repliche 6, 6,6 7,0 7, 7,5 7, 7,9 7,9 4,5 7,3 7, 5,8 6, 6,5 6,9 6,3 5, 5,9 6,8 6,0 7,6 7,3 8, 7,0 Totle,5 6,5 7,9 5,4 9,0 8,4 30,5 8,8 in cui le lettere dei trttmenti indicno le sostnze ggiunte nel cibo somministrto e 0 è il controllo. Clcolre l devinz tr gli 8 trttmenti e l su scomposizione nei 7 confronti ortogonli, l fine di vlutre - gli effetti dei 3 fttori, - le loro interzioni di primo ordine e - quell di secondo ordine. Rispost. Ricordndo che l somm totle dei 3 dti è ugule 8, l devinz tr trttmenti è dt d (,5 + 6,5 + 7,9 + 5,4 + 9,0 + 8,4 + 30,5 + 8,8 )/4-8 /3 = (46,5 + 70, , , , ,5 + 89,44)/4-4754/3 = 498,83-485,5 = 3,705 e risult ugule 3,705 con 7 df. Per l su scomposizione, è utile costruire l tbell dei confronti ortogonli 34

36 0 b c b c bc bc Totle Totle Diff.,5 6,5 7,9 5,4 9,0 8,4 30,5 8,8 + - A ,7 05,3 7,4 B , 0,8 4,4 C , 04,9 8, AB ,7 3,3-8,6 AC ,6,4-4,8 BC ,3 0,7-3,4 ABC ,6 09,4-0,8 con i totli dei due gruppi di trttmenti segnti con + e con -. L devinz del fttore A, con df, riportt come prim nell tbell è dt, 7 05, = 793, ,0-485, =, e così ogni fttore od interzione fino quell di secondo ordine (ABC), riportt ll fine dell tbell Per un lettur più fcile e un visione d insieme, questi risultti sono rissunti in un tbell Fonte di vrizione DEVIANZA DF Tr trttmenti 3,705 7 A,7 B 6,48 C, AB,3 AC 0,7 BC 0,37 ABC 0,0 35

37 per evidenzire che - l loro somm corrisponde quell tr trttmenti ( meno delle pprossimzioni dei clcoli) e - differenze mggiori tr i due gruppi (+ e -) corrispondono ovvimente vlori di devinz mggiori. Per stimre l significtività occorre nturlmente procedere i test F, medinte il rpporto di ognun delle 7 vrinze con l vrinz d errore..7. ESPERIMENTI FATTORIALI CON P FATTORI A K LIVELLI Con p fttori k livelli, il modello dditivo dei vri fttori e delle loro interzioni rest immutto, nei principi e nelle modlità di interpretzione, rispetto quello presentto per esperimenti 3 ; m divent più complesso il clcolo delle devinze. Come dimostrzione, fcilmente estensibile un esperimento di dimensioni superiori, si può utilizzre un esempio tre fttori, di cui - il primo (A) 3 livelli, - il secondo (B) 4 livelli, - il terzo (Sesso) livelli o modlità con tre repliche per ognuno dei 4 (3 x 4 x ) gruppi e quindi 7 dti. Per gli effetti principli, il clcolo delle devinze è identico quello già ripetutmente presentto. Per l interzione tr due fttori, si cre un tbell due entrte di somme e si clcol l devinz reltiv; per ottenere l devinz d interzione e i suoi df, si sottrggono quest ultim devinz quelle stimte per i singoli fttori. Per l interzione tre fttori, si costruisce l tbell tre entrte delle somme e si clcol l devinz reltiv. Per ottenere l devinz d interzione dei 3 fttori, l vlore precedentemente clcolto si sottrggono si le 3 devinze d interzione due fttori che le 3 degli effetti principli. Per i df si segue lo stesso metodo. Con i dti 36

38 3 M F M F M F,3,,4,, 0,9 b,5 0,9,7,5, 0,8, 0.9,4,0 0,9 0,5,7 0,5,9,0,4, b,6 0,8,,7,5,,9,,0,,,0, 0,8,5 0,5,5 0,9 b 3, 0,7,7 0,6, 0,7,4 0,8, 0,9,7 0,9, 0,9,9 0,9,4, b 4,5,3,3,,,3,3,0,,3,0, - l devinz totle è ottenut come l solito prtire dgli scrti di ogni vlore dll medi generle o con l formul bbrevit; il suo vlore è,39 ed h 7 df; - l devinz del fttore A è ottenut dl confronto delle 3 medie di colonn: è ugule,3086 ed h df; - l devinz del fttore B è ottenut dl confronto delle 4 medie di rig: è ugule,850 ed h 3 df; - l devinz del fttore sesso è ottenut dl confronto tr le medie reltive: è ugule 4,4006 ed h df. Successivmente, - per l devinz d interzione AB, si deve dpprim clcolre l tbell delle somme dei fttori A e B, ignorndo l distinzione tr sessi. 37

39 3 Totli b 6,8 8, 5,4 0,4 b 7,6 9,9 7,4 4,9 b 5,9 6,4 6,9 9, 3 b 7, 9,6 7,3 4, 4 Totli 7,5 34, 7,0 88,6 Medinte le somme (ognun è l somm di 6 vlori, 3 per ogni sesso come evidenzito nell tbell dei dti sperimentli) riportte nelle cselle ll incrocio dei 3 livelli di A e dei 4 livelli di B, si ottiene - l devinz tr le medie dei trttmenti (6,8 + 7,6 + 5,9 + 7, + 8, + 9,9 + 6,4 + 9,6 + 5,4 + 7,4 + 6,9 + 7,3 )/6-88,6 /7 = (46,4 + 57, ,8 + 5, ,4 + 98,0 + 40,96 + 9,6 + 9,6 + 54, ,6 + 53,9)/6-7849,96/7 = 673,79/6-7849,96/7 =, ,07 = 3,794 che risult ugule 3,794 con df. L devinz d interzione A x B ed i suoi df sono stimti medinte l differenz Dev. tr i trttmenti AB - Dev. A - Dev. B = Dev. d interzione A x B che, con i dti dell esempio, 3,794 -,3086 -,850 = 0,6858 risult ugule 0,6858 con = 6 6 df. Come già dimostrto nei prgrfi precedenti con fttori, quest devinz può essere ottenut medinte l somm degli scrti l qudrto tr le medie osservte e le medie ttese, nell ipotesi che non esist interzione. Poiché le medie ttese sono stimte di totli mrginli, nell tbell soprriportt di dimensioni 4 x 3 i df dell interzione sono 3 x = 6 come ottenuto medinte il metodo delle differenze. Questo metodo può essere esteso lle devinze d interzione successive. Per misurre l devinz d interzione A x Sesso, si devono dpprim clcolre le somme reltive questi due fttori, come nell tbell sottostnte, ignorndo l effetto del fttore B 38