Corso propedeutico di matematica per l università

Transcript

1 Giulio Donto Broccoli Corso propedeutico di mtemtic per l università Oltre 00 esercizi svolti e nozioni teoriche di bse, 0 esercizi con le soluzioni e 0 senz soluzioni. Editore Giulio D. Broccoli

2 Proprietà letterri riservt Ogni riproduzione, con qulsisi mezzo (fotocopie, microfilm, microfiches,, ecc. totle o przile è viett. Prim Edizione Pubblicto cur dell Autore in Virno Ptenor 00 Second Edizione 00 - Editore Lulu.com (UK. ISBN Terz Edizione - 00 Editore Giulio D. Broccoli. ISBN 00 E-book 0 ISBN Per ggiornmenti e correzioni consult il sito

3 Ai miei genitori Questo corso di esercizi è utile per preprre l esme di mtemtic dei corsi universitri. L intento principle è di richimre gli rgomenti più importnti e gli esercizi fondmentli studiti ll scuol superiore, onde indicre llo studente insicuro un vi rpid d seguire e un modo per verificre continumente il proprio grdo di comprensione. Le nozioni teoriche sono minime e dunque un libro di teori può essere d iuto.

4

5 INDICE CAPITOLO PRIMO Richimi preliminri pg..i numeri reli e le operzioni fondmentli.alcuni rgomenti preliminri del clcolo numerico e letterle Esercizi proposti.scomposizione in fttori di un numero nturle o di un polinomio Esercizi proposti.minimo comune multiplo e mssimo comune divisore Esercizi proposti.frzioni numeriche e lgebriche Esercizi proposti. Rdicli Esercizi proposti. Definizione di logritmo e di espressione esponenzile Esercizi proposti Ulteriori esercizi proposti CAPITOLO SECONDO Equzioni e sistemi di equzioni Generlità.Risoluzione dell'equzione A+B=0.Risoluzione dell'equzione A +B+C=0 Esercizi proposti. Equzioni lgebriche di grdo superiore l secondo Esercizi proposti.equzioni irrzionli Esercizi proposti.equzioni in vlore ssoluto Esercizi proposti.sistemi di equzioni di primo grdo Esercizi proposti.sistemi di equzioni di secondo grdo Esercizi proposti.prticolri sistemi di grdo superiore l secondo 0 Esercizi proposti 0.Equzioni esponenzili elementri 0 Esercizi proposti 0 0.Equzioni esponenzili di vrio tipo 0 Esercizi proposti 0.Equzioni logritmiche elementri Esercizi proposti.equzioni logritmiche elementri di vrio tipo Esercizi proposti.equzioni goniometriche elementri Esercizi proposti.equzioni trigonometriche di vrio tipo Esercizi proposti. Metodo grfico per l risoluzione di un equzione Esercizi proposti

6 CAPITOLO TERZO Disequzioni e sistemi di disequzioni.disequzioni lgebriche di primo e secondo grdo. Esercizi proposti.sistemi di disequzioni Esercizi proposti.disequzioni del tipo P(/Q(>0 e P(Q(>0 Esercizi proposti. Disequzioni lgebriche di grdo superiore l secondo Esercizi proposti.disequzioni irrzionli Esercizi proposti.disequzioni con il vlore ssoluto Esercizi proposti.disequzioni esponenzili elementri Esercizi proposti.disequzioni esponenzili di vrio tipo Esercizi proposti.disequzioni logritmiche elementri Esercizi proposti 0.Disequzioni logritmiche di vrio tipo Esercizi proposti.disequzioni goniometriche elementri 00 Esercizi proposti 0.Disequzioni goniometriche di vrio tipo 0 Esercizi proposti.sistemi di disequzioni trscendenti Esercizi proposti.metodo grfico Esercizi proposti 0 CAPITOLO QUARTO Geometri nlitic del pino. Riferimento crtesino di un pino.coordinte polri.distnz tr due punti e punto medio di un segmento Esercizi proposti.equzione di un rett.fsci di rette.rette per un punto.condizioni di prllelismo.condizioni di perpendicolrità.distnz di un punto d un rett 0.Angolo tr due rette.intersezione tr due rette Esercizi proposti.equzione dell circonferenz.tngenti d un circonferenz Esercizi proposti.equzione dell prbol

