Per le funzioni reali di variabile reale si può dare la seguente definizione dovuta a Dirichlet:

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1 - - Fuzioi Defiizioi fodmetli. Dti due isiemi o vuoti X e Y si chim ppliczioe o fuzioe d X Y u relzioe tr i due isiemi che d ogi X f corrispodere uo ed u solo y Y. Se y è l immgie di trmite f, si scrive y f().. L isieme X è il domiio dell ppliczioe. Cosiderto u qulsisi X esso h u sol immgie i Y per mezzo dell f. Si chim codomiio dell ppliczioe o isieme delle immgii il sottoisieme proprio o improprio di Y formto dgli elemeti che ho lmeo u cotroimmgie i X. Il codomiio, che viee idicto co f(x), è detto che isieme di vriilità dell fuzioe. 3. Qudo il domiio e il codomiio di u ppliczioe soo sottisiemi propri o impropri dell isieme R dei umeri reli, si prl di fuzioe rele di vriile rele. Il geerico elemeto del domiio è detto vriile idipedete, e il geerico elemeto y del codomiio vriile idipedete. 4. Per le fuzioi reli di vriile rele si può dre l seguete defiizioe dovut Dirichlet: U vriile rele y si dice fuzioe di u vriile rele i u domiio D, sottoisieme dei umeri reli, se esiste u legge f, di tur qulsisi, che fcci corrispodere u qulsisi del domiio uo e u solo vlore di y. 5. Si coviee che il domiio D di u fuzioe rele di vriile rele, se o specificto, proveg dll codizioe di esistez dell espressioe litic dell fuzioe: per questo è chimto che cmpo di esistez (C.E.) o isieme di esistez (I.E.) o isieme di defiizioe (I.D.). Il sottoisieme del domiio D i corrispodez del qule l fuzioe f ssume vlori positivi si dice isieme di positività (I.P.); il sottoisieme del domiio D i corrispodez del qule l fuzioe f ssume vlori egtivi si dice isieme di egtività (I.P.). Il codomiio C si dice che isieme di vriilità (I.V.). 6. Si chim isieme umerico u isieme i cui elemeti sio umeri. 7. Si dice che l isieme umerico A è limitto superiormete, se esiste u umero k mggiore di tutti gli elemeti dell isieme A. Se o esiste u tle umero k, l isieme A è illimitto superiormete. 8. Si dice che l isieme umerico A è limitto iferiormete, se esiste u umero k miore di tutti gli elemeti dell isieme A. Se o esiste u tle umero k, l isieme A è illimitto iferiormete. 9. Se l isieme A è limitto si superiormete che iferiormete, si dice semplicemete che è limitto.. Dto u isieme umerico A, o vuoto e limitto superiormete, si dice estremo superiore dell isieme quel umero L tle che: ) ogi elemeto dell isieme è miore o ugule L; ) comuque si scelg u umero ε >, esiste lmeo u elemeto dell isieme mggiore di L ε. Si può dimostrre che per u isieme o vuoto e limitto superiormete l estremo superiore esiste sempre ed è uico. Se u isieme A è illimitto superiormete si coviee di dire che il suo estremo superiore è.. Dto u isieme umerico A, o vuoto e limitto iferiormete, si dice estremo iferiore dell isieme quel umero l tle che: ) ogi elemeto dell isieme è mggiore o ugule l; ) comuque si scelg u umero ε >, esiste lmeo u elemeto dell isieme miore di l ε. Si può dimostrre che per u isieme o vuoto e limitto iferiormete l estremo iferiore esiste sempre ed è uico. Se u isieme A è illimitto iferiormete si coviee di dire che il suo estremo iferiore è.. Se l estremo superiore pprtiee ll isieme A, esso coicide co l elemeto mssimo, cioè co il mggiore di tutti gli elemeti dell isieme. Se l estremo iferiore pprtiee ll isieme A, esso coicide co l elemeto miimo, cioè co il miore di tutti gli elemeti dell isieme.

2 Poiché l isieme R dei umeri reli e l isieme X dei puti di u rett r possoo essere messi i corrispodez iuivoc, u isieme umerico può che essere deomito isieme liere di puti. 4. Si chim itoro completo di u umero rele c u qulsisi itervllo l qule pprteg c come elemeto itero; se o si specific diversmete l itoro si cosider perto; i simoli, I(c) (c δ, c δ ), co δ e δ umeri positivi; se δ δ δ l itoro I(c) è simmetrico rispetto c e si dice itoro circolre di rggio δ. Si chim itoro siistro del umero rele c l isieme di tutti i umeri di u itervllo perto vete c come estremo destro: I s(c) (c, c δ). Alogmete si defiisce l itoro destro del umero rele c: I d(c) (c δ, c). Si defiisce itoro di più ifiito u qulsisi itervllo illimitto del tipo I( ) (, ). Si defiisce itoro di meo ifiito u qulsisi itervllo illimitto del tipo I( ) (, d). Si defiisce come itoro di ifiito l uioe I( ) I( ) I( ) (, d) (, ). Se d k > si dice che l itoro di ifiito è simmetrico ed h rggio k. 5. U puto C di u isieme liere è isolto qudo esiste u itoro di C che o cotiee ltri puti dell isieme. U puto C è u puto limite o puto di ccumulzioe di u isieme liere se, i ogi itoro di C, esistoo ifiiti puti dell isieme. 6. Se u isieme liere limitto h l estremo superiore L (estremo iferiore l), tle estremo è che puto di ccumulzioe. U fuzioe f di domiio D si dice limitt i D se l isieme umerico C f(d) risult limitto. Si defiisce estremo superiore (o iferiore) dell fuzioe f l estremo superiore (o iferiore) del codomiio. Se l isieme umerico f(d) mmette che il mssimo e il miimo, questi vegoo detti mssimo e miimo ssoluti dell fuzioe i D. 7. Se il puto (, y) si spost cotiumete su u curv y f() i modo tle che lmeo u delle coordite del puto tede ll ifiito e che l distz di questo puto d u cert rett tede zero, quest rett si chim sitoto dell curv. Clssificzioe delle fuzioi. Fuzioi lgeriche: soo le fuzioi reli di vriile rele per cui il vlore y dell vriile dipedete si ottiee, prtire dl vlore dell vriile idipedete, eseguedo u umero fiito di operzioi di ddizioe, sottrzioe, moltipliczioe, divisioe elevmeto potez ed estrzioe di rdice -esim ( N ).. Se le operzioi d eseguire sull soo solo ddizioi, sottrzioi, moltipliczioi ed elevmeto potez co espoete itero positivo, si prl di fuzioi rzioli itere. Se si h che l operzioe di divisioe, di ho le fuzioi rzioli frtte. Se compioo estrzioi di rdice -esim si ho le fuzioi irrzioli. 3. Fuzioi trscedeti: soo le fuzioi reli di vriile rele che o soo lgeriche. Tr esse vi soo le fuzioi goiometriche e le loro iverse, le fuzioi espoezili e le fuzioi logritmiche. 4. Fuzioe pri: u fuzioe f di domiio D si dice pri se D, f(-) f(). 5. Fuzioe dispri: u fuzioe f di domiio D si dice dispri se D, f(-) -f(). 6. Fuzioe crescete: u fuzioe f si dice crescete i seso stretto o strettmete crescete el suo domiio D (o i suo sottoisieme) se, D, < f( ) < f( ). Si dice crescete i seso lto se, D, f( ) f( ). 7. Fuzioe decrescete: u fuzioe f si dice decrescete i seso stretto o strettmete decrescete el suo domiio D (o i suo sottoisieme) se, D, > f( ) > f( ). Si dice decrescete i seso lto se, D, f( ) f( ). 8. Fuzioe mootò: qudo u fuzioe è sempre crescete o sempre decrescete i seso stretto i u isieme D, si dice che ess è mootò i seso stretto i D. Alogmete si prl di fuzioe mootò i seso lto. 9. Fuzioe costte: u fuzioe f si dice costte i u isieme D se, D, f( ) f( ).

