O. C A L I G A R I S - P. O L I VA A N A L I S I M AT E M AT I C A 1

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1 O. C A L I G A R I S - P. O L I VA A N A L I S I M AT E M AT I C A 1

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3 1. U po di Logic Dicimo proposizioe u ffermzioe di cui simo i grdo di stbilire se è ver o è fls. Assegt u proposizioe P si può costruire u uov proposizioe, che defiimo egzioe di P ed idichimo co ot P, come l proposizioe che è ver se P è fls ed è fls se P è ver. Si può idetificre l proposizioe ot P che medite u tbell, dett tbell di verità, che elec i corrispodez dei due csi possibili l verità o l flsità dell proposizioe i questioe: P otp Tbell 1.1: È ioltre ecessrio defiire uove proposizioi che dipedoo d u o più proposizioi ote. Assegte due proposizioi P e Q, (P d Q) è ver se P e Q soo etrmbe vere (P or Q) è ver se lmeo u tr P e Q è ver (P xor Q) è ver se u ed u sol tr P e Q è ver. Le corrispodeti tbelle di verità possoo essere rggruppte ell seguete: P Q ot P ot Q P d Q P or Q P xor Q Tbell 1.2: È immedito verificre che l proposizioe P xor Q è ver o fls secod che si ver o fls l proposizioe

4 4 o.cligris - p.oliv (P d (ot Q)) or (Q d (ot}p)) come si può verificre dll tbell 1. Possimo che verificre come ot itergisce co d e or medite l tbell1.3 P Q ot P ot Q P d Q P or Q ot(p d Q) ot (P or Q) Tbell 1.3: Dll tbell 1.3 possimo verificre che (ot(p d Q)) è ver tutte e sole le volte che è ver ((ot P) or (ot Q)) (ot(p or Q)) è ver tutte e sole le volte che è ver ((ot P) d (ot Q)) Si può ioltre ffermre che le segueti ffermzioi soo sempre vere (P or (ot P)) (legge del terzo escluso) (ot(p d (ot P))) (legge di o cotrddizioe) Assegte due proposizioi P e Q si possoo ioltre costruire le segueti proposizioi (P Q), (P Q), (P Q) che leggimo, rispettivmete P implic Q, P è implicto d Q, P è equivlete Q e che soo idetificte come segue (P Q) sigific che Q è ver ogi volt che P è ver; (P Q) sigific che P è ver ogi volt che Q è ver; (P Q) sigific che P è ver tutte e sole le volte i cui Q è ver. I ltre prole (P Q) sigific che o o è ver P oppure, se P è ver, llor è ver che Q; i simboli: (P Q) ((ot P) or Q) (1.1) Possimo verificre dll tbell 1.4 che due proposizioi soo equivleti se ssumoo gli stessi vlori ell loro tbell di verità, cioè se soo etrmbe vere o etrmbe flse. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

5 lisi mtemtic 1 5 P Q P Q P Q P Q Tbell 1.4: Per covicerci che l defiizioe di impliczioe corrispode criteri di seso comue, è opportuo mettere i evidez l egzioe dell proposizioe (P Q), i ltre prole possimo osservre che è turle ffermre che (P Q) o è ver el cso i cui si ver P e Q si ivece fls ; i simboli ot(p Q) ot((ot P) orq) (P d(otq)) (1.2) Iftti è chiro che ot(p Q) è ver se ccde che P è ver e Q è fls. L seguete tbell permette di verificre che le proposizioi eucite i 1.2 ho l stess tbell di verità; cioè soo equivleti. P Q ot Q P Q (P d (ot Q)) ot (P Q) Osservimo che che Tbell 1.5: (P Q) ((ot Q) (ot P)) (1.3) Per cui possimo ggiugere u colo ll tbell 1.5 P Q ot Q ot P P Q (ot Q) (ot P) Tbell 1.6: (P Q) ((P Q) d (P Q)) (P Q) ((ot Q) (ot P)) (ot(p d (ot Q))) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

6 6 o.cligris - p.oliv Quest ultim relzioe è ot come pricipio di dimostrzioe per ssurdo. Ricordimo che si suppoe oto il cocetto di isieme. Usulmete gli isiemi soo idetificti d u letter miuscol, metre le lettere miuscole, di solito, desigo gli elemeti di u isieme. Ricordimo che che A sigific che è u elemeto di A, pprtiee d A; b A sigific che b o è u elemeto di A, b o pprtiee d A. se A è u isieme, A e P o P() è u proprietà che dipede d, cioè tle che si ver per certi vlori di e fls per ltri vlori di, scrivimo { A : P } oppure { A : P è ver} per idicre l isieme degli elemeti di A tli che P è ver. Occorre ifie ricordre che si dice dt u relzioe biri su u isieme A se dti due elemeti, b A è possibile stbilire se è ver o fls l proposizioe è i relzioe co b. Scriveremo Rb e Rb per sigificre che l proposizioe i oggetto è rispettivmete ver o fls. U relzioe biri si dice relzioe di equivlez se soo verificte le segueti codizioi (Rb) (br) (R) ((Rb) d (brc)) (Rc) (simmetricità); (riflessività); (trsitività). U relzioe biri si dice relzioe d ordie o ordimeto se soo verificte le segueti codizioi ( R) ((Rb) d (brc)) (Rc) (tiriflessività); (trsitività). Sio A, B due isiemi, dicimo che Dicimo che A B (B A) se ( A) ( B) (1.4) A = B se ( A) d ( B) (1.5) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

7 lisi mtemtic 1 7 Defiimo A\B = { A d B} Nel cso i cui B A l isieme A\B si dice che complemetre di B i A e si idic co B c essedo omess l idiczioe che il complemetre è ftto rispetto d A, i quto srà sempre chir, qudo si userà tle simbolo, l idetità di A. Defiimo ioltre A B = { A or B} (A uioe B) A B = { A d B} (A itersezioe B) A B = {(, b) : A d b B} ( prodotto crtesio). Si possoo provre fcilmete proprietà del tipo A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (A B) c (A B) c = A c B c = A c B c Le ultime due uguglize soo ote come formule di De-Morg. Idichimo co l isieme vuoto, cioè l isieme privo di elemeti Se P è u proposizioe ed A è u isieme possimo cosiderre le segueti proposizioi ogi elemeto di A soddisf P; qulche elemeto di A soddisf P; uo ed u solo elemeto di A soddisf P. Le tre ffermzioi di cui sopr si scrivoo i simboli x A, P x x A : P x!x A : P x Osservimo che le egzioi delle prime due precedeti proposizioi soo x A x A ot P x ot P x 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

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9 2. I Numeri Reli Itroducimo l isieme R dei umeri reli per vi ssiomtic; elechimo cioè le proprietà cui deve soddisfre l isieme dei umeri reli prescidedo dll verific dell esistez di u modello di R e dll costruzioe di tle modello. A tle proposito ci limitimo ricordre che l rett euclide su cui sio stti fissti due puti (0 ed 1), si stto defiito il verso positivo e sio stte defiite l somm ed il prodotto per vi geometric, costituisce u buo modello dei umeri reli. Dicimo che soo ssegti i umeri reli, che idicheremo co R, se: è ssegto u isieme R soo ssegte due leggi, che chimimo somm o ddizioe e prodotto o moltipliczioe e che idichimo co + e rispettivmete, ciscu delle quli ssoci d ogi coppi (x, y) R R u elemeto di R che idicheremo co x + y ed x y rispettivmete (i reltà useremo sempre xy i luogo di x y) è ssegt i R u relzioe di equivlez che idicheremo co il simbolo = (rispetto ll qule esistoo i R lmeo due elemeti distiti) è ssegt i R u relzioe d ordie che idicheremo co < vlgoo le segueti proprietà per ogi x, y, z R : 1. x + y = y + x (proprietà commuttiv dell ddizioe) 2. (x + y) + z = x + (y + z) (proprietà ssocitiv dell ddizioe) 3. esiste θ R tle che x + θ = x, per ogi x R (esistez di u elemeto eutro rispetto ll ddizioe) l elemeto eutro rispetto ll somm è uico i R

