Lezione 2-4 ottobre 2005

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1 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 5-6 Lezione - ottobre 5.. Brevi cenni sulle equzioni lgebriche continuzione D questo risultto si ricvno lcuni importnti corollri. Corollrio. Si f un funzione polinomile coefficienti complessi di grdo n, llor si può rppresentre in un modo unico meno dell commuttività dell moltipliczione come prodotto di esttmente n fttori di polinomi di primo grdo, nell form - - n Dimostrzione. L dimostrzione procede per induzione sul grdo prtendo d. Se f h grdo, llor è già esso stesso un polinomio di primo grdo ed è quindi dell form, purché Altre espressioni non sono possibili. Assunt l ipotesi per tutti i polinomi di grdo minore di n, esist l fttorizzzione unic e si f di grdo n. Per il Teorem fondmentle dell Algebr, si h un rdice del polinomio,. Si h llor f f -, con f polinomio coefficienti complessi di grdo n-, per l proprietà euclidee dell nello dei polinomi coefficienti in un cmpo in questo cso. Per ipotesi induttiv f si può scrivere in un unico modo come -β -β n- come prodotto di esttmente n- polinomi di primo grdo non necessrimente distinti e quindi f si può scrivere come prodotto di esttmente n polinomi di primo grdo e in tle fttorizzzione compiono tutte e sole le rdici del polinomio. L unicità dell fttorizzzione dipende dl ftto che l nello dei polinomi è un nello euclideo per l presenz del grdo. D qunto sopr si ottiene: Corollrio. Ogni equzione lgebric di grdo n in un incognit h esttmente n soluzioni non necessrimente distinte. Corollrio 3. Si f un polinomio di grdo n coefficienti in, llor esso h un rdice rele. Dimostrzione. Per il Teorem fondmentle dell Algebr e per il Corollrio, si può scrivere il polinomio f come - - n. Se con : si indic il coniugio, che è un utomorfismo involutorio di, esso è tle che per ogni ib, ib -ib. Inoltre il - 7 -

2 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 5-6 coniugto di un numero rele b è lo stesso numero rele, per cui, f f. D ltr prte f - - n - - n. Quindi per l unicità dell fttorizzzione, se i è un rdice compless del polinomio f, llor nche i è rdice e srà quindi un ltr delle rdici già indicte, d esempio j. Ciò signific che le rdici complesse di f sono in numero pri. Essendo il polinomio di grdo dispri deve esistere lmeno un rdice rele. n n Corollrio. Si... n n e sino,..., n le sue rdici, cioè tli che n n... n n... n si hnno le seguenti formule di Viète n ; n n n n n ; n n 3 n ; Frnçois Viète 5 63 n n Dimostrzione. Bst effetture il clcolo... n n... n pplicndo il principio di identità dei polinomi per cui due polinomi nell stess indetermint sono eguli se hnno eguli coefficienti delle stesse potenze dell indetermint. Nel cso di n si ottengono le formule note dll scuol superiore: ;. Nel cso n 3, si ottengono ; e Risoluzione delle equzioni lgebriche. Nel corso delle lezioni si introdurrnno le tecniche messe punto dgli studiosi nelle vrie epoche storiche per risolvere le equzioni. Si psserà d metodi per tenttivi d ltri più ingegnosi, d esempio vvlendosi di strumenti geometrici. L oper degli studiosi rbi porterà ll cosiddett - 8 -

3 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA Regol d Algebr, che costituirà il primo esempio di risoluzione in senso moderno, nche se ncor molto distnte d quell che ritenimo oggi sino le formule risolutive delle equzioni. Con l umentre del grdo umentno le difficoltà di soluzione..3. Equzioni di primo grdo. L generic equzione lgebric di primo grdo in un incognit è del tipo. Quest equzione è sicurmente risolubile in un nello se è un elemento dotto di inverso. Altrimenti potrebbe essere risolubile solo in lcuni specifici csi qundo è multiplo di. In un cmpo in cui ogni elemento non nullo è invertibile si h l formul risolutiv. Grzie quest formul si risolve l equzione in qunto Equzioni di secondo grdo. Sono equzioni che sono stte risolte nche nell ntichità, tlor sfruttndo proprietà geometriche. Il più ntico metodo di risoluzione di cui si bbi notizi si bs sul cosiddetto metodo del completmento del qudrto. Questo metodo è presente nche in documenti dell trd grecità. L form normle dell equzione lgebric coefficienti reli di secondo grdo in un incognit è. Moltiplicndo entrmbi i membri per si ottiene, d cui. Quest espressione può essere trsformt in -. Se il secondo membro è positivo, llor si h ±. D qui ±. Bisogn provre che queste sono soluzioni:. In modo nlogo si h per l ltr rdice

