FUNZIONI LOGARITMICHE

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1 FUNZIONI LOGARITMICHE Voglimo vedere come dl grfico δ di un funzione y=f(x) si può pssre l grfico δ dell funzione y = f (x). Dobbimo vere ben presente il grfico dell funzione y = x con x R + e con >0, e conoscere le reltive proprietà. FUNZIONE LOGARITMICA PRIMO CASO Il grfico finco è quello reltivo ll fmigli di funzioni y = x con x R + 0 e con > Proprietà: f(x)>0 per x> f(x)<0 per 0<x< f(x) non esiste per x<0 lim f (x) = + x + lim f (x) = x 0 + x=0 sintoto verticle destro. Esiste un unic intersezione con l sse dell scisse (;0). per x= x = 0 per x= x =

2 Esempio: Considerimo l funzione y = f (x) = x (x ) di grfico δ rppresentto finco. Voglimo dedurre il grfico δ dell funzione y = ln[f (x)] = ln[x (x )]. Il dominio dell funzione y=f(x) è D= x R = R. Il dominio dell funzione { } y=ln[f(x)] è D= R [ ;] in qunto non esistono ritmi di numeri negtivi o di zero. Nell costruzione del grfico δ srà quindi elimint tutt l prte di pino compres tr le rette x= e x= - L funzione y=f(x) è simmetric rispetto ll sse delle scisse L funzione y=ln[f(x)] srà pure simmetric rispetto ll sse delle scisse.. Proprietà del ritmi: ln =0 Quindi ln f(x)=0 se f(x)= Cerchimo, se esistono, punti in cui l funzione y=f(x)=; tli punti si trovno intersecndo l y=f(x) con l rett y=. Trovte le eventuli intersezioni, queste srnno proiettte quot 0, cioè sull sse delle scisse; per tli proiezioni psserà il grfico δ. Nell esempio δ psserà per (-;0) e per (;0).

3 3. Proprietà del ritmi: ln e= Quindi ln f(x)= se f(x)=e Cerchimo, se esistono, punti in cui l funzione y=f(x)=e; tli punti si trovno intersecndo l y=f(x) con l rett y=e. Trovte le eventuli intersezioni, queste srnno proiettte quot, cioè sull rett y=; per tli punti psserà il grfico δ. Nell esempio δ psserà per (-b;) e per (b;). 4. Poiché ll umentre o l diminuire di un numero positivo ument o diminuisce nche il suo ritmo neperino (cioè 3<5 implic ln 3 < ln 5 ), nche l funzione y=ln[f(x)] cresce o decresce second che y=f(x) si crescente o decrescente. y=ln[f(x)] ssume nel suo dominio un mssimo reltivo ed un minimo reltivo per gli stessi vlori per i quli y=f(x) mmette rispettivmente mssimo e minimo reltivo. In questo esempio y=f(x) vrebbe due minimi ed un mssimo reltivi, che però pprtengono ll prte di pino elimint l punto. L funzione y = ln[x (x )] non h né mssimi, né minimi reltivi. 5. D qunto detto pg. sppimo che lim ln(z) = + z + Supposto z=f(x) segue che lim ln[f (x)] = + f (x) + 6. Sempre per qunto detto pg. lim ln(z) = z 0 + Supposto z=f(x) segue che lim ln[f (x)] = f (x) 0 + Il nuovo grfico vrà sintoti verticli dove f(x)=0 ; nell esempio x=±. 3

4 Se invece del ritmo neperino, ovvero in bse e, si considerno ritmo con bse >, il procedimento è no; l unic differenz si h l punto 3. 4 f (x) = 4 se f(x)= l posto dell rett y=e si prenderà y=4 3 f (x) = 3 se f(x)= l posto dell rett y=e si prenderà y=3 Logf (x) = 0 se f(x)= l posto dell rett y=e si prenderà y=0 4

5 FUNZIONE LOGARITMICA SECONDO CASO Il grfico finco è quello reltivo ll fmigli di funzioni y = x con x R + 0 e con 0<< Proprietà: f(x)>0 per 0<x< f(x)<0 per x> f(x) non esiste per x<0 lim f (x) = x + lim f (x) = + x 0 + x=0 sintoto verticle Esiste un unic intersezione con l sse dell scisse per x= x = 0 per x= x = 5

6 Esempio: Considerimo l funzione y = f (x) = x(x ) di grfico δ rppresentto finco. Voglimo dedurre il grfico δ dell funzione y = [f (x)] = [x(x )]. Il dominio dell funzione y=f(x) è D= x R = R. Il dominio dell funzione y=ln[f { } (x)] è D= ( ;0 ) (; + ) in qunto non esistono ritmi di numeri negtivi o di zero Nell costruzione del grfico δ srà quindi elimint tutt l prte di pino ntecedente l rett x=- e quell compres tr le rette x=0 e x=. 6

7 . Proprietà del ritmi: = 0 Quindi f (x) = 0 se f(x)= Cerchimo, se esistono, punti in cui l funzione y=f(x)=; tli punti si trovno intersecndo l y=f(x) con l rett y=. Trovte le eventuli intersezioni, queste srnno proiettte quot 0, cioè sull sse delle scisse; per tli proiezioni psserà il grfico δ. Nell esempio δ psserà per (;0). 3. Proprietà del ritmi: = Quindi f (x) = se f (x) = Cerchimo, se esistono, punti in cui l funzione y= f (x) = ; tli punti si trovno intersecndo l y=f(x) con l rett y =. Trovte le eventuli intersezioni, queste srnno proiettte quot, cioè sull rett y=; per tli punti psserà il grfico δ. Notre che l proiezione vviene su un rett che si trov quot superiore!!! Nell esempio δ psserà per (b;). 7

8 4. Poiché ll umentre o l diminuire di un numero positivo diminuisce o ument nche il suo ritmo con bse tr 0 e, l funzione y = f (x) decresce o cresce second che y=f(x) si decrescente o crescente. ( 3<4 implic 3 > 4 ) y = f (x) ssume nel suo dominio un mssimo reltivo ed un minimo reltivo per gli stessi vlori per i quli y=f(x) mmette rispettivmente minimo reltivo e un mssimo reltivo. In questo esempio y=f(x) vrebbe un mssimo reltivo (c;f(c)); l funzione y = f (x) reltivo in ssumerà un minimo (c; f (c)) f (c) Nel grfico δ = d 5. D qunto detto pg.5 sppimo che lim (z) = z + Supposto z=f(x) segue che [f (x)] = lim f (x) + 6. Sempre per qunto detto pg.5 lim (z) = + + z 0 Supposto z=f(x) segue che lim [f (x)] = + + f (x) 0 Il nuovo grfico vrà sintoti verticli dove f(x)=0 ; nell esempio x=± e x=0 8

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