( x) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) )
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- Rosalia Caruso
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1 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV CAP IV FUNZIONI REALI Per due fuzioi reli f : X R e g : X R si defiiscoo le uove fuzioi f g : X R, f g : X R ed f g : X R l modo seguete: X : f g = f g X : ( )( ) ( ) ( ) ( f g)( ) = f ( ) g( ) ( f g)( ) = f ( ) g( ) X : Queste si chimo rispettivmete somm di ƒ e g, differez di ƒ e g, e prodotto di ƒ e g f Se poi per ogi X risult g ( ) 0 si defiiscoo le fuzioi : X R ed : X R g g segue X : ( ) = g g( ) X : f g ( ) f = g ( ) ( ) come Queste si chimo rispettivmete reciproc di g e rpporto di ƒ e g I modo ltrettto ovvio si defiiscoo le fuzioi f, f, f, f ( R) che predoo il ome rispettivmete di oppost di ƒ, prodotto di per ƒ, somm di ed ƒ, vlore ssoluto di ƒ Si dice, poi, che ƒ è miore o ugule di g (risp ƒ è strettmete miore di g, ƒ è miore o ugule di, ƒ è strettmete miore di ), e si scrive f g ( risp f < g, f, f < ), se X : f g risp f < g, f, f < ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ) Tr le fuzioi reli si distiguoo le fuzioi dette mootoe defiite qui ppresso DEF6- U fuzioe f : X R si dice crescete (risp strettmete crescete) i X se ', '' X tc ' < '': f ( ' ) f ( '' )( risp f ( ' ) < f ( '' )) Si dice che f : X R è decrescete (risp strettmete decrescete) i X se ', '' X tc ' < '': f ( '' ) f ( ' )( risp f ( '' ) < f ( ' )) Se ƒ è crescete o decrescete si dice che ƒ è u fuzioe mooto Se i prticolre ƒ è strettmete crescete o strettmete decrescete, ƒ si dice strettmete mooto Esempi ) U fuzioe costte è crescete e decrescete; ) Se R e b R, l fuzioe f ( ) = b è strettmete crescete se > 0, strettmete decrescete se < 0 ;
2 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV f = o è mooto i R m è strettmete crescete i R e strettmete decrescete i R - ) L fuzioe ( ) ƒ()= O 4) L fuzioe ( ) f = è strettmete crescete i R ( ) f = 5) L fuzioe f ( ) decrescete i ] [ R è strettmete decrescete i ] 0, [ e strettmete,0 m o è strettmete decrescete, e emmeo mooto, i R = ( ) f ( ) =
3 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV Per le fuzioi mootoe si dimostro le segueti proposizioi PROP5- Se f [, b] R PROP6- Se : è mooto crescete (risp decrescete) llor esistoo il miimo ed il mssimo di ƒ e risult mi [, b] f ( ) = f ( ) e ( ) = f ( b) m f [, b] ( ) = f ( b) risp mi f e m f = [, b] [, b] ( ) f ( ) f : X R è strettmete crescete (risp decrescete) llor ƒ è igettiv e l su f : f X X è strettmete crescete (risp decrescete) ivers ( ) OSS- Si oti che u fuzioe igettiv o è sempre strettmete mooto Ad esempio f ( ) = è igettiv i R m o è ivi strettmete mooto Si do che le segueti defiizioi DEF7- U fuzioe f : R R si dice pri (rispdispri) se R : f = f ( ) ( ) ( risp f ( ) = f ( ) ) DEF8- U fuzioe f : R R si dice periodic di periodo T > 0 se R : f T = f ( ) ( ) Esempi ) U fuzioe costte defiit i R è pri ) L fuzioe idetic di R ( f ( ) = ) è dispri ) L fuzioe f ( ) = è pri f = è dispri 4) L fuzioe ( ) 5) L fuzioe f ( ) = o è é pri é dispri OSS4- Si oti che il grfico di u fuzioe pri è simmetrico rispetto ll sse metre il grfico di u fuzioe dispri è simmetrico rispetto ll origie Fuzioi elemetri Le fuzioi elemetri soo prticolri fuzioi reli che do origie, medite operzioi lgebriche o di composizioe,lle fuzioi che comuemete si studio i Alisi Fuzioe potez -esim DEF9- Se N ed R si poe = volte