7 .Prbol = +b+c. Prbol = +b+c. Tngenti d un prbol Esercizi proposti.equzione dell'ellisse.tngenti d un ellisse 0 Esercizi proposti 0.Equzione dell'iperbole.iperbole equilter.equzione dell'iperbole equilter riferit gli sintoti.tngenti d un iperbole Esercizi proposti.equzione cnonic di un conic 0.Tngente d un conic. Polre di un conic Esercizi proposti Ulteriori esercizi svolti CAPITOLO QUINTO Goniometri e trigonometri.sistemi di misur degli ngoli e degli rchi.form ridott dell'espressione dell misur di un ngolo. Pssggio d un sistem d un ltro..funzioni goniometriche e loro proprietà.identità goniometriche fondmentli.espressione delle funzioni goniometriche medinte un sol di esse.vlori fondmentli delle funzioni goniometriche.relzioni tr le funzioni goniometriche di uno stesso ngolo 0.Formule di ddizione e sottrzione.formule di dupliczione 0.Formule di bisezione.formule di prostferesi.formule di Werner.Formule prmetriche.funzioni goniometriche inverse.funzioni inverse di rgomento negtivo.espressioni delle funzioni inverse medinte un di loro.relzioni tr gli ngoli e i lti di un tringolo rettngolo.relzioni fr gli elementi di un tringolo qulsisi.appliczioni dell trigonometri ll geometri 0 Ulteriori esercizi svolti 0 Esercizi proposti CAPITOLO SESTO Cenni di teori degli insiemi. Intervlli di R.Generlità.Operzioni tr insiemi 0.Intervlli limitti ed illimitti di R.Intorno di un punto.punti interni, esterni e di frontier.punti di derenz e di ccumulzione.insiemi numerici limitti e illimitti. Estremo superiore, inferiore, mssimo e

8 minimo.considerzioni sui N, Z, Q, R. - Assiom di completezz CAPITOLO SETTIMO Le funzioni.nozione di funzione. Generlità Esercizi proposti.grfico di un funzione.le funzioni elementri. Insieme di definizione di un funzione - Clcolo di punti pprtenenti l grfico di un funzione. -Codominio di un funzione Esercizi proposti.simmetrie e periodicità di un funzione Esercizi proposti.segno di un funzione 00 Esercizi proposti 0.Punti d'intersezione tr il digrmm di un funzione e gli ssi crtesini 0 Esercizi proposti 0 CAPITOLO OTTAVO Clcolo combintorio e delle probbilità 0.Disposizioni semplici 0.Disposizioni con ripetizioni 0.Combinzioni semplici 0.Combinzioni con ripetizioni 0.Permutzioni semplici 0.Permutzioni con ripetizioni 0.Coefficiente binomile 0 Esercizi proposti.frequenz e probbilità.probbilità totle 0.Eventi indipendenti e dipendenti Probbilità compost. Probbilità condiziont.formul di Bes. Spernz mtemtic. Gioco equo Esercizi proposti 0 CAPITOLO NONO Cenni sui numeri complessi.generlità.alcune ppliczioni prtiche dei numeri complessi Esercizi proposti

9 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli CAPITOLO PRIMO RICHIAMI PRELIMINARI In questo cpitolo ricordimo lcuni rgomenti di mtemtic di bse ritmetic, lgebr, polinomi e rdicli,. I numeri reli e le operzioni fondmentli. L insieme dei numeri reli, indicto con R, è costituito dll unione dei seguenti insiemi numerici N = {0,,,,...} insieme dei numeri nturli, Z = {...,-, -, -, 0, +, +, +,...} insieme dei numeri interi, Q = {m / n m, nz e n 0 } insieme dei numeri rzionli, R - Q = { numeri che non si possono esprimere come quoziente del tipo m / n con m, n Z e n 0 }. Risult che R N Z Q ( R Q e N Z Q R. Z ( Z indic l insieme dei numeri interi positivi (negtivi, Q ( Q l insieme dei numeri rzionli positivi (negtivi, R ( R l insieme dei numeri reli positivi (negtivi. L insieme R si può identificre con l insieme dei punti di un rett, che viene dett sse rele (fig., nel senso che d ogni numero rele corrisponde uno ed un solo punto dell rett - - -/ 0 +0, + +/ fig. Il punto identificto con il numero zero si dice origine. I simboli +, -, d leggersi rispettivmente più infinito e meno infinito, indicno che l rett rele, cioè l insieme R, è illimitt ossi che per ogni numero rele m >0 ( m < 0esiste un numero rele p mggiore di m (minore di m. Per ogni coppi, b di numeri reli solo un delle seguenti eventulità è verifict

10 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli < b, = b, > b ( proprietà di tricotomi Nell insieme dei numeri reli sono sempre possibili e risultto unico le quttro operzioni elementri - d eccezione dell divisione per zero - l elevmento potenz e l estrzione di rdice d eccezione del cso in cui il rdicndo è negtivo e l indice di rdice è pri. Ad esempio, non hnno significto in R i seguenti simboli, 0 il primo esprime l divisione per zero ( tre diviso zero, il secondo l estrzione di rdice di indice pri ( e rdicndo negtivo (-. Ricordimo inoltre che l divisione 0 0 è possibile in R m non è risultto unico, pertnto si dice indetermint. L operzione di ddizione tr un numero finito n di numeri reli, i, si indic con il simbolo mentre con il simbolo... n... n... si indic l somm tr un numero infinito di numeri reli, i, ; però il primo simbolo è ben definito nel senso che si può clcolre effettivmente l somm degli n termini, mentre il secondo non è definito, ovvero non è possibile clcolre in modo elementre l somm tr un numero infinito di numeri. Usndo il simbolo di sommtori. si può scrivere in modo bbrevito n i i... n i i... n... ove in luogo dell indice i si può utilizzre un qulsisi letter. Ricordimo che n si dice l ennesimo termine; n Il simbolo. si legge somm d i = i = n. i i Esempio. i i il primo termine; i il termine iesimo L potenz, con < 0 ed R - Z, non è definit. Inoltre, non è definito il simbolo. Ulteriori importnti proprietà dei numeri reli sono descritte nel prgrfo del cpitolo VI. Vedi Serie numeriche

