Integrazione numerica di funzioni con singolarità

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DELLA CALABRIA Fcoltà di Scienze Mtemtiche, Fisiche e Nturli Corso di Lure in Mtemtic Integrzione numeric di funzioni con singolrità RELATORE Dr. Frncesco Dell Accio CANDIDATO Contrtese Fortunto Mtr Anno Accdemico 24-5

2 i Indice Introduzione 1 1 Qudrtur numeric clssic Introduzione Formule di qudrtur Formule di qudrture di tipo interpoltorio Le formule di Newton-Cotes Formule di Newton-Cotes composte Studio dell errore Qudrtur numeric per funzione integrnd limitt Introduzione Integrli di funzioni con discontinuità di prim specie Integrzione dttiv Formul di Simpson dttiv Qudrtur numeric per funzione integrnd non limitt o intervllo di integrzione non limitto Introduzione Idee generli Metodi per il clcolo di integrli impropri Procedimento con limite Troncmento dell intervllo Cmbio di vribile Integrzione di tipo interpoltorio Cmbio di vribile su intervlli non limitti Procedimento l limite per intervlli infiniti Accelerzione dell convergenz Integrzione Gussin su intervlli illimitti Bibliogrfi 48

3 1 Cpitolo Introduzione Per integrli singolri si intende si l clsse degli integrli di funzioni con punti di discontinuità (dell funzione o delle sue derivte) si quell degli integrli su domini illimitti. Le singolrità possono quindi presentrsi sotto vrie forme e non è rgionevole pensre che esist un unico modo generle e conveniente per trttrle. Piuttosto, vi possono essere lcune idee d dottre cso per cso. In quest tesi nlizzeremo lcune di queste idee, limitndoci l solo cso di integrli di funzioni univrite. Bisogn comunque sottolinere che è l nlisi del cso prticolre o un su opportun trsformzione suggerire in generle l soluzione più idone. L elborto si svilupp in tre cpitoli. Nel primo sono richimti lcuni concetti bsilri di teori dell qudrtur numeric cui si f riferimento nei cpitoli successivi. Nel secondo cpitolo viene nlizzto il cso dell funzione integrnd limitt, con un numero finito di discontinuità nel dominio di integrzione, e introdotto il metodo dttivo per il clcolo numerico degli integrli. Nel terzo conclusivo cpitolo è con-

4 2 siderto il cso dell funzione integrnd illimitt, e sono introdotte diverse idee per un opportun qudrtur numeric. Infine è nche trttto il cso dell integrzione numeric su domini illimitti.

5 3 Cpitolo 1 Qudrtur numeric clssic 1.1 Introduzione In questo primo cpitolo richimimo metodi numerici clssici per il clcolo di integrli definiti del tipo I(f) = b f(x)dx, (1.1) dove f è un funzione rele integrbile sull intervllo [, b] e sufficientemente regolre, che srnno utili nel seguito dell tesi. In prticolre trtteremo il cso delle formule di qudrtur di tipo interpoltorio, cioè formule del tipo b f(x)dx = n A i f(x i ) + R n (f) i=1 che risultno estte nello spzio dei polinomi in x di grdo n. Allo scopo di umentrne l precisione, queste formule vengono combinte fr loro riprtendo l intervllo [, b] in sottointervlli, sovente equispziti, formre formule di qudrtur di tipo composito, primenti trttte in questo primo cpitolo.

6 4 1.2 Formule di qudrtur Si f un funzione rele integrbile sull intervllo [, b]. Un formul di qudrtur è un espressione del tipo b f(x)dx = n A i f(x i ) + R n (f) (1.2) i=1 dove gli A i R sono detti coefficienti o pesi, e gli x i i = 1,.., n sono punti distinti pprtenenti ll intervllo [, b] detti nodi. L quntità Q n (f) = n A i f(x i ) i=1 è un pprossimzione dell integrle (1.1) con un errore dto d R n (f) = b f(x)dx n A i f(x i ). (1.3) Dipendentemente di vlori che ssumono i pesi e i nodi, incognite nell formul (1.2), si ottengono formule di qudrtur più o meno estte, come specificto nell seguente definizione. i=1 Definizione 1 Diremo che l formul di qudrtur (1.2) h grdo di esttezz m se l errore di troncmento (1.3) è nullo per ogni polinomio p(x) di grdo m. E possibile clcolre i nodi x i e i pesi A i in modo tle che l formul di qudrtur bbi grdo di esttezz mssimo, ossi pri 2n 1, ([1, p.272]). In prticolre, riferendosi ll intervllo [ 1, 1], per i pesi A i si h l formul A i = 1 1 ω(x) (x x i )ω dx, (1.4) (x i )

7 5 dove con ω(x) = (x x )(x x 1 ) (x x n ) è stto denotto il polinomio nodle, mentre i nodi risultno essere le rdici del polinomio d n P n (x) = 1 2 n n! dx n (x2 1) n ; (1.5) formule generli si ottengono prtire d quelle precedentemente dte medinte un semplice trsformzione linere. Il polinomio nell (1.5) è detto polinomio ortogonle di Legendre, di grdo n. Nel cso in cui i nodi sino fissti priori, possimo scegliere i pesi A i in modo tle che l formul di qudrtur bbi grdo di esttezz mssimo. Quest tecnic conduce l concetto di formul di qudrtur di tipo interpoltorio che ci pprestimo trttre. 1.3 Formule di qudrture di tipo interpoltorio Definizione 2 Un formul di qudrtur su n + 1 nodi distinti, si dice di tipo interpoltorio, se h grdo di esttezz lmeno n. Proposizione 3 Un formul di qudrtur h grdo di esttezz n se solo se per l errore di troncmento R n ssocito risult R n (x k ) = per k =, 1,..., n. Dimostrzione. Qui e in seguito denotimo con P n lo spzio dei polinomi in x di grdo n. Si p P n un generico polinomio: p(x) = + 1 x n x n. Poichè R n è un funzionle linere risult: R n (p(x)) = R( + 1 x n x n ) = R n (1) + 1 R n (x) n R n (x n ). (1.6)

8 6 Poichè l identità (1.6) vle per ogni scelt dei coefficienti, 1,..., n, possimo concludere con l tesi. Il seguente teorem grntisce l esistenz di formule di qudrtur di tipo interpoltorio. Teorem 4 Dti n + 1 punti distinti x i i =,..., n pprtenenti ll intervllo [, b], esiste ed è unic l formul di qudrtur di tipo interpoltorio vente come nodi i punti dti. Dimostrzione. Essendo i nodi n + 1, l formul di qudrtur (1.2) è di tipo interpoltorio se, e solo se, sono verificte le condizioni R n (x k ) = k =,..., n. Inponendo che tli condizioni sino verificte ottenimo il seguente sistem di equzioni lineri con n A i x k i = m k k =,..., n (1.7) i= m k = bk+1 k+1 k + 1 k =,..., n. Il sistem (1.7) può essere scritto nell form mtricile V A = M (1.8)