4 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA Equzioni di grdo superiore l secondo. Solo molto più trdi, tr XVI e XVII secolo, in Itli furono scoperte o inventte? le formule risolutive delle equzioni di terzo grdo e di qurto grdo. A questo punto fu grnde il fervore per trovre l soluzione delle equzioni lgebriche di grdo superiore l qurto. Per riuscire nello scopo sono stte prodotti vri metodi e nche senz riuscire risolvere il problem, egulmente l Mtemtic è procedut preprndo il terreno d ltri cmpi di studio. Tr XVII e XVIII secolo Lgrnge intuisce che le equzioni di quinto grdo o di grdo superiore possno non essere risolubili per rdicli: «Il problem di risolvere per rdicli equzioni il cui grdo è superiore l qurto, è uno di quelli che non è possibile risolvere, nche se null dimostr l impossibilità di tle soluzione.» Lgrnge: Réfleions sur l résolution lgébrique des éqution, 77-7 Polo Ruffini Ciò viene provto nel 799 d Ruffini e poi ripreso d Abel indipendentemente. Nel 799 si hnno le dimostrzioni di due importnti teoremi: per il teorem fondmentle dell lgebr ogni polinomio h lmeno un rdice rele o compless. Quindi si trtt di un enuncito con un quntifictore esistenzile esiste un rdice. Il risultto di Ruffini ttest che se si h che fre con l generic equzione lgebric di grdo mggiore di, può non essere possibile trovrne un soluzione per rdicli. Si ples in tle modo l differenz sostnzile tr le due locuzioni Esiste un rdice e Si Evriste Glois 8-83 può trovre un rdice!! Esistono tuttvi numerosi tipi di equzioni di grdo superiore l qurto che possono risolversi per rdicli, quindi rest d vedere quli sino le equzioni risolubili per rdicli. Questo problem è stto ffrontto e risolto d Glois. Gli studi di Glois hnno perto l strd ll teori dei gruppi ed ll teori dei cmpi. Luigi Lgrnge Niels Abel 8 89 Nel frttempo Glois e Abel hnno ffrontto ltri problemi reltivi clssi di funzioni prticolri, le funzioni ellittiche. I mtemtici dell second metà del XIX secolo hnno - -

5 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 5-6 sfruttto questo tipo di funzioni per determinre formule risolutive per le equzioni di quinto grdo Hermite e Kronecker o di sesto Brioschi. All inizio del XX secolo Poincré h generlizzto i risultti precedenti trovndo formule risolutive per le equzioni lgebriche di un grdo qulunque. Leopold Kronecker Chrles Hermite 8-9 Frncesco Brioschi Henri Poincré Sistemi di numerzione dell ntichità mediterrne. Si riport un documento mesopotmico un tvolett di rgill. Il trtteggio che ppre segnl perdite di testo dell tvolett fittile. Un poco di iuto si può vere dll lettur del testo Si trtt quindi di un testo in cui compiono prole e numeri; per entrre di più nel testo bisogn cercre di comprendere come vengono rppresentti i numeri Si riport un documento egizio un bssorilievo Anche in questo documento sono presenti contenuti mtemtici. Per comprenderli bisogn però decifrre lmeno przilmente di che cos prlno questi reperti rcheologici. Per frlo si introducono i simboli usti per rppresentre i numeri. D lcuni esempi scritti in modo simile quello effettivo si ricvno le regole dell scrittur dei numeri ust dgli Egizini: - -