3 Fuzioe iiettiv (o iiezioe): u fuzioe f si dice iiettiv se, D, f( ) f( ) ossi, D, f( ) f( ).. Fuzioe suriettiv (o suriezioe): u fuzioe f d X Y si dice suriettiv se il suo codomiio coicide co Y.. Fuzioe iuivoc (o iiezioe): u fuzioe f si dice iuivoc se è iiettiv e suriettiv. 3. Fuzioe ivers: si chim fuzioe ivers di u fuzioe iuivoc f e l si idic co il simolo f - l corrispodez che d ogi elemeto del codomiio di f f corrispodere l su uic cotroimmgie. 4. Fuzioe compost o fuzioe di fuzioe: si z g() l espressioe di u fuzioe di domiio X e codomiio Z; si y f(z) l espressioe di u fuzioe di domiio Z e codomiio Y. Si chim fuzioe compost di f co g l fuzioe h tle che y h() f(z) f(g()). 5. Fuzioe periodic: u fuzioe f si dice periodic di periodo T se, per D, è f( kt) f() essedo k u itero positivo, egtivo o ullo e T il miimo umero positivo per cui si verific l ugugliz (T è il periodo priciple). Defiizioe di fuzioi prticolri. Prte iter di (y E() oppure y []) :l fuzioe defiit dll seguete legge: y se è itero; y l mssimo itero reltivo miore di, se o è itero.. Mtiss di : m() E(). 3. Fuzioe di Dirichlet: 4. y m q rett. f () per ogi rziole per ogi irrziole 5. y cy d ey f qudric: 4c < ellisse o circoferez 4c prol 4c < iperole 6. y α β y γ α 4 β γ > 4 circoferez. y 7. o y cos t set ellisse. 8. y c o sec ϕ r prol. y 9. o y ch t sh t iperole.. y e e sh seo iperolico.. e e y ch coseo iperolico (cteri).

4 y e e th tgete iperolic. e e 3. y e e cth cotgete iperolic. e e y versier di Agesi. y serpetio di Newto. y tridete di Newto y o y t t 3 prol di Neile. 8. y ± o y t t 3 prol semicuic. 9. y ± o y t t 3 t t cissoide di Diocle y 3y o y 3t t 3t t 3 3 folium di Crtesio.. y strofoide.. ( y ) ( y ) o r cos ϕ lemisct di Beroulli. 3. y ( t set ) ( cos t ) cicloide y o y cos se 3 3 t t ipocicloide (steroide). 5. ( cos ϕ ) r o y ( cos t cos t ) ( se t se t ) crdioide. 6. y ( cos t t set ) ( set t cos t ) evolvete del cerchio. 7. r ϕ (r ) spirle di Archimede.

5 - 5 - ϕ rctg y 8. r e o y e spirle logritmic. 9. r (r > ) spirle iperolic. ϕ 3. r se3ϕ (r ) ros tre foglie. 3. r se ϕ ros quttro foglie. Limiti delle fuzioi. Cosiderimo u fuzioe y f() defiit i tutti i puti di u itervllo [, ], eccetto l più u puto c itero ll itervllo.. I cso: si dice che, per tedete c, l fuzioe y f() h per limite l e si scrive lim f ( ) l se, fissto u umero positivo ε, ritrrimete piccolo, si può determire, i corrispodez di esso, u itoro completo di c tle che, per ogi di tle itoro (escluso l più c), si i f() l < ε. Si dice che, per tedete c dll siistr, l fuzioe y f() tede l per difetto, e si scrive lim f ( ) l se, fissto u umero positivo ε, ritrrimete piccolo, si può determire, i c corrispodez di esso, u itoro siistro di c tle che, per ogi di tle itoro, si i l f() < ε. Alogmete si defiiscoo il limite destro e per eccesso. Se lim f ( ) lim f ( ) o esiste il lim f ( ) c c c c. 3. II cso: si dice che, per tedete ll ifiito, l fuzioe y f() h per limite l e si scrive lim f ( ) l se, fissto u umero positivo ε, ritrrimete piccolo, si può determire, i corrispodez di esso, u itoro di ifiito tle che, per ogi di tle itoro, si i f() l < ε. Si dice llor che l rett di equzioe y l è sitoto orizzotle per l curv di equzioe y f(). Si dice che, per tedete, l fuzioe y f() tede l per difetto e si scrive lim f ( ) l se, fissto u umero positivo ε, ritrrimete piccolo, si può determire, i corrispodez di esso, u itoro di tle che, per ogi di tle itoro, si i l f() < ε. Alogmete si defiiscoo il limite per tedete e per eccesso. 4. III cso: si dice che, per tedete c, l fuzioe y f() h per limite ifiito e si scrive lim f ( ) se, fissto u umero positivo M, ritrrimete grde, si può determire, i corrispodez di esso, u itoro completo di c tle che, per ogi di tle itoro (escluso l più c), si i f() > M. Si dice llor che l rett di equzioe c è sitoto verticle per l curv di equzioe y f(). Si dice che, per tedete c dll siistr, l fuzioe y f() tede e si scrive c lim f ( ) se, fissto u umero positivo M, ritrrimete grde, si può determire, i corrispodez di esso, u itoro destro di c tle che, per ogi di tle itoro, si i f() < M. Alogmete si defiiscoo il limite destro e. 5. IV cso: si dice che, per tedete ll ifiito, l fuzioe y f() h per limite ifiito e si scrive lim f ( ) se, fissto u umero positivo M, ritrrimete grde, si può determire, i corrispodez di esso, u itoro di ifiito tle che per ogi di tle itoro si i f() > M. Si dice che, per tedete, l fuzioe y f() tede e si scrive lim f ( ) se, fissto u umero positivo M, ritrrimete grde, si può determire, i corrispodez di esso, u itoro c