9 7 dove A = [A,..., A n ] T, M = [m,..., m n ] T e V = x x x n : : : : : : : : : : x n x n x n n Essendo l mtrice V non singolre in qunto mtrice di Vndermonde sui nodi distinti [1, p.194], il sistem (1.8) mmette un unic soluzione che fornisce i pesi dell formul di qudrtur (1.2). Fissti gli n + 1 nodi x i i =,..., n, tutti distinti e pprtenenti ll intervllo [, b], supponimo che l formul di qudrtur (1.2) si di tipo interpoltorio. Poichè ogni polinomio p(x) di grdo n può essere scritto nell formul di Lgrnge p(x) = n i= ω(x) (x x i )ω (x i ) p(x i), risult con fcili clcoli R n (p(x)) = b n i= ω(x) (x x i )ω (x i ) p(x i)dx n A i p(x i ) =. L linerità dell integrle ci consente di scrivere l precedente equzione nell form n i= d cui, per l rbitrriet del polinomio p(x) i= [ b ] ω(x) p(x i ) (x x i )ω (x i ) dx A i = A i = b ω(x) (x x i )ω dx (1.9) (x i )

10 8 1.4 Le formule di Newton-Cotes Le formule di qudrtur di tipo interpoltorio con nodi ugulmente spziti in [, b] sono dette formule di Newton-Cotes. Un proprietà interessnte delle formule di Newton-Cotes è quell di vere i coefficienti di integrzione A i i =,..., n dipendenti solo d n e d h = b. Quest proprietà si verific fcilmente clcolndo n esplicitmente i coefficienti A i prtire dll formul (1.9). Le formule di qudrtur di Newton-Cotes si dicono chiuse se tr i nodi figurno gli estremi dell intervllo di integrzione, ltrimenti si dicono perte. Nel seguito limiteremo l nostr ttenzione l solo cso delle formule chiuse, di mggiore rilevnz in questo lvoro. Allo scopo di determinre i coefficienti A i i =,.., n ed il resto R n (f), nel cso delle formule chiuse, riscrivimo l espressione dell generic formul di qudrtur sugli n + 1 nodi x i = + ih, i =,..., n nell form dove è stto posto b f(x)dx = (b ) n Bk n f(x k) + R n (f) (1.1) k= B n k = (b ) 1 A k. (1.11) Come precedentemente mostrto i pesi A k delle formule di qudrtur di tipo interpoltorio si ricvno medinte l formul dove A k = b ω(x) (x x k )ω dx, k =,..., n (1.12) (x i ) ω(x) = (x x )(x x 1 ) (x x n ).

11 9 Dlle uguglinze precedenti risult quindi B n k = (b ) 1 b ω(x) (x x k )ω dx, k =,..., n. (1.13) (x k ) Introducendo l nuov vribile t, medinte l trsformzione x = x + th, si h x x k = h(t k) k =,..., n, ω(x) = h n+1 π n (t) con π n (t) = t(t 1) (t n) e ω (x k ) = ω (x + kh) = ( 1) n k h n k!(n k)!, per cui, sostituendo nell (1.13) risult B n k = ( 1)n k nk!(n k)! n t(t 1) (t i + 1)(t i 1) (t n)dt. (1.14) Pertnto i coefficienti B n k possono essere fcilmente tbulti. Nell tbell che segue sono riportti i vlori Bk n per n = 1,..., 1; poichè Bn k = Bn n k, come si può fcilmente [ n ] verificre, ci limitimo d indicre solo i vlori per k

12 1 n B n B n 1 B n 2 B n 3 B n 4 B n Dll tbell precedente risult che i coefficienti per n = 8 e n = 1 non sono tutti positivi; in generle è possibile dimostrre [3, pg. 151] che i pesi sono tutti positivi solo per n 7 e n =9. In conseguenz di ciò lo scrso utilizzo delle formule di Newton- Cotes per n 8. Le formule di Newton Cotes più semplici si ottengono per n =1, 2 e prendono il nome rispettivmente di formul del trpezio e di Simpson. L espressione dell formul del trpezio è Q 1 (f) = b 2 [f() + f(b)]. (1.15)

13 11 f ( x) = x b = x 1 x Figur 1.1: Formul del Trpezio L errore di qudrtur per quest formul, nel cso in cui f C 2 ([, b]), è dto d R 1 (f) = 1 12 (b )3 f (2) (ξ), ξ (, b). (1.16) L formul di Simpson è Q 2 (f) = b 6 [ f() + 4f ( + b 2 ) ] + f(b) (1.17) con errore di qudrtur, nel cso f C 4 ([, b]), dto d R 2 (f) = h5 9 f (4) (ξ), h = b, ξ (, b). (1.18) 2 Le espressioni dei resti delle formule del trpezio e dei Simpson srnno esplicitmente ricvte nel prgrfo Formule di Newton-Cotes composte L procedur generle consiste nel suddividere l intervllo di integrzione

14 12 f ( x) = x x 1 = + b 2 b = x 2 Figur 1.2: Formul di Simpson [, b] in N sottointervlli. Ponendo: y i = + ih i =,..., N, H = b N risult, per l proprietà di dditività dell integrle, ciscuno degli integrli b f(x)dx = y i+1 N 1 k= y i+1 y i f(x)dx; (1.19) y i f(x)dx (1.2) può essere pprossimto con un delle formule di qudrtur precedentemente discusse; se si us l stess per ogni i =,..., N 1 si ottiene un formul di qudrtur compost per il clcolo di b chius su n + 1 nodi bbimo y i+1 y i f(x)dx. Applicndo ll (1.2) l formul di Newton-Cotes f(x)dx = H n [ B n k f(x k ) + Rn(f) i ] (1.21) k=

