10036 SETTIMO TORINESE (TO) - ITALY

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2 CALCOLO LETTERALE Prim di ffrontre lo studio del clcolo letterle ricordimo: definizione di potenz di un numero: l potenz di un numero è il prodotto per se stesso tnte volte qunte ne indic l esponente, cioè: n n volte con n N - { 0 }, R con 0 ; ; 0 non h significto proprietà delle potenze: 1. il prodotto tr due o più potenze venti l stess bse è ugule d un potenz vente per bse l stess bse e per esponente l somm degli esponenti,cioè: n m n + m. il quoziente tr due potenze venti l stess bse è ugule d un potenz vente per bse l stess bse e per esponente l differenz degli esponenti,cioè: n m n m con 0. l potenz di un potenz è ugule d un potenz vente per bse l stess bse e per esponente il prodotto degli esponenti, cioè: n m n m ( ) 4. il prodotto tr due o più potenze venti gli stessi esponenti è ugule d un potenz vente per bse il prodotto delle bsi e per esponente lo stesso esponente, cioè: n b n ( b ) n 5. il quoziente tr due potenze venti gli stessi esponenti è ugule d un potenz vente per bse il quoziente delle bsi e per esponente lo stesso esponente, cioè: b n n n con b 0. b

3 DEFINIZIONE MONOMI Un monomio è un insieme di numeri e lettere in cui non compiono operzioni di ddizione e sottrzione m solmente di moltipliczione e come potenze soltnto numeri nturli: Sono monomi -, 7b, 5 bc 4, mentre 8 non e' un monomio. b GRADO DI UN MONOMIO Il grdo di un monomio è l somm degli esponenti che compiono sulle lettere che fnno prte del monomio stesso. Esempi: bc h grdo ³b²c h grdo 6 L esponente con cui compre ogni letter è detto grdo rispetto ll letter. Il monomio ³b²c h grdo rispetto ll letter, grdo rispetto ll letter b, grdo 1 rispetto ll letter c. SOMMA E DIFFERENZA FRA MONOMI DEFINIZIONE Due monomi si dicono simili se hnno l stess prte letterle. Regol Puoi sommre due monomi se sono simili e in tl cso fri l somm dei coefficienti numerici (i numeri dvnti lle lettere) senz modificre l prte letterle. Esempio di somm: ²b+b+5²b8²b+b. Per l differenz l regol è l stess che per l somm, inftti bst sottrrre invece di sommre. Esempio di sottrzione: 5³b²-³b²³b². Quindi, qundo si prlerà di somm si intenderà somm lgebric, cioè si l somm che l differenz.

4 PRODOTTO FRA MONOMI Per moltiplicre due monomi è necessrio seguire queste semplici regole: il segno del primo monomio v moltiplicto con il segno del secondo monomio pplicndo l regol dei segni dell moltipliczione fr i numeri interi (se il segno non c'e' e' sottointeso +) il primo coefficiente numerico v moltiplicto con il numero secondo le regole del prodotto dei numeri rzionli (se il numero non c'e' e' sottointeso 1) le lettere vnno moltiplicte con le lettere secondo le proprietà delle potenze. Esempio: (-²b)(+4b²)-1³b³. Se devi fre il prodotto fr più monomi prim moltiplic il primo per il secondo, poi quello che viene per il terzo e così vi. DIVISIONE O QUOZIENTE FRA MONOMI Il quoziente fr due monomi è un monomio che h come coefficiente il quoziente dei due coefficienti e come prte letterle tutte le lettere del dividendo, ciscun vente l differenz degli esponenti con cui ess figur nel dividendo e nel divisore. (Attenzione sempre ll regol dei segni) Esempio: (-6²b³c):(+b²) -bc. 4

5 ELEVAMENTO A POTENZA DI MONOMI Ricord che l'elevmento potenz e' un moltipliczione ripetut tnte volte qunto e' l'esponente (l solito devi moltiplicre tr loro i segni, i numeri e le lettere). Ricord che: n ( ± ) n + con n numero pri n ( + ) n + con n numero dispri n ( ) n con n numero dispri. M. C. D. FRA MONOMI Si chim mssimo comune divisore di due o più monomi ogni monomio di grdo mssimo che divid contempornemente tutti i monomi dti. Il Mssimo Comune Divisore in Mtemtic viene usto qusi esclusivmente per eseguire il Rccoglimento Fttor Comune Totle. m.c.m. FRA MONOMI Si chim minimo comune multiplo di due o più monomi ogni monomio di grdo minimo che si divisibile contempornemente per tutti i monomi dti. è il più piccolo fr i multipli comuni. Esempio: Trovre il M.C.D. ed il m.c.m. fr 6²b³c e 4b² : M.C.D. b; m.c.m. 1 b c. 5