10 10 o.cligris - p.oliv iftti se z, z soo due elemeti eutri rispetto ll somm si h z = z + z = z + z = z srà idicto d or izi co 0 4. xy = yx (proprietà commuttiv dell moltipliczioe) 5. (xy)z = x(yz) (proprietà ssocitiv dell moltipliczioe) 6. esiste ζ R tle che xζ = x per ogi x R (esistez di u elemeto eutro rispetto ll moltipliczioe) l elemeto eutro rispetto l prodotto è uico i R Se u, u soo due elemeti eutri rispetto l prodotto si h u = uu = u srà idicto d or izi co 1 7. x(y + z) = xy + xz (proprietà distributiv dell moltipliczioe rispetto ll ddizioe) 8. è ver u ed u sol delle segueti ffermzioi (legge di tricotomi) 9. se x < y llor x + z < y + z x < y, x = y, y < x (ivriz dell ordie rispetto ll ddizioe) 10. se x < y e 0 < z llor xz < yz (ivriz dell ordie rispetto ll moltipliczioe per elemeti positivi) 11. Per ogi x R esiste x R tle che x + x = 0 (esistez dell iverso rispetto ll ddizioe) per ogi x R l iverso di x rispetto ll somm è uico, iftti sio x, x tli che x + x = x + x = 0 llor si h x + x + x = x + x + x e e segue che x = x verrà idicto solitmete co x 12. per ogi x R\{0} esiste x R tle che x x = 1 (esistez dell iverso rispetto ll moltipliczioe) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

11 lisi mtemtic 1 11 per ogi x R\{0} l iverso di x rispetto l prodotto è uico Sio x, x tli che x x = x x = 1 si h x xx = x xx e e segue x = x verrà idicto solitmete co 1/x o co x Per ogi A, B R, A, B = tli che b A, b B esiste c R tle che (esistez di u elemeto seprtore). c b A, b B (2.1) Osservimo che gli ssiomi precedeti ssicuro che R cotiee lmeo 0 ed 1 ; tuttvi o escludoo che 0 ed 1 sio distiti, oostte si suppog comuque che R deve coteere lmeo due elemeti. Le propriet che dimostreremo el seguito ssicuro tuttvi che 0 ed 1 coicidessero, R si ridurrebbe d u solo elemeto e questo o è mmesso. Se x, y R scriveremo x > y i luogo di y < x e coverremo di usre il simbolo x y se (x = y) or (x < y). Ricordimo ioltre che i cso di più operzioi i sequez, se o vi soo pretesi, per covezioe il prodotto h priorità sull somm. Pssimo or provre lcue fodmetli proprietà dei umeri reli. Teorem Proprietà dei umeri reli - Vlgoo i segueti ftti: 1. x, y, z R x + z = y + z x = y (legge di ccellzioe rispetto ll somm) - Iftti: se z è tle che z + z = 0 llor x = (x + z) + z = (y + z) + z = y 2. x, y, z R, z = 0, xz = yz x = y (legge di ccellzioe rispetto l prodotto) - Iftti: se z è tle che zz = 1 llor x = (xz)z = (yz)z = y 3. x0 = 0, x R - Iftti: x0 = x (0 + 0) = x0 + x0 d cui x0 = ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

12 12 o.cligris - p.oliv 4. ( ( x)) = x, x R - Iftti: ( x) + x = 0 d cui ( x) = x. 5. ( x) + ( y) = (x + y), x, y R - Iftti: x + y + ( x) + ( y) = 0 d cui (x + y) = ( x) + ( y). 6. ( x)y = xy, x, y R I prticolre ( 1)y = (1 y) = y, y R. - Iftti: ( x)y + xy = ( x + x)y = 0 ode ( x)y = xy. 7. ( x)( y) = xy, x, y R - Iftti: ( x)( y) + ( xy) = ( x)( y) + ( x)y = ( x)( y + y) = xy = 0 se e solo se (x = 0) or (y = 0) - Iftti: supposto xy = 0, se fosse y = 0 si vrebbe x = xyy 1 = (xy) 1 = x 1 y 1, x, y R\{0} - Iftti: (xy)x 1 y 1 = x > 0 implic x < 0 - Iftti: se x > 0 llor 0 = x x > 0 x = x. 11. xx > 0, x R\{0} - Iftti: se x > 0 llor xx > 0 metre se x < 0 si h xx = ( x)( x) > = 0 - Iftti: se fosse 1 = 0 si vrebbe, per ogi x R, x = x 1 = x 0 = > 0 - Iftti: 1 = 1 1 > x > 0 implic x 1 > 0, x R - Iftti: se x > 0 e x 1 < 0 llor 1 = xx 1 < 0. Possimo or costruire u modello di R idetificdo gli elemeti di R co i puti di u rett euclide su cui è fissto u puto 0 ed u puto 1. Si dice positivo il verso di percorrez d 0 d 1 e si dice ltresì positivo u puto (elemeto di R) che st dll stess prte di 1 rispetto 0 e egtivo i cso cotrrio. Si defiisce somm di due elemeti x ed y l elemeto x + y idividuto dl secodo estremo del segmeto composto fficdo i segmeti di estremi 0 ed x e 0 ed y come si vede i figur2. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

13 lisi mtemtic 1 13 Figur 2.1: Costruzioe dell somm di due umeri reli Si defiisce il prodotto di due elemeti x ed y medite l costruzioe idict i figur??. Figur 2.2: Costruzioe del prodotto di due umeri reli Co le operzioi di somm e di prodotto e l relzioe d ordie itrodotte si può dimostrre che le proprietà richieste soo verificte e permettoo di idetificre ell rett euclide u buo modello dei umeri reli. Occorre or idetificre i R l isieme N dei umeri turli, l isieme Z dei umeri iteri e l isieme Q dei umeri rzioli. A questo scopo defiimo il cocetto di sottoisieme iduttivo i R Defiizioe 2.1 Si E R, dicimo che E è u isieme iduttivo se soddisf le due segueti proprietà: 1. 1 E 2. x E x + 1 E Osservimo che esistoo certmete isiemi iduttivi i quto, d esempio, R stesso è u isieme iduttivo; è pure utile osservre che che {x R : x 1} è u isieme iduttivo. Defiizioe 2.2 Si E l isieme degli isiemi iduttivi di R; defiimo N = E E E 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

14 14 o.cligris - p.oliv L defiizioe ssicur che N è il più piccolo sottoisieme iduttivo di R. Teorem 2.2 N è o vuoto, 1 N, 1 seguete proprietà: N ed ioltre vle l se A N è u isieme iduttivo llor A = N Dimostrzioe. Dl mometo che 1 pprtiee d ogi sottoisieme iduttivo e dl mometo che {x R : x 1} è u isieme iduttivo si h che 1 N ed ioltre 1 se N. Per provre l secod ffermzioe possimo osservre che se A è u isieme di N iduttivo, llor evidetemete A E e pertto A N ode A = N L ultim ffermzioe del teorem 2.2 è ot come pricipio di iduzioe. Applicdo il pricipio di iduzioe ll isieme B = A { N : < 0 } possimo dedurre il seguete corollrio: Corollrio 2.1 Si 0 N, 0 > 1, e suppoimo che si A N tle che 1. 0 A 2. A + 1 A Allor A { N : 0 }. Defiizioe 2.3 Sio m, N, m, e si k R per ogi k N; defiimo k= k =, m+1 k= k = m+1 + m k= k. k= k = m+1 k= k = m+1 m k= k. Defiizioe 2.4 Chimimo isieme dei umeri iteri l isieme Z = { R : = m, m, N}, ioltre dicimo isieme dei umeri rzioli l isieme Q = {q R : q = m 1 = m/, m Z, N}. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

15 lisi mtemtic 1 15 No etrimo el dettglio delle proprietà di Z e Q, ricordimo solo che Z = ( N) {0} N Defiizioe 2.5 Si A R, dicimo che M R è u mggiorte di A se A, M Dicimo che m R è u miorte di A se A, m Chimimo M(A) = {M R : A, M} m(a) = {m R : A, m} I ltre prole M(A) è l isieme dei mggiorti di A, metre m(a) è l isieme dei miorti di A. Osservimo che M( ) = m( ) = R. Defiizioe 2.6 Si A R, dicimo che A è u isieme superiormete limitto se M(A) =. Dicimo che A è u isieme iferiormete limitto se m(a) =. Dicimo che A è limitto se A è si superiormete che iferiormete limitto, cioè se tto M(A) quto m(a) soo o vuoti. Defiizioe 2.7 Dicimo che A R mmette miimo (mssimo) se esiste m A (M A) tle che m (M ) per ogi A Scriveremo i tl cso m = mi A, M = mx A Osservimo che o sempre è vero che u isieme di umeri reli mmette miimo o mssimo: si cosideri d esempio A = R oppure A = {x R : 0 < x < 1} Osservimo che che mi A = m(a) A, mx A = M(A) A e che tli isiemi, se o soo vuoti, cotegoo u solo elemeto. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

