Antonio Boccia Franco Ciocci Giuseppe Dattoli. Elementi di calcolo per Scienze sanitarie

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3 Antonio Bocci Frnco Ciocci Giuseppe Dttoli Elementi di clcolo per Scienze snitrie

4 Copyright MMIV ARACNE EDITRICE S.r.l. editrice.it editrice.it 0017 Rom vi Rffele Groflo, 1 A/B (06) 767 (06) telefx 767 ISBN X I diritti di trduzione, di memorizzzione elettronic, di riproduzione e di dttmento nche przile, con qulsisi mezzo, sono riservti per tutti i Pesi. I edizione: novembre 004

5 INDICE PREFAZIONE 7 CAPITOLO I... 9 RICHIAMI DI ALGEBRA 1.1 I numeri reltivi, le potenze e le operzioni tr le potenze Le Equzioni di primo grdo e i sistemi di equzioni di primo grdo I numeri immginri e complessi e le equzioni di secondo grdo I logritmi e le equzioni logritmiche Richimi di Geometri pin: I Teoremi di Pitgor e di Euclide... 4 Esercizi... 9 CAPITOLO II... 5 ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA.1 Coordinte Crtesine e equzione dell rett Ancor sulle rette, Distnze tr punti e distnze tr punti e rette L equzione del cerchio L prbol L ellisse e l iperbole Le disequzioni e l geometri nlitic... 6 Esercizi CAPITOLO III... 7 ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA PIANA.1 Introduzione:misur degli ngoli e principli grndezze trigonometriche Alcune ppliczioni dell trigonometri Formule di ddizione e sottrzione e reltive considerzioni Considerzioni Conclusive Esercizi CAPITOLO IV ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA 4.1 Introduzione Ancor qulche nozione sui limiti Il concetto di derivt Ancor sul concetto di derivt e sul suo utilizzo Alcune ppliczione delle derivte Elementi di clcolo integrle Esercizi

6 CAPITOLO V APPROFONDIMENTI E CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE 5.1 Elementi di clcolo mtricile Numeri complessi e trigonometri Cenno lle equzioni differenzili del primo ordine Integrli e clcolo dei volumi Esercizi

7 PREFAZIONE In questo compendio bbimo cercto di sintetizzre, nell mnier più semplice possibile, gli elementi di clcolo necessri per chi si vvi llo studio e lle professioni delle moderne scienze snitrie, che vnno d quelle più clssiche e consolidte medico infermieristiche fino quelle più recenti dei tecnici dell slute e prevenzione sui luoghi di lvoro. Non si trtt di un libro di mtemtic, nel senso più nobile del termine, m di un libro di clcolo nell su ccezione più ordinri, ovvero un libro che insegn d ffrontre i clcoli, bsndosi sull lgebr elementre, sull geometri nlitic, sull trigonometri pin, su qulche elemento di l nlisi e qulche elemento di lgebr mtricile. Abbimo cercto di essere il più possibile prgmtici e ci simo ispirti d un metodo di esposizione che è ben lungi d qulsisi rigore mtemtico, le dimostrzioni sono bste essenzilmente sull intuizione e il corredo di Figure è un elemento essenzile supporto di tle impostzione. Il libro può essere utilizzto utonommente o come supporto l corso di Fisic Generle di A. Bocci e G. Dttoli e in tl senso v visto come l terz prte di tli lezioni e ne costituisce l ppendice mtemtic. Il libro è stto motivto d un esigenz prtic, che è quell di fornire un compendio che fosse chiro, semplice e l tempo stesso desse gli elementi per un formzione professionle efficce e mettesse in grdo gli opertori snitri o i tecnici dell prevenzione, di eseguire i clcoli reltivi problemtiche di loro competenz, con l dovut sicurezz e conspevolezz. Il nostro sforzo è stto comunque fcilitto di nostri stessi studenti, che ci hnno offerto gli elementi per un corrett impostzione del lvoro e per un correzione del tiro qundo necessrio. L iuto di lcuni colleghi è stto ltrettnto fruttuoso e in prticolre ci è grto ringrzire il Prof. Drio Scchetti per gli efficci consigli e il continuo iuto durnte l stesur del mnoscritto. 7