6 POLINOMI Si dice polinomio un espressione lgebric che rppresent l somm di più monomi. 1 4 y + z; 4b b OPERAZIONI CON I POLINOMI Si possono definire le quttro operzioni sui polinomi, prestndo l dovut ttenzione per qunto rigurd l divisione. SOMMA L somm di polinomi è un polinomio che si ottiene semplicemente ddizionndo i singoli monomi di ogni polinomio dell somm, riducendo tutti i monomi simili. Esempio: ( 4 b + c ) + ( + b 4c) ( b + c ) 4 b + c + + b 4c + b c ( 4 ) + ( ) c + ( 1) b + 4c + b + b + 4c + b PRODOTTO DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicndo ciscun termine del polinomio per il monomio. Esempio: (b c 1 + bc) ( b ) b + b c b c 6

7 DIVISIONE DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO Si dice che un polinomio è divisibile per un monomio non nullo, se esiste un ltro polinomio il cui prodotto per il monomio è ugule l polinomio dto. L condizione di divisibilità è che ciscun termine del polinomio si divisibile per il monomio. Esempio: ( ):() PRODOTTO DI DUE POLINOMI Il prodotto di due polinomi è il polinomio ottenuto moltiplicndo ciscun termine di un polinomio per ogni termine dell ltro. In prtic si pplic l proprietà distributiv dell moltipliczione rispetto ll ddizione. Esempio: (4 b)(b + b) 4 b + 4 b b b b b 1 b + 4b 6b b 7

8 PRODOTTI NOTEVOLI 1. SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA (+b)(-b) - b L somm di due monomi per l loro differenz e' ugule l qudrto del primo monomio meno il qudrto del secondo monomio.. QUADRATO DEL BINOMIO (+b) +b+b Il qudrto di un binomio e' ugule l qudrto del primo monomio piu' il doppio del prodotto del primo per il secondo piu' il qudrto del secondo.. QUADRATO DEL TRINOMIO (+b+c) +b +c +b+c+bc Il qudrto di un trinomio e' ugule l qudrto del primo monomio più il qudrto del secondo monomio più il qudrto del terzo più il doppio del prodotto del primo monomio per il secondo, più il doppio del prodotto del primo monomio per il terzo, più il doppio del prodotto del secondo monomio per il terzo. 4. CUBO DEL BINOMIO (+b) + b+b +b Il cubo di un binomio e' ugule l cubo del primo monomio più il triplo del prodotto del qudrto del primo per il secondo, più il triplo del prodotto del primo per il qudrto del secondo,più il cubo del secondo. Esercizi svolti: 1) (+b)(-b) moltiplichimo 4, (-b) - 6b, b 6b, b b 9b 8

9 poiché 6b-6b si nnullno otterremo 4-9b, quindi bst fre l differenz dei qudrti dei due monomi. ) (+4y) moltiplichimo (+4y)(+4y) cioè : 4, (4y) 8y,, 4 () 8y, 4y 4y 16y poiché 8y+8y sono uguli e si sommno otterremo 4 +16y+16y, quindi bst pplicre l regol dt, cioè: ) ( +b) (+4y) () + ()(4y) + (4y) 4 +16y+16y. moltiplicndo ( +b) ( +b) ( +b) si dovrnno eseguire precchi prodotti, sommre i monomi simili ed infine si vrà il polinomio: b + 6b + 8b, quindi è più conveniente pplicre subito l regol dt, cioè: ( + b) () + () (b)+ () (b) +(b) b + 6b + 8b. 4) (-y+6z) moltiplichimo (-y+6z) (-y+6z), si dovrnno eseguire precchi prodotti, sommre i monomi simili ed infine si vrà il polinomio: 4 +9y +6z -1y+4z-6yz, quindi è più conveniente pplicre subito l regol dt, cioè: (-y+6z) () +(-y) +(6z) +()(-y)+()(6z)+(-y)(6) 4 +9y +6z -1y+4z-6yz. DIVISIONE DI DUE POLINOMI Considerimo i polinomi in un sol vribile, ordinti secondo le potenze decrescenti dell stess. Il polinomio A() si dice divisibile per il polinomio B(), se esiste un polinomio Q() tle che: A() B() Q() B() si dice divisore e Q() si dice quoziente. Esempio: Sino considerndo che A ( ) + B( ) + 1 ( + 1)( + )

