Il lavoro di una forza

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1 Il lvoro di un forz Definizione Nello svolgimento che segue, ci limiteremo lvorre in due dimensioni, su un pino. L grn prte dei risultti che troveremo potrà essere estes immeditmente e senz difficoltà l cso tridimensionle. É dt un forz F, che supporremo per or costnte, quindi di componenti F (F x, F y ). É dto nche uno spostmento rettilineo s. Definiremo lvoro dell forz F lungo lo spostmento s il prodotto sclre F s L presenz del prodotto sclre è rgionevole: inftti, esso consente di prendere in considerzione l sol componente dell forz dirett come lo spostmento: srebbe lqunto strno computre nel lvoro nche componenti dell forz che risultssero ortogonli ll direzione del moto, e che dunque certmente non potrebbero verlo custo. Inoltre, bst ricordre che il prodotto sclre diviene negtivo per ngoli superiori ll ngolo retto: questo signific che, per un forz che bbi componenti opposte llo spostmento, il lvoro risulterà negtivo, come srebbe logico ttendersi. Null d dire, quindi, sull definizione di lvoro. Se non che ess risult lqunto... pprossimtiv. Inftti, vengono dte per scontte un pio di cose che poi tnto scontte non sono:. che l forz resti costnte lungo l intero spostmento;. che esistno solo spostmenti rettilinei Or, è del tutto evidente che le due condizioni sopr elencte non sono per null generli, d esempio: Se ci venisse chiesto il clcolo del lvoro lungo l curv ross in figur? Non vi sono dubbi sul ftto che ess non si rettiline, nè sul ftto che su di ess il vettore forz ssum vlori che cmbino continumente, si in direzione che in modulo. É del tutto chiro che l definizione di lvoro dt sopr non è direttmente pplicbile

2 Si può llor operre come segue: suddividimo l curv in tnti trtti s k, tutti rettilinei (quindi l posto dell curv considerimo un poligonle pert) e fccimo fint che l forz si costnte lungo ciscun lto dell poligonle. A questo punto clcolimo i lvori elementri lto per lto, ed ll fine li sommimo insieme, così: n F k s k k In quest mnier clcolimo un pprossimzione che dipende, tuttvi, dll scelt dei piccoli segmenti s k. Come ogni pprossimzione, ess srà soggett d un errore. Se, tuttvi, è possibile rendere questo errore piccolo qunto si vuole, condizione di rendere piccoli nche i s k, llor resterà individuto un ben preciso vlore di quest somm che srà proprio il lvoro dell forz F lungo l rco di curv γ. In formule: F ds Restno due questioni:. Sotto quli ipotesi h senso l integrle or scritto?. Come si clcol? γ Per qunto rigurd l prim, ci limiteremo dire che, lddove risultno definite le componenti del cmpo, e le curve seguite lungo lo spostmento sono lmeno regolri trtti (cioè non hnno spigoli, oppure li hnno in numero finito), llor non ci sono problemi. Per l second, bst considerre che l elemento ds che compre nell integrle ltro non è che il vettore elementre che dà in ogni punto l direzione del percorso seguito. M llor, se l curv h le equzioni prmetriche

3 srà fcile clcolre il ds come x x(t) γ : y y(t) t t t ds ( dx, dy ) che è rgionevole, perché signific che il piccolo spostmento ds si ottiene fcendo gire il vettore velocità istntne ( dx v, dy ) per un piccolo tempo. Or, se il cmpo d forz F h componenti F (x, y) (F x (x, y), F y (x, y)) bsterà sostituire x(t) d x ed y(t) d y per ottenere il cmpo in funzione di t: F (t) (F x (x(t), y(t)), F y (x(t), y(t))) Insomm, l integrle che definisce il lvoro si esplicit come segue: In prtic γ F ds t t (F x (x(t), y(t)), F y (x(t), y(t))) ( dx, dy ) Come si effettu questo clcolo prticmente? Andimo per ordine: Quli sono i dti del problem? Sono ssegnti: il cmpo di forz F (x, y) l curv γ sull qule clcolre il lvoro, dt medinte le equzioni prmetriche: x x(t) γ y y(t) t t t