8 Gli errori, le imprecisioni, l scitteri mtemtic sono comunque solo nostro demerito e ce ne scusimo in nticipo. A. Bocci Professore ordinrio di Igiene Università degli Studi Di Rom LA SAPIENZA F. Ciocci Gruppo Fisic Teoric e Mtemtic Applict Tecnologie Fisiche Avnzte ENEA FRASCATI G. Dttoli Responsbile Gruppo Fisic Teoric e Mtemtic Applict Tecnologie Fisiche Avnzte ENEA FRASCATI 8

9 Cpitolo I RICHIAMI DI ALGEBRA 1.1 I numeri reltivi, le potenze e le operzioni tr le potenze Ricordimo che i numeri reli possono essere si positivi che negtivi, indicheremo con ± un numero reltivo, con il segno + intenderemo un numero positivo, mentre con il segno intenderemo un numero negtivo. A volte, nel cso di numeri positivi, il segno viene trlscito. D un punto di vist geometrico i numeri reltivi possono essere rppresentti come in Figur 1, dove, scelt un unità di riferimento, vengono riportti destr dello 0 (detto l elemento neutro) i numeri positivi, mentre sinistr, quelli negtivi. Il vlore ssoluto (cioè indipendente dl segno) o modulo del numero è (con indicheremo un numero generico intero, decimle, irrzionle ) Fig Rppresentzione grfic dei numeri reltivi. Le regole lgebriche per l somm e il prodotto di numeri reltivi sono qui di seguito ricordte 1) PRODOTTO Dti due numeri reltivi ±, ± b il loro prodotto srà dto dl prodotto dei moduli, mentre per qunto concerne il segno si pplicno le seguenti regole = + + = + = = + (1.1) 1 Nel corso dei cpitoli le formule srnno indicte con l notzione (,b) dove si riferisce l prgrfo mentre b è un numero progressivo, negli esercizi e complementi le formule srnno indicte con (E,C,n) dove E indic esercizio, C il numero del cpitolo e n è un numero progressivo, non tutte le formule degli esercizi sono numerte m solo quelle che non si riferiscono meri pssggi lgebrici. 9

10 il puntino indic l operzione di prodotto, nel seguito, là dove non si crei mbiguità, potrà nche essere omesso, per non ppesntire l notzione. Es.: Si clcoli il prodotto tri numeri,, e 4,. Dll regol precedente e dll tbell (1.1) si ricv ( ) = ( )( ) = 6, 4 ( ) = ( + )(4 ) = 8. ) SOMMA Dti due numeri reltivi, come sopr, per eseguire l loro somm si procede come segue ) entrmbi i numeri sono positivi: l somm risultnte è un numero positivo con il modulo pri ll somm dei moduli Es.: + + ( + ) = + 5 b) entrmbi i numeri sono negtivi: l somm risultnte è un numero negtivo con il modulo pri ll somm dei moduli Es.: + ( ) = 5 c) uno è positivo mentre l ltro è negtivo: per eseguire l somm si stbilisce qule dei due numeri bbi modulo mggiore, se è quello positivo l somm risultnte è un numero positivo con modulo pri ll differenz dei moduli Es.: 5 + ( 4) = + (5 4) = + 1 Se il modulo mggiore è quello del numero negtivo, l somm risultnte è un numero negtivo che h per modulo l differenz dei moduli Es.: 5 + ( + 4) = (5 4) = 1 È evidente che l somm di due numeri opposti, ovvero due numeri con lo stesso modulo m segno opposto, dà come risultto 0 Es.: + ( ) = 0 10

11 ) Differenz Per qunto rigurd l differenz si pplicno le stesse regole dell somm, m si deve tener conto del ftto che pplicndo le regole dell moltipliczione vremo ( ± b) = b (1.) Es. 5 ( ) = 5 + = 8, 5 ( + ) = 5 =, 4 ( + 7) = 4 7 = 11 4 ( 5) = = 1 Pssimo or ricordre le principli nozioni reltive lle potenze. b Dti due numeri e b indicheremo con l potenz b esim di, in cui è l bse e b è l esponente. I numeri e b sono numeri reli generici, positivi o negtivi. Di seguito chiriremo il significto dell operzione precedente in vri csi 1), b entrmbi numeri interi Es.: = 4, b =, in tle cso vremo l ordinri operzione di elevmento potenz, ovvero b = 4 = = 64 ) numero frzionrio, b numero intero Es. =, b =, in tle cso vremo, b = = = 4 9 ) numero intero, b numero frzionrio, in questo cso l operzione di elevmento potenz è equivlente quell di estrzione di un rdice, come riportto nell esempio seguente Es.: 1 = 5, b =, in tle cso vremo b 1 = 5 = 5 più in generle potremo scrivere 11