4 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV e si chim fuzioe potez -esim l fuzioe f : R R defiit l modo seguete R : f = Proprietà dell fuzioe potez -esim f ( ) ) ( R ) = R ) Se è pri, f ( R ) = R ( e quidi f ( R) = R ) ) Se è dispri, f ( R ) = R ( e quidi ( R ) = R ) - - f 4) Se è pri, f è pri, è strettmete crescete i R, strettmete decrescete i R - e per ogi R risult f ( ) > 0 5) Se è dispri, f è dispri, è strettmete crescete i R e si h f ( ) < 0 se < 0, f( ) > 0 se > 0 6) Se è pri si h if = mi = 0, sup = R R R 7) Se è dispri si h if =, sup = R R 8) m, N m, R: ( ) m = 9) m, N m, R: m = 0) m N, m m =, R: ( ) m ƒ()= ( pri) ƒ()= ( dispri) O Fuzioe rdice -esim Si dimostr il seguete TEOR- Per ogi N e per ogi R esiste uo ed u solo b R tle che b = = b e si chim rdice -esim (ritmetic) di OSS5- Dll defiizioe si h duque che se, b R ed ( ) ( = b b = ) N risult Si poe 4
5 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV DEF0- L fuzioe g : R R defiit l modo seguete R : g( ) = si chim fuzioe rdice -esim Proprietà dell fuzioe rdice -esim ) L fuzioe rdice -esim è l ivers dell restrizioe dell fuzioe potez -esim d R ) L fuzioe rdice -esim g è strettmete crescete e si h g ( R ) = R ) if = mi = 0, sup = R R R Dimostrimo le ) e ) Per le proprietà 4) e 5) dell fuzioe potez -esim f si h che per ogi, è strettmete crescete, duque igettiv (cfr PROP6) Allor ( ) N f R strettmete crescete (cfr PROP6) e si h per defiizioe di ivers R, f R = R ( ) ( f ) ( ) = = f ( ) = = R D ciò cosegue che R : f R = e quidi ) e ) ( ) ( ) f è R Dll defiizioe di ivers di f R, cosegue che R R : e, quidi, cus di ) si h : ( f R ) ( f ( ) ) = f ( f ) ( ) = R 4) R R : : = ( ) = 5) N,, R : = 5
6 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV m 6) ( ) m m, N, R : = m m 7) m, N, R : = Fuzioe espoezile Premettimo l seguete DEF- Se R ed Z - N si poe = e si chim potez -esim di Si poe ioltre 0 = Per le poteze co espoete i Z sussistoo le segueti proprietà m m ) m Z R ( ) ) m, Z,,, R : : m = = m m m m ) ( ) m Z,, R : = m 4) ( ) m m Z, N, R : = m m' 5) m, m' Z,, ' N tc =, R : ' m ' m' = A cus dell proprietà 5) è lecito dre l seguete DEF- Se m R e q = Q co m Z ed N si poe q m = e si chim potez di co espoete q OSS6- Si oti che, cus dell 5), il umero m o dipede dl umertore m e dl deomitore del umero rziole q, quidi dipede d q e, perciò, l defiizioe è be post Si dimostro le segueti proposizioi PROP7- Se R, l fuzioe q q Q R è strettmete crescete se > ed è strettmete decrescete se 0 < < PROP8- Se R e se q0 Q, llor risult: 6
7 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV q q 0 0 = sup q Q q< q 0 = sup q Q q < q 0 q q se se 0 < < Dopo ciò è bbstz turle dre l seguete DEF- Se R ed R - Q, si poe q (5) = sup se q Q q< q (6) = sup se 0 < < ed q Q < q si chim potez di co espoete OSS7- Si oti che le uguglize (5) e (6), ssute per defiire (cfrprop8) se Q Evidetemete > 0 ed = per ogi R se è irrziole, si dimostro DEF4- Se R, l fuzioe f : R R defiit come segue R : f ( ) =, si chim fuzioe espoezile di bse, soltto fuzioe espoezile se (umero di Nepero) Il umero e si deot che col simbolo Si dimostro le segueti proposizioi ep e si legge espoezile di = e PROP9- Per ogi R, l fuzioe espoezile f di bse è strettmete crescete se >, strettmete decrescete se < PROP0- Per ogi R risult 0, f ( R ) = ] [ {} se se = Proprietà dell fuzioe espoezile - : R sup =, if = 0, ) { } ) ) R R R, R : =, R,, R : =, 4) R,, R : ( ) = 5) ( ), b R, R : b = b, 7