10 si può considerre Q() + il quoziente tr A() e B(). Se i due polinomi non sono perfettmente divisibili, considerndo il resto dell divisione, si può sempre ffermre che: Se A() e B() sono due polinomi, ordinti secondo le potenze decrescenti dell e se B() non è il polinomio nullo, esistono (sempre) due polinomi unici, Q() e R(), che soddisfno le seguenti condizioni: A() B() Q() + R() Dove il grdo di R() è minore del grdo di B(). R() si dice resto. L regol dice: 1. Ordin i due polinomi secondo le potenze decrescenti dell vribile, vendo cur di indicre con uno 0 i termini mncnti.. Dividi il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore, ottenendo il primo termine del quoziente.. Moltiplic il primo termine del quoziente per il divisore e sottri il risultto dl dividendo, ottenendo il primo resto przile. 4. Ripeti dl punto. utilizzndo il resto przile invece del dividendo. Il ciclo finisce qundo il resto przile h grdo inferiore l divisore. Questo è il resto dell divisione. Esempio: dto il dividendo A() di grdo ed il divisore B() + di grdo, eseguimo l seguente divisione ( ) : ( + ) seguendo tutti i punti dell regol citt prim:

11 Il quoziente Q() è di grdo 1 ( perchè -) e il resto R - 4 è di grdo 0 ( < ). Possimo fcilmente verificre che: B() Q() + R() A() Inftti: B() Q() ( + ) (8 + 11) + ( 4) A() Abbimo verificto che l divisione è stt eseguit in modo corretto. Se R() 0, si dice che Q() è il quoziente estto e A() è divisibile per B(). Se il dividendo A() non è un polinomio completo, nell eseguire l divisione scrivimo il polinomio A() lscindo uno spzio vuoto o scrivendo lo zero in corrispondenz di ogni termine mncnte. Teorem di Ruffini Il polinomio A() è divisibile esttmente per il binomio (+) se, e solo se, A(-)0, cioè il polinomio A() si nnull per -. Tle teorem è utile qundo si devono scomporre i polinomi. 11

12 SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI Scomporre un polinomio in fttori signific scriverlo sotto form di un prodotto di due o più polinomi di grdo minore. Alcuni semplici metodi sono: 1. RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE: Totle: b + c - d (b + c - d) Przile: b + c - db - dc (b + c) - d(b + c) ( - d)(b + c). USO DELLE REGOLE SUI PRODOTTI NOTEVOLI: - b (+b)(-b) +b+b (+b) +b +c +b+c+bc (+b+c) + b+b +b (+b). USO DELLE REGOLE: b ( - b)( + b + b ) + b ( + b)( - b + b ) 4. SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO DI GRADO: + ( + b) + b ( + )( + b) 1

13 M.C.D. FRA POLINOMI Come per i monomi nche per i polinomi per clcolre il Mssimo Comun Divisore devi trovre tutti i fttori comuni, quindi prim dovri scomporre i polinomi poi cercre cos hnno di ugule fr loro (ricord che se non hnno niente di ugule il Mssimo Comun Divisore vle 1). DEFINIZIONE Per clcolre il M.C.D. fr polinomi si scompongono i polinomi in fttori e poi si prendono i fttori comuni con l'esponente più bsso. Esempio: trovre il M.C.D. fr i seguenti polinomi - 1 ; + 4 ; 6 + 1; - 1 ( - ) ( + ) + 4 ( + ) ( - + 4) ( + ) Quindi il M.C.D. ( + ). m.c.m. FRA POLINOMI Per clcolre il minimo comune multiplo devi prendere tutti i fttori comuni e non comuni con l'esponente più lto, quindi prim dovri scomporre i polinomi. DEFINIZIONE Per clcolre il m.c.m. fr polinomi si scompongono i polinomi in fttori e poi si prendono i fttori comuni e non comuni con l'esponente più lto. Esempio:trovre il M.C.D. fr i seguenti polinomi - 9 ; ; - 81; - 9 ( - ) ( + ) ( + ) - 81 ( - ) ( + + 9) Quindi m.c.m. ( - ) ( + ) ( + + 9). 1