6 - 6 - tle che, per ogi di tle itoro, si i f() > M. Alogmete si defiiscoo il limite e per tedete. f ( ) 6. Se i limiti lim m e lim [ f ( ) m] q esistoo, l rett y m q è u sitoto destro dell curv di fuzioe f(). Se m l sitoto è oliquo. f ( ) 7. Se i limiti lim m e lim [ f ( ) m] q esistoo, l rett y m q è u sitoto siistro dell curv di fuzioe f(). Se m l sitoto è oliquo. Teoremi sui limiti. Se u fuzioe f() mmette il limite fiito l, l fuzioe f() mmette il limite l.. Se l fuzioe f() h per limite l, l fuzioe f() A h per limite l A. 3. Teorem dell uicità del limite. Se, per c, l fuzioe f() mmette u limite, questo è uico. 4. Teorem dell permez del sego. Se per c l fuzioe f() tede l limite fiito l diverso d zero, esiste u itoro di c per tutti i puti del qule, escluso l più c, i vlori dell fuzioe ho lo stesso sego del limite. 5. Se i u itoro del puto c, escluso l più c, l fuzioe f() è positiv o ull ed mmette limite l per c, llor è l. 6. Se i u itoro del puto c, escluso l più c, l fuzioe f() è egtiv o ull ed mmette limite l per c, llor è l. 7. Primo teorem del cofroto. Se due fuzioi g() e h() tedoo llo stesso limite l per c ed u terz fuzioe f() è tle che, i u certo itoro I di c, escluso l più c, si i g() f() h(), llor è che lim f ( ) l. c 8. Secodo teorem del cofroto. Se due fuzioi f() e g() soo tli che f() g() per tutti gli di u itoro di c (escluso l più c) e se g() per c, llor che f() per c. 9. Terzo teorem del cofroto. Se f() e g() soo due fuzioi che i u itoro di c (escluso l più c) soddisfo l codizioe f() g() e se ioltre lim g( ) c, llor risult lim f ( ) c.. Teorem sul limite del modulo di u fuzioe. Se per c l fuzioe f() tede d u limite fiito l, llor lim f ( ) l, ossi il limite del modulo di u fuzioe è il modulo del limite. c. Il limite dell somm lgeric di più fuzioi è ugule ll somm lgeric dei limiti delle sigole fuzioi.. Il limite del prodotto di più fuzioi è ugule l prodotto dei limiti delle sigole fuzioi. Se uo dei fttori tede zero e gli ltri u limite fiito, il prodotto tede zero. 3. Il limite di u potez, co espoete positivo, di u fuzioe che tede u limite fiito è l potez -esim del limite. 4. Se, per c, f() tede l limite fiito l, diverso d zero, l fuzioe /f() tede, sempre per c, l limite /l. 5. Qudo l fuzioe f() tede zero, l fuzioe /f() tede ll ifiito.

7 Qudo l fuzioe f() tede ll ifiito, l fuzioe /f() tede zero. 7. Il limite di u quoziete di due fuzioi, l secod delle quli tede u limite diverso d zero, è ugule l quoziete dei limiti. 8. Se f() tede l limite l ed è l >, llor dispri. c lim f ( ) l co N. Se l, il teorem vle solo se è 9. Si y f() u fuzioe defiit e crescete i u itoro siistro I del puto c. Allor l fuzioe mmette limite per che tede c per difetto e precismete: ) se l fuzioe è limitt superiormete i I e se L è l estremo superiore dei vlori di f() l vrire di i I, llor risult lim f ( ) L ; ) se l fuzioe o è limitt superiormete i I, llor è itoro di. c lim f ( ). Il teorem vle che se I è u. Si y f() u fuzioe defiit e crescete i u itoro destro I del puto c. Allor l fuzioe mmette limite per che tede c per eccesso e precismete: ) se l fuzioe è limitt iferiormete i I e se l è l estremo iferiore dei vlori di f() l vrire di i I, llor risult lim f ( ) l ; ) se l fuzioe o è limitt iferiormete i I, llor è di -. c c lim f ( ). Il teorem vle che se I è u itoro c. Vlgoo i teoremi corrispodeti per le fuzioi decresceti. Limiti otevoli. lim k k c. lim c c 3. lim ( ) k 4. lim co k k 5. lim co k lim per < < lim per > 8. lim log 9. lim log per < < per >. lim per >. lim per < <

8 lim log per > 3. lim log per < < 4. lim m m m m lim m 5. lim cos se 6. lim 7. cos lim 8. lim e, Ifiitesimi e ifiiti. U fuzioe y f() si dice ifiitesim per c (evetulmete può essere che c ) se lim f ( ) c.. Sio y f() e y g() due ifiitesimi simultei per c. Allor: f ( ) ) Se lim, si dice che f() è u ifiitesimo di ordie superiore g(), per c. c g( ) f ( ) ) Se lim c g ( ), si dice che f() è u ifiitesimo di ordie iferiore g(), per c. f ( ) c) Se lim l, si dice che f() e g() soo ifiitesimi dello stesso ordie, per c. c g( ) d) Se o esiste il f ( ) lim, si dice che gli ifiitesimi f() e g() o soo cofrotili. c g ( ) 3. Sio f() e ϕ() due ifiitesimi simultei per c (c fiito o ifiito). Si dice che f() è u ifiitesimo di ordie α (α > ) rispetto ϕ(), ssuto come ifiitesimo cmpioe, se lim l f ( ) c α. I [ ϕ ( ) ] prtic si coviee che, se o si dice ull, l ifiitesimo cmpioe si ϕ() se, ϕ() c se c, ϕ() / se. 4. Se lim f ( ) l si può scrivere f() l δ(), dove δ() f() l è u ifiitesimo per c. c 5. Se f() è u ifiitesimo di ordie α (α > ) per c, rispetto ll ifiitesimo cmpioe ϕ(), si h f ( ) lim l c α e si può scrivere f() l[ϕ()] α δ()[ϕ()] α, dove l[ϕ()] α, che è u ifiitesimo dello ϕ ( ) [ ]