11 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli Alcuni rgomenti preliminri del clcolo numerico e letterle. Definizione di potenz con esponente intero positivo Per ogni R e n N si h ] n... n volte L operzione di elevmento potenz di un numero rele si può estendere nche l cso in cui l esponente n è un numero rele qulsisi. In prticolre si h ] n n ( 0, n N ] m n n m, 0, m / n Q + ] m n n m, > 0, m / n Q + Proprietà delle potenze, b, m, n R si h. m n mn,.. m n mn, m n.. ( b n n b n n n,. b b n n 0 0 ( n 0, 0 0 non h significto. m n.. 0 ( 0 sempreché le suddette scritture bbino senso. Esempio. Il lettore riflett sulle seguenti uguglinze e deduc le reltive proprietà pplicte,,,,,, non h senso,???...vedi prgrfo Vedi prgrfo I rdicli.

12 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli 0 Esempio. Il lettore deduc le proprietà delle potenze pplicte nelle seguenti uguglinze 0,, 0 Esempio. Semplificre l seguente espressione pplicndo le proprietà delle potenze. Si h Errori d evitre Sono errti i seguenti clcoli 0 L errore consiste nel considerre un potenz il simbolo, che invece non è definito ( l bse non può essere negtiv. Osservzione Anloghe regole vlgono per il clcolo letterle. b b b b b 0 0,,

13 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli b Ordine di esecuzione delle operzioni nello svolgimento delle espressioni. Per rggruppre un insieme di operzioni si usno le prentesi tonde, qudre e grffe (, [, { perte;, ], } chiuse. Nei clcoli di espressioni numeriche o lgebriche si eseguono sempre per prim le operzioni in prentesi tonde, poi quelle nelle prentesi qudre ed infine quelle nelle prentesi grffe. Inoltre, in un espressione in cui non figurno prentesi si eseguono le operzioni nell ordine indicto se sono dello stesso grdo, mentre se non sono dello stesso grdo si utilizz il seguente ordine. potenze ed estrzioni di rdice;. moltipliczioni e divisioni;. ddizioni e sottrzioni. Esempio.- Clcolre il vlore di. Si h 0 0. Errori d evitre E errto invece... Qul è l errore?...di, è fcile! Esempio.- Clcolre il vlore di Si h Errori d evitre E errto invece... L errore consiste nell vere eseguito prim l ddizione + nziché l moltipliczione. In breve non bbimo rispettto l ordine di esecuzione delle operzioni. Sono, d esempio, dello stesso grdo l moltipliczione e l divisione, mentre sono di grdo diverso l potenz e l moltipliczione oppure l divisione e l sottrzione.

14 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli Esempio.- Per 0 clcolre. Si h Esempio.- Clcolre Solo un dei seguenti clcoli è corretto. Qul è? 0 b c Quli sono gli errori commessi? Esempio.- Clcolre 0 Solo un dei seguenti clcoli è corretto. Qul è? 0 ( ( 0 ( ( Esempio 0.- Clcolre ( Si h ( 0 ( Alcuni clcoli si possono fre nche in questo modo ( ( 0 ( L rispost corrett è l c. L rispost corrett è. Errori d evitre E errto invece...

15 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli Esempio.- Clcolre Solo uno dei seguenti clcoli è corretto. Qul è? 0 b 0 Esempio.- Clcolre L espressione si può scrivere nche nel seguente modo e quindi si h Esempio.- Clcolre in N il vlore dell seguente espressione 0 ( Successivmente clcolre il vlore dell suddett espressione in Z Ricordimo che N è l insieme dei numeri nturli. L espressione si clcol nel seguente modo ( 0 ( 0 ( (0 0 0 Per le operzioni tr frzioni vedi prgrfo.

16 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli In Z ovvimente otterremo lo stesso risultto, m le operzioni di ddizione e sottrzione si possono eseguire senz rispettre l ordine di scrittur. Si h 0 ( 0 ( ( Questo esercizio mostr che second dell insieme in cui si richiede di clcolre un espressione numeric si può e si deve scegliere l vi più rpid nel rispetto delle proprietà delle operzioni. In N non è vero che ( ( perché non si può eseguire l operzione +, mentre ciò è lecito in Z. Esempio.- Clcolre in Q il vlore dell seguente espressione Si h 0 0 Per l definizione rigoros dei numeri nturli, interi, rzionli e reli si può consultre un qulsisi libro di nlisi mtemtic. Per qunto rigurd gli esercizi proposti in questo testo, si può soprssedere sulle differenze concettuli tr i numeri nturli e i numeri interi, ecc. Bisogn però conoscere le regole di ddizione, sottrzione, moltipliczione e divisione tr tutti i tipi di numeri studiti.