15 13 con x k = y i + kh, k =,..., n, h = H n e sostituendo nell (1.19) risult b f(x)dx = N 1 i= = H N 1 = H n [ H n k= i= k= ] Bk nf(x k) + Rn(f) i n Bk nf(x k) + N 1 Rn(f) i Bk n[n 1 k= i= i= f(y i + kh)] + N 1 Rn(f). i i= (1.22) Inoltre, poichè y i = y i 1 +nh, i vlori f(y i ), i = 1,..., N 1 ppiono due volte nell ultimo membro di (1.22), per cui possimo scrivere { b f(x)dx = H B nf(y ) + Bnf(y n N ) + (B n + Bn n) N 1 f(y i ) j= [ ]} + n 1 N f(y j 1 + kh) + R N (f) con Bk n k=1 j=1 R N (f) = N 1 i= (1.23) R i n(f). (1.24) L (1.22) prende il nome di formul di qudrtur di Newton-Cotes compost. Nel prossimo prgrfo, dopo ver esplicitimnte ricvto espressioni per l errore nelle formule di qudrtur di Newton-Cotes, mostreremo come d queste è possibile ottenere espressioni nlitiche per l errore (1.24) delle corrispondenti formule composte (1.23). 1.6 Studio dell errore Scopo di questo prgrfo è lo studio dell errore nei metodi di qudrtur, con l obiettivo prticolre di evidenzire l ordine di convergenz. Ci ponimo quindi nel seguente qudro generle: l funzione w(x) è un funzione peso positiv su (, b) (limitto o meno) e tle che x n w(x) L 1 (, b), n N. Per funzioni f(x) tli che

16 14 w(x)f(x) L 1 (, b) considerimo formule di qudrtur del tipo: b w(x)f(x)dx n A i f(x i ), A i R, x i (, b). (1.25) i= In tle qudro rientrno si le formule di qudrtur elementri che quelle composte. Per il seguito indicheremo con [α, β] un intervllo contenente, b; l errore dell formul di qudrtur srà indicto, l solito, con b R(f) = w(x)f(x)dx i= n A i f(x i ). Come noto, R(f) è un funzionle linere e continuo su C ([α, β]), rispetto ll norm del mssimo. Infine, indicndo con u + = mx(u, ), porremo, per t fissto e m intero non negtivo: (x t) m + = (x t) m per x t, per x t. Si h il seguente Teorem 5 Supponimo che l formul di qudrtur (1.25) si estt per polinomi di grdo N, N e che f C N+1 ([α, β]). Allor dove l funzione nucleo K N (t) = R((x t) N + ), β R(f) = 1 K N (t)f (N+1) (t)dt, (1.26) N! α corrispondente ll errore dell formul di qudrtur pplict ll funzione prticolre x (x t) N +, è dett nucleo di Peno dell formul (1.25).

17 15 Dimostrzione. Dll uguglinz per integrzione per prti si h x f(x) = f(α) + f (t)dt α x f(x) = f(α) + (x α)f (x) (t α)f (t)dt. Anlogmente α x (x α)f (x) = (x α) f (α) + α f (t)dt per cui, sostituendo nell precedente uguglinz, ottenimo con fcili clcoli f(x) = f(α) + (x α)f (α) + (x t)f (t)dt. Procedendo in questo modo, dopo N 1 ulteriori integrzioni per prti, ottenimo x α f(x) = f (α) + f (α) (x α) f (N) (α) (x α) N + 1 N! N! = T N [f, α](x) + 1 N! β α (x t) N + f (N+1) (t)dt x α (x t) N f (N+1) (t)dt Essendo T N [f, α](x) un polinomio di grdo minore o ugule d N, per l proprietà di esttezz dell formul di qudrtur, risult R(f) β = R(T N [f, α]) + 1 N! R (x t) N + f (N+1) (t)dt α = 1 b β (x t) N + f (N+1) (t)dt w(x)dx n N! α β A i i= α (x i t) N + f (N+1) (t)dt d cui, dopo ver scmbito l ordine di integrzione nell integrle doppio d ultimo

18 16 membro dell uguglinz precedente, ottenimo R(f) = 1 β b (x t) N + w(x)dx n A N! i (x i t) N + f (N+1) (t)dt α = 1 N! β α K N (t)f (N+1) (t)dt. i= Corollrio 6 Se l funzione t K N (t) non cmbi segno su [α, β], llor esiste un ξ (α, β) tle che: R(f) = f (N+1) (ξ) (N + 1)! R(xN+1 ) Dimostrzione. Applicndo ll (1.26) il primo teorem del vlor medio per gli integrli [4, p. 7] si h: R(f) =f (N+1) (ξ) 1 N! Prendendo, in prticolre, f(x) = x N+1 si h: β R(x N+1 ) = (N + 1) α β α K N (t)dt = D cui, sostituendo l (1.28) nell (1.27) ottenimo l tesi. K N (t)dt, ξ (α, β). (1.27) β α K N (t)dt = R(xN+1 ) (N + 1). (1.28) Applichimo il corollrio precedente per clcolre espressioni dell errore di lcune formule di qudrtur. Oltre lle già citte formule del trpezio e di Simpson, prendimo in esme l formul del rettngolo b f(x)dx f() e quell del punto medio b ( ) + b f(x)dx f. 2

19 17 Metodo Errore Metodo del rettngolo f (b )2 (ξ) 2 Metodo del punto medio f (b )3 (ξ) 24 Metodo del trpezio f (b )3 (ξ) 12 Metodo di Simpson f (4) (ξ) [(b )2 /2] 5 Not un espressione dell errore per un dt formul elementre, è del tutto immedito lo studio dell errore dell corrispondente formul compost. A tle scopo è d usilio il seguente 9 Lemm 7 Si u C ([, b]) e sino dti in [, b] punti x j j =,..., s+1 e in corrispondenz costnti δ j, tutte dello stesso segno. Esiste llor lmeno un punto ξ [, b] tle che s s δ j u(x j ) = u(ξ) δ j. (1.29) j= j= Dimostrzione. Sino u m = min x [,b] u(x) = u(x m) e u M = mx x [,b] u(x) = u(x M) con x m, x M [, b]. Dto che i coefficienti δ j per ipotesi devono essere tutti dello stesso segno, procederemo nell dimostrzione supponendoli positivi. Per definizione di u m, u M si h: Ponimo σ s = j= u m j= s δ j s δ j u(x j ) u M j= s δ j. (1.3) s s δ j u(x j ) e considerimo l funzione continu U(x) = u(x) δ j. In virtù dell (1.3) risult U(x m ) σ s U(x M ). Per il teorem del vlor medio esiste lmeno un punto ξ compreso tr e b tle che U(ξ) =σ. Un dimostrzione del tutto j= j=