9 - 9 - stesso ordie α di f(), si dice prte priciple dell ifiitesimo f(), metre δ()[ϕ()] α, che è u ifiitesimo di ordie superiore d α, si dice prte complemetre dell ifiitesimo f(). 6. U fuzioe y f() si dice ifiit per c (evetulmete può essere che c ) se lim f ( ). 7. Sio y f() e y g() due ifiiti simultei per c. Allor: c f ( ) ) Se lim c g ( ), si dice che f() è u ifiito di ordie superiore g(), per c. ) f ( ) Se lim, si dice che f() è u ifiito di ordie iferiore g(), per c. c g( ) c) f ( ) Se lim l, si dice che f() e g() soo ifiiti dello stesso ordie, per c. c g( ) d) Se o esiste il f ( ) lim, si dive che gli ifiiti f() e g() o soo cofrotili. c g ( ) 8. Sio f() e ϕ() due ifiiti simultei per c (c fiito o ifiito). Si dice che f() è u ifiito di ordie α (α > ) rispetto ϕ(), ssuto come ifiito cmpioe, se lim l f ( ) c α. I prtic si [ ϕ ( ) ] coviee che, se o si dice ull, l ifiito cmpioe si ϕ() se, ϕ() / se, ϕ() / ( c) se c. 9. Se f() è u ifiito di ordie α (α > ) per c, rispetto ll ifiito cmpioe ϕ(), si h f ( ) lim l c α e si può scrivere f() l[ϕ()] [ ϕ ( ) ] α δ()[ϕ()] α, dove l[ϕ()] α, che è u ifiito dello stesso ordie α di f(), si dice prte priciple dell ifiito f(), metre δ()[ϕ()] α, che è u ifiito di ordie superiore d α, si dice prte complemetre dell ifiito f(). Fuzioi cotiue. U fuzioe y f() si dice cotiu i u puto c qudo: ) esiste il vlore dell fuzioe per c, f() l; ) esiste il limite fiito dell fuzioe per tedete c; c) e questo limite è ugule l vlore dell fuzioe i quel puto: lim f ( ) l.. Qudo lim f ( ) l si dice che f() è cotiu i c dll siistr. Se ivece lim f ( ) l si dice che c f() è cotiu i c dll destr. 3. L somm, l differez, il prodotto di più fuzioi cotiue i u puto c soo fuzioi cotiue i c. U potez quluque d espoete positivo di u fuzioe cotiu è cor u fuzioe cotiu. Il quoziete di due fuzioi cotiue i c è u fuzioe cotiu ello stesso puto, purché l fuzioe divisore o si ulli i c. Il vlore ssoluto di u fuzioe cotiu è u fuzioe cotiu. 4. U fuzioe y f() si dice cotiu i u itervllo I se è cotiu i tutti i puti di quell itervllo: lim f ( h) f ( ) h, I. c c

10 Se y f() è u fuzioe cotiu i u itervllo chiuso e limitto [; ], si h che: ) Il codomiio è u itervllo chiuso e limitto. ) L fuzioe mmette mssimo e miimo ssoluto i [; ] (teorem di Weierstrss). c) L fuzioe ssume, lmeo u volt, ogi vlore compreso tr il miimo e il mssimo (Teorem di Bolzo). d) Se l fuzioe ssume vlori di sego opposto gli estremi dell itervllo [; ], llor esiste lmeo u puto c, itero ll itervllo [; ], i cui l fuzioe si ull (Teorem dell esistez degli zeri). 6. L fuzioe costte è cotiu per qulsisi vlore di. 7. L vriile idipedete è sempre cotiu. 8. Le fuzioi rzioli itere soo cotiue per qulsisi vlore di. 9. Le fuzioi rzioli frtte soo cotiue per qulsisi del loro domiio.. L fuzioe y ( itero positivo) è cotiu per ogi el suo domiio, cioè per quluque se è dispri, e per se è pri.. Le fuzioi se e cos soo cotiue per ogi.. Le fuzioi tg e cotg soo cotiue per ogi del loro domiio. 3. L fuzioe espoezile y ( > ) è cotiu per ogi. 4. L fuzioe log è cotiu per ogi positivo. 5. Se y f() è u fuzioe cotiu i u isieme D ed ivi ivertiile, llor l fuzioe ivers g() è cotiu i f(d). 6. Si dt l fuzioe compost y f[g()]; se z g() tede u limite fiito l per c e se f(z) è cotiu per z l, llor lim f ( g( )) f lim g( ) f ( l ). Se poi g() è che cotiu per c, si ottiee c c lim f ( g( )) c f lim g( ) c f ( g( c)) ; quidi l fuzioe f(g(c)) è cotiu i c. 7. Cosiderimo l fuzioe y [f()] g() defiit per i vlori di per cui l se è positiv e l espoete esiste; se f e g soo fuzioi cotiue tli d verificre il teorem sull cotiuità delle fuzioi composte, che l fuzioe y [f()] g() è cotiu el suo domiio. Discotiuità delle fuzioi. Qudo u fuzioe f() o è cotiu i u puto c, si dice che i tle puto è discotiu e che c è u puto di discotiuità (o che puto sigolre) per l fuzioe.. I puti di discotiuità si dividoo i: ) puti di discotiuità di prim specie: si dice che per c l fuzioe f() h u puto di discotiuità di prim specie qudo esistoo e soo fiiti e diversi tr loro i limiti dll destr e dll siistr dell fuzioe, prescidere dll evetule vlore dell f() per c;