8 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV, 0 < <, > Fuzioe logritmo Si osservi che, cus dell PROP9, se R { } l fuzioe espoezile di bse è strettmete mooto, duque igettiv e perciò si può cosiderre l su ivers Si può porre, pertto, l seguete DEF5- Se R {}, si chim fuzioe logritmo i bse l fuzioe ivers dell fuzioe espoezile di bse, e si deot co log Co log si deot il vlore di log i Poiché per ogi { } risult f ( R) f R = R (cfr PROP0), dll DEF5 e dll defiizioe di ivers di u fuzioe segue che log R : R e sussiste l equivlez (7) R, R : ( log = ) ( = ) Si h ioltre (8) R : log = log (9) R : = CONVENZIONE- Si coviee di porre log = loge e Log = log0 e di chimre, per ogi R, logritmo (turle) di il logritmo i bse e di, cioè log, e logritmo decimle di il logritmo i bse 0 di, cioè Log Si h l seguete PROP- Se R {}, l fuzioe log è strettmete crescete se >, strettmete decrescete se 0 < < Si h ioltre log R = ( ) R f 8
9 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV Proprietà dell fuzioe logritmo ) log = 0, ), R : log ( ) = log log, ), R : log = log log, 4) R : log = log, 5) R, α : log R = α log, logb 6) (Cmbio di bse) R, b R {} : log =, logb 7) b R {} : log b = log b log, > log, 0 < < Fuzioe potez Per ogi R e per ogi α R si è defiit (DEF e DEF) l potez espoete α α di co Ciò dà luogo ll seguete DEF6- Se α R, l fuzioe p R α : R defiit come segue α R : pα ( ) = si chim fuzioe potez co espoete α OSS8- Osservimo che se N l fuzioe potez co espoete coicide co l restrizioe d R dell fuzioe potez -esim (cfrdef9), metre l fuzioe potez co espoete coicide co l fuzioe rdice -esim (cfrdef0 e DEF) 9
10 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV PROP- L fuzioe potez co espoete α è strettmete crescete se α > 0, strettmete decrescete se α < 0 Dim Cosegue dl ftto che per ogi α log α log α R e per ogi R risult α = e = e oltre che dll strett crescez dell fuzioe logritmo e dell fuzioe espoezile PROP- Per ogi coicide co α R l immgie dell fuzioe potez co espoete α, cioè p ( ), R α R α ( α > ) α α ( 0 < α < ) ( α < 0) Equzioi e disequzioi espoezili e logritmiche ) Si R {} e b R L equzioe = b o h soluzioi se b 0 h l'uic soluzioe = log Più i geerle l equzioe ( ) o h soluzioi se b 0 f = b è equivlete d f ( ) = log b b se b > 0 se b > 0 Esempi- 4 e = 0 o h soluzioi = = log = 0 = ) Si R {} e b R L equzioe log = b b h come uic soluzioe = Più i geerle l equzioe log f ( ) b = 0
11 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV Esempi- h le stesse soluzioi dell ltr ( ) b log = = e f = 0 log ( ) = 0 = = ) L disequzioe h come soluzioi tutti i umeri reli se b 0 > b h come soluzioi le > log b se b > 0 ed > h come soluzioi le < log b se b > 0 e 0 < < Ovvimete l disequzioe o h soluzioi se b 0 < b h come soluzioi le < log h come soluzioi le > log b b se b > 0 se b > 0 ed > e 0 < < Esempi- e > > log > e 0 e ( < ) ( < ) Si provi che e < < < < < 4 4 < 0 < e e < log < < log 4) L disequzioe b h come soluzioi le > se > log > b b h come soluzioi 0 < < se 0 < < Ovvimete l disequzioe b h come soluzioi 0 < < se > log < b b h come soluzioi le > se 0 < < Esempi- log( ) < 0 < < e < < e
12 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV log ( ) > 0 < < < < Si risolvo le segueti disequzioi log( ) < 0 log 4 ( ) < 4 Equzioi e disequzioi irrzioli U equzioe irrziole è u ugugliz del tipo f ( ) = g( ) metre u disequzioe irrziole è u disugugliz del tipo f < g o f > g ( ) ( ) ( ) ( ) ) L equzioe f ( ) = g( ) è equivlete l sistem di equzioi f ( ) 0 g( ) 0 f ( ) = g( ) ovvero l sistem g( ) 0 f ( ) = g( ) ) L disequzioe f ( ) < g( ) è equivlete l sistem f ( ) 0 g( ) > 0 f ( ) < g( ) metre l disequzioe f ( ) > g( ) h le stesse soluzioi dei due sistemi g( ) < 0 g( ) 0 f ( ) 0 f ( ) > g( ) Esempi- 0 < < 5 < 9 < 0 0 > 0 > ( )