14 FRAZIONI ALGEBRICHE DEFINIZIONE A Si chim frzione lgebric, un frzione del tipo, con B 0, dove A e B sono dei polinomi. B Esempi di frzioni lgebriche: - b - b + b, 5y Qundo si oper con frzioni lgebriche è necessrio escludere i vlori delle lettere che rendono nullo il denomintore, cioè occorre determinre le condizioni di esistenz ( o di reltà ) delle frzioni lgebriche dte. SOMMA E DIFFERENZA DI FRAZIONI ALGEBRICHE Si deve seguire lo stesso procedimento che si us per l somm di due frzioni numeriche. Qundo hi un somm di frzioni lgebriche devi fre l stess cos: scomporre i denomintori fre il minimo comune multiplo dividere il minimo comune multiplo per i denomintori e moltiplicre il risultto per i numertori eseguire le moltipliczioni i numertori sommre i termini simili scomporre, se possibile il numertore per semplificrlo con il denomintore scrivere l frzione finle. Esempio: sommre le frzioni: ) ( - )( 4 ( ) ( + ) + ( + )( - 4) ( - )( + ) ( - )( ) ( - )( + ) 14

15 Per l differenz è come per l somm m ttenzione: qui è fcile commettere un errore, qundo bbimo il meno dvnti un frzione, occorre cmbire di segno tutti i termini l numertore. PRODOTTO DI FRAZIONI ALGEBRICHE Qundo hi un prodotto di frzioni lgebriche, devi fre l stess cos del prodotto fr due frzioni numeriche: scomporre i numertori ed i denomintori eliminre i termini uguli che si trovino si l numertore che l denomintore (ttenzione che nche se un solo segno e' diverso i termini non sono più uguli) moltiplicre numertore con numertore e denomintore con denomintore. Esempio: moltiplicre le frzioni: ( ( + + )( - ) )( - ) ( - ) ( - ) ( + + ) QUOZIENTE DI FRAZIONI ALGEBRICHE Qundo hi un quoziente di frzioni lgebriche, devi fre l stess cos del prodotto fr due frzioni numeriche: riscrivere l prim frzione moltiplict per l'inverso dell second e poi procedere come per il prodotto: scomporre i numertori ed i denomintori eliminre i termini uguli che si trovino si l numertore che l denomintore moltiplicre numertore con numertore e denomintore con denomintore. POTENZA DI FRAZIONI ALGEBRICHE Qundo ho un potenz di frzioni lgebriche devi elevre potenz si il numertore che il denomintore, come per le frzioni numeriche. 15

16 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO IDENTITA' DEFINIZIONE: Un'identità' e' un uguglinz in cui compiono delle lettere e che per qulunque vlore si mette l loro posto l'uguglinz deve restre sempre vlid. Esempio: + e' un'identità, inftti, se sostituisci l posto di qulunque vlore, il primo termine resterà sempre ugule l secondo; se sostituisci vri +, cioè + 6. EQUAZIONI DEFINIZIONE: Si chim equzione di primo grdo un'uguglinz b che può diventre ver sostituendo ll letter (incognit) un vlore prticolre detto soluzione. Esempio: se l posto di metti il vlore l'uguglinz divent ver - 6 0, 6-6 0, cioè 0 0; se metti ltri numeri non e' ver. PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Aggiungendo o sottrendo d mbo i membri di un'equzione un stess quntità l'equzione rest equivlente quell dt. SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Moltiplicndo o dividendo d mbo i membri di un'equzione un stess quntità, divers d zero, l'equzione rest equivlente quell dt. REGOLA DEL TRASPORTO Trsportndo un termine d un prte ll'ltr dell'ugule, devi cmbirne il segno. Esempio: risolvi l equzione 5 + 7( + 1) 4 5 Risoluzione: Applic il secondo principio di equivlenz ed ottieni 5 dell equzione: , semplific ed vri l soluzione 8 16