20 18 simile può eseguirsi nel cso in cui i coefficienti δ j sino negtivi. Suddividimo l intervllo (, b) negli intervlli [y i, y i+1 ], con y i = + ih, H = (b )/N; come consttto nel prgrfo precedente per l errore nell formul composit risult R N (f) = N 1 i= R i n(f), dove con R i n(f) bbimo indicto l errore dell formul di qudrtur elementre qundo pplict l generico intervllo [y i, y i+1 ] i =,..., N 1. Considerimo come esemplificzione il cso dell formul dei trpezi. Sppimo che se l funzione f(x) è sufficientemente regolre l errore che si commette utilizzndo tle formul sul generico intervllo [x i, x i+1 ] è dto d R i 1(f) = h3 12 f (2) (ξ i ), ξ ]y i, y i+1 [. Si h, pertnto, denotndo con T (H) l formul del trpezio composit (o dei trpezi) T (H) b f(x)dx = H3 12 N 1 i= f (2) (ξ i ) = H2 12 (b ) 1 N 1 N i= f (2) (ξ i ). Se f C 2 ([, b]) per il lemm precedente, ssumendo δ i = 1 N i=,..., N esiste lmeno un punto ξ nell intervllo [, b] tle che In definitiv, si h quindi b f (2) (ξ) = 1 N N 1 i= f (2) (ξ i ) f(x)dx T (H) = b 12 H2 f (2) (ξ), H = (b )/N. Si procede in modo del tutto nlogo per il clcolo degli errori nelle formule composite ottenute prtire dlle formule di qudrtur discusse nel prgrfo precedente; in prticolre nell tbell che segue riportimo lcune di queste espressioni:

21 19 Metodo Errore Metodo dei rettngoli f (ξ) Metodo dei punti medi f (ξ) Metodo dei trpezi f (ξ) (b ) h 2 (b ) h 2 24 (b ) h 2 12 Metodo di Simpson composito f (4) (ξ) (b ) 18 h4

22 2 Cpitolo 2 Qudrtur numeric per funzione integrnd limitt 2.1 Introduzione In questo cpitolo nlizzeremo un metodo di integrzione numeric utomtic: un insieme, cioè, di lgoritmi numerici che restituisce un pprossimzione dell integrle I(f) = b f(x)dx, entro i limiti di un tollernz ε precist dll utente e tle d essere cpce di modificre in modo utomtico il psso di integrzione, dipendentemente dl comportmento locle dell funzione. Svilupperemo tle ide utilizzndo in prticolre l formul di Simpson per l qule riporteremo nche un implementzione dimostrtiv.

23 Integrli di funzioni con discontinuità di prim specie Se l funzione integrnd è limitt, m non sufficientemente regolre, intendento con ciò che l funzione stess o lcune sue prime derivte presentno slti in punti l cui colloczione è not priori, è possibile decomporre il dominio di integrzione in mnier che tli punti risultino estremi degli intervlli di integrzione przile. Più precismente, si c un punto noto ll interno di [, b] e si f un funzione continu e sufficientemente regolre in [, c) e (c, b], con slto f(c + ) f(c ) finito; si h llor b c b I(f) = f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx c Utilizzndo seprtmente su [, c ) e (c +, b] un qulsisi delle formule di integrzione numeric precedentemente considerte, si può pprossimre correttmente I(f). Le stesse considerzioni vlgono se f mmette un numero finito di discontinuità ll interno di [, b] note. Più difficile, ovvimente, si present l situzione qundo i punti di discontinuità non sono noti priori. Se l funzione è dt in form nlitic, per loclizzre lmeno pprossimtivmente tli punti può essere utile un esme dell funzione medinte le tecniche dell nlisi. Un prezioso supporto, se usto correttmente, è lo studio grfico. Qundo l funzione non è dt in form esplicit e comunque risult troppo complict d studire, si può ffidre l metodo di integrzione il compito di scoprire eventuli punti di discontinuità. Evidentemente tli metodi, noti col nome di metodi dttivi, dovrnno essere cpci di modificre in modo utomtico il psso di integrzione, dipendentemente dl comportmento lo-

24 22 cle dell funzione. E inftti, qundo si pplic un metodo dttivo, l presenz di punti di discontinuità dell funzione è segnlt d un eccessiv riduzione del psso di integrzione. Nturlmente il successo di quest ide presuppone che il metodo dttivo si efficiente. 2.3 Integrzione dttiv L obiettivo di un integrtore dttivo è primrimente quello di fornire un pprossimzione di I(f) = b f(x)dx entro i limiti di un prefisst tollernz ε. L scelt dell suddivisione in prti uguli dell intervllo di integrzione in un formul di qudrtur compost, può non essere pproprit qundo si integr un funzione con comportmento ltmente vrito nell intervllo di integrzione, cioè con grndi vrizioni su lcune prti e piccole vrizioni su ltre. Il significto di vrizione è precisto dl comportmento delle derivte dell funzione. Fissimo l ttenzione sul generico sottointervllo [α, β] [, b]. L nlisi delle stime dell errore per le formule di Newton-Cotes, lcune delle quli sono stte riportte nel cpitolo precedente, evidenzi che bisognerebbe vlutre le derivte di f sino d un certo ordine per potere scegliere un psso h di integrzione tle d grntire un ccurtezz prefisst, dicimo ɛ (β α). Tle procedimento, che richiederebbe uno sforzo computzionle ec- (b ) cessivo, risultndo così imprticbile nelle modlità ppen descritte, viene relizzto in un integrtore utomtico dttivo.

25 Formul di Simpson dttiv Per fissre le idee ci riferimo ll formul di Simpson (1.17), sebbene il metodo che ci pprestimo considerre poss essere pplicto nche d ltre formule di qudrtur. Ponimo I f (α, β) = β α f(x)dx, S f (α, β) = h 3 [ f(α) + 4f ( α + β 2 ) ] + f(β), h = β α. 2 L espressione dell errore nell formul di Simpson (1.18), nell ipotesi che f si sufficientemente regolre in [α, β], è I f (α, β) S f (α, β) = h5 9 f (4) (ξ), (2.1) essendo ξ un punto interno ll intervllo [α, β]. Allo scopo di stimre l errore I f (α, β) S f (α, β) senz clcolre esplicitmente f (4) (x) utilizzimo nuovmente l formul di Simpson (1.17) su ciscuno dei due sottointervlli [α, (α + β)/2] e [(α + β)/2, β], ciscuno di mpiezz h/2: I f (α, β) S f,2 (α, β) = (h/2)5 (f (4) (ξ) + f (4) (η)), 9 dove ξ (α, (α + β)/2), η ((α + β)/2, β) e S f,2 (α, β) = S f (α, (α + β)/2) + S f ((α + β)/2, β). Nell ulteriore ipotesi che l funzione f (4) (x) non si troppo vribile su [α, β] (e ciò non è sempre vero, in generle) possimo ssumere f (4) (ξ) f (4) (η) e concludere che I f (α, β) S f,2 (α, β) = 1 h f (4) (ξ), (2.2)