13 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV Si provi che 4 > 4 < 4 < ( 0) ( ) 5 < < Fuzioi trigoometriche I u pio si cosideri u golo α di vertice O e due circofereze C e C' di cetro O Detti AB e A'B' gli rchi di C e C' coteuti i α e co gli estremi sui lti di α, sio l ( AB) ed l( A' B' ) ( ( le lughezze di tli rchi e sio OA e OA' le misure dei segmeti OA e OA' ( ( C C O A α A B B E oto che risult ( ( AB) l( A' B' ) ( l OA ( AB ) ( = ( OA' l cioè il rpporto dipede solo dll golo α e o dll circoferez di cetro il vertice O OA di α Tle rpporto prede il ome di misur i rditidell golo α Ovvimete se si sceglie l circoferez C i modo che OA =, l misur i rditi di α è ugule ll lughezz dell rco AB P E oto che che l misur i rditi di u golo pitto è il umero irrziole Ciò premesso, cosiderimo el pio u sistem di ssi crtesii ortogoli di origie O e l circoferez C di cetro O e rggio (dett cerchio trigoometrico); cosiderimo poi il puto A A=(,0) Se P è u puto di C deotimo co AP quello dei due rchi, idividuti di puti A e P sull circoferez C, che viee percorso i seso tiorrio d A P Si dimostr che ( ( ) (0) [ 0, [ P C tc AP = Ciò premesso si poe l seguete α DEF7- Per ogi [ 0, [ si poe
14 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV () se = ordit di P cos = sciss di P e si chimo rispettivmete seo di e coseo di Si è così defiito il seo e il coseo di u quluque umero dell itervllo [0,[ Per defiire il seo e il coseo di u quluque umero rele bst porre () [ [ Z ( ) ( ) 0,, k : se k = se cos k = cos Iftti, per l lgoritmo dell divisioe euclide, per ogi umero rele esiste uo ed u α 0, ed uo ed u solo k Z tli che = α k solo [ [ Dopo ciò si poe l seguete DEF8- Si chim fuzioe seo (risp coseo) l fuzioe se : R R risp cos : R R defiit dlle () e () Proprietà dell fuzioe seo ( ), k ) R k Z : se( ) = se ( cioè se è periodic di periodo ); ) se( R ) = [,]; ) k Z : se( k ) = 0, se k =, se k = ; 4) ] 0, [: se > 0 ; 5) ], [: se < 0 ; 6) R : se( ) = se ( se è dispri) 7) mi se = = se, m se = = se ; R R se, 8) è strettmete crescete e se, = [-,] FUNZIONE SENO
15 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV Proprietà dell fuzioe coseo, k ; ) R k Z : cos( ) = cos (cioè cos è periodic di periodo ) ) cos( R ) = [,] ; ) k Z : cos k = 0, cos( k ) =, cos( k ) = ; 4), : cos > 0 ; 5), : cos < 0 ; 6) R : cos( ) = cos ( cos è pri) ; 7) mi cos = = cos, m cos = = cos 0 ; R R 8) [ ] è strettmete decrescete e cos( [ 0, ]) = [,] cos, 0 FUNZIONE COSENO Vlori otevoli di seo e coseo se = 6 se = ; cos = 6 ; cos = ; se = cos = 4 4 ; 5
16 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV Fuzioe rcoseo Dll 8) delle proprietà dell fuzioe seo si deduce che se strettmete crescete ed è defiit i [ ] Si poe l seguete,, = se, è igettiv e l su ivers è DEF9- Si chim fuzioe rcoseo l ivers di se, e si deot co rcse Dll DEF9 cosegue che rcse :, e risult [ ] R ) rcse è strettmete crescete ),, [ -,]: ( rcse = = se ) 4), :rcse ( se ) = 5) [,]: se( rcse ) = 6) rcse 0 = 0, rcse( ) =, rcse =, : rcse = rcse cioè rcse è dispri ) rcse( [,] ) =, 7) [ ] ( ) ( ) FUNZIONE ARCOSENO - 6
17 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV Fuzioe rcocoseo Dll 8) delle proprietà dell fuzioe coseo si deduce che cos è igettiv e l su ivers è [ 0, ] strettmete decrescete ed è defiit i [,] ( = cos( [ 0, ])) Si poe l seguete DEF0- Si chim fuzioe rcocoseo l ivers di cos [ 0, ] Dll DEF0 cosegue che rccos :[, ] R e risult ) rccos ([,] ) = [ 0, ] ) rccos è strettmete decrescete 0,,, : rccos = = cos 4) [ 0, ]: rccos( cos ) = 5) [,]: cos( rccos) = 6) rccos 0 =, rccos( ) =, rccos = 0 ) [ ] [ ] ( ) e si deot co rccos FUNZIONE ARCOCOSENO - 7