11 - - si chim slto dell fuzioe i c il vlore ssoluto dell differez tr il limite destro e il limite siistro: slto lim f ( ) lim f ( ) ; c c ) puti di discotiuità di secod specie: si dice che per c l fuzioe f() h u puto di discotiuità di secod specie qudo o esiste, o o esiste fiito, uo lmeo dei due limiti dll destr e dll siistr dell fuzioe; c) puti di discotiuità di terz specie: si dice che per c l fuzioe f() h u puto di discotiuità di terz specie o elimiile qudo esiste fiito il limite per c di f(), m f(c) o o esiste o è divers dl vlore del limite. Successioi umeriche. Si chim successioe umeric u fuzioe defiit ell isieme N dei umeri turli o i u suo sottoisieme ifiito, che d ogi umero turle dell isieme di defiizioe f corrispodere uo ed u solo umero rele.. I vlori dell fuzioe l vrire di ell isieme di defiizioe soo detti gli elemeti dell successioe e vegoo idicti co u letter muit di idice:,,,,, che si legge co, co,, co. Qudo esiste l espressioe litic dell successioe, llor si può esprimere il geerico elemeto (termie geerle dell successioe) i fuzioe di. 3. U successioe si dice strettmete) crescete se, presi comuque due idici i e k pprteeti ll isieme di defiizioe dell successioe, si h i < k i < k. Alogmete si pogoo le defiizioi di successioe crescete i seso lto, di successioe decrescete si strettmete che i seso lto, e di successioe costte. 4. U successioe si dice limitt superiormete qudo esiste u umero rele k tle che < k per ogi per cui è defiit l successioe. Alogmete si prlerà di successioe limitt iferiormete e di successioe limittt. 5. Si dice che L è l estremo superiore di u successioe,,,, qudo: ) < L, ; ) comuque si scelg u umero ε >, ritrrimete piccolo, esiste lmeo u elemeto dell successioe tle che > L ε. Alogmete si defiisce l estremo iferiore di u successioe. Se l estremo superiore o iferiore dell successioe coicidoo co u elemeto dell successioe, soo llor il mssimo o il miimo dell successioe. 6. Si dice che l successioe,,,, h per limite l, l tedere di più ifiito, qudo, prefissto u umero ε >, ritrrimete piccolo, è possiile trovre, i corrispodez d esso, u umero e tle che, per ogi umero turle > e, si verifict l relzioe l < ε. I tl cso l successioe si dice covergete e si scrive lim l. Alogmete quto ftto el cso delle fuzioi di vriile rele, si defiiscoo lim l e lim l. 7. Si dice che l successioe,,,, h per limite ifiito, l tedere di più ifiito, qudo, prefissto u umero M >, ritrrimete grde, è possiile trovre, i corrispodez d esso, u umero M tle che, per ogi umero turle > M, si verifict l relzioe > M. I tl cso l successioe si dice divergete e si scrive lim. Se > M si verific > M scriveremo lim (l successioe diverge positivmete); metre se > M si verific < M scriveremo lim (l successioe diverge egtivmete).

12 Le successioi covergeti o divergeti si dicoo regolri, metre quelle che o mmettoo limite si dicoo idetermite o oscillti. 9. Teorem di uicità del limite: se per u successioe mmette limite, questo è uico.. Teorem dell permez del sego: se per u successioe tede l limite fiito l, diverso d zero, llor esiste u idice tle che, >, h lo stesso sego del limite.. Se esiste u idice tle che, >, i termii di u successioe soo positivi (egtivi) o ulli e l successioe mmette limtie l per, llor è l (l ).. Teorem del cofroto: si cosiderio tre successioi i cui termii geerli sio,, c. Se, per, è lim l lim c l e se esiste u idice tle che, >, si h c, llor è che lim l. 3. U successioe limitt e mooto è covergete. 4. U successioe mooto crescete e illimitt superiormete diverge positivmete; u successioe mooto decrescete e illimitt iferiormete diverge egtivmete. 5. Si cosideri u successioe di elemeti,,,,,, e u fuzioe f() defiit per, tle che, per, si f(). Se l fuzioe mmette limite per, llor che l successioe mmette limite e risult lim lim f ( ). Derivt di u fuzioe. Si y f() u fuzioe dell vriile defiit ell itervllo [, ]; fissto u prticolre puto di questo itervllo, dimo d u icremeto ritrrio h, positivo o egtivo, i modo che h [, ]; l differez f( h) f() rppreset l icremeto, positivo, egtivo o ullo, che suisce l fuzioe qudo pss dl vlore l vlore h. ( h) f ( ) f. Il rpporto fr l icremeto dell fuzioe e quello corrispodete dell vriile h idipedete si chim rpporto icremetle dell f() reltivo l puto e ll icremeto h. 3. Il limite, se esiste, del rpporto icremetle, l tedere zero dell icremeto dto ll vriile idipedete, si chim derivt dell fuzioe f() el puto cosiderto, e si deot co u o l ltr di queste scritture: y, f (), D y, Dy, Df(): f lim ( h) f ( ) h h y lim f ( ) 4. Qudo l derivt dell f(), el puto, esiste ed è fiit, si dice che l fuzioe è derivile i quel puto. 5. Se l fuzioe f() è derivile i tutti i puti dell itervllo [, ], si dice che è derivile i tutto l itervllo. I questo cso l derivt, essedo defiit i tutto l itervllo [, ], è u uov fuzioe dell vriile, dett fuzioe derivt. 6. Le espressioi f ( ) f ( h) f ( ) lim e f ( ) ( h) f ( ) f lim si chimo rispettivmete h h h h derivt siistr e derivt destr dell fuzioe f() el puto. Perché f () esist è ecessrio e sufficiete che f - () f (). 7. Ogi fuzioe, che mmett derivt fiit i u puto, è cotiu i tle puto.

13 L derivt di u fuzioe f() i u puto rppreset il coefficiete golre dell rett tgete i quel puto ll curv di equzioe y f(). 9. Equzioe dell tgete i u puto l grfico di u fuzioe: y f( ) f ( )( ). Equzioe dell ormle i u puto l grfico di u fuzioe: f ( )(y f( )). Agolo tr due curve: t ω f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). Se l derivt di u fuzioe cotiu i u puto mc perché le derivte destr e siistr i quel puto esistoo fiite m soo diverse tr loro, si dice che il puto è u puto goloso per l fuzioe dt. 3. Si dice derivt logritmic di u fuzioe y f() l derivt del logritmo di quest fuzioe, cioè ( ) y f ( ) lf ( ) y f ( ) 4. Si chim derivt del secodo ordie o derivt secod dell fuzioe y f() l derivt dell su derivt, cioè y (y ). L derivt secod si idic co i simoli y, o d y, o f (). d 5. Si chim derivt di ordie eesimo dell fuzioe y f() l derivt dell su derivt di ordie ( ). L derivt di ordie eesimo si idic co i simoli y (), o d y, o f () (). d Regole di clcolo delle derivte Se c è u costte e f() e g() soo fuzioi che possiedoo derivte, llor. (f ± g) f ± g. (cf) cf 3. Quidi, l derivt di u comizioe liere di fuzioi è l comizioe liere delle derivte delle fuzioi: l derivt è u opertore liere. 4. (fg) f g g f 5. f f g g f g g (g ) 6. c cg g g (g ) 7. Regol di derivzioe delle fuzioi composte: se y f(z) e z g(), cioè y f[g()] dove le fuzioi f(z) e g() soo derivili, llor y f (z)g (). Quest regol è vlid per u umero fiito di vriili itermedie veti ciscu u derivt. 8. Regol di derivzioe di u fuzioe ivers: se l fuzioe y f() h u derivt y, llor l d derivt dell fuzioe ivers f - (y) è il reciproco dell fuzioe dt: y o dy y dy. d