12 m n n m = (1.) Es.: = = 4 4) numero intero positivo, b numero intero negtivo ( b = m) 1 m = (1.4) m b 1 1 Es. =, b = = = =. 9 Molto spesso cpit di dover fre operzioni di prodotto tr potenze che hnno l stess bse, in questo cso si pplic l seguente regol: Il prodotto tr potenze vente l stess bse è equivlente un potenz vente per bse l stess bse e per esponente l somm degli esponenti, ovvero b c b+ c = (1.5) Mentre per qunto rigurd il rpporto si pplic l regol: Il rpporto tr potenze vente l stess bse è equivlente un potenz vente per bse l stess bse e per esponente l differenz degli esponenti, ovvero b c = b c (1.6) Es.: = = = Es.: = = = 7 Dll relzione (1.6) segue l importnte regol: L potenz zeresim di qulsisi numero (purché diverso d zero) è pri 1, ovvero 0 = 1 (1.7). D qunto finor detto è nche fcile rguire che ( 1) = 1, ( 1) = 1 (1.8) 1

13 Più in generle si può nche concludere che, indicto con n un generico numero intero, si hnno le seguenti relzioni 1 ( 1) n n+ = 1, ( 1) = 1 (1.9) che stbiliscono che un potenz pri dell unità negtiv è 1, mentre un potenz dispri dell unità negtiv è 1. Poiché il qudrto di un numero reltivo (si esso positivo che negtivo) è sempre un numero positivo è nche vero che l rdice qudrt di un qulsisi numero può essere definit, meno del segno, ovvero b = ±b (1.10). Negli esempi precedenti bbimo trttto solo espressioni monomie, ovvero e- spressioni costituite d un solo termine, d esempio ; bbimo visto come possimo definire un potenz di tle monomio e come si operi tr potenze di monomi che bbino l stess bse. Considerimo or due monomi,, b l loro somm fornisce un espressione del tipo + b che viene dett binomio, perché risult essere costituit dll somm di due termini. Un espressione del tipo + b + c viene dett trinomio, mentre, più in generle, + b + c h viene detto polinomio. Un binomio si riduce d un monomio solo nel cso in cui b si ugule d e- sempio vremo, in questo cso + = (1 + ) = 4. Il numero che moltiplic il monomio viene detto coefficiente del monomio e più in generle si h m + n = ( m + n) (1.11) dove m e n sono numeri reltivi, che vnno sommti secondo le regole già discusse. Per i polinomi vlgono regole di clcolo ben precise, d esempio per clcolre il prodotto ( + b)( c + d ) si procede moltiplicndo termine termine, ovvero ( + b)( c + d ) = c + d + bc + bd (1.1). Applicndo tle metodo si ottiene, per il qudrto di un binomio 1

14 ( ± b) = = ( + b)( + b) = ± b + b ± b ± b + b = (1.1) Il lettore è in grdo di dimostrre l seguente identità dett prodotto notevole ( + b)( b) = b (1.14) e clcolre il cubo di un trinomio, ovvero ( ± b) = ± b + b ± b (1.15) Dopo questi brevi richimi, ffronteremo nel prossimo prgrfo le equzione di primo grdo. 1. Le Equzioni di primo grdo e i sistemi di equzioni di primo grdo L relzione = b (.1) rppresent un eguglinz. I termini destr e sinistr del segno di uguglinz vengono detti membri. Un uguglinz rimne tle se ggiungimo o sottrimo d entrmbi i membri un identic quntità, ovvero ± m = b ± m (.) l stess cos vle se moltiplichimo mbo i membri per un stess quntità, ovvero m = mb (.) Considerimo il seguente problem Si dic qunti nni h Gicomo spendo che il doppio dei suoi nni meno quttro è ugule 1 Questo problem si risolve utilizzndo un equzione di primo grdo, indicndo con x l età di Gicomo, potremo scrivere x 4 = 1 14