17 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli c Vlore ssoluto di un numero rele Il vlore ssoluto di un numero rele è definito nel seguente modo 0 se 0 se 0 se 0 Ricordimo le seguenti proprietà del vlore ssoluto. Per ogni, b R si h. 0, 0 0,. b b,. b b,.. Esempio. Il vlore ssoluto di, il vlore ssoluto di 0 0, ed il vlore ssoluto di Esempio. Scrivere senz vlore ssoluto l espressione *. Per scrivere l espressione (* senz il vlore ssoluto conviene nlizzre, l vrire di, il segno dell rgomento +. In bse ll definizione di vlore ssoluto se l rgomento = + è positivo o nullo risult (in prtic si toglie il vlore ssoluto lscindo inlterto l rgomento; mentre se = + è negtivo si h ( (in prtic si toglie il vlore ssoluto e si cmbi di segno l rgomento. Pertnto si h per + 0 ossi per - l espressione dt si può riscrivere nel seguente modo per + < 0 ossi per < - l espressione dt si può riscrivere nel seguente modo ( e rissumendo se se Aggiungimo, d esempio, che per = - l espressione (* ssume vlore, mentre per = ssume vlore -

18 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli [ ] ( [ ] ( ( Esempio. Scrivere senz vlori ssoluti l espressione *. Per scrivere l espressione (* senz il vlore ssoluto conviene nlizzre, l vrire di, il segno dell rgomento - e dell rgomento e conviene costruire il seguente prospetto in cui si rppresent che - è positivo ( line continu per >, nullo in = e negtivo ltrimenti ( line trtteggit ; nloghe considerzioni vlgono per. Quindi l espressione (* si può riscrivere nel seguente modo per ( per 0 ( ( per 0 e rissumendo il tutto si può scrivere così se se 0. se 0 Aggiungimo, d esempio, che per = - l espressione (* ssume vlore, per = ssume vlore - e per = 0 ssume vlore. ( ( ( 0 0 0

19 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli d Potenz di un binomio e di un trinomio. Ricordimo che A, B, C sussistono le seguenti identità. ( A B A AB B. ( A B A A B AB B. ( A B ( A B ( A B. ( A B ( A B ( A B ( A B. ( A B C A B C AB AC BC. ( A B C ( A B C( A B C Suggerimento L identità ( suggerisce come clcolre l potenz di un qulsisi binomio senz ricordre le identità,, ecc., m soltnto l definizione di potenz. Ad esempio, come si h llo stesso modo si ottiene = = = =... ( A B ( A B( A B... Esempio.- ( [ ( ] = ( ( ( ( ; b ( ( ( ( ( ( ( = c ( z = [( ( ( z] ( ( ( z ( ( ( ( z ( ( z = z z z d

20 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli e Prodotto tr due polinomi Per moltiplicre due polinomi si moltiplic ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio quindi si riducono i termini simili. Esempio. Eseguire l moltipliczione. Per moltiplicre il monomio - per il polinomio in prentesi tond si moltiplic - per ogni termine del polinomio, ricordndo di moltiplicre le prti numeriche con le ordinrie operzioni numeriche e le prti letterli con le regole delle potenze. Si h dunque ( ; ( ; e cioè ( Esempio 0. Moltiplicre i seguenti polinomi Q P (, ( Si h 0 ( ( ( Esempio. Moltiplicre i seguenti polinomi P( = - + /, Q( = + / -. Si h 0 ( ( Q P Esempio. Eseguire le seguenti moltipliczioni, b z z Applicndo l regol di moltipliczione dei polinomi si h Per l somm tr frzioni vedi prgrfo. -

21 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli Ricordimo che l moltipliczione suddett si esegue più rpidmente utilizzndo il prodotto notevole B A B A B A. Inftti si h b 0 z z z z Esempio. Moltiplicre i seguenti polinomi (, ( Q P Si h 0 0 ( ( ( ( Q P d cui riducendo i monomi simili si ottiene Osservzione Ricordimo che due monomi si dicono simili se hnno l stess prte letterle. Sono simili i seguenti monomi b, -b, + b. Pertnto, l operzione b - b + b si può eseguire nel seguente modo ( + b = b Non sono simili i seguenti monomi - b e b e quindi non si possono sommre. Pertnto l operzione - b + b rimne così indict, non potendosi eseguire. Ricordimo ncor che + = ( + = ; = 0 (essendo monomi opposti Esempio. Sommre i seguenti monomi b b Ricordimo che si possono sommre solo i monomi simili. Quindi, sommndo - con + e b con b, si h

22 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli b b b b b b 0 Come ulteriore esempio sommimo i monomi Si h b b b b. b b b b b b 0 b b b b b b f. Teorem e regol di Ruffini. Regol del resto Teorem di Ruffini Un polinomio P( è divisibile per un binomio del tipo - c se e solo se P(c = 0 Esempio.- Verificre che il polinomio P( = - + è divisibile per -. Dll essere P(+ = (+ - (+ + = - + = 0, (bbimo sostituito - cmbito di segno d consegue che il polinomio P( è divisibile per il binomio -.Il numero si dice uno zero del polinomio e il binomio - si dice divisore del polinomio P(. Esempio.- Verificre se il polinomio P( = è divisibile per +. Dll essere P(- = -(- - (- + = + + = 0 consegue che il polinomio P( non è divisibile per +. Il polinomio dto è invece divisibile per -, essendo ossi - è un divisore del polinomio dto- P(+ = -(+ - (+ + = = 0 Avvertenz. Il teorem di Ruffini è molto utile per determinre gli eventuli divisori del tipo c di un polinomio P(, di termine noto p,. ove c è un divisore del termine noto p. A tl proposito conviene provre, nell ordine, prim per c = + e poi per c = -, essendo questi due sempre dei divisori del termine noto (p del polinomio; poi conviene continure con + e - se p è pri, o con il numero p se il termine noto è dispri, e poi continure per gli eventuli ulteriori divisori di p. 0 Per l somm tr frzioni vedi prgrfo