17 E' possibile vedere se hi risolto giustmente un'equzione: inftti, per definizione un equzione è un'uguglinz verifict se l posto di metti l soluzione quindi puoi fre l verific sostituendo nell'equzione di prtenz il vlore 5 l posto di. 4 EQUAZIONE DETERMINATA, IMPOSSIBILE ED INDETERMINATA Dt l equzione b, distinguimo i tre csi seguenti: 1. se 0 l equzione è determint. se 0 e b 0 l equzione è impossibile. se 0 e b 0 l equzione è indetermint ( in tl cso è un identità). 17

18 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO FRATTE DEFINIZIONE : Un'equzione si dice frtt qundo l compre sotto il segno di frzione. Al solito, tenendo conto del secondo principio qundo fri il m. c. m. dovri dire che l'equzione non e' vlid per il vlore dell che nnull il minimo comune multiplo. Quest si chim nche Condizione di Esistenz (C.E.) Dopo ver risolto l'equzione dovri controllre il vlore dell : se il vlore dell non e' quello che nnull il minimo comune multiplo l soluzione e' ccettbile se il vlore trovto e' ugule quello che nnull il minimo comune multiplo llor dovri dire che l soluzione non e' ccettbile. Fccimo un esempio per tipo: 1) 1 1 -, m.c.m. ( - ) 0, cioè l condizione di esistenz (o reltà) è, ( - ) ( - ) ( - ) per il principio elimini i denomintori ( vendo supposto il m.c.m.diverso d zero) - d cui + ed infine l soluzione 4 risult ccettbile. ) , m.c.m. ( - ) 0, cioè l condizione di esistenz (o reltà) è, - - ( - ) - ( - ) per il principio elimini i denomintori ( vendo supposto il m.c.m.diverso d zero) d cui + - ed infine l soluzione - risult non ccettbile perchè contrri ll condizione di esistenz. 18

19 RADICALI DEFINIZIONE: si definisce rdice ennesim di un numero quel numero b che elevto potenz n si ottiene, cioè: e si legge : l rdice ennesim di e' il numero n n b che b elevto b ll n divent ugule d. Nomencltur: se considero n n è il rdicle n è l'indice di rdice è il rdicndo. Se l indice di rdice è, scrivi perché le rdici qudrte srnno le più numerose, quindi srà un bel risprmio di tempo. RADICALI ARITMETICI Qundo non ci interess spere che segno ottenimo estrendo l rdice prlimo di rdicli ritmetici, cioè di rdicli senz segno, d esempio 5 5 è un rdicle ritmetico. RADICALI ALGEBRICI I rdicli lgebrici sono l'operzione invers dell'elevmento potenz: inftti, se ho 5 che devi trovre quel numero che moltiplicto per sé stesso ti d' 5 quindi vri: 5 perché 5 5 5, m vri nche -5 perché ( 5) ( 5) 5, signific quindi per considerre tutte le possibilità scriveri 5 ±5 Per indicre un rdicle lgebrico useri il segno ±, cioè scriveri b ±. 19

20 EQUIVALENZA FRA RADICALI OPERAZIONI CON I RADICALI Due rdicli si dirnno equivlenti se hnno lo stesso vlore. Regol: due rdicli si dicono equivlenti qundo puoi trsformrli l'uno nell'ltro moltiplicndo o dividendo si l'indice di rdice che l'esponente del rdicndo per uno stesso numero ns t s n t SOMMA E DIFFERENZA FRA RADICALI Per somm intendimo l somm lgebric cioè si l somm si l differenz. Per cpire come eseguire l somm fr rdicli, ripensimo quell fr monomi: b 9 + 7b se l posto di metti e l posto di b metti ottieni: Regol: per eseguire l somm fr termini con rdicli devi cercre i termini simili (con rdicli uguli) e poi sommrne i coefficienti numerici (i termini fuori del rdicle). Si dicono simili due termini se hnno lo stesso rdicle. PRODOTTO FRA RADICALI Dobbimo distinguere due csi: PRODOTTO FRA RADICALI CON LO STESSO INDICE PRODOTTO FRA RADICALI CON INDICE DIVERSO 0