14 Derivt di u fuzioe dt i form prmetric: se l dipedez tr l fuzioe y e l vriile dy idipedete è dt d u prmetro t: ϕ ( t) y t dy, llor y o dt. y ψ ( t) t d d dt. Derivt di u fuzioe implicit: se l dipedez tr ed y è dt d u espressioe implicit F(,y), llor per clcolre l derivt y è sufficiete: ) clcolre l derivt rispetto del primo memro, cosiderdo y come fuzioe di ; ) uguglire quest derivt; c) risolvere rispetto y l equzioe così trovt.. Se le fuzioi u ϕ() e v ψ() posseggoo derivte sio quello di ordie eesimo icluso, llor si può clcolre l derivt di ordie eesimo del prodotto di queste due fuzioi medite l formul di ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Leiiz: ( uv ) u v u v u v uv. Derivte di ordie superiore delle fuzioi dte i form prmetric: se l dipedez tr l fuzioe y e l vriile idipedete è dt d u prmetro t: ϕ ( t), llor le derivte di ordie y ψ ( t) y t superiore si possoo succesivmete clcolremedite le formule y, ( ) ( y ) t y t y, t ( y ) t y, ecc. t Derivte delle fuzioi pricipli. ( ) -. ( ) 3. (se ) cos 4. (cos ) - se ( > ) 5. ( t ) t cos 6. ( ) cot ( cot ) 7. ( rcse ) se rccos 8. ( ) rctg 9. ( ) rc cot. ( ) ( < ) ( < ). ( ) l. (e ) e l 3. ( ) 4. ( ) ( > ) log e log l 5. (sh ) ch 6. (ch ) sh th 7. ( ) 8. ( cth ) 9. ( rsh ). ( rch ) ch sh ( > ) ( >, > )

15 - 5 - rth. ( ). ( rcth ) ( < ) ( > ) 3. g( ) ([ f ( ) ] ) [ f ( ) ] g( ) f ( ) g ( )lf ( ) g( ) f ( ) Differezili. Si dice differezile (del primo ordie) dy dell fuzioe y f() l prte priciple del suo icremeto, liere rispetto ll icremeto d dell vriile idipedete.. Il differezile di u fuzioe è ugule ll su derivt per il differezile dell vriile idipedete: dy y d. 3. Se l icremeto dell vriile idipedete è piccolo i vlore ssoluto, llor il differezile dy e l icremeto y dell fuzioe y f() soo pprossimtivmete uguli: y dy, cioè f( ) f() f (), per cui f( ) f() f (). Il differezile di u fuzioe differisce dll icremeto dell fuzioe per u qutità ifiitesim di ordie superiore ll icremeto dell vriile. 4. Si defiisce il differezile del secodo ordie come il differezile del differezile del primo ordie: d y d(dy). Si defiiscoo logmete i differezili di ordie successivo. 5. Se y f() e è l vriile idipedete, llor d y y (d), d 3 y y (3) (d) 3,, d y y () (d), ecc. 6. Se y f(u) e u ϕ(), llor d y y (du) y d u, d 3 y y (3) (du) 3 3y du d u y d 3 u, ecc., dove gli pici idico le derivzioi rispetto u. 7. Il differezile di u rco di curv s di u curv pi dt d u equzioe i coordite crtesie e y si esprime medite l formul ( ) ( ) ds d dy ; se l equzioe dell curv è del tipo: dy ) y f(), llor ds d per d > ; d d ) f (y), llor ds dy per dy > ; dy d dy c) ϕ(t), y ψ(t), llor ds dt per dt > ; dt dt F Fy F Fy c) F(, y), llor ds d dy F F y 8. Idicdo co α l golo formto dll tgete (dirett el seso di crescit dell rco di curv s) e dll d dy direzioe positiv dell sse, si trov: cos α, se α. ds ds 9. Si chim curvtur K i u puto M di u curv il limite del rpporto tr l golo formto dlle direzioi positive delle tgeti ll curv ei puti M e N (golo di cotigez) e l lughezz dell rco MN α dα s qudo N M, cioè K lim dove α è l golo formto dll tgete l puto M (dirett el seso di crescit dell rco di curv s) e dll direzioe positiv dell sse s s ds.

16 Si chim rggio di curvtur R l iverso del vlore ssoluto dell curvtur, cioè R. K. Se l curv è dt d u equzioe esplicit y f(), K y 3 ( y ). Se l curv è dt d u equzioe implicit F(, y), K F F F y 3 ( F F ) F F F y yy y y F F y 3. Se l curv è dt dlle equzioi prmetriche ϕ(t), y ψ(t), dy y, dt d, dt y d dt y K y y 3 ( y ) dove d, dt 4. Se l curv è dt i coordite polri d u equzioe r f(ϕ), r d dϕ r K r r rr dove 3 ( r r ) dr r, dϕ 5. Si chim cerchio di curvtur (o cerchio d osculzioe) el puto M di u curv l posizioe limite del cerchio psste per il puto M e per ltri due puti P e Q dell curv, qudo P M e Q M. Il rggio del cerchio di curvtur è ugule l rggio di curvtur. y ( y ) 6. Le coordite X e Y del cetro di curvtur di u curv soo dte d X Y y y y. 7. Il luogo geometrico dei cetri di curvtur di u curv si chim evolut dell curv. 8. Si chim evolvete di u curv u curv l cui evolut è l curv dt. 9. Si chim vertice di u curv u puto dell curv el qule l curvtur è mssim o miim. y e Teoremi sulle fuzioi derivili. Teorem di Rolle: si y f() u fuzioe cotiu ell itervllo chiuso [, ] e derivile i (, ); se ess ssume gli estremi e dell itervllo vlori uguli, se cioè si h f() f(), llor esiste lmeo u puto c itero ll itervllo (, ) el qule l derivt dell fuzioe è ull.. Teorem di Cuchy (o teorem degli ccrescimeti fiiti): sio dte due fuzioi y f() e y g() etrme cotiue ell itervllo [, ] e derivili i (, ); ioltre l fuzioe g() mmette derivt divers d zero i tutti i puti dell itervllo (, ); esiste llor lmeo u puto c itero ll itervllo (, ) el f ( ) f ( ) f ( c) qule si verific che. g( ) g( ) g ( c)