23 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli Ad esempio nel cso si volessero ricercre i divisori del polinomio P( = - +, p =, conviene provre prim per, poi per +, e se ci fosse bisogn per, +, ecc. P(+ = (+ - (+ + = = 0 è un divisore; P(- = (- - (- + = non è un divisore; P(+ = (+ - (+ + = = 0 è un divisore; P(- = (- - (- + = non è un divisore; P(+ = (+ - (+ + = non è un divisore; P(- = (- - (- + = = 0 + è un divisore; P(+ = (+ - (+ + = non è un divisore; P(- = (- - (- + = non è un divisore Regol di Ruffini L regol di Ruffini è un procedur che permette di dividere un polinomio P( per un binomio del tipo - c. Esempio.- Clcolre il quoziente e il resto dell divisione ( - + (. Per eseguire l divisione disponimo i coefficienti, 0, -, + ( in grssetto del polinomio dividendo nell prim rig e il termine noto -, cmbito di segno, del divisore nell prim colonn (fig.. I coefficienti del polinomio quoziente sono forniti di numeri situti l di sotto dell line orizzontle e ll interno delle linee verticli fig. - = R Ne consegue che il polinomio quoziente è Q( = + - = + -, e il resto è R =. Ricordimo che il grdo del polinomio quoziente si ottiene sottrendo dl grdo del polinomio divedendo il grdo del polinomio divisore. Nel nostro cso il dividendo h grdo il divisore h grdo e quindi il quoziente Q( h grdo. Avvertenz I coefficienti del polinomio quoziente, si ottengono con l seguente procedur

24 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli si bbss il primo coefficiente ( l di sotto dell line orizzontle e si moltiplic per + e si scrive il risultto in colonn con il secondo coefficiente (0 del polinomio; si sommno i coefficienti 0 e + e si scrive il risultto (+ l di sotto dell line orizzontle; si moltiplic (+ ( + = e si scrive il risultto in colonn con - e si somm ( -+=-. Il risultto - si scrive in colonn l di sotto dell line orizzontle; si moltiplic (-( + = e si scrive il risultto in colonn con e si somm ( - =. Quest ultimo vlore è il resto dell divisione, mentre i numeri evidenziti in verde sono i coefficienti del polinomio quoziente. Osservzione Giov ricordre che se P(c = p 0 signific che il resto dell divisione P( ( c è proprio il numero p. Inftti sussiste l seguente Regol del resto Il resto dell divisione P( ( c è il vlore che ssume il polinomio P( per = c, ossi P(c = R.

25 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli Esercizi proposti. A Clcolre il vlore delle seguenti espressioni [ R -] [ R /] [ R 0] B Clcolre il vlore delle seguenti espressioni 0 [ R /] 0 [ R /] [ R 0]

26 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli C Semplificre le seguenti espressioni con il vlore ssoluto [ R ] [ R se 0, se, se 0 ] ; ; ; ; [ R ; ; ; ] D Clcolre i seguenti prodotti tr polinomi b b, b b ; z E Clcolre le seguenti potenze di un polinomio b ; ; ; b ;, ; ;, [ R ; ]

27 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli F Semplificre le seguenti espressioni b b b 0 b b b b b b b b b [ R b ] b b b b b b [ R b ] G Eseguire le seguenti divisioni con l regol di Ruffini [R quoto, resto 0] H Determinre i binomi divisori del tipo -c dei seguenti polinomi,,, [ R., +,, ] I Determinre il resto delle seguenti divisioni con l Regol del Resto [ R ] [ R 0 ]