26 24 con un riduzione di un fttore 16 rispetto ll errore (2.1), corrispondente ll scelt di un psso doppio. Confrontndo l (2.2) e l (2.1), si ricv l stim dove bbimo posto h 5 9 f (4) (ξ) δ f (α, β) (2.3) δ f (α, β) = S f (α, β) S f,2 (α, β). Confrontndo le uguglinze (2.2) e (2.3) ottenimo, quindi, l stim I f (α, β) S f,2 (α, β) δ f (α, β). 15 Abbimo dunque ottenuto un stim dell errore commesso se l integrle estto, nell prte reltiv l sottointervllo [α, β], viene pprossimto con l qudrtur di Simpson composit su quel sottointervllo; tle stim deve essere verifict se l funzione f è sufficientemente regolre e non troppo vribile nel sottointervllo [α, β]. Evidentemente l procedur di clcolo dell integrle pprossimto, che comunque richiederà di decomporre l intervllo di integrzione inizile [, b] in sottointervlli [α, β] più o meno spziti, richiederà uno sforzo computzionle mggiore soltnto nell prte in cui l funzione subisce forti vrizioni, nell mggior prte dei csi bbstnz loclizzte. In prtic è più conveniente ssumere un stim dell errore più conservtiv, d esempio I f (α, β) S f,2 (α, β) δ f (α, β) ; 1 inoltre, in virtù dell proprietà di dditività dell integrle, per grntire un ccurtezz complessiv su [, b] pri ll tollernz ε prefisst, bsterà imporre che su ogni sin-

27 25 S α Α β N b ( I) S α N β = b ( II ) S α + β α A 2 N b golo sottointervllo [α, β] [, b] l stim dell errore δ f (α, β) verifichi δ f (α, β) 1 ε β α b. (2.4) L lgoritmo utomtico per l integrzione dttiv può essere orgnizzto come segue. Indichimo con: 1. A l intervllo di integrzione ttivo, ovvero dove si st clcolndo l integrle; 2. S l intervllo di integrzione già esminto, per il qule il test sull errore è stto superto con successo; 3. N l intervllo di integrzione che deve essere ncor esminto. All inizio del processo di integrzione bbimo N = [, b], A =N e S =, mentre l situzione l generico psso dell lgoritmo è visulizzt in figur 2.1. Indichimo con J s (f) l pprossimzione dell prte di integrle α f(x)dx già clcolt; evidentemente J s (f) = ll inizio del processo; se l lgoritmo di clcolo giunge buon fine, J s (f) fornisce l pprossimzione cerct di I(f). Indichimo inoltre con J (α,β) (f) l integrle pprossimto di f sull intervllo ttivo [α, β]. Quest ultimo è evidenzito in grssetto

28 26 nell figur 2.1. Ad ogni psso del metodo di integrzione dttiv si procede secondo lo schem rppresentto in figur 2.1 e cioè: 1. Se il test sull errore locle (2.4) è superto: (i) si increment J s (f) dell quntità J (α,β) (f), ovvero J s (f) = J s (f)+j (α,β) (f); (ii) si pone S = S A, A = N (corrispodente l percorso (I) nell figur 2.1), e β = b. 2. Se il test sull errore locle (2.4) non è superto: (j) si dimezz A, ponendo il nuovo intervllo ttivo pri A = (corrispondente l percorso (II) nell figur 2.1); [ ] α + β (jj) si pone N =, β N, e β = α + β ; 2 2 (jjj) si procede d un nuov stim dell errore. [ α, α + β ] 2 Onde evitre che il psso di integrzione diventi troppo piccolo, conviene introdurre un controllo sull mpiezz di A e segnlre, in cso di eccessiv riduzione, l presenz di un eventule punto di singolrità dell funzione integrnd. Esercizio 8 Applichimo l lgoritmo dttivo di Simpson l clcolo del seguente integrle 4 I(f) = tn 1 (1x)dx = 4 tn 1 (4) + 3 tn 1 ( 3) (1/2) log(16/9) L esecuzione del progrmm sottostnte, ssumendo tol = 1 4 e hmin = 1 3, fornisce un pprossimzione dell integrle con un errore ssoluto di L lgoritmo esegue 77 vlutzioni funzionli corrispondenti d un suddivisione dell intervllo [, b] in 38 sottointervlli di mpiezz non uniforme. L corrispondente formul composit

29 27 psso uniforme vrebbe richiesto 128 suddivisioni con un errore ssoluto pri L lgoritmo dttivo sopr descritto è implementto nel progrmm sottostnte. Tr i prmetri di ingresso, hmin è il vlore minimo mmissibile per il psso di integrzione. In uscit vengono restituiti il vlore pprossimto dell integrle integ, il numero totle di vlutzioni funzionli eseguite nf v e l insieme dei punti di vlutzione xf v. Progrmm simpdpt : Integrtore dttivo con l formul di Simpson function [integ,xfv,nfv]=simpdpt(,b,tol,fun,hmin) integ=; level=; i=1; lf(i)=; bet(i)=b; step=( bet(i)-lf(i))/4; nfv=; for k=1: 5 x=+(k-1)*step; f(i,k)=evl(fun); nfv=nfv+1; end while(i > ) S=;

30 28 S2=; h=(bet(i)-lf(i))/2; S=(h/3)*(f(i,1)+4*f(i,3)+f(i,5)); h=h/2; S2=(h/3)*((f(i,1)+4*f(i,2)+f(i,3)); S2=S2+(h/3)*(f(i,3)+4*f(i,4)+f(i,5)); tolrv=tol*(bet(i)-lf(i))/(b-); errrv=bs(s-s2)/1; if(errrv > tolrv) i=i+1; lf(i)=lf(i-1); bet(i)=(lf(i-1)+bet(i-1))/2; f(i,1)=f(i-1,1); f(i,3)=f(i-1,2); f(i,5)=f(i-1,3); len=bs(bet(i)-lf(i)); if(len >= hmin) if(len <= 11*hmin) str=sprintf( Funzione singolre in x=%12.7f, lf(i)); disp(str); end step=len/4;

31 29 x=lf(i)+step; f(i,2)=evl(fun); nfv=nfv+1; x=bet(i)-step; f(i,4)=evl(fun); nfv=nfv+1; else xfv=xfv ; disp( h e minore di hmin ) str=sprintf( L integrle sinor clcolto vle%12.7e, integ); disp(str); return end else integ=integ+s2; level=level+1; if(level==1) for k=1: 5 xfv(k)=lf(i)+(k-1)*h; end ist=5; else

32 3 for k=1: 4 xfv(ist+k)=lf(i)+k*h; end ist=ist+4; end if(bet(i)==b) xfv=xfv ; str=sprintf( L integrle vle%12.7e,integ); disp(str); return end i=i-1; lf(i)=bet(i+1); f(i,1)=f(i+1,5); f(i,3)=f(i,4); step=bs(bet(i)-lf(i))/4; x=lf(i)+step; f(i,2)=evl(fun); nfv=nfv+1; x=bet(i)-step; f(i,4)=evl(fun); nfv=nfv+1;

