ma non sono uguali fra loro

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1 Defiizioe U fuzioe f defiit i D (doiio) si dice cotiu i u puto c D se esiste i tle puto (è cioè possiile clcolre f (c)); se esiste, fiito, il ite dell fuzioe per che tede c e se il vlore del ite coicide co il vlore dell fuzioe el puto c. Si verifico cioè le tre codizioi:. esiste f (c). esiste fiito f l 3. f ( c) l c cioè f f ( c) c Ioltre, u fuzioe f è cotiu i tutti puti di u itervllo I si dice cotiu ell itervllo Osservzioi: se u fuzioe f defiit solo destr o solo siistr del puto c è possiile verificre l su cotiuità solo destr o siistr se soo verificte, rispettivete, le relzioi f f ( c) per l cotiuità destr di c c c f f ( c) per l cotiuità siistr di c se u o più delle codizioi sopr scritte per l cotiuità veissero cre l fuzioe srà duque discotiu el puto c cosiderto (che può o pprteere l doiio) Puti di discotiuità Per copletre il discorso sull cotiuità chirio ee il cocetto di puto di discotiuità. I tle puto u delle tre codizioi citte sopr (vedi defiizioe di cotiuità) viee cdere cioè si verific u o più delle segueti circostze: esistoo f(c) e f o soo uguli fr loro c il f o è fiito c l fuzioe o è defiit el puto c esiste il f c Noi sio i grdo di ricooscere diverse specie di puti di discotiuità secod dell circostz che si verific e quidi dicio che: Defiizioe. Si dice che u fuzioe f defiit i D h i c D (può che essere c D) u puto di discotiuità di pri specie se esistoo fiiti il ite destro e siistro i c o coicidoo tr loro, i prticolre l differez fr i due iti (i vlore ssoluto) è dett slto. f f c c c f c f s L fuzioe h u grfico che preset slti coe l seguete: Figur A: I corrispodez del puto di discotiuità (slto) l fuzioe è defiit i iti o soo uguli fr loro. Figur B: I corrispodez del puto di discotiuità (slto) l fuzioe o è defiit e i iti o soo uguli fr loro.

2 Defiizioe. Si dice che u fuzioe f defiit i D h i c u puto di discotiuità di secod specie se l fuzioe o è defiit el puto e o soo fiiti il ite destro e siistro per che tede c. Cioè f ±. c Osservzioe: si può fferre che se l fuzioe h discotiuità di secod specie i u puto c, i tle puto ette l sitoto verticle c. L defiizioe ffer iftti che l rett c è sitoto verticle per l fuzioe f() se il f ±. c Il grfico che l rppreset è quello dell figur. I tl cso f e c c f e l rett 3 è sitoto verticle. Può che verificrsi che i iti sio etri o etri - ( che i tl cso si h sitoto verticle) Figur : fuzioe co discotiuità di secod specie, ite ifiito e sitoto l rett Defiizioe 3. Si dice che u fuzioe f defiit i D h i c D u puto di discotiuità di terz specie se esiste fiito il ite per che tede c o coicide co il vlore dell fuzioe el puto (che può ssuere u vlore diverso dl ite o o essere defiit). Questo è u tipo di discotiuità eiile cioè è possiile redere cotiu u fuzioe che preset u puto di discotiuità di terz specie. se Se cosiderio iftti l fuzioe f defiit per tutti gli h i tle puto u discotiuità se di terz specie iftti: i l fuzioe o è defiit esiste, fiito, il (ite otevole clcolile che co il teore De l Hospitl). Ridefiedo quidi l fuzioe el seguete odo se per f si ottiee u fuzioe cotiu su tutto R. per Figur 3: Grfico dell fuzioe f se