16 16 o.cligris - p.oliv Teorem 2.3 Si A R, A = se A è iferiormete limitto llor m(a) mmette mssimo, metre se A è superiormete limitto M(A) mmette miimo. Dimostrzioe. Provimo d esempio che se A è iferiormete limitto llor m(a) mmette mssimo. Si h e pertto per l 2.1 m m m(a), A α R tle che m α m m(a), A Pertto si può ffermre che α = mx m(a) Defiizioe 2.8 Si A R, A =, A iferiormete limitto; defiimo estremo iferiore di A e lo idichimo co if A, il mssimo dei miorti di A, defiimo cioè if A = mx m(a). Alogmete se A è superiormete limitto defiimo estremo superiore di A e lo idichimo co sup A, il miimo dei mggiorti di A, defiimo cioè sup A = mi M(A). Defiimo ioltre if A =, se A o è iferiormete limitto sup A = +, se A o è superiormete limitto if = + sup = È importte trovre u crtterizzzioe dell estremo iferiore e dell estremo superiore di u isieme. Teorem 2.4 Si A R, A =, A iferiormete limitto; llor λ = if A se e solo se vlgoo le segueti codizioi: 1. λ A ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

17 lisi mtemtic ε > 0, ε A tle che ε < λ + ε Dimostrzioe. λ = ifa λ = mx m(a) λ m(a) e ε > 0, λ + ε m(a). D ltr prte λ m(a) λ A (1); metre ε > 0 λ + ε m(a) ε > 0 ε A : ε < λ + ε (2) I mier log si può dimostrre Teorem 2.5 Si A R, A =, A superiormete limitto; llor µ = sup A se e solo se vlgoo le segueti codizioi: 1. µ A 2. ε > 0 ε A : ε > µ ε Dl mometo che if A = e sup A = + se, rispettivmete, A o è iferiormete, o superiormete limitto,si h che Teorem 2.6 Si A R, A = llor 1. if A = k R k A tle che k < k 2. sup A = + k R k A tle che k > k Provimo questo puto che l isieme dei umeri iteri o è superiormete limitto; provimo cioè che Teorem Pricipio di Archimede - x R Z : x Dimostrzioe. Se per ssurdo esistesse y R tle che y > Z llor y M(Z) e Pertto, d λ = supz R λ Z possimo dedurre che λ + 1 Z e λ 1 Z m ciò cotrddice il teorem 2.5 Iftti per ε = 1 o esiste lcu Z tle che λ 1 <. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

18 18 o.cligris - p.oliv Lemm 2.1 Per ogi x R esiste x Z tle che x x < x + 1. Ioltre si h x = mx { Z : x}. Dimostrzioe. Defiimo A = { Z : x}. Evidetemete A è superiormete limitto e o vuoto i quto, per il teorem 2.7, esiste 0 Z, 0 x; si può pertto ffermre che 0 λ = sup A R Se per ssurdo si vesse che A si bbi + 1 A vremmo llor che A { Z : 1 } e quidi A o potrebbe risultre limitto. Quidi è lecito ffermre che esiste x A, tle che x + 1 A; d cui, essedo x e di coseguez x + 1 iteri, si h x x < x + 1. Osservimo ioltre che, se esistesse A, > x, si vrebbe x + 1 > x ed A. E pertto lecito porre: Defiizioe 2.9 Si x R, defiimo E(x), prte iter di x, come E(x) = mx{ Z : x} Osservimo che E(x) è il più grde itero più piccolo di x. Defiizioe 2.10 Si x R, defiimo x, modulo, o vlore ssoluto, o orm di x : x se x > 0 x = 0 se x = 0 (2.2) x se x < 0 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

19 lisi mtemtic 1 19 Teorem 2.8 Soo verificti i segueti ftti,, x, y R : 1. x 0 2. x = 0 x = 0 3. xy = x y 4. x x 5. x + y x + y 6. x y x y 7. x < ε ε > 0 x = 0. Dimostrzioe. (1), (2) e (3) seguoo immeditmete dll defiizioe di modulo; per quel che rigurd l (4) si oti che x 0 x oppure x 0. Provimo or l (5): per (4) si h x x x e y y y. Pertto, sommdo membro membro, e l tesi, riutilizzdo l (4). Per quel che rigurd (6), si h ( x + y ) x + y x + y x = x y + y x y + y y = y x + x x y + x ; perciò x y x y x y e, d (4), l tesi. Ifie, per quel che rigurd l (7), se fosse x = 0, si potrebbe scegliere ε tle che 0 < ε < x. Defiizioe 2.11 Si x R, defiimo per ogi N : x 0 = 1, x = xx 1 x si dice potez eesim di bse x. Defiimo ioltre, se x = 0, x = 1/x. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

20 20 o.cligris - p.oliv Teorem 2.9 Sio x, y R; per ogi, m N si h x +m = x x m (2.3) (x ) m = x m (2.4) (xy) = x y (2.5) (2.6) Fi qui bbimo defiito cos itedimo per umero rele, turle, itero e rziole m o bbimo itrodotto u simbolismo deguto. Abbimo fio d or idetificto u umero utilizzdo u simbolo, m è chiro che i tl modo possimo utilizzre cotemporemete solo pochi umeri dto che, per chirezz, è ecessrio servirsi solo di u piccolo umero di segi (simboli o cifre) diversi; è quidi utile itrodurre u sistem di rppresetzioe che utilizzi solo u umero piccolo di cifre e si i grdo di forire u degut rppresetzioe dei umeri,che molto grdi, che ci iteresso. Tle tipo di rppresetzioe fu itrodott i Europ d Leordo Piso, detto Fibocci, cioè figlio di Boccio ttoro l 1400, m er impiegt dgli rbi già d molto tempo. Ess prede il ome di otzioe posiziole e si fod sul seguete semplice ftto Lemm 2.2 Per ogi N {0}, e per ogi b N, esistoo e soo uici q, r N {0} tli che Dimostrzioe. Posto q = E(/b) si h = bq + r, r < b (2.7) q /b < q + 1 e bq < b(q + 1) Pertto, posto r = bq si h r N {0} e bq + r = < bq + b d cui r < b 2.1 Rppresetzioe dei umeri turli i bse b Sio 0, b N, 0 b > 1; e defiimo il seguete lgoritmo per ogi N {0} idichimo co e c gli uici elemeti di N {0} (vedi il lemm 2.2) tli che = +1 b + c, c < b (2.8) I umeri così geerti soddisfo iteressti proprietà: ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

21 lisi mtemtic = 0 +1 < iftti Dl mometo che +1 = E( /b) e poiché b > 1 +1 /b < 2. Esiste 0 N tle che 0 = 0 ed 0 +1 = 0 Se = 0 implicsse +1 = 0 vremmo, per il pricipio di iduzioe che = 0 per ogi N, si vrebbe essedo 1 < 0 ed ioltre si potrebbe ffermre che 0 +1 < ( + 1) Ne verrebbe pertto, per il pricipio di iduzioe, che 0 N e ciò o è possibile i quto, per > 0, si vrebbe < 0 3. Risult: 0 = 0 k=0 c k b k. Iftti 0 1 b = c b = c b = c 2 = 0 = c 0 d cui moltiplicdo l secod ugugliz per b, l terz ugugliz per b 2 e così vi fio moltiplicre l ultim per b 0 si ottiee 0 1 b = c 0 1 b 2 b 2 = c 1 b 2 b 2 3 b 3 = c 2 b 2 = 0 b 0 = c 0 b 0 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

22 22 o.cligris - p.oliv e sommdo membro membro si ottiee 0 1 b + 1 b 2 b b 2 3 b b 0 = = c 0 + c 1 b + c 2 b c 0 b 0 (2.9) e cioè 0 = 0 k=0 c k b k È evidete questo puto che possimo idetificre i mier uivoc il umero 0 medite l sequez dei umeri c k, che risulto iteri positivi o ulli, miori di b. I ltre prole coveimo di rppresetre i bse b il umero 0 medite l lliemeto ordito dei umeri c k trovti seguedo il procedimeto descritto; defiimo cioè Osservimo esplicitmete che r( 0 ) = c 0 c 0 1c c 2 c 1 c 0. 0 c k < b e che r( 0 ) = 0 0 < b Possimo verificre che, per come è stt costruit 1. L rppresetzioe i bse b di u umero turle è uic; 2. Ogi lliemeto fiito di cifre i bse b α k, 0 α k < b, k = 0, 1,..., 0 co α 0 = 0, idetific u umero N medite l = 0 k=0 α k b k Si può pertto cocludere che ogi umero turle può essere idividuto o ppe si dispog di b simboli diversi che chimeremo cifre. Usulmete si doper per questo scopo u umero di simboli o cifre che è pri l umero delle dit delle mi di u uomo; tli simboli soo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 I primi due soo usti per idetificre rispettivmete zero (l elemeto eutro rispetto ll somm) ed uo (l elemeto eutro rispetto ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