21 PRODOTTO FRA RADICALI CON LO STESSO INDICE Anche per il prodotto ci rifccimo l clcolo letterle: inftti, per eseguire un prodotto fr monomi devi moltiplicre numeri con numeri e lettere con lettere. Regol: per moltiplicre fr loro due termini con rdicli con lo stesso indice si devono moltiplicre fr loro i coefficienti e tr loro i rdicndi mentre l rdice rest invrit PRODOTTO FRA RADICALI CON INDICE DIVERSO Regol: per moltiplicre fr loro due rdicli con indice diverso prim li trsformi in rdicli con lo stesso indice poi procedi come prim. Per trsformre i rdicli con lo stesso indice devi usre l regol di equivlenz: 4 b il minimo comune multiplo fr e 4 e' 1 quindi devi trsformre i due rdicli in modo che bbino indice 1 moltiplicndo si l'indice di rdice che l'esponente del rdicndo per uno stesso numero 1 4 moltiplicndo per b b moltiplicndo per Quindi: b 6 b b. QUOZIENTE FRA RADICALI Come per il prodotto distinguimo due csi: QUOZIENTE RADICALI CON LO STESSO INDICE QUOZIENTE RADICALI CON INDICE DIVERSO 1

22 QUOZIENTE RADICALI CON LO STESSO INDICE Regol: per dividere fr loro due rdicli con lo stesso indice si dividono tr loro i rdicndi. In questo cso bst fre il rdicle del quoziente dei termini dentro rdice: 6 6. QUOZIENTE RADICALI CON INDICE DIVERSO Regol: per dividere fr loro due rdicli se non hnno lo stesso indice prim, si riducono llo stesso indice, poi si procede come prim. Prim devi fr diventre i due rdicli con lo stesso indice, poi procedi come prim. 4 b b b ELEVAMENTO A POTENZA DI RADICALI Per elevre potenz un rdice bst elevre potenz il rdicndo, cioè: ( ). PORTAR FUORI RADICE E' un'operzione tipic dei rdicli: si può fre qundo l'indice del rdicndo e' superiore ll'indice dell rdice

23 RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE Rzionlizzre il denomintore di un frzione signific eliminre l rdice l denomintore. Considerimo soltnto l rzionlizzzione del denomintore del tipo:. b Per eseguire l suddett rzionlizzzione, si deve moltiplicre numertore e denomintore per il denomintore b, cioè: Esempio: b b b b b b. b b Rzionlizz il denomintore dell frzione 6 :

24 EQUAZIONE DI SECONDO GRADO In mtemtic, un'equzione di secondo grdo è un'equzione lgebric d un sol incognit compre con grdo mssimo pri, e l cui formul è riconducibile ll form: che + b + c 0 con 0. Le soluzioni delle equzioni di secondo grdo sono sempre, però si distingue e si dice che: nel cmpo rele mmette due soluzioni, eventulmente coincidenti, oppure nessun soluzione mentre nel cmpo complesso mmette sempre due soluzioni eventulmente coincidenti. Sono poi prticolrmente semplici d risolvere le cosiddette equzioni incomplete dove lcuni coefficienti sono pri zero. EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INCOMPLETE Equzione spuri Si dice spuri un'equzione di secondo grdo che mnc del termine noto, ossi vente l form: + b 0 Un'equzione di questo tipo si risolve fcilmente trmite scomposizione: Per l legge dell nnullmento del prodotto quest'equzione è equivlente lle due: e E in definitiv le sue soluzioni sono: b 0 e. 4

25 Esempio: risolvi l equzione : ( ) per l legge di nnullmento del prodotto si h : Equzione pur Si dice equzione pur un'equzione di secondo grdo che mnc del termine di primo grdo, cioè che è dell form: + c 0 Portndo c l secondo membro e dividendo per si ottiene: Se e c sono concordi, l'equzione non mmette soluzioni reli (m due soluzioni immginrie). Se e c sono discordi, l'equzione mmette due soluzioni opposte dte dll formul: c ±. Esempi: 1. Risolvi l equzione : ± 16 ± 4.. Risolvi l equzione : - 5 ± - 5 ± - 5, le soluzioni non sono reli. 5

