x + 0 (occorrerà tenere conto del segno del coeff. e, qualora x tenda a, della parità o disparità dell esponente)

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1 . LIMITI DI FUNZIONI ALGEBRICHE (POLINOMI, RAPPORTI DI POLINOMI, RADICALI) L definizione generle di funzione lgebric non è semplicissim, e non voglimo occuprcene qui. Comunque, sono lgebriche, fr l ltro, tutte le funzioni nell cui espressione compiono esclusivmente operzioni lgebriche ossi ddizioni, sottrzioni, moltipliczioni, divisioni, potenze, rdici, mentre sono dette trscendenti le funzioni costruite ttrverso logritmi, esponenzili, funzioni goniometriche. Fr le funzioni lgebriche di utilizzo più comune ci sono i polinomi ( funzioni lgebriche rzionli intere ) i rpporti di polinomi ( funzioni lgebriche rzionli frtte, ossi con l denomintore ) le funzioni lgebriche irrzionli, ossi quelle nelle quli compre lmeno un volt sotto rdice. POLINOMI E RAPPORTI DI POLINOMI Regol per il clcolo del ite di un polinomio, qundo o Al tendere di o, un polinomio P ( ) n + n n+ n tende sempre ll INFINITO. E per stbilire il segno di questo infinito, si può procedere in due modi: rccogliere elevto ll esponente più lto considerre esclusivmente il comportmento del termine di grdo mssimo n (occorrerà tenere conto del segno del coeff. e, qulor tend, dell prità o disprità dell esponente) n n n n Inftti (... ) n n + n ± ± n n Il contenuto dell prentesi tende dunque d ; il fttore esterno n se oppure nche m n è pri; tende, precismente: se e n è dispri Il vlore del ite ) srà perciò infinito b) vrà un segno determinto d considerzioni molto elementri, illustrte dgli esempi che seguono c) coinciderà sempre con il vlore di ± n... Anche semplicemente chiedendosi cos tende 7 ) ( + 7) + il termine di grdo più elevto... Anche semplicemente chiedendosi cos tende ) ( + ) + il termine di grdo più elevto... Anche semplicemente chiedendosi cos tende ) ( + ) + il termine di grdo più elevto 7... Anche semplicemente considerndo il ( ) 9 ) termine di grdo più elevto 7

2 Regol per il clcolo del ite di un rpporto di polinomi, qundo Il vlore del ± n + n n+ n bm m + b bm + bm può essere: o ) se prevle il grdo del numertore:, con un segno determinto dll regol dei segni pplict considerndo soltnto i termini di grdo mssimo numertore e denomintore (occorrerà tenere conto dei segni dei coefficienti e, qulor tend, dell prità o disprità dell differenz fr gli esponenti) b) se prevle il grdo del denomintore: c) se num. e denom. hnno ugul grdo: b ( rpporto tr i coeff. dei due termini di grdo mssimo) n... n n n n NOTA n n n n n + ± bm m + b b m m+ bm ± m b b... m bm b b ± m m se n > m NOTA : entro ciscun prentesi, n m se n m b ± tutti i termini, trnne il primo, b se n < m sono " evnescenti"( tendenti ) Più ncor dell cten sopr riportt, ti srnno d guid i seguenti esempi ) ) 7) + + 8) ) ) 8 + ) + + ) ) Immeditmente, con l regol Immeditmente, con l regol Immeditmente, con l regol! e l'osservzione dei segni! e l'osservzione dei segni! ) + ) ) + Immeditmente, con l regol Immeditmente, con l regol e l'osservzione dei segni! e l'osservzione dei segni! Immeditmente, con l regol!