23 lisi mtemtic 1 23 l prodotto), metre i successivi servoo d idicre i umeri turli d due ove (secodo l termiologi i uso ell ligu itli). I umeri d dieci i poi si idico ivece fcedo ricorso più di u cifr. Nturlmete l scelt dell bse b = 10 o è l uic possibile é è l sol ust frequetemete. Oltre ll otzioe decimle iftti si f spesso ricorso ll otzioe biri, che corrispode ll scelt b = 2 e che f uso delle sole cifre 0, 1 ll otzioe ottle, che corrispode ll scelt b = 8 e us le cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e ll otzioe esdecimle che corrispode ll scelt b = 16 (decimle) e che f uso dell cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Osservzioe. Il ruolo dell bse b = 2 è divetto bsilre i seguito llo sviluppo degli elbortori; iftti l memori di u elbortore è i grdo di registrre i ogi sigol posizioe di memori due stti: ttivo e o ttivo, vero e flso, 1 e 0. Può pertto i mier semplice memorizzre u umero come u sequez di stti biri. Le bsi b = 8 e b = 16 soo di coseguez importti i quto 8 = 2 3 e 16 = 2 4 e l coversioe di bse tr umeri biri ottli o esdecimli risult molto semplice. A titolo di esempio osservimo che le segueti rppresetzioi i bse 2, 8 e 16 corrispodoo l vlore decimle F F Tbell 2.1: È che utile ricordre che l umerzioe i bse 2 h il vtggio di usre poche cifre e quidi di ecessitre di semplicissime tbellie di ddizioe e di moltipliczioe, metre h lo svtggio di dover usre molte cifre che per umeri piccoli. Al cotrrio l umerzioe i bse 16 h tbellie di ddizioe e di moltipliczioe complicte m è i grdo di rppresetre grdi umeri co poche cifre. Dl mometo che si h Z = N {0} ( N) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

24 24 o.cligris - p.oliv possimo otteere che l rppresetzioe i bse b di ogi umero itero. Per quto cocere i umeri reli o iteri o srà i geerle possibile idetificrli medite u lliemeto fiito di cifre, possimo però provre che ogi umero rele si può pprossimre co rbitrri precisioe medite lliemeti fiiti di cifre. 2.2 Approssimzioe dei umeri reli i bse b Ache i questo cso possimo defiire u lgoritmo che è i grdo di geerre u lliemeto di cifre, che può essere ifiito, medite il qule ogi umero rele può essere pprossimto co rbitrri precisioe. Si x R, x > 0 e si b N, b > 1 defiimo c 0 = E(x) c 1 = E((x c 0 )b) c 2 = E((x c 0 c 1 b )b2 ) = c = E((x 1 k=0 Defiimo ioltre x = k=0 c k b k )b ) c k b k (2.10) x si chim pprossimzioe i bse b di ordie del umero rele x. Usulmete si scrive x = c 0, c 1 c 2 c 3...c oppure x = c 0.c 1 c 2 c 3...c Se x R, x < 0 si defiisce x = ( x) Nel seguito tuttvi fremo sempre riferimeto l cso i cui x > x x < b, 0 c +1 < b Iftti osservdo che c = E((x x 1 )b ) e che x = x 1 + c b ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

25 lisi mtemtic 1 25 si h ed che d cui c (x x 1 )b < c + 1 c b x x 1 < c b + b 0 x x < b Ioltre moltiplicdo l precedete disugugliz per b +1 si ottiee 0 (x x )b +1 < b e c +1 = E((x x )b +1 ) < b 2. Si deduce quidi subito che x x Ciò si esprime dicedo che x è u pprossimzioe per difetto del umero rele x. Si vede ltresì che l pprossimzioe di x può essere ftt co precisioe rbitrri pur di umetre l ordie. Iftti 3. Per ogi x R si h Abbimo già osservto che x = sup{x : N} x x D ltro cto si h x x < 1/b e possimo che ffermre che Se b N, b > 1 si h b >, N Iftti per = 1 si h b > 1 ioltre se b > llor b +1 > + 1 i quto b +1 = b b > b 2 = Poichè per ogi ε > 0, esiste N tle che ε > 1/ possimo llor cocludere che ε > 1/ ε > 1/b ε. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

26 26 o.cligris - p.oliv Si possoo ltresì provre i segueti risultti. 1. Per ogi x R e per ogi ε R, ε > 0, esiste q Q : x q < ε. Scelto q = x ε, co b ε > 1/ε, è immedito verificre che q Q e che x q < ε. 2. Per ogi x, y R, x < y, esiste q Q tle che x < q < y 3. Per ogi x, y Q, x < y, esiste z R\Q tle che x < z < y Iftti detto z = (x + y)/2 e scelto q = z ε tle che b ε > 3/(y x), è immedito verificre che q Q e x < q < y. L secod ffermzioe segue dll esistez di lmeo u irrziole; se iftti α è u umero irrziole compreso i (0, 1), d esempio α = 2 1, vremo che x + α(y x) (2.11) o è rziole ( se lo fosse, poichè x, y Q si vrebbe che α Q) ed è compreso i (x, y) Osservimo che quidi che tr due reli x < y esiste u irrziole, iftti si possoo trovre x < y co x < x < y < y Questo risultto si esprime usulmete dicedo che Q è deso i R. I reltà il risultto provto è più preciso i quto ssicur che il sottoisieme dei umeri rzioli che si possoo scrivere ell form ust i 2.10 è deso i R. Nel cso i cui b = 10 i umeri che si possoo scrivere i tle form si chimo umeri decimli fiiti. Osservzioe. È d uso, lvordo co i umeri reli, doperre l rett euclide come modello dei umeri reli. Iftti, ssumedo i postulti dell geometri euclide ed il postulto di cotiuità di Dedekid, si possoo defiire sull rett le operzioi di ddizioe e moltipliczioe, u relzioe di equivlez ed u d ordie, i modo che sio verificti gli ssiomi che idetifico i umeri reli. È ioltre utile costruire u rppresetzioe geometric del prodotto crtesio R R = R 2. Ciò può essere otteuto idetificdo R 2 co u pio. Cosiderimo pertto u pio α e fissimo su di esso due rette r 1 ed r 2, dette ssi crtesii, che si iterseco el puto O, detto origie. Usulmete dopereremo le lettere x ed y per idicre i puti di r 1 ed r 2 rispettivmete; per tle rgioe diremo che r 1 è l sse x e che r 2 è l sse y. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

27 lisi mtemtic 1 27 Ogu delle rette può essere iterprett come R ed è chiro che procededo come i figur?? si può idetificre ogi coppi di umeri reli co u puto del pio α e vicevers. Qulor r 1 ed r 2 sio tli che ruotdo r 1 i seso tiorrio, di u golo iferiore d u golo pitto, fio sovrpporl d r 2, i puti che rppreseto le uità sulle due rette sto dll stess prte rispetto l puto O, l rppresetzioe si chim destrors; i cso cotrrio si dice siistrors. Qulor le rette r 1 ed r 2 sio perpedicolri, l rppresetzioe si chim ortogole. Qulor si scelgo i r 1 ed r 2 segmeti uitri uguli, l rppresetzioe si dice moometric. Usulmete dopereremo u rppresetzioe destrors, ortogole e moometric, che chimimo sistem crtesio. Figur 2.3: Sistem di riferimeto Crtesio Per cocludere ricordimo lcue otzioi: Defiizioe 2.12 Sio, b R, defiimo (, b) = {x : x R, < x < b } [, b] = {x : x R, x b } [, b) = {x : x R, x < b } (, b] = {x : x R, < x b } (, + ) = {x : x R, x > }, + ) = {x : x R, x } (, ) = {x : x R, x < } (, ] = {x : x R, x } 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

28 28 o.cligris - p.oliv Defiimo ioltre R + = {x : x R, x > 0 } R + = {x : x R, x 0 } R = {x : x R, x < 0 } R = {x : x R, x 0 } Defiizioe 2.13 Si A R, dicimo che A è perto se x A r > 0 tle che (x r, x + r) A Dicimo che A è chiuso se A c è perto. Dicimo che A è comptto se è chiuso e limitto. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