28 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli Scomposizione in fttori di un numero nturle o di un polinomio. Fttorizzzione di un numero nturle L scomposizione di un numero nturle in fttori primi si fond sul seguente Teorem Ogni numero nturle n o è primo o si può scrivere in modo unico, meno dell ordine, come prodotto di fttori (numeri primi. Per scomporre un numero nturle sono utili i seguenti criteri di divisibilità Un numero è divisibile per se l ultim cifr è pri o zero. Un numero è divisibile per se l somm delle sue cifre è divisibile per Un numero è divisibile per se l ultim cifr è o zero. Un numero è divisibile per se l differenz tr l somm delle cifre di posto dispri e di posto pri è 0 o o un multiplo di. Criterio generle o definizione di divisibilità Un numero nturle n è divisibile per un numero m 0 se l divisione n m dà resto zero. Esempio. Scomporre in fttori primi i seguenti numeri,,. Osservto che è divisibile per (l ultim cifr è pri dividimo per ; il risultto si scrive sotto come nell figur seguente. Quindi si divide per e si continu fino trovre un numero primo (nel nostro cso è, che si divide per se stesso trovndo come risultto.. Il numero non è divisibile per, m lo è per ; quindi dividimo per e scrivimo il risultto dell divisione ( sotto, come in figur; continuimo dividere fino qundo non trovimo un numero primo (, che si divide ovvimente solo per se stesso. è primo e non è scomponibile =, = I fttori primi di sono e, i fttori primi di sono e, mentre non mmette fttori primi distinti d se stesso. Osservimo che l decomposizione di in non è un decomposizione in fttori primi perché né né sono primi; llo stesso modo l fttorizzzione di in non è in fttori primi perché non è primo. Esempio. Scomporre in fttori primi i seguenti numeri,,. Osservto che non è divisibile né per, né per, né per e né per, ndimo ll ricerc di un eventule divisore di. Quindi provimo vedere se è divisibile per ; dto che l divisione di diviso dà resto si conclude che non divide. Bisogn dunque provre per il successivo numero primo, cioè per. Dto che diviso dà resto zero, Un numero nturle n si dice primo se è divisibile solo per se stesso.

29 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli bbimo trovto un divisore primo di. Osservto poi che il risultto di tle divisione è (numero primo, si evince che gli unici divisori primi di sono e. Quindi risult scomposto in fttori (cioè scritto in form di prodotto primi nel seguente modo = Si procede in modo nlogo per e ; si h =, =. Esempio. Scomporre in fttori primi i seguenti numeri, 0. Il numero mmette come unico divisore primo e si h =. Il numero 0 mmette come unici fttori primi e e si h 0 =. Elenco dei numeri primi minori di 00.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Ricordimo che l insieme dei numeri primi è infinito, ossi che non esiste il più grnde numero primo.

30 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli b Fttorizzzione (scomposizione di un polinomio Fttorizzre un polinomio signific scriverlo come prodotto di due o più polinomi di grdo inferiore. Ad esempio il polinomio si può scrivere in form di prodotto nel seguente modo, e così fcendo dicimo che bbimo fttorizzto o scomposto in fttori il polinomio dto. Un polinomio si dice primo o irriducibile se non è fttorizzbile. Ricordimo che ogni polinomio di primo grdo è primo. Per fttorizzre un polinomio non esiste un metodo generle; negli esempi seguenti presentimo lcuni rtifici. Esempio.- Il polinomio si può decomporre nel prodotto del polinomio per il polinomio di secondo grdo. Inftti si h ( Ricordimo che conviene rccogliere fttor comune il M.C.D. fr i termini del polinomio ( che è il monomio di grdo mssimo che divide tutti i termini del polinomio, cioè il monomio formto dlle lettere comuni dei termini del polinomio prese con il minimo esponente. In questo cso il M.C.D. è Rccolto fttor comune in prentesi viene scritto il quoziente tr ogni termine del polinomio diviso, con ; ; Esempio.- Il polinomio b b si può fttorizzre nel seguente modo b b ( b( ( ( b Ad esempio si h Notimo che in questo cso il metodo esposto nell esempio non è pplicbile poiché non tutti i termini del polinomio sono divisibili per uno stesso monomio di grdo non nullo. Ricordimo che i polinomi di grdo zero sono i numeri.

31 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli Esempio 0.- Il polinomio si può fttorizzre nel seguente modo ( In questo cso bbimo sfruttto l identità b b ( b. Esempio.- Il polinomio si può fttorizzre nel seguente modo 0 0 In questo cso bbimo sfruttto l identità b b ( b. Esempio.- Scomporre il seguente polinomio P (. Per scomporre il polinomio P( pplichimo l identità A B ( A B( A B. Si h ( ( - ( +. RICORDIAMO A, B, sussistono nche le seguenti identità. A B ( A B( A B. A B ( A B( A AB B. A B ( A B( A AB B. A B ( A B ( A B ( A B( A B( A B Esempio.- Scomporre il seguente polinomio Applichimo l identità ( con A = e B =. Si h ( ( ( ( Esempio.- Si h Esempio.- Si h ( ( ( ( (

32 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli E errto invece Errori d evitre L esempio suggerisce che prim di pplicre le identità,..., bisogn stbilire con esttezz A e B; nel cso in esme risult A, B. Esempio.- Scomporre il seguente polinomio Applichimo l identità ( con A = e B =. Si h ( ( ( ( E errto continure così Errori d evitre ( ( ( ( in qunto è fls l identità ( ; mentre è corrett l seguente (. Esempio.- Si h b ( ( ( ( Esempio.- Si h ( ( ( 0

33 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli Esempio.- Il polinomio si può fttorizzre nel seguente modo ( ( Notimo che ogni trinomio di secondo grdo del tipo S P si può fttorizzre nel seguente modo S P ( ( b, ove e b sono due numeri che hnno per somm S e per prodotto P.. Esempio 0.- Scomporre il seguente polinomio Si h Esempio.- Scomporre il seguente polinomio. Possimo pplicre l seguente scomposizione m S P m m m b con e b due numeri tli che b = m P e + b = S. Pertnto, osservto che +b = e b = si deduce = e b =, si ottiene l seguente scomposizione. Esempio.- Scomporre il seguente polinomio. Ponimo t e scomponimo dpprim il polinomio Quindi per l posizione ftt si h t t. t t