33 31 end end

34 32 Cpitolo 3 Qudrtur numeric per funzione integrnd non limitt o intervllo di integrzione non limitto 3.1 Introduzione Col termine integrle improprio si indic generlmente un integrle in cui l funzione integrnd non è limitt nell intervllo di integrzione; tuttvi, occsionlmente è utile includere in quest ctegori il cso di integrli di funzioni che posseggono un singolrità pprente o eliminbile nell intervllo di integrzione, ed nche il cso degli integrli su intevlli infiniti. Gli integrli impropri ppiono frequentemente in processi computzionli e devono essere trttti medinte metodi specili. I primi prgrfi del presente cpitolo sono dedicti l cso in cui l funzione

35 33 integrnd non è limitt nell intervllo di integrzione finito. Assumeremo volte, senz perdere in generlità, che l integrle d vlutre si dto nell form 1 f(x)dx, dove l funzione f(x) è continu in < x 1 m non in x 1; d esempio f(x) può essere non limitt nelle vicinnze di x =. Il cso degli integrli su domini illimitti, primenti trttto nei prgrfi finli del presente cpitolo, può essere ricondotto l cso di integrle di funzione non limitt su intervllo finito medinte un opportun trsformzione di vribile. Ulteriori metodi di qudrtur in questo cso sono orgnizzti medinte procedimento limite, o nche medinte l utilizzo di formule interpoltorie di tipo Gussino che ssumono come nodi di qudrtur rispettivmente gli zeri dei polinomi ortogonli di Hermite e di Lguerre. 3.2 Idee generli Per fissre le idee, supponimo che l funzione integrnd f(x) diventi infinit per x +, con estremo sinistro dell intervllo di integrzione; l nlisi è del tutto simile qulor f(x) diventi infinit per x b. Supponimo, d esempio, che l funzione integrnd si poss scrivere nell seguente form: f(x) = φ(x) (x ) θ, < θ < 1 dove φ(x) è un funzione regolre sull intervllo chiuso e limitto [, b], in modulo non superiore M. Sotto tli ipotesi possimo dre l seguente stim dell integrle: b I(f) M lim t + t 1 (x ) (b )1 θ dx = M. θ 1 θ

36 34 L restrizione su θ ssicur, come noto, l esistenz dell integrle come limite di integrli di Cuchy-Riemnn su sottointervlli che costituiscono un esustione dell intervllo [, b]. Per il clcolo numerico dell integrle I(f) si possono considerre le idee espresse nel prgrfo Metodi per il clcolo di integrli impropri Un primo metodo consiste nel fissre un ɛ tle che < ɛ < (b ) in modo tle d scrivere l integrle improprio come somm di due integrli I(f) = I 1 + I 2, dove I 1 = +ɛ φ(x) (x ) θ dx I 2 = b +ɛ φ(x) (x ) θ dx L integrle I 2 non present più problemi, essendo l funzione integrnd regolre sull intervllo di integrzione; quindi, per l su pprossimzione si può procedere con metodi di qudrtur clssici. Allo scopo di clcolre I 1 sostituimo φ con il suo sviluppo in serie di Tylor ttorno d x = rrestto ll ordine p : dove bbimo posto φ(x) = φ p (x) + (x )p+1 φ (p+1) (ξ(x)), p (3.1) (p + 1)! Si h llor φ p (x) = p φ (k) (x )k (). k! k= I 1 (f) = ε 1 θ p k= ε k φ (k) () k!(k + 1 θ) + 1 (p + 1)! +ɛ (x ) p+1 θ φ (p+1) (ξ(x))dx

37 35 per cui, sostituendo I 1 (f) con l sommtori secondo membro dell equzione precedente, l errore corrispondente R 1 (f) è mggiorto d R 1 (f) mx x +ɛ φ (p+1) (x), p. Supponimo di fissre ε < 1; se le derivte di φ sono limitte o non umentno troppo ll umentre di p, si h che R 1 (f) decresce in modulo l crescere di p. L integrle reltivo ll prte I 2 (f) si può pprossimre utilizzndo un formul di Newton Cotes composit m sottointervlli e n + 1 nodi di qudrtur per sottointervllo, con n pri. Usndo le note formule per l errore nel cso delle formule chiuse con n pri [2, p. 281] R n,m (f) = (b ) M n (n + 2)! n n+3 Hn+2 f (n+2) (ξ), H = b m, M n = n tπ n+1 (t)dt < e volendo equidistribuire l errore δ tr I 1 e I 2, si h R 2 (f) M (n+2) (ε) (b ε) M n (n + 2)!n n+3 ( b ε m ) n+2 = δ 2 (3.2) dove M (n+2) (ε) = mx +ɛ x b d n+2 dx n+2 [ ] φ(x) (x ) θ. Si osserv che il vlore dell costnte M (n+2) (ε) cresce rpidmente l tendere zero di ε; conseguentemente l (3.2) può comportre un numero di suddivisioni m ε = m (ε) tlmente elevto d rendere il metodo in esme di scrs utilità prtic. Esempio 9 Si debb clcolre l integrle generlizzto (noto come integrle di Fresnel) I(f) = π 2 cos(x) dx. x

38 36 Sviluppndo in serie di Tylor l funzione integrnd nell intorno dell origine e pplicndo il teorem di integrzione per serie, si ottiene I(f) = k= ( 1) k (2k)! 1 (2k + 1/2) (π/2)2k+1/2. Troncndo l serie i primi 1 termini, si h un vlore dell integrle pri Utilizzndo l formul di Simpson composit, l stim priori (3.2) fornisce, ponendo n = 2, M n = 4 15 e fcendo tendere ε zero [.18 m ε δ ( π ) ] 5 1/4 2 ε ε 9/2. Per δ = 1 4, prendendo ε = 1 2, si ricv che sono necessrie 114 suddivisioni (uniformi) mentre per ε = 1 4 e ε = 1 6 ne servono rispettivmente e Per confronto, eseguendo il progrmm scritto nel cpitolo precedente (integrzione dttiv con formul di Simpson) con = ε = 1 1, hmin = 1 12 e tol = 1 4, si ottiene l stim dell integrle con 157 vlutzioni funzionli, corrispondenti [ 528 suddivisioni non uniformi dell intervllo, π ]. 2 Un ltro metodo si ricv decomponendo l integrle I(f) nell somm I(f) = b φ(x) φ p (x) b (x ) θ dx + φ p (x) (x ) θ dx = I 1 + I 2 con l usilio dello sviluppo di Tylor (3.1). Il clcolo estto dell integrle I 2, dà l seguente espressione I 2 = (b ) 1 θ p k= (b ) k φ (k) () k!(k + 1 θ). L integrle I 1 si scrive, per p