29 3. Fuzioi Reli di u Vribile Rele Il cocetto di fuzioe è di fodmetle importz; Defiizioe 3.1 Dicimo che è dt u fuzioe rele di u vribile rele se soo ssegti u sottoisieme D R ed u corrispodez f che d ogi elemeto x D ssoci uo ed u solo elemeto y R. Defiizioe 3.2 Chimimo D domiio dell fuzioe e deotimo co f (x) (si legge f di x) il corrispodete di x secodo l legge ssegt f ; spesso useremo il termie vlore di f i x oppure f clcolt i x per idicre f (x) e chimimo x rgometo di f(x); per idicre l corrispodez f scrivimo che x f (x) oppure x y = f (x). Chimimo rgo di f l isieme R( f ) = {y R : x D, y = f (x)}. Per idicre u fuzioe scrivimo f : D R, specificdo prim dell frecci il domiio D di f, m o curdoci di precisre, dopo l frecci, il suo rgo. Osservzioe. Distiguimo fi d or due otzioi che sro uste co sigificti completmete diversi. Useremo f per idicre l legge di corrispodez di u fuzioe ed f (x) per idicre il vlore di f i x, (quidi f (x) è u umero rele). Spesso, ell ssegre u fuzioe, dremo soltto l legge di corrispodez f ; i tl cso sottoitedimo sempre che D è il più grde sottoisieme di R i cui elemeti possoo essere usti come rgometi di f. Ad ogi fuzioe è possibile ssocire u sottoisieme del prodotto crtesio R R (che idicheremo spesso co R 2 ) che l crtterizz i mier complet e dll qule è completmete crtterizzto. Defiizioe 3.3 Si f : D R, defiimo grfico di f G( f ) = {(x, y) R 2 : x D, y = f (x)}

30 30 o.cligris - p.oliv Medite l defiizioe 3.2 è possibile ssocire i mier uivoc u sottoisieme G (= G( f )) d ogi fuzioe f : D R. No è ltrettto vero che d ogi sottoisieme G R 2 è possibile ssocire u fuzioe f : D R. Ciò ccde solo el cso i cui G soddisfi u prticolre proprietà. Defiizioe 3.4 Dicimo che G R 2 soddisf l proprietà (g) se (g) (x, y 1 ), (x, y 2 ) G y 1 = y 2 Teorem 3.1 Per ogi G R 2, G soddisfcete l proprietà (g), esistoo uici D R ed f : D R tli che G = gph f. Dimostrzioe. Defiimo D = {x R : y R, (x, y) G} e si f (x) = y dove y è l uico elemeto di R tle che (x, y) G. Dl mometo che G soddisf l proprietà (g), D ed f verifico le proprietà richieste. Defiizioe 3.5 Si f : D R, si A D, defiimo restrizioe di f d A l fuzioe g : A R tle che g(x) = f (x) x A. Idichimo co f A l restrizioe di f d A. Sio ivece B D e g : B R; dicimo che g è u prolugmeto di f B se g D = f. Defiizioe 3.6 Si f : D R, dicimo che 1. f è iiettiv se x 1, x 2 D f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 I ltre prole f è iiettiv se ogi rett prllel ll sse delle x itersec gph f i u solo puto. 2. Si A R, dicimo che f è surgettiv su A se R( f ) = A, cioè se y A x D : y = f (x). Per esprimere che f è surgettiv su A diremo che che f : D A è surgettiv. (Si osservi che i questo cso bbimo specificto dopo l frecci il rgo di f ). Si f : D A, dicimo che f è bigettiv se è iiettiv e surgettiv. Osservzioe. Ogi fuzioe è surgettiv sul suo rgo. Defiizioe 3.7 Sio f, g : D R, defiimo 1. f + g : D R come ( f + g)(x) = f (x) + g(x) x D 2. f g : D R come ( f g)(x) = f (x) g(x) x D ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

31 lisi mtemtic g : D 1 R come 1 g (x) = 1 g(x) x D 1 = {x D : g(x) = 0} Defiizioe 3.8 Sio f : D R e g : B R e suppoimo che R(g) D. Defiimo fuzioe compost di g ed f l fuzioe che d ogi x B ssoci f (g(x)) R. Defiizioe 3.9 Dicimo che u fuzioe f : D A è ivertibile se esiste u fuzioe g : A D tle che f (g(y)) = y y A (3.1) g( f (x)) = x x D (3.2) Per idicre g usimo il simbolo f 1 cosicché è l ivers di f. f 1 : A D Teorem 3.2 Si f : D A, f è ivertibile se e solo se f è bigettiv. Dimostrzioe. Suppoimo f ivertibile; llor y A f ( f 1 (y)) = y e ciò prov che f è surgettiv su A. Sio poi x 1, x 2 D e si f (x 1 ) = f (x 2 ), llor x 1 = f 1 ( f (x 1 )) = f 1 ( f (x 2 )) = x 2 e ciò prov l iiettività di f. Suppoimo vicevers che f si bigettiv e defiimo, per ogi y A, f 1 (y) = x dove x è l uico elemeto di D tle che f (x) = y. I ltre prole f 1 (y) = x y = f (x). Si h llor f 1 ( f (x)) = f 1 (y) = x x D f ( f 1 (y)) = f (x) = y y A. Defiizioe 3.10 Si f : D R e suppoimo che D si simmetrico rispetto ll origie (cioè x D x D); dicimo che f è u fuzioe pri se f (x) = f ( x) x D; dicimo che f è u fuzioe dispri se f (x) = f ( x) x D. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

32 32 o.cligris - p.oliv Defiizioe 3.11 Si f : D R, dicimo che f è crescete (strettmete crescete) se x, y D, x < y f (x) f (y) ( f (x) < f (y)). Dicimo che f è decrescete (strettmete decrescete) se x, y D, x < y f (x) f (y) ( f (x) > f (y)) Defiizioe 3.12 Si f : D R, dicimo che f è mootò (strettmete mootò) se f è crescete oppure decrescete (strettmete crescete oppure strettmete decrescete). Teorem 3.3 Si f : D R, f è mootò (strettmete mootò) se e solo se x, y, z D, x < y < z [ f (y) f (x)][ f (z) f (y)] 0 (> 0). Dimostrzioe. L sufficiez è ovvi, provimo l ecessità. Sio, b, x 1, x 2 D, < b x 1 x 2, [ f () f (b)][ f (b) f (x 1 )][ f (b) f (x 1 )][ f (x 1 ) f (x 2 )] 0; perciò f (x 1 ) f (x 2 ) h lo stesso sego di f () f (b) ed f è mooto i D [b, + ). I mier log si prov che f è mooto su D (, b] e quidi su D i quto se < b < c [ f () f (b)][ f (b) f (c)] 0 Nel cso i cui f si strettmete mooto tutte le disuguglize soo d itedersi i seso stretto. Teorem 3.4 Si f : D A surgettiv e strettmete mooto, llor f è ivertibile ed f 1 : A D è strettmete mooto. Più precismete se f è strettmete crescete (decrescete), f 1 è strettmete crescete (decrescete). Dimostrzioe. Suppoimo che f si strettmete crescete e vedimo che f è iiettiv. Sio x, y D tli che f (x) = f (y); se si vesse, per ssurdo, x < y, si potrebbe dedurre che f (x) < f (y) e ciò è i cotrsto co l ipotesi che f (x) = f (y). Pertto x = y. Si h quidi che f è ivertibile e f 1 (y) = x se e solo se y = f (x) per ogi x D e per ogi y A. Sio or y 1, y 2 A, y 1 < y 2 e sio x 1, x 2 D i modo che y 1 = f (x 1 ) e y 2 = f (x 2 ) se fosse x 1 x 2 si vrebbe f (x 1 ) f (x 2 ) e y 1 y 2 e ciò è ssurdo. Se e deduce che x 1 < x 2 e l strett crescez di f 1. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