3 Regol per il clcolo del ite di un rpporto di polinomi, qundo In questo cso, il clcolo del ite è immedito ogniqulvolt, sostituendo l posto di, il denomintore si diverso d. Se poi con si nnull soltnto il denomintore, il ite è infinito e per stbilire il segno di questo infinito si dovrà generlmente distinguere fr ite sinistro e destro; tle scopo, srà di norm conveniente scomporre in fttori il denomintore, se è di grdo sup. l. 6 M può, eccezionlmente, presentrsi un Form di Indecisione: ciò vviene nel cso in cui, con, si nnullino contempornemente si il num. che il denom.: A ( ) B ( ). Qundo ccde ciò, compre un F.I. [/], che si scioglie sempre per scomposizione e semplificzione. Inftti: essendo A ( ), per il Teorem del Resto il polinomio A( ) è divisibile per il binomio ( ) e quindi è scomponibile in un prodotto dell form ( ) A( ) ed essendo B ( ), per il Teorem del Resto il polinomio B ( ) è divisibile per il binomio ( ) e quindi è scomponibile in un prodotto dell form ( ) B( ) A( ) ( ) A( ) cosicché si vrà con l possibilità di semplificre per ( ). B ( ) ( ) B( ) Qulche esempio dei vri tipi: + 7) 9+ 8) + ( ) + ( + )( ) ) + ( ) ( + 6) 8 6+ ( )( ) ) + + ( ) ) ) ( )( ) + + ( )( ) + 6 ( ) ( ) ) 6 ( ) ( + + ) RUFFINI + + con ) con ) ( ) + ( ) + + ( + )

4 7 INDICAZIONE GENERALE SULLE FORME DI INDECISIONE FIN QUI VISTE Dicimo che, in line di principio, le forme di indecisione [ ] e [ / ] si ffrontno rccogliendo il termine di esponente mggiore o, comunque, quello che tende infinito più rpidmente, mentre per le forme di indecisione [/ ] si v cercre un semplificzione, ttrverso fttorizzzioni, o rzionlizzzioni, o previ moltipliczione di numertore e denomintore per un stess espressione. Nturlmente, nell prtic si terrà sempre conto di iti noti già studiti in pssto. ESERCIZI ( qusi tutti, nche se non tutti, portno Forme di Indecisione ) ) + ) + ) + + ) 6 ) + + ) 6) ) 6) ) 9 ) ) 8) ) 6 + 9) + + ) ) ) ) 8) 9) 6 6 ) + + ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) ) ( + ) / ) ) ) 6) π 7) 8) 9) ( 9) 6 + b ) ) 8 ( 8) π π c + d RISPOSTE ) ) ) ) ) 6) 7) 8) + + 9) ) + con ) con ) ) ) ) 6) con + non er 7) 8) 7 con 9) un F..! I ) non er con + non er con + non er ) ) ) ) un F. I.! con ) un F. I.! con un F..! I con + 6) 7) 8) con 9) con + con ) con + ) ) ) ) con ) con 7+ con 7 6) con 8+ con π + 7) 8) 9 con 8 con π 9) ).. ) c

5 8 FUNZIONI CONTENENTI RADICALI: F.I. [ ] 6) Abbimo qui un F. I. [( ) ( )] ; tuttvi, bbimo fiduci che nel conflitto prevlg rispetto, perché l rdice cubic, l tendere ll infinito del rdicndo, tende ll infinito più rpidmente rispetto ll rdice qurt. Ci spettimo dunque che il ite vlg. Comunque, per mggiore sicurezz, possimo procedere come bbimo ftto nel cso dei polinomi, qundo bbimo rccolto elevt ll esponente mssimo: essendo / e /, l esponente mssimo è / e rccoglieremo quindi. NOTA 7 7 7) 7 7 8) + NOTA 9) + + NOTA NOTA Qui simo di fronte un polinomio con esponenti frzionri e, siccome /7< /, bbimo fiduci che prevlg il termine /, trscinndo il ite. Comunque, per mggior sicurezz, procedimo rccogliendo elevt ll esponente più lto. Immedito: non si trttv di un Form di Indecisione NOTA NOTA : F.I. [ ( )] NOTA : Importntissimo ricordre che y y. L uguglinz senz il vlore ssoluto, ossi l y y, sussiste soltnto qundo si s che è (o qundo si vogliono considerre solo vlori di che sino ); invece l uguglinz y y è vlid senz condizioni. Noi, dire il vero, nel pssggio successivo scioglieremo il vlore ssoluto, proprio per il ftto che, essendo, nel nostro contesto è lecito supporre positiv; tuttvi bbimo preferito non sltre il pssggio col vlore ssoluto, che srà fondmentle negli esercizi in cui. NOTA : Si può scrivere l posto di perché, essendo, possimo supporre positivo ( possimo itrci considerre solmente i vlori positivi di ).