39 37 dove I 1 elevto. I 1 = b (x ) p+1 θ φ(p+1) (ξ(x)) b dx = g(x)dx (p + 1)! h un funzione integrnd con un singolrità su derivte di ordine più L scelt del vlore p più opportuno dipenderà quindi dll formul di qudrtur utilizzt. 3.4 Procedimento con limite L definizione di bse è 1 1 f(x)dx = lim f(x)dx. t + t Anlizzimo un primo modo di procedere. Si 1 > r1 > r2 >... > un sequenz di punti che converge zero, d esempio r n = 1 2 n. Scrivimo 1 f(x)dx = 1 r 1 f(x)dx + r 1 r 2 f(x)dx + r 2 r 3 f(x)dx +... Ogni integrle l secondo membro è un integrle proprio e l vlutzione termin r n+1 qundo f(x)dx ɛ. Questo è un criterio prtico di stop, non corretto teoricmente. Inftti, se pplicto ll integrle divergente 1 dx r n reltivmente ll successione x r n = 1 n indic convergenz, essendo 1 n e lim n 1 (n+1) dx x = log n + 1 n log n + 1 n = log 1 =.

40 38 Esempio 1 I = 1 dx, I x x 1 n = 3 1 r n dx, r x x 1 n = 2 n 3 n I n Numero di vlutzioni dell funzione vlore estto r n In questo cso ogni integrle f(x)dx è stto clcolto medinte un pr- r n 1 ticolre modific dttiv delo schem di integrzione di Romberg. 3.5 Troncmento dell intervllo In qulche cso è possibile ottenere un stim dell integrle r f(x)dx senz difficoltà eccessive. Se r f(x)dx ε, llor possimo limitrci clcolre l integrle proprio 1 r f(x)dx. Esempio 11 ([5, p. 163]) Stimimo r g(x) dx x x 1 3 dove g(x) C [, 1] e inoltre g(x) 1. Poichè x 1 2 x 1 3 in [, 1], bbimo quindi r g(x) x x g(x) dx x x x 1 2 r. dx x 1 2 = r 1 2. Ciò suggerisce che dobbimo prendere r 1 6 per ottenere un ccurtezz di 1 3.

41 Cmbio di vribile A volte è possibile trovre un cmbio di vribile che elimin l singolrità. Per esempio, se f(x) C [, 1], il cmbio di vribile t n = x trsform l integrle in n 1 1 x 1 n f(x)dx, n 2 f(t n )t n 2 dt che è un integrle proprio. Se l integrle improprio 1 f(x) log xdx, dove f(x) C [, 1], f() è trttto medinte l sostituzione ovvi t = log x, ottenimo te t f(e t )dt un integrle su un intervllo di integrzione infinito. In questo cso però il cmbimento di vribile produce soltnto un trsformzione dell difficoltà inizile in un ltro tipo. Se l funzione integrnd è limitt, m h un bsso ordine di continuità, può essere preferibile effetture un cmbio di vribile. Per esempio, considerimo il cso dell integrle I = f(x)x p q dx dove p e q sono interi positivi. Ponendo x = t q ottenimo Altre trsformzioni utili sono: q I = q t p+q 1 f(t q )dt. f(x)dx π (1 x 2 ) 1/2 = f (cos t) dt,

42 4 e 1 π/2 f(x)dx (x (1 x)) 1/2 = 2 f ( sin 2 t ) dt. 3.7 Integrzione di tipo interpoltorio che l integrle Si w(x) un funzione con un singolrità nelle vicinnze di x =, m tle 1 w(x)x k dx esiste per k =, 1, 2,.., n. Per un dt sequenz di scisse < x < x 1 < x 2 <... < x n 1, possimo determinre pesi w i tli che 1 w(x)f(x)dx = n w k f(x k ) se f(x) P n. Ciò induce un pprossimzione dell formul di integrzione 1 w(x)f(x)dx k= n w k f(x k ). Esempio 12 Si w(x) = x 1 2, x = 1 3, x 1 = 2 3, x 2 = 1. Allor i pesi w k sono determinti dl seguente sistem linere k= w 1 + w 2 + w 3 = 1 x 1 2 dx = w w 2 + w 3 = 1 x 1 2 xdx = 2 3 Ottenimo quindi l formul di qudrtur w w 2 + w 3 = 1 x 1 2 x 2 dx = 2 5 x 1 2 f(x)dx 14 5 f che è più conveniente usre nell form r [ x f(x)dx r 2 5 f ( ) 1 8 ( ) f f(1) ( ) 1 8 ( ) f + 45 ] 3 f(1)

43 41 Esempio 13 ([5, p. 141]) Riportimo un formul dovut A. Young 1 1 f(x) (1 x 2 ) 1/2 dx π 6 [ ( f( 1) + 2f 1 ) + 2f 2 ( ) ] 1 + f(1) Cmbio di vribile su intervlli non limitti L sostituzione x = e y trsform l intervllo y in x 1. Quindi possimo scrivere l seguente formul f(y)dy = 1 f( log x) 1 dx = x g(x) dx (3.3) x che riconduce un integrle su un intervllo illimitto d un integrle su un intervllo limitto. Se g(x) x è limitt nelle vicinnze di x =, llor il secondo integrle srà proprio. M se ciò non ccde vuol dire che bbimo cmbito solo il tipo di difficoltà. Un form lterntiv di quest trsformzione è e x f(x)dx = 1 f ( log 1 x) dx. Esistono rgioni di ntur numeric per le quli l trsformzione (3.3) è vlid, se f(y) è di tipo esponenzile, e f(y) e ky, y <. L trsformzione (3.3) è un cso prticolre di un procedur generle. Si t(x) un qulsisi funzione pprtenente C 1 [, ) e monoton in questo intervllo, tle che t(x) soddisf le condizioni t() = 1, t( ) =, oppure t() =, t( ) = 1. Allor bbimo f(x)dx = 1 L formul (3.3) us l sostituzione t(x) = e x. t(x) = x 1 + x f(x(t)) dx dt dt. Altre possibili sostituzioni sono e t(x) = tnh(x). Come nell ( 3.3), le risultnti integrzioni usulmente sono improprie. Altre trsformzioni che sono usulmente utilizzte sono b f(x)dx = (b ) f ( ) + bt dt 1 + t (1 + t) 2,