34 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli ( ( ( ( Esempio.- Scomporre i seguenti polinomi, Ponimo t e scomponimo dpprim il polinomio t t t t. Quindi, per l posizione ftt, si h ( Anlogmente si ottiene ( c. Scomposizione di un polinomio medinte il teorem di Ruffini. Il teorem di Ruffini è ll bse di un ulteriore procedur di fttorizzzione di un polinomio che or illustrimo con lcuni esempi. Esempio. Scomporre in fttori il seguente polinomio ( P. Determinimo medinte il Teorem di Ruffini i divisori del tipo c del polinomio dto. Pertnto determinti i divisori +, -, +, -, +, -, +, - del termine noto (- del polinomio P( e costruiti i binomi di primo grdo -, +, -, +, -, +, -, + si stbilisce per tenttivi, pplicndo il Teorem di Ruffini, che i divisori di P( sono i binomi -, +, -, -, Pertnto il polinomio ( P si scompone così ( ( ( ( E utile tl proposito il seguente Teorem.- Sino P( = 0... n n n n un polinomio coefficienti in Z e c/d uno zero rzionle di P(. Allor c divide o e d divide n. In prticolre se n = (nche d = un rdice rzionle di P( è un numero intero che divide o.

35 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli OSSERVAZIONE Se,,, n sono gli n zeri di un polinomio coefficienti reli di grdo n, del tipo llor si h l seguente scomposizione n n P( = n n... 0, n n... 0 n ( (... ( n n n Esempio. Scomporre in fttori il seguente polinomio P (. Determinimo gli eventuli divisori del polinomio P( medinte il Teorem di Ruffini i divisori del tipo c del polinomio dto. Allo scopo, tenuto conto che il termine noto del polinomio è p = -, provimo prim per +, poi per -, quindi per + ed infine per -. Dll essere P(+ = 0 e P(- = 0 si ricvno due divisori, - e +, del polinomio dto, pertnto si h ( ( Q( ove Q( è un polinomio di grdo che si può clcolre pplicndo l regol di Ruffini (vedi fig fig Pertnto si h prim Q (, polinomio irriducibile, e poi l scomposizione di P( ( (

36 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli OSSERVAZIONE Se,,, h sono h < n zeri di un polinomio, coefficienti reli di grdo n, del tipo n n P( = n n... 0, llor si h l seguente scomposizione n n n n... 0 n ( (... ( h Q( ove Q( è un polinomio di grdo p = n h, non vente rdici reli e che si può scomporre nel prodotto di trinomi completi di grdo Q( = ( + b + c ( + b + c... ( p + b p + c p Esempio. Scomporre in fttori il seguente polinomio Riscrivimo il polinomio nel seguente modo P (. quindi scomponimo il polinomio - +. I divisori c di sono,, mentre i divisori d di sono,. Gli eventuli zeri rzionli vnno ricercrti tr i numeri del tipo c/d, /,, /,, /. Applicndo il teorem di Ruffini si vede che P(/ = 0 e P( = 0, cioè / e, ( è uno zero doppio, sono zeri rzionli del polinomio, cioè - + = ( - ( - ( - / In definitiv si ottiene P ( ( ( Esempio 0. Le eventuli rdici rzionli di un polinomio P( n, con numero intero, sono intere. Il polinomio di primo grdo - è primo. Osservimo che se il polinomio P( n è privo di rdici rzionli non è detto che si primo ( (

37 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli Esercizi proposti. A Scomporre in fttori i seguenti gruppi di numeri.,, 0; b, 0, 0; c,, 0; d 0,, ; e 0, 0, ; f,, ; g,,, ; h, 00,, 0; i,,, ; l,,, Risultti e 0 =, 0 =, =. i = ; =, = = ; l = ; = ; = ; = B Fttorizzre i seguenti polinomi., b, [ R ( b, b, b, ( b, ( b ( b, b b, primo] b, b, b b, b b, b b, ( b [ R (, b b, b, b ] c,,,,, primo,, [ R ( (, ] d, c c,,, [ R, c, (, ] e,,, b, b

38 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli Sugg I primi due esercizi scomporli pplicndo l Regol di Ruffini [ R,,, b b b, b b b ] f,,, c, [ R, c c c,, ] C Fttorizzre i seguenti polinomi. b ( b( ( c d, e, f 0 g h i. D Fttorizzre i seguenti polinomi. t t t, b b b b b, b b b Gli esercizi ( C sono completmente svolti nel sito

39 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli c c b b c b, d, e, z z z z z f b b b b, b b b g, b b b, F Ulteriori esercizi Clcolre il vlore del seguente polinomio per il vlore finco indicto per, - per [ R -, ] beseguire le seguenti divisioni medinte l regol di Ruffini, [ R. Q (, R 0; Q(, R 0 ] c Clcolre il resto delle seguenti divisioni medinte l ppliczione dell regol del resto,. [ R, -] d Fttorizzre i seguenti polinomi utilizzndo il teorem e l regol di Ruffini,,, [ R,,, ]