18 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV Fuzioi tgete, cotgete Si poe l seguete DEF- L fuzioe tg : R - k : k Z R defiit come segue se R - k : k Z : tg = cos si chim fuzioe tgete L fuzioe cotg: R -{ k : k Z} R defiit come segue cos R -{ k : k Z} : cotg = se si chim fuzioe cotgete OSS9- Si oti che se [ 0, [ si h OA = O P Q H A PH QA PH = e quidi QA = OA OH OA OH cioè tg è l'ordit del puto Q PH = OH = se cos = tg Alogmete se ] 0, [ si h OA = B O H P A Q OH BQ = PH OB cioè cotg OH e quidi BQ = OB PH è l'sciss del puto Q OH = PH = cos se = cotg 8
19 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV FUNZIONE TANGENTE - FUNZIONE COTANGENTE - 9
20 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV Proprietà dell fuzioe tgete ) = R, tg R k : k Z : tg k = tg ) tg è u fuzioe dispri ) ( ) ( cioè tg è periodic di periodo ) 4) tg, è strettmete crescete 5) tg =, tg =, tg = 6 4 Proprietà dell fuzioe cotgete ) cotg (] 0, [) = R ) R -{ k : k Z} : cotg ( k ) = cotg ( cioè cotg è periodic di periodo ) ) cotg è u fuzioe dispri 4) cotg ] 0, è strettmete decrescete [ Fuzioe rcotgete tg Dll ) e 4) delle proprietà dell fuzioe tgete si deduce che, è strettmete crescete ed è defiit i R Si poe l seguete =, tg è igettiv e l su ivers tg DEF- Si chim fuzioe rcotgete l ivers di, Dll DEF cosegue che rctg : R R e risult ) rctg( R ) =, ) rctg è strettmete crescete,, : rctg = = tg R 4), : rctg ( tg ) = 5) R : tg ( rctg ) = 6) rctg è u fuzioe dispri ) ( ) e si deot co rctg 0
21 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV 7) rctg 0 = 0, rctg =, rctg =, rctg = 4 6 FUNZIONE ARCOTANGENTE Quello che segue è u eleco delle proprietà più importti delle fuzioi seo e coseo e di lcue formule d uso comue ) R : se cos = ) R : se = cos, cos = se ) R : se = cos, cos = se 4) R : se( ) = se, cos( ) = cos R : se = se, cos = cos 5) ( ) ( ) Formule di ddizioe Per ogi, R risult: 6) se ( ) = se cos cos se 7) se( ) = se cos cos se 8) cos( ) = cos cos se se 9) cos ( ) = cos cos se se I prticolre se i 6) e 8) si poe = si ottegoo le Formule di dupliczioe Per ogi R risult: 0) se = se cos ) cos = cos se = se = cos
22 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV Ioltre se ell ) si poe l posto di si ottegoo le Formule di bisezioe Per ogi R risult: cos ) cos = cos ) se = Ioltre ddiziodo e sottredo membro membro prim i 6) e 7) e poi i 8) e 9) si ottiee, per ogi, R, se se = se cos 4) ( ) ( ) 5) se ( ) se( ) = cos se 6) cos ( ) cos( ) = cos cos 7) cos( ) cos( ) = se se Poedo, poi, elle formule di sopr α = e β = α β α β ovvero = ed = si ho le cosiddette Formule di prostferesi Per ogi α, β R risult: 8) α β α β seα se β = se cos 9) α β α β seα se β = se cos 0) α β α β cosα cos β = cos cos ) α β α β cosα cos β = se se Equzioi e disequzioi trigoometriche Risult ovvimete ) se = 0 k Z tc = k ) cos = 0 k Z tc = k Se, risult, : se = = rcse = rcse ) [ ] ( ( ) ( )) 4) ] [, : se <,rcse rcse, 5) se <
23 C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV 6) > : se <, 7) se <, : se > rcse, rcse 8) ] [ ( ] [) rcse rcse Se [, [ risult 9) [,] : ( cos = ( = rccos) ( = rccos) ) 0) ],[ : ( cos < [, rccos[ ] rccos, [) ) ],[ : ( cos > ] rccos, rccos[ ) Ioltre si h ), R, : ( tg rctg ) Si h ifie ),, [,] : ( rcse se ) 4) [ 0, ], [,] : ( rccos cos ) 5),, R : ( rctg tg )
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Itegrli i seso geerlizzto Pol Rubbioi Itegrzioe di fuzioi o itte Deizioe.. Dt f : [; b[! R cotiu ed ilitt i prossimit di b, ovvero tle che!b f () = + oppure!b f () =, ess si dice itegrbile i seso geerlizzto