44 42 ptto che π 2 f(x)dx = f(x) sin(x) x dx, f(x + π) = f(x) e f(x) = f( x), e ptto che π 2 f(x) cos(x)dx = f(x) sin(x) x dx, f(x + π) = f(x) e f(x) = f( x), 3.9 Procedimento l limite per intervlli infiniti L definizione di bse r f(x)dx = lim f(x)dx r suggerisce un primo modo di procedere. Si < r < r 1 <... un sequenz di numeri tle che lim n r n =. Scrivimo f(x)dx = r r1 f(x)dx + f(x)dx +... (3.4) r Ogni integrle secondo membro dell (3.4) è proprio, e le vlutzioni terminno r n+1 qundo f(x)dx ε. Come consttto in precedenz, questo prticolre metodo r n di stop non è corretto teoricmente; per esempio l integrle 1 dx x

45 43 è divergente, m il test di stop pplicto l cso r n = n indic convergenz. Di solito il sottointervllo di integrzione finit è frequentemente rddoppito d ogni psso, cioè si pone r n = 2 n ; l ide che support quest scelt è che se si us un sequenz ritmetic (r n = cn), il contributo di ogni singol ddizione d ogni psso può essere eccessivmente piccolo, volte minore di ε già dopo pochi pssi, interrompendo così il procedimento di clcolo troppo presto. Esempio 14 I n = r n e x 1 + x 4 dx, r n = 2 n n I n Numero di vlutzioni dell funzione vlore estto Accelerzione dell convergenz Il metodo descritto sopr può essere ccelerto se riuscimo d ottenere uno sviluppo sintotico di r f(x)dx per r. Per esempio, usndo il primo termine dell (3.6) si h r e x ce r (1 + x 4 dx ) (1 + r 4 )

46 44 d cui pplicndo l estrpolzione di Richrdson nell form si ottengono i seguenti vlori I n = I nφ(r n+1 ) I n+1 Φ(r n ), Φ(r) = e r Φ(r n+1 ) Φ(r n ) (1 + r 4 ), r n = 2 n n I n Si noti che I 1 è più grnde di I 2 e I 2 è qusi ugule I Integrzione Gussin su intervlli illimitti Per l integrzione sull semirett o sull inter rett, si possono usre formule interpoltorie di tipo Gussino che ssumono come nodi di qudrtur rispettivmente gli zeri dei polinomi ortogonli di Lguerre e di Hermite. I polinomi di Lguerre. Sono polinomi lgebrici, ortogonli sull intervllo [, + ) rispetto ll funzione peso w(x)= e x, cioè se indichimo con L n (x) l n-simo polinomio llor Essi sono definiti nel seguente modo L n (x)l m (x)e x dx =, n m. L n (x) = e x dn dx n (e x x n ), n, e soddisfno l seguente relzione ricorsiv tre termini L n+1 (x) = (2n + 1 x)l n (x) n 2 L n 1 (x), n, L 1 =, L = 1.

47 45 I primi polinomi hnno le seguenti espressioni: k L k (x) 1 1 x x 2 4x x 3 + 9x 2 18x x 4 16x x 2 96x x x 4 2x 3 + 6x 2 6x x 6 36x x 4 24x x 2 432x x x 6 882x x 4 294x x x + 54 Per ogni funzione f, definimo ϕ(x) = f(x)e x. Allor I(f) = f(x)dx = e x ϕ(x)dx, e bsterà pplicre quest ultimo integrle le seguenti formule, note col nome di formule di qudrtur di Guss-Lguerre, ottenendo, per n 1 e f C 2n ([, + )) I(f) = n k=1 α k ϕ(x k ) + (n!)2 (2n)! ϕ(2n) (ξ), < ξ < (3.5) dove i nodi x k, per k = 1,..., n, sono gli zeri di L n (x) e i pesi sono dti d α k = (n!)2 x k [L n+1 (x k )] 2. Dll (3.5) si evince che le formule di Guss-Lguerre integrno esttmente funzioni f del tipo ϕ(x)e x, dove ϕ(x) P 2n 1. In senso generlizzto possimo ffermre che esse hnno grdo di esttezz ottimle, pri 2n 1.

48 46 Esempio 15 Usndo l formul di qudrtur di Guss-Lguerre con n =12 per clcolre l integrle I(f) = cos 2 (x)e x dx ottenimo il vlore.5997 con un errore ssoluto rispetto ll integrle estto pri L formul composit del trpezio richiederebbe 277 nodi per ottenere l stess ccurtezz. Medinte il cmbio di vribile x x + nell precedente formul, si ottiene l formul di Lguerre modifict: e x ϕ(x)dx = e n α k ϕ(x k + ) + (n!)2 (2n)! ϕ(2n) (ξ), < < ξ <. (3.6) k=1 I polinomi di Hermite: Sono polinomi ortogonli sull inter rett rele rispetto ll funzione peso w(x) = e x2, cioè se indichimo con H n (x) l n-simo polinomio llor Essi sono definiti d H n (x)h m (x)e x2 dx =, n m. dn H n (x) = ( 1) n e x2 dx n (e x2 ), n e si possono generre ricorsivmente nel modo seguente H n+1 (x) = 2xH n (x) 2nH n 1 (x), n, H 1 =, H = 1. I primi polinomi hnno le seguenti espressioni:

49 47 k H k (x) 1 1 2x 2 4x x 3 12x 4 16x 4 48x x 5 16x x 6 64x 6 48x x x x x 3 168x Anlogmente l cso precedente, posto ϕ(x) = f(x)e x2, si h I(f) = f(x)dx = e x2 ϕ(x)dx. Applichimo quest ultimo integrle le seguenti formule, note col nome di formule di qudrtur di Guss-Hermite, ottenendo, per n 1 e f C 2n (R) I(f) = e x2 ϕ(x)dx = n α k ϕ(x k ) + n! π 2 n (2n)! ϕ(2n) (ξ) (3.7) k=1 dove i nodi x k per k = 1,..., n, sono gli zeri di H n (x) e i pesi sono dti d α k = 2n+1 n! π [H n+1 (x k )] 2. Dll (3.7) possimo concludere che le formule di Guss-Hermite integrno esttmente funzioni f del tipo ϕ(x)e x2, dove ϕ(x) P 2n 1 ; esse hnno pertnto grdo di esttezz ottimle pri 2n 1.

50 48 Bibliogrfi [1] F. Costbile, Appunti di Clcolo Numerico con softwre didttico, Liguori, Npoli, [2] A. Qurteroni, R. Scco, F. Sleri, Mtemtic Numeric, Springer-Verlg Itli, Milno, 2. [3] A. Rlston, A first course in Numericl Anlysis, New York, [4] P.J. Dvis, Interpoltion & Approximtion, Dover Publictions, New York, [5] P.J. Dvis, P. Rbinowitz, Methods of Numericl Integrtion, Acdemic Press, New York, 1975.

51 49 Al termine, desidero ringrzire il Dr. Frncesco Dell Accio che con molt serietà e pzienz mi h seguito nell stesur di quest tesi.