17 Teorem di Lgrge: si y f() u fuzioe cotiu ell itervllo chiuso [, ] e derivile i (, f ( ) f ( ) ); esiste lmeo u puto c itero ll itervllo (, ) el qule si verific che f ( c). 4. Se u fuzioe cotiu h derivt ull i tutti i puti di u itervllo I, ess è costte i quell itervllo. 5. Se due fuzioi cotiue f() e g() ho derivte uguli i tutti i puti di u itervllo, esse differiscoo per u costte. 6. Si y f() u fuzioe cotiu i u itervllo I e derivile ei puti iteri di I. Se l derivt dell fuzioe è sempre positiv, llor l fuzioe è crescete i I. Se l derivt è sempre egtiv, l fuzioe è decrescete i I. 7. Si y f() u fuzioe cotiu i u itervllo I e derivile ei puti iteri di I. Se f() è crescete i seso stretto i I, llor, ei puti iteri di I, si h f (). Se ivece f() è decrescete, si h f (). 8. U fuzioe f() si dice crescete el puto c se esiste u itoro siistro I di c per tutti gli del qule è f() < f(c) ed esiste u itoro destro I di c per tutti gli del qule è f() > f(c). Si y f() u fuzioe derivile ei puti iteri di u itervllo I e l fuzioe derivt prim, f (), si cotiu el puto c itero I. Se f (c) > llor l fuzioe è crescete i c; se è f (c) < l fuzioe è decrescete i c; se è f (c) llor l fuzioe può essere crescete, decrescete, oppure é crescete é decrescete i c. 9. Teorem di De L Hôpitl: sio f() e g() due fuzioi defiite e derivili i tutti i puti di u itervllo f ( ) [, ], eccettuto l più u puto [, ]. Suppoimo che il limite del loro rpporto, lim, si g( ) preseti ell form ell form idetermit, ossi lim f ( ) lim g( ), e che ell itervllo f ( ) i esme risulti sempre g (). I tle ipotesi, se esiste il limite del rpporto delle derivte lim, g ( ) f ( ) f ( ) llor esiste che il limite del rpporto delle fuzioi e risult lim lim. g( ) g ( ). Il teorem di De L Hôpitl si pplic che ll form idetermit -. e vle che per e per. Per elimire u idetermizioe del tipo il prodotto f () f (), dove si trsform el quoziete f( ) f ( ) f( ) (del tipo ) oppure (del tipo ). f ( ) lim f ( ) e lim f ( ),. Per elimire u idetermizioe del tipo è ecessrio trsformre l differez f () f () el f( ) f ( ) f( ) prodotto f ( ) ed elimire zitutto l idetermizioe per ; se lim, llor f( ) f( ) f( ) f ( ) f( ) l espressioe cosidert si mette sotto l form (del tipo ). f ( )

18 Le idetermizioi dei tipi,, si possoo elimire prededo izitutto il logritmo e f( ) clcoldo il limite del logritmo di [ ] del tipo. f ( ). I questo cso isogerà elimire u idetermizioe Estremi di u fuzioe. Si y f() u fuzioe defiit i u itervllo I. Si dice che u puto c di tle itervllo è u puto di mssimo (miimo) reltivo per l fuzioe f() se esiste u itoro di c, coteuto i I, per tutti i puti del qule si i f() f(c) (f() f(c)). Si dice che f(c) è il mssimo (miimo) reltivo dell fuzioe.. Se c è u puto di mssimo o di miimo reltivo si dice che che c è u puto estremte per l fuzioe; il corrispodete vlore f(c) è detto estremo reltivo. 3. Si c u puto di mssimo reltivo per l fuzioe f(); se esiste u itoro di c per tutti i puti del qule, escluso c, si i f() < f(c), llor si dice che c è u puto di mssimo reltivo forte (o proprio) e che f(c) è u mssimo reltivo forte. I cso cotrrio si dice che c è u puto di mssimo reltivo deole (o improprio) e che f(c) è u mssimo reltivo deole. I modo logo si defiiscoo il puto di miimo reltivo forte e quello deole. 4. Si c u puto itero ll itervllo I i cui è defiit l fuzioe f(). Suppoimo che f() si crescete (decrescete) i u itoro siistro di c e decrescete (crescete) i u itoro destro di c; llor c è u mssimo (miimo) reltivo forte per l fuzioe. 5. Si dice che il grfico di u fuzioe derivile y f() è cocvo verso il sso (cocvo verso l lto) ell itervllo (, ) se per qulsisi per cui < < l rco di curv del grfico è situto l di sotto (l di sopr) dell tgete l grfico trccit per il puto. 6. Per dire che u curv è cocv verso il sso (o verso l lto) si può dire che che è covess verso l lto (o verso il sso). 7. U puto (, f( )) el qule l cocvità del grfico di u fuzioe y f() pss d positiv egtiv o iversmete si chim puto di flesso dell fuzioe. 8. I u puto di flesso (, f( )) del grfico di u fuzioe esiste u itoro ( δ, δ) tle che i corrispodez i due itori ( δ, ) e (, δ) il digrmm dell fuzioe st d prti opposte rispetto ll rett tgete el puto (, f( )). L rett tgete è dett tgete iflessiole. 9. Si (, f( )) u puto di flesso di u fuzioe f() e si t() l tgete iflessiole. Si dice che (, f( )) è u flesso scedete se f() t() per δ < < e f() t() per < < δ. Si dice che (, f( )) è u flesso discedete se f() t() per δ < < e f() t() per < < δ.. Qudo l tgete iflessiole è l sse o u su prllel si dice che il flesso è tgete orizzotle. Qudo l tgete iflessiole è l sse y o u su prllel si dice che il flesso è tgete verticle.. Si y f() u fuzioe defiit i u itervllo I e derivile ei puti iteri di I. Se el puto c, itero I, l fuzioe h mssimo o miimo reltivo, llor risult f (c).. Si dice puto stziorio u puto c i cui l derivt dell fuzioe y f() è ull. U puto stziorio è u puto tgete orizzotle. 3. Primo criterio per l determizioe degli estremi reltivi di u fuzioe derivile co il metodo dello studio del sego dell derivt prim. Si y f() u fuzioe derivile i u itoro I (c δ; c δ) del puto stziorio c. Se risult f () > per c δ < < c e f () < per c < < c δ, llor c è u puto di mssimo reltivo (forte). Se risult f () < per c δ < < c e f () > per c < < c δ, llor c è u puto di miimo reltivo (forte).