4 Come procedimo? ( ). Comincimo col clcolo del ds dx, dy (x (t), y (t)).. Proseguimo con l espressione dell forz in funzione di t, che equivle clcolre l forz lungo l triettori: F (t) F (x(t), y(t)). Clcolimo il prodotto sclre e integrimo: Informzioni utili Regole di derivzione tf t F (t) (x (t), y (t)) L derivt dell potenz segue l regol d tn n t n cioè si bbss di uno il grdo e si moltiplic per il vecchio esponente. L derivt di un costnte è sempre ugule zero. Le costnti si portno fuori dl segno di derivt. Quindi, d esempio, pplicndo le tre regole sopr scritte, bbimo d (t ) d (t ) d () d t t 6t Regole di integrzione Per clcolre b f(t). Trovimo un funzione F (t) che bbi f(t) per derivt. Clcolimo F (b) F () e il gioco è ftto. Tenimo presenti lcune semplici regole: b c f(t) c b f(t), cioè l costnte si port fuori dl segno di integrle. b [f(t) + g(t)] b f(t) + b g(t), cioè l integrle di un somm è ugule ll somm degli integrli.

5 b b b tn Esempio: Esempi Esempio [ t n+ n+ ] b (t t + ), perché se derivo tn+ n+ ottengo tn. [ ] [ ] t t t + t t + t ( ) ( ) Clcolimo il lvoro del cmpo grvitzionle locle F (x, y) (, mg) qundo un corpo di mss m percorre il segmento x t γ : y t t h Seguimo il metodo suggerito. Per l elemento d rco ds bbimo: ds (, ) che bbimo clcolto derivndo ciscun componente dell curv γ rispetto t. In questo cso, l componente x(t) è t, che h per derivt, e l componente y(t) è t, che h per derivt. Esprimimo l forz lungo l triettori γ: bbimo F (x, y) (, mg) che non dipende d t, quindi non bbimo null d fre. Infine, clcolimo h (, mg) (, ) h mg mg [t] h mg(h ) mgh dove h è il dislivello verticle dell triettori. Il risultto è negtivo, questo signific che il cmpo non compie lvoro, m lo subisce, nel senso che un gente esterno h evidentemente sollevto il corpo di h metri contro l forz del cmpo. 5

6 Esempio Vedimo il lvoro dell forz elstic. L su espressione è F (x, y) ( kx, ) Immginimo di gire sull moll, llungndol nell direzione x fino ll lunghezz L: x t γ : y t L Procedimo come prim: per l elemento d rco bbimo ds (x (t), y (t)) (, ). Per l espressione dell forz trovimo Infine l integrle L F ds L F (t) ( kt, ) ( kt, ) (, ) L [ t kt k ] L ( ) L k k L che è il lvoro necessrio per effetture un llugnmento L di un moll di costnte elstic k rispetto ll posizione di equilibrio. Esempio Un esempio più generle. Il cmpo di forze è ) F (xy, x e l l curv è γ di equzioni prmetriche x t γ : y t t Grficmente, l situzione è quell in figur: 6

7 - 6 8 inftti si trtt di un rco dell prbol di equzione crtesin x y. Per l elemento ds bbimo ds (x (t), y (t)) (t, ) mentre per F (t): F (t) (t t, (t ) ) ( ) t, t e infine F ds Esempio 5 [ t 5 ( ) t, t (t, ) 5 ] (5 ), 5 J Dto il cmpo di forz F (y, xy ) e l triettori x t γ : y t t ( ) t + t 5 t 7

8 clcolimo il lvoro. L elemento d rco ds è ds (x (t), y (t)) (, 6t) e per il cmpo di forze sull triettori bbimo quindi il lvoro è dto d F (t) (7t 6, (t )9t ) (7t 6, 7t 5 5t ) (7t 6, 7t 5 5t ) (, 6t) (89t 6 t 5 ) Esempio 5 [ 89 t7 7 t6 6 Dto il cmpo di forz F (y x, x y) e l triettori clcolimo il lvoro. L elemento d rco ds è e il cmpo di forz su γ: e llor si h x t + γ : y t t ds (t, t ) (7t 6 + 6t 6 t 5 ) ] F (t) (t t, t + t ) (t t, t + t ) (t, t ) ( t 5 + 5t t + t t) ( 89 7 ) 6 (t t t + t + t t 5 ) [ t t5 5 t + t t ] 8

9 Perché funzion? Un spiegzione... intuitiv Intuitivmente, è fcile vedere che l derivt, con l su definizione df lim f(t + t) f(t) f lim t t t t richiede di clcolre il rpporto fr due differenze. L integrle, invece, è b f(t) lim δ n f(t i ) t i cioè un somm di prodotti. Qundo si chiede di clcolre l integrle di un derivt, in sostnz, si effettu un somm di prodotti di rpporti di differenze. É intuitivmente plusibile che le operzioni elencte si compensino vicend e si ritorni con l funzione di prtenz. Non è un dimostrzione rigoros, però, come giustificzione, non è mle. i 9