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DISPENSE DI MATEMATICA GENERALE Versione 20/10/06
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Dove la suddivisione dell intervallo [a,b] è individuata dai punti
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Algebra» Appunti» Logaritmi
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Sdl ELEMENTI DI BASE: Potenze. Radicali. Logaritmi
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IL CONCETTO DI LIMITE
IL CONCETTO DI LIMITE DEFINIZIONE DI LIMITE Si f u fuzioe defiit i u itoro di x 0 dicimo che f x=l se e soltto se, comuque sceglimo u itervllo I l cetrto i l, piccolo quto voglimo, è possiile trovre u
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O. C A L I G A R I S - P. O L I VA A N A L I S I M AT E M AT I C A 1
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Precorso di Matematica, aa , (IV)
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Capitolo 1. Richiami di teoria elementare
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Appunti sui RADICALI
Imprimo d operre co i rdicli Apputi sui RADICALI sego di rdice, idice di rdice, rdicdo, espoete del rdicdo: cquisteri fmilirità co queste prole: simbolo di rdice, idice di rdice, rdicdo, espoete del rdicdo.
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DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI
DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI Idice Premess... Regole geerli.... Sigificto dei termii mggiore e miore.... Proprietà trsitiv delle disuguglize.... Regol del trsporto.... Regol del prodotto... 5. Regole
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Integrali indefiniti
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L INTEGRALE DEFINITO d ARGOMENTI. Mpp cocettule. Le successioi umeriche. Il Trpezoide re del Trpezoide 4. L itegrle deiito de. Di Riem 5. Fuzioi itegrili secodo Riem 6. Proprietà dell itegrle deiito teorem
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Integrazione numerica.
Itegrzioe umeric Autore: prof. RUGGIERO Domeico Itegrzioe umeric. Qui di seguito ci occupimo di metodi umerici volti l clcolo pprossimto di u itegrle defiito perveedo formule ce costituiscoo degli lgoritmi,
Insiemi numerici. Sono noti l insieme dei numeri naturali: N = {1, 2, 3, }, l insieme dei numeri interi relativi:
Isiemi umerici Soo oti l isieme dei umeri aturali: N {1,, 3,, l isieme dei umeri iteri relativi: Z {0, ±1, ±, ±3, N {0 ( N e, l isieme dei umeri razioali: Q {p/q : p Z, q N. Si ottiee questo ultimo isieme,
Analisi Matematica I. Università di Padova, Corsi di Laurea in Ingegneria. Paolo Guiotto
Alisi Mtemtic I Uiversità di Pdov, Corsi di Lure i Igegeri Polo Guiotto ii Premess Questo mterile copre u primo corso di Alisi Mtemtic per corsi di Lure di idirizzo scietifico. L cceto è posto sullo sviluppo
q a n+1 = a n q S n = q n 1 na 1 5. a = b a = b a = b 6. a b b a b ( a ; b a b a 2 b 2 ( a; b )
Numeri reli Rdili doppi + ± ± Suessioi Suessioi ritmetihe { } + d + ( d S + d Equzioi di seodo grdo Suessioi geometrihe q se q { } q + q S q se q + + ± (, + Disequzioi di seodo grdo T + + Sio, le rdii
1. Introduzione. disegnando le rette verticali x =1/4 ; x =1/2; e x =3/4 come in Figura ; S 3 ; S 2. ; ed S 4
Gli itegrli Gli itegrli. Itroduzioe Gli itegrli Le ppliczioi del clcolo itegrle soo svrite: esistoo, iftti, molti cmpi, dll fisic ll igegeri, dll iologi ll ecoomi, i cui tli ozioi trovo o poche ppliczioi.