6 9 ) + + NOTA [ ] Form di Indecisione!!!! NOTA Come già per il ite precedente, è quindi si può scrivere l posto di Contrrimente ll esercizio precedente, l F.I. non si è sciolt, m si è invece trsformt in un ltr F.I. Simo costretti riprendere il ite dccpo, risolvendolo con un strtegi divers } ( ) Nell esercizio seguente,, b sono due costnti reli: ( ) + + b b+ b ( b ) ( b) b ) b + b + + b b+ + + b b + ( ) ( ) + b + b b b 6 b b b + + b } b b b b INDICAZIONE GENERALE SULLE FORME DI INDECISIONE FIN QUI VISTE Lo ribdimo, perché è dvvero importnte tenerlo sempre presente: in line di principio, le forme di indecisione [ ] e [ / ] si ffrontno rccogliendo il termine di esponente mggiore o, comunque, quello che tende infinito più rpidmente, mentre per le forme di indecisione [/ ] si v cercre un semplificzione, ttrverso fttorizzzioni, o rzionlizzzioni, o previ moltipliczione di numertore e denomintore per un stess espressione. Nturlmente, nell prtic si terrà sempre conto di iti noti già studiti in pssto. Gli esempi successivi, oltre quelli già visti, illustrno e confermno qunto detto.

7 6 FUNZIONI CONTENENTI RADICALI: F.I. ) + E un F. I. +. Il numertore può essere scritto come / + / e quindi pensto come un polinomio di grdo / (bbimo usto le virgolette perché, dti gli esponenti frzionri, si dovrebbe piuttosto prlre di pseudo-polinomio, e pseudo-grdo). Il denomintore può essere scritto come / + e il suo grdo è quindi /. Prevle il grdo del denomintore e l frzione DOVREBBE perciò tendere. Per confermre quest nostr congettur, operimo come con un rpporto di polinomi clssici, rccogliendo si numertore che denomintore elevto ll esponente mssimo ) Possimo fre un pronostico sul vlore di questo ite rgionndo come segue: poiché, nel rdicle 9 + il termine + si f irrilevnte e si vrà e così pure nel rdicle + il contributo di ppre trscurbile rispetto l termine crtterizznte, per cui srà +. E llo stesso modo, denomintore, Pertnto IPOTIZZIAMO che risulti D ltr prte, un tl rgionmento non può pretendere di essere rigoroso: necessit di un conferm formle. ATTENZIONE, INFATTI: se ci fossimo fidti di congetture di questo tipo, di fronte l precedente esercizio ( ) + vremmo potuto ritenere erronemente che il ite fosse ugule, mentre si è poi trovto che vle /. Procedimo pertnto per rccogenti: NOTA NOTA : per cui

8 Vedimo or come cmbino le cose se si prende l stess frzione di prim m si f tendere nziché : ) NOTA : per cui NOTA ) Il precedente esercizio vrebbe potuto nche essere svolto coi pssggi che seguono: ( + ) (+ ) ) NOTA L ultimo esercizio vrebbe potuto nche essere svolto coi pssggi seguenti: NOTA NOTA : Qui, perciò < e ( + ) (+ ) NOTA : Poiché, è + < ; srebbe dunque sbglito, in questo contesto, scrivere + (+ )! Inftti tle uguglinz vrebbe il primo membro negtivo e il secondo membro positivo in qunto risultto di un estrzione di rdice qudrt. In prtic, solmente un espressione positiv si può trsformre nell rdice del suo qudrto: per questo motivo, volendo portre l espressione negtiv + sotto rdice, scriveremo (+ ).

9 6 FUNZIONI CONTENENTI RADICALI: F.I. 7) + ( ) ( + + ) + ( )( + ) ( + ) ( ) ( + ) ) ( ) ESERCIZI ( non tutti portno Forme di Indecisione ) ) ( ) + ( ) ) ( ) ) ( 6 + ) ) ( ) ) ( ) 6) ( ) + 7) ( ) 8) ( ) 9) ( ) + ) ( ) + ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) + 6) ( 9 ) 87 7) ( 9 ) 87 8) ( 9 + ) 9) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) + + ) + 7) ( 9 6) ( 7 + ) ) 8) ( + + b) 9) ( b c d > + + ) ) ( + 7 ) ) ( ) ) c > + + ) + )

10 ) 7) + + 9) + ) ) ) ) ) ) ) ) 9) ) 6) + 6 6) + 8) ) ) ) + 6) 8) ) ) ) ) 8) + 6) 6) RISPOSTE ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) se > c, se< c, se c + 7 ( + 7) ) ( + 7 ) 6 ( ) ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) ( + ) ( ) ) ( ) ( ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) 6) 6) 6)