Successioni in R. n>a n+1

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1 Successioi i R U successioe è u fuzioe f : N R. Si preferisce deotre f() co e quidi u successioe co ( ). Il codomiio di u successioe ( ) è l'isieme dei vlori che ssume l successioe, cioè { } successioe ( ) è {-,}. N. Ad esempio se =(-), llor il codomiio dell U successioe ( ) si dice limitt se il suo codomiio lo è, cioè se esistoo h, R tli che h per ogi N. Esempi: - Si oti che u successioe ( ) è limitt M tle che M. - U successioe ( ) si dice o decrescete se + per ogi N. - U successioe ( ) è o crescete se + per ogi N. - U successioe ( ) è crescete se < + per ogi N. - U successioe ( ) è decrescete se > + per ogi N. - Le successioi o decresceti e quelle o cresceti soo dette mootoe. Le successioi cresceti e quelle decresceti strettmete mootoe. ),,,2,2,2,3,3,3. No decrescete. 2),,/2,/2,/3,/3,. No crescete. 3),/2,2/3,,(-)/,. Crescete. 4),/2,/3,/4,,/,. Decrescete. - Le successioi costti, cioè quelle per le quli odecresceti si ocresceti. = R per ogi N, soo si Sio ( ) u successioe crescete di umeri turli e ( ) u successioe. L successioe ( ) otteut prededo i termii dell successioe ( ) veti posto, 2,,, prede il ome di sottosuccessioe dell successioe dt. Esempio. Se = 2 e =/, llor l sottosuccessioe ( ) è l seguete successioe:,,,,...,, Se l successioe ( ) è limitt llor ogi su sottosuccessioe lo è..

2 Successioi covergeti U successioe ( ) coverge l umero rele, se per ogi >, esiste i idice ( ) tle che < per ogi ( ). I simoli oppure lim =. + Esempio. L successioe. Iftti, fissto >, l disequzioe = < mmette come soluzioe tutti i umeri turli (itededo co l prte iter di ). >. I questo cso ( ) = + Osservzioe. L successioe se per ogi > γ R+ tle che < N co γ. Nel cso precedete γ =. Osservzioe 2. Per stilire se l successioe ( ) coverge d occorre, fissto, trovre le soluzioi dell disequzioe <. Se le soluzioi di tle disequzioe cotegoo tutti i umeri turli d u certo posto i poi (dipedete d ) qule che si, llor l successioe ( ) coverge l umero. - Ogi successioe covergete è limitt. Le successioi limitte o soo ecessrimete covergeti, d esempio l successioe ((-) ) è limitt m o è covergete. Sio ( ) e ( ) due successioi tli che, llor: ) + 2), +, 3), 4) Se per ogi N llor, 5) se >, >, llor, 6) se >, >, llor lg lg. - Se l successioe. e l successioe è limitt llor l successioe

3 Esempio. L successioe ( ) coverge essedo prodotto dell successioe che coverge zero e dell successioe limitt ((-) ). - L successioe ( ) diverge positivmete se per ogi R esiste u idice tle che per ogi si i >. I simoli +, lim =+. Osservzioe 3. L successioe ( ) diverge positivmete se per ogi R esiste u umero rele γ tle che per ogi γ risult >. Osservzioe 4. Ogi successioe ( ) divergete positivmete o è limitt superiormete. - L successioe ( ) diverge egtivmete se per ogi R esiste u idice tle che per ogi si i <. Osservzioe 5. L successioe ( ) diverge egtivmete se per ogi R esiste u umero rele γ tle che per ogi γ risult <. Osservzioe 6. Le successioi divergeti egtivmete o soo limitte iferiormete. - U successioe covergete o divergete si positivmete si egtivmete si dice regolre. Esempio. L successioe (( )) o è regolre. + i quto covergete è regolre. L successioe - Se l successioe ( ) è regolre, llor ogi su sottosuccessioe è regolre. Precismete se ( ) è covergete ogi su sottosuccessioe coverge llo stesso limite, se ( ) diverge positivmete lo stesso vle per ogi su sottosuccessioe, se ( ) diverge egtivmete llor ogi su sottosuccessioe diverge egtivmete. - Se c e, c llor (criterio del cofroto), - Se e +, llor + (criterio del cofroto), - Se e, llor (criterio del cofroto), - Se > e, llor lg, - Se > e +, llor lg +, - Se >,, llor se >. + se <

4 - Se >, +, llor + se >. se < - U successioe ( ) è u ifiitesimo se. - U successioe ( ) è u ifiito se +. - Due ifiitesimi ( ) e ( ) si dicoo dello stesso ordie se esistoo due umeri positivi l e l 2 tli che l l 2 per ogi (evidetemete ), i prticolre se esiste lim = l R. Dti due ifiitesimi ( ) e ( ), diremo che + ( ) è u ifiitesimo di ordie superiore rispetto ( ) se lim = (( ) si dice + di ordie iferiore rispetto ( )). Per deotre che l successioe ( ) è u ifiitesimo di ordie superiore rispetto ll'ifiitesimo ( ) usimo l otzioe =o( ). Per il clcolo del limite di u successioe che si preset sotto form idetermit del tipo oppure è utile il seguete criterio dovuto Stolz- Cesro. Sio ( ) e ( ) due successioi co ( ) strettmete mooto. Suppoimo che: i) lim = = lim, + + oppure ii) lim + = llor se esiste lim = l R esiste che lim = l. + Esempio. Clcolre lim ove. Utilizzdo il criterio di Stolz-Cesro tle limite esiste sicurmete se esiste ( + + ) ( + + ) ( ) lim = lim =. + + I modo logo si verific che se l successioe ( ) R+ è regolre lo è che l successioe ( ) + + e risult lim + + = lim. + +

5 I prticolre si deduce che il lim + esiste se esiste lim + e tli limiti soo uguli.! Esempio. Clcolre lim. + Possimo utilizzre l'ultim osservzioe per clcolre tle limite, teuto coto che! =. Risult ( ) ( )! = = e quidi +! e!. e