19 Primo criterio per l determizioe dei puti di flesso tgete orizzotle co il metodo dello studio del sego dell derivt prim. Si y f() u fuzioe derivile i u itoro I (c δ; c δ) del puto stziorio c. Se risult f () > per c δ < < c e per c < < c δ, llor c è u puto di flesso scedete tgete orizzotle. Se risult f () < per c δ < < c e per c < < c δ, llor c è u puto di flesso discedete tgete orizzotle. 5. Secodo criterio per l determizioe degli estremi reltivi di u fuzioe derivile co il metodo dell derivt secod. Si y f() u fuzioe derivile due volte, co derivt secod cotiu, ei puti iteri di u itervllo I. Se el puto c, itero I, risult f (c) e f () < llor c è u puto di mssimo reltivo. Se el puto c, itero I, risult f (c) e f () > llor c è u puto di miimo reltivo. 6. Secodo criterio per l determizioe dei puti di flesso tgete orizzotle co il metodo dell derivt terz. Si y f() u fuzioe derivile tre volte, co derivt terz cotiu, ei puti iteri di u itervllo I. Se el puto c, itero I, risult f (c) f (c) e f (3) (c) llor c è u puto di flesso tgete orizzotle, scedete se f (3) (c) >, discedete se f (3) (c) <. 7. Metodo delle derivte successive per l determizioe di puti stziori di u fuzioe. Si y f() u fuzioe derivile volte, co derivt -esim cotiu, ei puti iteri di u itervllo I. Nel puto c, itero d I, si i f (c) f (c) f (3) (c) f (-) (c) e f () (c). Se è pri llor c è u puto estremte e precismete u puto di miimo se f () (c) > e di mssimo se f () (c) <. Se è dispri llor c è u puto di flesso tgete orizzotle e precismete u puto di flesso scedete se f () (c) > e discedete se f () (c) <. 8. Per l ricerc del mssimo ssoluto di u fuzioe f() cotiu i u itervllo chiuso e limitto [; ] occorre cofrotre il mssimo tr i mssimi reltivi dell fuzioe co i vlori f() e f(). Alogmete si oper per trovre il miimo ssoluto. Nel cso i cui l fuzioe o si derivile i qulche puto dell itervllo, occorre cofrotre il mggiore dei mssimi e il miore dei miimi che co tli puti. 9. Si dt u fuzioe y f() due volte derivile ei puti iteri di u itervllo I e si c u puto itero di I. Se è f (c) > llor l curv di equzioe y f() è, el puto di sciss, cocv verso l lto; se è f (c) < llor l curv di equzioe y f() è, el puto di sciss, cocv verso il sso.. Primo criterio per l determizioe dei puti di flesso di u fuzioe co il metodo dello studio del sego dell derivt secod. Si y f() u fuzioe tle che: ) f() si due volte derivile si i u itoro siistro I s I, si i u itoro destro I d I, di u puto c itero I; ) f () ssum ell itoro siistro I s vlori di sego opposto quelli che ssume ell itoro destro I d; i c esist l derivt prim f (), fiit o ifiit; llor il puto c è u puto di flesso per l fuzioe f(). Se f (c) il flesso è tgete oliqu; se f (c) il flesso è tgete orizzotle; se l derivt i c è ifiit il flesso è tgete verticle.. Secodo criterio per l determizioe dei puti di flesso di u fuzioe co il metodo dell derivt terz. Si y f() u fuzioe derivile tre volte, co derivt terz cotiu, ei puti iteri di u itervllo I. Se el puto c, itero I, risult f (c) e f (3) (c) llor l fuzioe h, i c, u puto di flesso, scedete se f (3) (c) >, discedete se f (3) (c) <.. Metodo delle derivte successive per l determizioe dei puti di flesso di u fuzioe. Si y f() u fuzioe derivile volte, co derivt -esim cotiu, ei puti iteri di u itervllo I. Nel puto c, itero d I, si i f (c) f (3) (c) f (-) (c) e f () (c). Se è dispri llor c è u puto di flesso e precismete il flesso è scedete se f () (c) > e discedete se f () (c) <. Se è pri llor i c l curv di equzioe y f() è cocv verso l lto se f () (c) > e cocv verso il sso se f () (c) <. Studio di u fuzioe. Si determi il domiio D dell fuzioe dopo verl clssifict (lgeric o trscedete o, i prticolre, rziole iter o frtt, irrziole, logritmic, espoezile, goiometric).

20 - -. Si determio evetuli simmetrie e periodicità; se l fuzioe è dispri sterà studirl per e se è periodic di periodo T sterà studirl i u itervllo di mpiezz T. 3. Si determio evetuli puti di itersezioe del grfico co gli ssi coorditi. 4. Si studi il sego dell fuzioe risolvedo l disequzioe f() > e determido l isieme di positività (I.P.) e di egtività (I.N.) dell fuzioe. 5. Si clcolo i limiti dell fuzioe egli estremi fiiti, se esistoo, del domiio e si deducoo gli evetuli sitoti verticli; se D è illimitto, si clcolo i limiti ll ifiito, determido se vi soo sitoti orizzotli o oliqui, e le evetuli itersezioi di questi co il grfico. 6. Si clcol l derivt prim f () determidoe il domiio D. 7. Si risolve l equzioe f () determido le evetuli scisse dei puti i cui l tgete l grfico è prllel ll sse e si clcolo poi le corrispodeti ordite. 8. Si studi il sego dell derivt prim, risolvedo l disequzioe f () >, stiledo così i quli itervlli l fuzioe è crescete o decrescete. Si dedurrà quidi se i puti precedetemete trovti soo mssimi o miimi reltivi o flessi tgete orizzotle. 9. (Se lo studio del sego dell derivt fosse troppo difficoltoso, per decidere se u rdice dell equzioe f () è u puto di mssimo, miimo o flesso orizzotle si può procedere medite le derivte successive).. Si procede ifie l clcolo dei limiti dell derivt f () egli estremi fiiti di D e ei suoi puti di discotiuità, determido l iclizioe dell tgete ei puti di rrivo e di prtez, gli evetuli puti golosi, di cuspide e di flesso tgete verticle.. Si clcol l derivt secod f () e se e studi il sego, determido gli itervlli i cui l curv volge l cocvità verso l lto o verso il sso, deducedo quidi le coordite degli evetuli puti di flesso.. (No voledo studire il sego di f () si può ricorrere l metodo delle derivte successive). 3. Si trcci ifie il grfico dell fuzioe. Itegrle Itegrle idefiito. Si dice primitiv di u fuzioe f() u fuzioe F() l cui derivt si ugule f(): F () f().. Se F() è u primitiv dell fuzioe f(), che F() C, dove C è u costte ritrri, è u primitiv di f(). 3. Si chim itegrle idefiito di f() l su primitiv geerle F() C e si rppreset co il simolo f ( ) d, che si legge itegrle di f() i d. L f() si dice fuzioe itegrd. 4. L itegrle idefiito può essere iteso come opertore iverso dell derivt perché ssoci u fuzioe f() l isieme di tutte e sole le fuzioi l cui derivt è l f() stess. 5. Se k è u costte, llor si h kf ( ) d k f ( ) d 6. Sio f () e f () due fuzioi; llor si h [ ) f ( ) ] d f( ) d f f ( ) d (