Funzioni esponenziali e logaritmi

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1 Funzioni esponenzili e ritmi

2 L funzione esponenzile L funzione = è chimt funzione esponenzile di dove è l bse dell funzione. > 0; Condizioni di vlidità: < < ; > 0 Se > l funzione è monoton crescente ovvero se > ( ) > ( ) > = = = o

3 L funzione esponenzile 0 < < = o Se 0<< l funzione è invece monoton decrescente ovvero se > ( ) < ( ) Inftti, vle l relzione = =

4 L funzione esponenzile Esempio =0, o = Le due funzioni rppresentte sono simmetriche rispetto d =0 = 0,5 = =

5 L funzione esponenzile Esempio:funzioni esponenzili con bsi differenti (>) =3 cresce più rpidmente = cresce meno rpidmente cresce meno rpidmente cresce più rpidmente 3 o

6 L funzione esponenzile stndrd In fisic si incontrno di frequente funzioni esponenzili con bse e e=, (numero di Nepero) lle volte indicte con l notzione =ep esponenzile decrescente =e =,7 =7,39 =e o esponenzile crescente Più in generle: esponenzile crescente =Ae α esponenzile decrescente =Ae -α

7 L funzione esponenzile decrescente È molto importnte per le svrite ppliczioni in fisic: (t)=ae -αt oscillzioni smorzte E(t)=E o e -δt decdimenti rdiottivi A(t)= A o e -λt scric di un condenstore V(t)= V o e -t/τ A vlore dell funzione ll istnte t=0 A A/e 0,368 A α costnte crtteristic (dim. t - ) rppresent qunto velocemente l curv decresce. τ=/α tempo crtteristico (o costnte di tempo o vit medi): rppresent il tempo dopo il qule il vlore di si è ridotto di un fttore e. Inftti se t=τ (τ) = Ae -α α (/α ) = Ae - = A/e τ=/α t 0,368 A

8 L funzione esponenzile decrescente L funzione esponenzile =Ae -αt soddisf l relzione / t=α α descrive l ndmento di un grndezz l cui velocità di diminuzione ( / t) è proporzionle ll grndezz stess. α t Si h inoltre /=α l funzione esponenzile decresce, in intervlli uguli t, sempre dell stess frzione (o percentule) di ( /), pri d α t A A/ Tempo di dimezzmento (t / ): tempo dopo il qule l curv è diminuit dell metà. Si h: t / =0,693 τ A/4 A/8 t / t / 3t / t

9 Esercizio: L ttività A (numero di decdimenti/s) di un sorgente rdiottiv segue un legge esponenzile decrescente A(t)=A o e -t/τ dove τ è chimto vit medi del rdionuclide. Supponimo che il tempo di dimezzmento del C si t / =0min. ) qule è l vit medi del C [R. τ = 8,9 min] Si h t / =0,693 τ, d cui τ = t / /0,693 = (0 min)/0,693 = 8,9 min b) se un conttore Geiger misur d un certo istnte t=0 un ttività A o =000 conteggi/s, qule srà l ttività dopo 5 minuti? [R. A(t= 5min) = 65 conteggi/s] Usimo l legge esponenzile con A o =0 3 conteggi/s e τ = 8,9 min. Si h A(t=5 min) = (0 3 conteggi/s) e -(5min)/(8,9 min) = (0 3 conteggi/s ) e -,8 = 65 conteggi/s

10 Logritmi rgomento = bse Rppresent l esponente () che bisogn dre ll bse () per ottenere l rgomento (): = rppresent l funzione invers dell funzione esponenzile: condizioni di vlidità 0; < > < ; > 0 = = esempi: 3 = 5; 3 7 = 3 bse 0 ritmi decimli o comuni ( Log 0 ) 0= ; 00= ; 0 n = n bse e ritmi nturli o neperini (ln e ) e=, (numero di Nepero)

11 funzione ritmic È un funzione lentmente vribile di (per >0) 0, -,0 0,5-0,30 0,0 = 3 4 0,30 0,477 0,60 o 0 0 Not: = + 0, ,699 0,778 0,845 0,903 0,954,0 0 = 0 + 0,30 0,30 00,0

12 legge di Weber-Fechner L percezione degli orgni sensorili umni P è legt ll intensità di uno stimolo S dll relzione p = k S S verifict per vri tipi di stimoli (uditivo, visivo, psicoico...) l funzione che soddisf quest relzione è l funzione ritmic: p = k S L percezione degli orgni sensorili è pprossimtivmente proporzionle l ritmo dello stimolo

13 Proprietà dei ritmi = 0; = m n= m+ m n m n = = n c= m m b b ; c n n n m = n m cmbimento di bse proprietà del prodotto proprietà del quoziente proprietà dell potenz Esempio ln = ln0 =,305 = e ln = 0,434 ln

14 Esercizi 3 8 (R. 4) 6 0, (R. (R. (R. (R. (R. 3) -4) -0,30),60) ) b 3 c 3 b + 4 c m n

15 Esercizio Il livello di intensità sonor IL è legto ll intensità I di un suono ttrverso l relzione IL= 0 dove I o rppresent un intensità di riferimento. Determinre di qunto vri il livello IL se l intensità sonor I rddoppi. Si h inftti che se l intensità I rddoppi (I I), il livello corrispondente IL' diviene ed usndo le proprietà dei ritmi I I o IL' = 0(I/I 0 ) IL' = 0(I/I 0 ) = 0 + 0(I/I 0 ) = 0 + IL = IL + 3 [ R. ument di +3] Il livello è quindi umentto di 3 unità. Vedremo nel seguito che l livello si ttribuisce un unità di misur (db) per cui risult che d un rddoppio di intensità corrisponde un umento di +3 db. Si osservi, come ppre chiro dll esempio, che l funzione ritmo trsform i prodotti in somme, nel senso che moltiplicre l rgomento del ritmo per un fttore costnte ( nel nostro esempio) equivle sommre l ritmo un numero costnte (+3 db).

16 Digrmmi semiritmici Comodi per rppresentre grficmente funzioni che vrino di diversi ordini di grndezz crt semiritmic : Y = X = Esempio: rppresentzione grfic dell funzione =Ae B Y = = (Ae B ) = A + (B e) funzione esponenzile rett Y=X+b = B e (pendenz) b = A (intercett)

17 Y o = 0 e X Esempio A=0 B=0,75 pendenz: 0,33 intercett: Y = X =

18 Esempio 3 A(t)= 0 3 e -t τ (τ =8,8 min, vedi esercizio) pendenz = -/τ e =-0,434/τ Attività A(t)

19 Esercizio Dimostrre che nell funzione (t)=ae -t/τ il legme tr tempo di dimezzmento t / e vit medi τ è t / = τ ln = 0,693τ All istnte inizile (t=0) il vlore che ssume l funzione esponenzile è (t=0) = Ae 0/τ = A Il tempo di dimezzmento t / è per definizione il tempo dopo il qule il vlore che ssume l funzione è esttmente l metà del vlore inizile, ovvero A/. Potremo scrivere llor d cui, essendo (t=t / ) = Ae t / /τ, si h (t=t / ) = A/ Ae t / /τ = A/ Semplificndo entrmbi i membri per A e pplicndo l definizione di ritmo τ / /τ = e (/) = ln(/) = ln dove si è pplict l proprietà dei ritmi (/) =. Infine t / = τ ln = 0,693 τ