3 ASINTOTI: defiizioi U sitoto è u rett cui u curv si vvici idefiitete. Suppoedo che tle curv si il grfico di u fuzioe f(), preso u puto sul grfico, l distz fr il puto e l rett tede zero. I lisi si dice che: o l rett c è sitoto VERTICALE per l fuzioe f() defiit i u itoro di c se il f ±. o o l rett l è sitoto ORIZZONTALE per l fuzioe f() defiit i u itoro di se il. f lfiito l rett q è sitoto OBLIQUO per l fuzioe f() defiit i u itoro di se il f diverso d e ifiito. f q diverso d ifiito Coe esepio di sitoto verticle si ved l figur e per l orizzotle l 3, per quello oliquo l figur lto. c si Liite otevole Itto si può otre che il ite si preset i for ideterit e quidi per essere risolto fccio lcue cosiderzioi geoetriche osservdo l figur, trccido u golo di piezz rditi si h: PH < AP < AT che equivle diresi < < t. Poiché l golo cosiderto è positivo e quidi si è positivo, posso divedere tutti i eri di quest cte di disuguglize per si sez cire il si t verso otteedo: < < cioè < < questo puto essedo tutti i terii si si si si cos si positivi posso pssre i reciproci cido il verso dell disugugliz e ottego > > cos. Se fccio tedere zero l il prio e l ultio terie di quest disugugliz tedoo e duque, per si il teore del cofroto, che tede. Lo stesso può diostrrsi i odo logo per gli egtivi. LIMITI CORRELATI f si si co f(); co f f Liiti otevoli che utilizzo quello precedete: cos cos ) ) si si ; si co Se >> llor <

4 . il ite si preset i for ideterit quidi oltiplico, per risolverl, per (cos ) si il uertore che il deoitore. Ottego così: ( cos )( cos ) cos si si si ( cos ) ( cos ) ( cos ) cos cos si duque si cos. che questo si preset i for ideterit quidi oltiplico, per risolverl, per (cos ) si il uertore che il deoitore. Ottego così: ( cos )( cos ) cos si si ( cos ) ( cos ) ( cos ) cos cos si duque cos ite otevole e o diostrto (e uero di Nepero) NOTA iportte: cido l vriile el ite otevole cioè poedo o che se tede ll ifiito tede zero duque il ite si può riscrivere così ( ) e si h che LIMITI CORRELATI l( ) ) e ). il ite si preset i for ideterit quidi lo riscrivo l( ) l( ) l( ) l e co il cio di vriile. il ite si preset i for ideterit quidi lo riscrivo poedo e cioè l e l poedo - t ottego t t l( t ) perchè reciproco del precedete Liiti di fuzioi rzioli frtte P( ) F.I. i tl cso sigific che c ull etri i polioi quidi il fttore (-c) v rccolto e c Q( ) seplificto perché presete i etri. Si toglie così l for ideterit P( ) F.I. i tl cso rccolgo l grdo ssio presete i tutti e i polioi otteedo Q ( ) > il ite vle < il ite si coport coe il ite si coport coe k quidi quidi k

5 Defiizioi fodetli U fuzioe si dice ifiitesi, per tedete c, se f c U fuzioe si dice ifiit, per tedete c, se f. Dte due fuzioi f e g, etre ifiitesie per tedete c, si dice che: o f è ifiitesio di ordie superiore g se f c g f o f è ifiitesio di ordie iferiore g se c g f o f è ifiitesio dello stesso ordie di g se l diverso d e ifiito c g Dte due fuzioi f e g, etre ifiite per tedete c, si dice che: f o f è ifiito di ordie superiore g se c g o f è ifiito di ordie iferiore g se f c g f o f è ifiito dello stesso ordie di g se l diverso d e ifiito c g Si oti che, per gli ifiitesii, essere di ordie superiore sigific essere, i u itoro di c, "ifiitete più piccolo", etre per gli ifiiti essere di ordie superiore sigific essere, i u itoro di c, "ifiitete più grde"; il cotrrio per il cocetto di ordie iferiore. Pricipio di sostituzioe L'ppliczioe dei cocetti sopr itrodotti l clcolo dei iti si s sul cosiddetto pricipio di sostituzioe. I sostz il teore ffer che, el clcolo del ite di u rpporto di ifiitesii o di ifiiti si possoo trscurre gli ifiitesii di ordie superiore e gli ifiiti di ordie iferiore. Si trtt di u teore che, se e pplicto, cosete otevoli seplificzioi el clcolo dei iti. c