33 lisi mtemtic 1 33 Defiizioe 3.13 Si f : D R, dicimo che f è superiormete fuzioe superiormete limitt limitt se esiste M R tle che f (x) M x D dicimo che f è iferiormete limitt fuzioe superiormete limitt se esiste m R tle che f (x) m x D dicimo che f è limitt fuzioe limitt se è si superiormete che iferiormete limitt. Osservzioe. f è limitt (superiormete) [iferiormete] se e solo se R( f ) è limitto (superiormete) [iferiormete]. Defiizioe 3.14 Si f : D R, dicimo che x 0 D è u puto di miimo ssoluto per f se f (x 0 ) f (x) x D dicimo che x 0 D è u puto di mssimo ssoluto per f se f (x 0 ) f (x) x D Teorem 3.5 Si f : D R, ffiché x 0 D si u puto di miimo (mssimo) ssoluto per f è sufficiete che f si decrescete (crescete) i (, x 0 ] D e crescete (decrescete) i [x 0, + ) D. Teorem 3.6 Sio f : D R, g : A R tli che R(g) D, llor f strettmete crescete, g strettmete crescete f (g( )) strettmete crescete; f (g( )) strett- f strettmete crescete, g strettmete decrescete mete decrescete; f strettmete decrescete, g strettmete crescete mete decrescete; f (g( )) strett- f strettmete decrescete, g strettmete decrescete f (g( )) strettmete crescete. Ioltre, le stesse sserzioi vlgoo boledo ovuque l prol strettmete. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

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35 4. Le Fuzioi Elemetri Per costruire modelli che coivolgoo fuzioi occorre vere u certo umero di fuzioi, che chimeremo elemetri, di cui soo ote le proprietà. Usdo tli fuzioi si possoo costruire l mggior prte delle fuzioi ecessrie per l impostzioe di modelli mtemtici. È pertto molto importte u buo cooscez e dell defiizioe delle fuzioi elemetri e delle loro pricipli proprietà. Nturlmete l clsse delle fuzioi elemetri, sebbee codifict e delimitt dll lettertur e dll trdizioe mtemtic è i qulche modo pert uovi igressi che si redo di uso frequete i ppliczioi future. 4.1 Le fuzioi Poteze Comicimo co il defiire cos si itede per potez di espoete turle; Defiizioe 4.1 Si N, defiimo l fuzioe p : R R medite l p (x) = x ; p si dice potez di espoete e di bse x. Teorem 4.1 Si N, p è strettmete crescete i R +. Dimostrzioe. Procedimo per iduzioe; è izi tutto ovvio che p 1 è strettmete crescete i R + ed ioltre se suppoimo p crescete i R +, presi x > y 0 si h p +1 (x) = xp (x) > xp (y) yp (y) = p +1 (y) e p +1 è strettmete crescete su R + Teorem 4.2 Si N, pri, llor 1. p (x) = p ( x) per ogi x R 2. p è strettmete decrescete su R

36 36 o.cligris - p.oliv 3. R(p ) = R + Dimostrzioe. 1. Poichè è pri si h = 2k, k N e x = x 2k = (x 2 ) k = (( x) 2 ) k = ( x) 2k = ( x) 2. Sio x < y 0, llor x > y 0 e dl teorem 4.2, p (x) = p ( x) > p ( y) = p (y) 3. È evidete che R(p ) R + i quto x = x 2k e x 2 0, l iclusioe oppost dipede dl ftto che p è u fuzioe cotiu e dl teorem dei vlori itermedi. Proveremo tle iclusioe suo tempo. Teorem 4.3 Si N, dispri, llor 1. p (x) = p ( x) per ogi x R 2. p è strettmete crescete su R 3. R(p ) = R. Dimostrzioe. 1. Poiché è dispri si h = 2k + 1 e p (x) = x 2k+1 = xx 2k = ( x)( x) 2k = ( x) = p ( x) 2. Sio x < y 0, llor x > y 0 e, per il teorem 4.2, p (x) = p ( x) > p ( y) = p (y). 3. Ache i questo cso rimdimo l dimostrzioe l seguito. Abbimo visto che, se N, pri, llor p : R + R + è strettmete crescete e surgettiv; pertto p è ivertibile ed è lecito defiire r : R + R + come r = (p ) 1. Se x R +, r (x) si dice rdice -esim di x. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

37 lisi mtemtic 1 37 Si N, dispri, bbimo già visto che p : R R è strettmete crescete e surgettiv; pertto p è ivertibile ed è lecito defiire r : R R come r = (p ) 1 Se x R, r (x) si dice rdice -esim di x. Figur 4.1: Poteze d espoete turle Teorem 4.4 Si N 1. se è pri, r : R + R + è strettmete crescete; 2. se è dispri, r : R R è strettmete crescete. Defiimo cor le poteze d espoete egtivo. Defiizioe 4.2 Si N, p : R \ {0} R è defiit come p (x) = 1/p (x) ioltre, p 0 : R R è defiit d p 0 (x) = 1 x R 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

38 38 o.cligris - p.oliv Figur 4.2: Rdici d espoete turle Per studire le proprietà di crescez, decrescez e ivertibilità di p srà sufficiete fre ricorso l seguete risultto. Teorem 4.5 Si f : D R tle che f (x) > 0 per ogi x D; llor 1. f è (strettmete) crescete 1/ f è (strettmete) decrescete; 2. f è (strettmete) decrescete 1/ f è (strettmete) crescete. Defiizioe 4.3 Si s Q, s = m/, m Z, N; defiimo l fuzioe f s : R + R + medite l f s (x) = p m (r (x)) = r (p m (x)) Se x R +, f s (x) si dice potez d espoete frziorio di espoete s di bse x. Osservzioe. Se x R + l defiizioe 4.3 è idipedete dll rppresetzioe di s i form frziori e dll ordie i cui viee ftt l composizioe tr potez e rdice. Se ivece x R può ccdere che r (p m (x)) si defiito che qudo p m (r (x)) o lo è. Ioltre, se m/, m / soo due diverse rppresetzioi frziorie dello stesso umero rziole s, può ccdere che r (p m (x)) si defiito metre r (p m (x)) o lo è. (Si cosideri d esempio m = 2 ed = 4; llor se x < 0 si h che r 4 (p 2 (x)) è defiito metre p 2 (r 4 (x)) o. Ioltre se m = 1 e = 2 r 4 (p 2 (x)) è defiito metre r 2 (p 1 (x)) o.) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

39 lisi mtemtic 1 39 Figur 4.3: Poteze d espoete egtivo [] Pertto per vlori di x R cosiderimo l composizioe di poteze e rdici ove ess h seso, m o defiimo i lcu modo l fuzioe potez d espoete rziole. Ribdimo cor che ciò è dovuto l ftto che o è gevole, e tlvolt o è possibile, defiire i modo uivoco l potez d espoete rziole i R. Ciò o sigific comuque riucire cosiderre l composizioe di u potez di espoete e di u rdice di idice m, qulor ess bbi seso, che per vlori dell rgometo egtivi. Ad esempio è chiro che p 2 (r 3 ( 2)) risult perfettmete ed uivocmete idividuto. I csi simili tuttvi, pur trttdo l fuzioe compost p m (r ( )) o prleremo di potez d espoete rziole m e o pretederemo di pplicre p m (r ( ))le proprietà delle poteze i quto, come visto, potrebbero risultre flse. Teorem 4.6 Si s Q, s > 0, e si f s : R + R +, llor f s è strettmete crescete. Dimostrzioe. Iftti se s = m > 0 llor si h m, N e quidi x s = p m (r (x)) = r (p m (x)) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

40 40 o.cligris - p.oliv è l composizioe di due fuzioi strettmete cresceti. Figur 4.4: Poteze d espoete positivo E ioltre possibile dimostrre che le usuli regole di clcolo delle poteze turli cotiuo vlere che per le poteze d espoete rziole I ltre prole si può provre che 1. x s+r = x s x r 2. (x s ) r = x sr 3. (xy) s = x s y s Si dimostr ltresì che Se s, r Q, e se x, y R +, llor si h: Teorem 4.7 Se x > 1 l fuzioe Q r x r è crescete su Q I ltre prole per s, r Q, s < r; si h Dimostrzioe. Si h x s < x r x r x s = x s (x r s 1) > 0 i quto x s > 0 e x r s > 1 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

41 lisi mtemtic 1 41 dl mometo che essedo r s > 0 l fuzioe x x r s è crescete ed x > 1. Per poter defiire l potez d espoete rele potez che per espoeti reli è ecessrio ricordre che piccole vrizioi dell espoete rziole corrispodoo piccole vrizioi dell potez; più precismete possimo ffermre che: Teorem 4.8 Si x > 1 e si r Q, llor per ogi ε > 0 esiste ε N tle che 0 < x r x r 1/ ε < ε Sfruttdo quest proprietà è fcile cpire come si turle defiire x per ogi x > 1. Nel cso i cui si ivece 0 < x < 1 potremo cosiderre ( ) 1 x > 1, clcolre 1x e defiire x = 1 x = ( ) 1 x Se x = 1, ifie defiimo 1 = 1 per ogi. Defiizioe 4.4 Si x > 1 e si R; defiimo x = sup{x r : r Q, r } = sup{x r : r Q, r < } L precedete defiizioe fferm implicitmete che i due estremi superiori che vi figuro soo reli ed uguli; possimo iftti verificre che Sio A = {x r : r Q, r } e B = {x r : r Q, r < } llor sup A = sup B R Defiizioe 4.5 Se x = 1 defiimo 1 = 1 per ogi R. Se 0 < x < 1 defiimo x = (1/x). A prtire dll defiizioe dt possimo verificre che l qutità x per x > 0 ed R soddisf le proprietà che simo bituti d usre qudo meggimo poteze. 1. x > 0 2. x +b = x x b 3. (x ) b = x b 4. (xy) = x y 5. 1/(x ) = x se x, y > 0 e se, b R, llor 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