26 Equzione monomi Si dice equzione monomi un'equzione di secondo grdo nell qule b 0 e c 0, cioè 0 In questo cso l'equzione mmette come soluzione doppi: 0. Esempio: risolvi l equzione 15 0 : EQUAZIONI DI SECONDO GRADO COMPLETE Un'equzione di secondo grdo è dett equzione complet qundo tutti i suoi coefficienti sono diversi d 0. L formul risolutiv delle equzioni di secondo grdo è l seguente: 1, - b ± b 4c E nzitutto necessrio clcolre il discriminnte Δ b 4c. Si distinguono tre csi: Se Δ > 0, vi sono due soluzioni distinte: 1, - b ± Δ Se Δ 0, l formul risolutiv divent: 1, - b ± 0 b Pertnto l soluzione è unic o, come spesso si dice, le due rdici sono coincidenti (o ncor vi è un rdice doppi): 1. Se Δ < 0, infine, l'equzione non h soluzioni reli. 6

27 In prticolre le soluzioni sono sempre due, m pprtengono i numeri complessi. Esempi: 1. Risolvi l equzione - 5-0: clcolimo il discriminnte Δ b 4c > 0, le soluzioni srnno reli e distinte, pplichimo l formul risolutiv e Risolvi l equzione : clcolimo il discriminnte 5. Δ b 1, 1, 6 4c coincidenti, pplichimo l formul risolutiv 1 5 ± 49 5 ± 7, 6 cioè , 1, 1 0 ± 0 18 e 0 18 d cui le soluzioni. le soluzioni srnno reli e 5, d cui le soluzioni. Risolvi l equzione : clcolimo il discriminnte Δ b 4c < 0, le soluzioni non sono reli. EQUAZIONI FRATTE DI SECONDO GRADO Si procede come per le equzioni frtte di primo grdo. 7

28 TRIGONOMETRIA L trigonometri è l prte dell mtemtic che studi i tringoli prtire di loro ngoli. Il compito principle dell trigonometri consiste nel clcolre le misure che crtterizzno gli elementi di un tringolo (lti, ngoli, medine, etc.) prtendo d ltre misure già note (lmeno tre, di cui lmeno un lunghezz), per mezzo di specili funzioni. Strumento indispensbile dell trigonometri sono le funzioni trigonometriche, le più importnti delle quli sono il seno e il coseno. Sono queste funzioni che ssocino lunghezze d ngoli, e vicevers. IL CONCETTO DI ANGOLO Trccimo, su un foglio del nostro quderno, due linee, che supponimo essere due semirette e b, venti l stess origine. Le due semirette dividono il pino, intercettto dl foglio, in due prti, ciscun delle quli si estende illimittmente e prende il nome di ngolo. Le due semirette si dicono lti dell'ngolo ( lto inizio e lto termine ) e l loro origine comune si dice vertice dell'ngolo. DEFINIZIONE Si chim ngolo ciscun delle due prti in cui il pino è diviso d due semirette venti l'origine in comune. Chimimo ngolo convesso quello che non contiene i prolungmenti dei suoi lti. Chimimo ngolo concvo quello che li contiene. L ngolo si misur in grdi o in rdinti. 8

29 DEFINIZIONE DI SENO E COSENO IN UN TRIANGOLO RETTANGOLO Considerimo un tringolo rettngolo ABC con l'ngolo retto α in A, si β l ngolo in B e γ l ngolo in C. Indichimo con il lto opposto ll'ngolo di vertice A, con b il lto opposto l vertice B e con c quello opposto l vertice B. AC sen β BC b AB sen γ BC c CA cos β BC b CB cos β BC b DEFINIZIONI Il seno di un ngolo, in un tringolo rettngolo è il rpporto tr il cteto opposto ll ngolo considerto e l ipotenus. Il coseno di un ngolo, in un tringolo rettngolo è il rpporto tr il cteto dicente ll ngolo considerto e l ipotenus. L trigonometri pin definisce e studi nche ltre funzioni trigonometriche o circolri di un ngolo o dell'rco che esso individu su un circonferenz goniometric, quli: l tngente, l cotngente, l secnte e l cosecnte. Ess stbilisce le relzioni cui queste funzioni soddisfno e fr le quli devono essere ricordte: Dll second relzione possimo dire che: BA c tng γ e CA b CA b tng β. BA c Inoltre, l funzione cos α cotng α è l nverso dell funzione sen α sen α tng α. cos α 9