40 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli Minimo comune multiplo e mssimo comune divisore. Minimo comune multiplo tr due o più numeri nturli, tr monomi, tr polinomi. Regol Per determinre il minimo comune multiplo tr due numeri m ed n si procede nel modo seguente. si scompongono in fttori primi i numeri m ed n;. il minimo comune multiplo, m.c.m., è il prodotto dei fttori comuni e non comuni, presi un sol volt, con il mssimo esponente. Esempio.- Clcolre il m.c.m. tr e. Scomponendo in fttori primi i numeri e si ottiene,, d cui discende che il m.c.m. è 0 Regol Il minimo comune multiplo tr due o più monomi è dto dl prodotto delle lettere comuni e non comuni dei monomi dti, prese un sol volt e con il mssimo esponente. Esempio.- Clcolre il m.c.m. tr i monomi b, b, c. Si h m.c.m. = 0 bc (bbimo scelto le lettere comuni con il mssimo esponente e le lettere non comuni Osservimo che 0 è il minimo comune multiplo tr i numeri, e. Esempio.- Clcolre il m.c.m. tr i monomi Si h m. c. m. = b., b,. Osservimo che bbimo ssunto come fttore numerico del monomio m.c.m. in qunto i monomi dti presentno nche fttori numerici negtivi o frtti. Regol Per determinre il minimo comune multiplo tr due o più polinomi si procede nel modo seguente. si scompongono in fttori i polinomi dti;. il minimo comune multiplo, m.c.m., è il prodotto dei polinomi comuni e non comuni presi un sol volt con il mssimo esponente. Esempio.- Clcolre il m.c.m. tr i polinomi,,. Fttorizzndo i polinomi dti si h Si dice minimo comune multiplo tr due numeri nturli m ed n il più piccolo multiplo comune d entrmbi.

41 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli ( (, (, ( Ne consegue che il minimo comune multiplo è m.c.m. ( ( (bbimo scelto i fttori comuni con il mssimo esponente e i fttori non comuni. Esempio.- Clcolre il m.c.m. tr i polinomi,,. Fttorizzndo i polinomi dti si h ( ( ( ( ( ( ( (. Ne consegue che il minimo comune multiplo è m.c.m. ( ( ( (. b Mssimo comune divisore tr due o più numeri nturli, tr monomi e polinomi Regol Per determinre il mssimo comune divisore tr due numeri m ed n si procede nel modo seguente. si scompongono in fttori i numeri m ed n;. il mssimo comune divisore, M.C.D., è il prodotto dei fttori comuni presi un sol volt con il minimo esponente. Esempio.- Clcolre il M. C. D. tr i numeri e. Scomponendo in fttori primi i numeri e si ottiene, d cui discende che il M.C.D. è. Si dice mssimo comune divisore tr due numeri nturli m ed n il più grnde dei divisori comune d entrmbi. I numeri m ed n si dicono coprimi o primi tr loro se il loro M.C.D =.

42 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli Regol Il mssimo comune divisore tr due o più monomi è dto dl prodotto delle lettere comuni, prese un sol volt, e con il minimo esponente. Esempio.- Clcolre il M.C.D. tr i monomi Si h M.C.D. = b, b, c. Osservimo che è il mssimo comune divisore tr i numeri, e. Esempio.- Clcolre il m.c.m. tr i monomi Si h M. C. D. =., b,. Osservimo che bbimo ssunto come fttore numerico del monomio M.C.D. in qunto i monomi dti presentno nche fttori numerici negtivi o frtti. Regol Per determinre il mssimo comune divisore tr due o più polinomi si procede nel modo seguente. si scompongono in fttori i polinomi dti;. il mssimo comune divisore, M.C.D., è il prodotto dei polinomi comuni presi un sol volt con il minimo esponente. Esempio.- Clcolre il M.C.D. tr i polinomi,,. Fttorizzndo i polinomi dti si h ( (, (, ( Ne consegue che il mssimo comune divisore è M. C. D. (. Esempio 0.- Clcolre il M.C.D. tr i polinomi,,. Fttorizzndo i polinomi dti si h ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (. Ne consegue che il mssimo comune divisore è M.C.D. (. 0

43 Corso propedeutico di mtemtic per l università, Giulio D. Broccoli Esercizi proposti. Clcolre il m.c.m. e il M.C.D. delle seguenti coppie o terne di numeri, ; b,, ; c,, 0; d 0,,. [ R MCD =, m.c.m. = ; MCD =, m.c.m. = ; MCD =, m.c.m. = 0; MCD =, m.c.m. = 00] Clcolre il m.c.m. e il M.C.D. delle seguenti coppie o terne di monomi,, ; b,, ; [ R MCD =, m.c.m. = ; MCD =, m.c.m. = ; ] Clcolre il m.c.m. e il M.C.D. delle seguenti coppie o terne di polinomi,, ; [ R MCD = (-, m. c. m. =(-(+ ( ++ b,, ; c, ; [ R MCD =, m. c. m. = (+( ++; MCD = (-, m. c. m. =(-(+(-] d,. [ R MCD = +, m. c. m. = ( + (+ (- ]