42 42 o.cligris - p.oliv 4.2 Sull defiizioe di potez rele Teorem 4.9 Se x > 1 e se r Q, per ogi ε > 0 esiste ε N tle che 0 < x r+1/ ε x r < ε Dimostrzioe. Per il teorem 4.7 è ovvio che x r+1/ x r > 0 d ltro cto si h x r+1/ x r = x r (x 1/ 1) Si y = x 1/ 1 d cui x = (y + 1) > 1 + y ed che y < (x 1)/ Per il teorem 2.7 (pricipio di Archimede) si h llor che esiste ε N tle che y ε < ε/x r e si ottiee che 0 < x r+1/ ε x r < (ε/x r )x r = ε Corollrio 4.1 Si x > 1 e si r Q, llor per ogi ε > 0 esiste ε N tle che Dimostrzioe. Si ricordi che 0 < x r x r 1/ ε < ε x r x r 1/ = (x r+1/ x r )/(x 1/ ) e che x 1/ > 1 Sio A = {x r : r Q, r } e B = {x r : r Q, r < } llor sup A = sup B R ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

43 lisi mtemtic 1 43 Iftti itto è ovvio che B A ed ioltre che 0 m(a) ed x t M(A) se t Q, t > ; co il che si prov subito che i due isiemi soo limitti si superiormete che iferiormete e che posto α = sup A, β = sup B α, β R. Provimo che α = β. E itto ovvio che α x r per ogi r Q, r < ; ioltre ε > 0 r ε Q tle che r ε e x r ε > α ε/2. Si or ε N tle che ε/2 > x r ε x r ε 1/ ε > 0 ; si h r ε 1/ ε < ed che x r ε 1/ ε = x r ε x r ε + x r ε 1/ ε > x r ε ε/2 > α ε/2 ε/2 = α ε Ciò è sufficiete per cocludere che ε > 0 r ε Q tle che r ε < e x r ε > α ε e pertto α = sup B = β Teorem 4.10 se x, y > 0 e se, b R, llor 1. x > 0 2. x +b = x x b 3. (x ) b = x b 4. (xy) = x y 5. 1/(x ) = x Dimostrzioe. Cosiderimo come l solito il cso x, y > è immedito dll defiizioe; 2. x = sup{x r : r Q, r < } = sup A x b = sup{x s : s Q, s < b} = sup B x +b = sup{x t : t Q, t < + b} = sup C 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

44 44 o.cligris - p.oliv Dl mometo che A, B, C R +, vremo cocluso se dimostrimo che C = A B i tl cso iftti si h. sup C = sup A sup B Itto è ovvio che C A B iftti si y A B llor y = x r x s co r, s Q, r <, s < b d cui y = x r+s co r + s < + b e y C. D ltro cto si w C, llor w = x t, t Q, t < + b; scelto r Q tle che t b < r < e posto s = t r < b si h w = x t = x r+s = x r x s, r, s Q, r <, s < b e pertto w A B. Le dimostrzioi di (3) e (4) possoo essere complette seguedo procedimeti loghi, m soo mcchiose e o verro qui pprofodite. Per quto rigurd (5) osservimo che x x = 1. Defiizioe 4.6 Si R, defiimo l fuzioe p : R + R + medite l x p (x) = x potez di espoete Teorem 4.11 Si R, vlgoo i segueti ftti: 1. Se > 0 llor p è strettmete crescete 2. Se < 0 llor p è strettmete decrescete 3. Se = 0 llor R(p ) = R + s Dimostrzioe. 1. Si 0 < x < y, occorre provre che x < y, cioè che x y < 0; si h x y = x (1 (y/x) ) e (y/x) > 1 pertto (y/x) r > 1 per ogi r Q, 0 < r e (y/x) > 1. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

45 lisi mtemtic 1 45 Figur 4.5: Poteze d espoete rele 2. È immedit coseguez di (1) 3. Il ftto che R(p ) R + segue dll defiizioe di potez, metre l dimostrzioe dell iclusioe oppost si ottiee medite il teorem dei vlori itermedi. Teorem 4.12 Si R, = 0, llor p è ivertibile su R + e p 1 = p 1/. Dimostrzioe. Srà sufficiete dimostrre che p (p 1/ (y)) = y y R + e p 1/ (p (x)) = x x R +. Si h iftti p (p 1/ (y)) = (y 1/ ) = y / = y e p 1/ (p (x)) = (x ) 1/ = x / = x. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

46 46 o.cligris - p.oliv 4.3 L fuzioe espoezile Defiizioe 4.7 Si R +, defiimo l fuzioe exp : R R + medite l x exp (x) = x espoezile di bse Figur 4.6: Espoezili di bse > 1 Teorem 4.13 Si > 0, vlgoo i segueti ftti 1. Se > 1 llor exp è strettmete crescete 2. Se 0 < < 1 llor exp è strettmete decrescete 3. Se = 1 llor R(exp ) = R +. Dimostrzioe. 1. Sio x, y R, x < y, llor esistoo r, s Q tli che x < r < s < y e perciò x r < s y dove l prim e l terz disugugliz discedoo dll defiizioe 4.4, metre l secod segue dl teorem è coseguez di (1) 3. Il ftto che R(exp ) R + è coseguez dell defiizioe di potez; l iclusioe oppost segue cor dl teorem dei vlori itermedi. 4.4 L fuzioe logritmo Defiimo or l fuzioe ivers dell espoezile. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

47 lisi mtemtic 1 47 Figur 4.7: Espoezili di bse, 0 < < 1 Figur 4.8: Espoezili Si R +, = 1, llor l fuzioe exp : R R + è strettmete mooto e surgettiv, pertto ess è ivertibile e si può cosiderre l fuzioe log : R + R defiit d log = exp 1 Se x R +, log (x) si dice logritmo i bse di x. Figur 4.9: Logritmi i bse mggiore di 1 Teorem 4.14 Si R, llor 1. Se > 1 llor log è strettmete crescete 2. Se 0 < < 1 llor log è strettmete decrescete 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

48 48 o.cligris - p.oliv Figur 4.10: Logritmi i bse miore di 1 Teorem 4.15 Sio, b R +,, b = 1, x, y R +, z R, llor 1. log (xy) = log (x) + log (y) 2. log (x z ) = z log (x) 3. log (x) = log (b) log b (x). Dimostrzioe. 1. Sio u = log (x) e v = log (y), llor x = exp (u) e y = exp (v), d cui xy = exp (u) exp (v) = exp (u + v) e u + v = log (xy) 2. Si u = log (x), llor x = exp (u) e x z = (exp (u)) z = exp (zu) per cui zu = log (x z ) 3. exp (log (b) log b (x)) = (exp (log (b))) log b (x) = exp b (log b (x)) = x e log (x) = log (b) log b (x) 4.5 Le fuzioi trigoometriche Ci pprestimo, per cocludere quest prte, defiire le cosiddette fuzioi circolri. A questo scopo bbimo bisogo di defiire l lughezz di u rco di circoferez. Possimo pprossimre, per difetto, l lughezz dell circoferez utilizzdo il perimetro dei poligoi regolri iscritti el cerchio ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

49 lisi mtemtic 1 49 Figur 4.11: Logritmi di rggio 1 metre il perimetro dei poligoi regolri circoscritti l pprossim per eccesso. Ovvimete otterremo u pprossimzioe tto più buo quto mggiore è il umero dei lti del poligoo cosiderto. Pertto possimo usre come prim pprossimzioe il perimetro di u trigolo equiltero procedere rddoppido il umero dei lti. Figur 4.12: c 2 l l c L c Sio quidi: L Il lto del poligoo regolre circoscritto di lti l lto del poligoo regolre iscritto di lti l 2,L 2 lto del poligoo regolre iscritto, circoscritto di 2 lti c, c 2 complemeti di l, l 2 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