30 DEFINIZIONE L circonferenz goniometric orientt h il centro coincidente con l origine del pino crtesino ed il rggio unitrio. Prtendo dll'origine del nostro pino di riferimento, trccimo un semirett dett j. Chimimo A il punto in cui quest semirett incroci l circonferenz goniometric. Chimimo α l'ngolo descritto dll semirett rispetto l'sse delle scisse. Si definisce seno dell'ngolo α l proiezione di A sull'sse delle ordinte. Si definisce coseno dell'ngolo α l proiezione di A sull'sse delle scisse. 0

31 Considerte ed y le coordinte del punto A nel pino crtesino, possimo dire che: In un circonferenz goniometric, il seno di α è l ordint ( cioè y A ) del punto d incontro A tr l circonferenz ed il lto termine OA dell ngolo α. In un circonferenz goniometric, il coseno di α è l sciss ( cioè A ) del punto d incontro A tr l circonferenz ed il lto termine OA dell ngolo α. Considerimo l circonferenz goniometric, indichimo con A,B,C e D i suoi punti di incontro con gli ssi crtesini rispettivmente negli ngoli 0 ( coincidente con 60 ), 90, 180 e 70. Conoscimo, quindi, i vlori delle funzioni seno e coseno in A,B,C e D. I quttro qudrnti dell circonferenz goniometric sono crtterizzti nel seguente modo: I qudrnte: cos > 0 ; sen > 0 II qudrnte: cos < 0 ; sen > 0 III qudrnte: cos < 0 ; sen < 0 IV qudrnte: cos > 0 ; sen < 0. Si dimostr che: sen 0 sen sen , cos 0,, 0 cos 45 0 cos

32 A questo punto, possimo costruire l tbell contenente i vlori delle funzioni seno, coseno, tngente e cotngente di prticolri ngoli: X X rdinti SEN X COS X TG X COTG X π π π 1 90 π π π π 0 1 0

33 GRAFICI DELLE FUNZIONI y sen SINUSOIDE y cos COSINUSOIDE

34 y tg TANGENTOIDE y cotg COTANGENTOIDE 4

35 Dllo studio precedente possimo dire che per qunto rigurd le funzioni y sen e y cos : Il dominio è: R ( tutti i numeri reli) Il condominio è: y R tle che -1 1 Sono funzioni continue Sono funzioni periodiche, il periodo è 60. Dllo studio precedente possimo dire che per qunto rigurd l funzione y tg : Il dominio è: R - { 90 + k180, k Z }( dove k è un costnte e Z è l insieme dei numeri reltivi) Il condominio è: y R È un funzione discontinu, inftti non esiste per 90 + k180 È un funzione periodic, il periodo è 180. Dllo studio precedente possimo dire che per qunto rigurd l funzione y cotg : Il dominio è: R - { k180, k Z }( dove k è un costnte e Z è l insieme dei numeri reltivi) Il condominio è: y R È un funzione discontinu, inftti non esiste per k180 È un funzione periodic, il periodo è

36 INDICE CALCOLO LETTERALE pg. MONOMI Operzioni tr monomi Elevmento potenz M.C.D. e m.c.m. pg. pg. pg. 5 pg. 5 POLINOMI pg. 6 Operzioni tr polinomi pg. 6 Prodotti notevoli pg. 8 Scomposizioni tr polinomi pg. 1 M.C.D. e m.c.m. pg. 1 Frzioni lgebriche pg. 14 EQUAZIONI DI 1 GRADO pg. 16 Equzioni determinte, impossibili, indeterminte Equzioni di 1 grdo frtte RADICALI Operzioni tr rdicli Rzionlizzzione del denomintore pg. 17 pg. 18 pg. 19 pg. 0 pg. EQUAZIONI DI GRADO pg. 4 Equzioni di grdo incomplete pg. 4 Equzioni di grdo complete pg. 6 TRIGONOMETRIA pg. 8 Seno e coseno in un tringolo rettngolo pg. 9 Seno e coseno in un circonferenz goniometric pg. 1 Tbell dei vlori di rchi prticolri pg. Grfici delle funzioni goniometriche pg. 6