50 50 o.cligris - p.oliv Figur 4.13: c c l l 2 c, l ed il dimetro per u estremo di l formo u trigolo rettgolo.,a soo le ree dei poligoi regolri iscritti e circoscritti. L similitudie dei trigoli trtteggiti i figur 4.13 ssicur che il segmeto che cogiuge il cetro del cerchio ed il puto medio di l misur 1 2 c. Ioltre, per l similitudie dei trigoli trtteggiti i figur 4.14 si h c L l L = 1 2 c d cui c = 2l L ed che c 2 = 2l 2 L 2 (4.1) Per l similitudie dei trigoli trtteggiti i figur 4.15 si h Figur 4.14: c 2 2 = l 2 l 2, c 2 = l l 2 (4.2) Pertto c 2 c 1 2 c l l 2 L 2l 2 L 2 = c 2 = l l 2 d cui 2l 2 2 = l L 2 e, se chimimo p e P i perimetri dei poligoi regolri di lti iscritti e circoscritti, otteimo Figur 4.15: ed ifie 4 2 l 2 2 = l 2L 2 d cui p 2 2 = p P 2 p 2 = p P 2 c c l l 2 Per il Teorem di Tlete pplicto l trigolo trtteggito i Figur 4.16 si h c L e, teedo coto delle 4.1,4.2 c 2 2 = 2( c ) = 2 + c Figur 4.16: 2l L 2 = 2l l 2 l 2 L 2 = c 2 c 2 = c 2 2 = 2 + c = 2 + 2l L c 2 c l l c L 7 1 L 2 = 1 l + 1 L e L 2 = l L L + l L 2 = Pertto vremo che l L L + l cioèp 2 = p P p + P p 2 = p P 2 P 2 = 2p P p +P Possimo pertto cosiderre due successioi defiite d ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

51 lisi mtemtic 1 51 p + k = P 2 k, p k = p 2 k i cui vlori soo i perimetri dei poligoi regolri circoscritti ed iscritti di 2, 4, 8, lti. È evidete che p k è crescete e limitt superiormete e che p + k è decrescete e limitt iferiormete; Ioltre è evidete che P + k p k tede zero. e se chimimo P = if p + k e p = supp k si h p 2 = pp P = 2pP p+p = P2 + pp = 2pP = P 2 = pp Ne segue subito che p = P e possimo usre tle vlore per defiire l lughezz dell circoferez uitri. Tle vlore viee solitmete idicto co 2π. (Le ffermzioi ftte soo dimostrbili el cotesto dei risultti sulle successioi umeriche.) Si clcol che p 48 = 288 ( ) e P 48 = ( ) ( ) L tbell mostr i vlori di p e di P per = 3 2 k co k = 1 10 k 3 2 k p P Errore e e e e e-3 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

52 52 o.cligris - p.oliv e e e e e-6 Tbell 4.1: Usulmete si idic co π l lughezz di u semicircoferez di rggio 1; si h co 51 cifre decimli estte: π = rd Figur 4.17: Defiizioe di rdite Defiizioe 4.8 Dicimo che u golo x misur 1 rdite se è l golo l cetro che sottede u rco di lughezz R i u circoferez di rggio R. (vedi fig.??) Osservzioe. Ovvimete u golo giro misur 2π rditi, metre u golo pitto misur π rditi. Più i geerle, se α è l misur di u golo i grdi sessgesimli e x è l misur dello stesso golo i rditi, si h α x = 180 π Quest relzioe permette di covertire rpidmete l misur di u golo d grdi i rditi e vicevers. Figur 4.18: Defiizioe di si e cos ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

53 lisi mtemtic 1 53 Defiizioe 4.9 Si x [0, 2π] e cosiderimo su di u circoferez di rggio 1, cetrt ell origie delle coordite, u rco Γ di lughezz x veti il primo estremo coicidete co il puto (1, 0) (vedi fig.??). Defiimo cos(x) e si(x) rispettivmete l sciss e l ordit del secodo estremo dell rco. Defiizioe 4.10 Defiimo cos : R R e si : R R ell seguete mier: si x R e si k = E(x/2π), llor 2kπ x < 2(k + 1)π. Figur 4.19: Grfico dell fuzioe si Figur 4.20: grfico dell fuzioe cos Poimo cos(x) = cos(x 2kπ) e si(x) = si(x 2kπ) Teorem 4.16 Vlgoo i segueti ftti 1. R(cos) = [ 1, 1] 2. R(si) = [ 1, 1] Dimostrzioe. E ovvio dll defiizioe che R(cos) [ 1, 1] e R(si) [ 1, 1]. Rimdimo l seguito l dimostrzioe dell iclusioe oppost. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

54 54 o.cligris - p.oliv Figur 4.21: grfico dell fuzioe t Defiizioe 4.11 Defiimo t : D R, D = {x = kπ + π/2, k Z}, medite l t(x) t(x) = si(x) cos(x) Defiizioe 4.12 Sio D R e T R tli che x D x + T D; si ioltre f : D R; f si dice periodic di periodo T se, x D, f (x) = f (x + T) Eucimo questo puto, sez dimostrrle, lcue fodmetli proprietà delle fuzioi itrodotte. 1. cos( x) = cos(x) 2. si( x) = si(x) 3. si 2 (x) + cos 2 (x) = 1 Sio x, y R, vlgoo i segueti ftti: 4. si(x + y) = si(x) cos(y) + cos(x) si(y) 5. cos(x + y) = cos(x) cos(y) si(x) si(y) 6. si e cos soo periodiche di periodo 2π 7. t è periodic di periodo π Vlgoo ioltre i segueti ftti 1. si : [ π/2, π/2] [ 1, 1] è strettmete crescete e surgettiv. 2. cos : [0, π] [ 1, 1] è strettmete decrescete e surgettiv. 3. t : ( π/2, π/2) R è strettmete crescete e surgettiv. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

55 lisi mtemtic 1 55 Figur 4.22: Grfico dell fuzioe rcsi Le verifiche delle proprietà eucite soo bste su cosiderzioi geometriche che qui o stimo d ivestigre. Defiizioe 4.13 Defiimo rccos : [ 1, 1] [0, π] (4.3) rcsi : [ 1, 1] [ π/2, π/2] (4.4) rct : R ( π/2, π/2) (4.5) medite le rccos = cos 1 (4.6) rcsi = si 1 (4.7) rct = t 1 (4.8) Figur 4.23: Grfico dell fuzioe rccos L defiizioe è be post e vlgoo i segueti ftti: 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

56 56 o.cligris - p.oliv Teorem 4.17 L fuzioe rccos è strettmete decrescete su [ 1, 1]; l fuzioe rcsi è strettmete crescete su [ 1, 1]; l fuzioe rct è strettmete crescete su R. Figur 4.24: Grfico dell fuzioe rct Osservzioe. Occorre ricordre sempre che l deomizioe rcsi, rccos ed rct è riservt lle iverse delle fuzioi trigoometriche egli itervlli idicti ell defiizioe 4.13 Nturlmete, tli itervlli o soo gli uici i cui le fuzioi i questioe soo ivertibili, tuttvi se voglimo ivertire u fuzioe trigoometric i itervlli diversi d quelli sopr citti dobbimo teer presete che le fuzioi che otteimo soo differeti d quelle defiite i I prticolre è opportuo ricordre che si(rcsi(x)) = x x [ 1, 1] (4.9) cos(rccos(x)) = x x [ 1, 1] (4.10) t(rct(x)) = x x R (4.11) ( ) x + 3π/2 rcsi(si(x)) = x 2kπ + π/2 π/2 x R, k = E 2π (4.12) ( ) x + π rccos(cos(x)) = x 2kπ x R, k = E (4.13) 2π ( ) x + π/2 rct(t(x)) = x kπ x R, k = E (4.14) π (4.15) Le otzioi rcsi, rccos, rct o soo uiverslmete dottte. Nel seguito useremo che le otzioi s, cs, t, rispettivmete. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

57 lisi mtemtic 1 57 Figur 4.25: Grfico dell fuzioe rct(t) Figur 4.26: grfico dell fuzioe rcsi(si) Figur 4.27: Grfico dell fuzioe rccos(cos) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

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59 5. Defiizioe di Limite e sue Cosegueze Il cocetto di limite è cetrle i tutt l lisi e d esso dipede l essez stess del clcolo ifiitesimle. Si trtt di formlizzre u cocetto che coset di estedere il cocetto di ugugliz lgebric. A questo scopo è ecessrio premettere lcui cocetti. Coveimo di idicre co R l isieme R {± }, che chimeremo R esteso. Defiizioe 5.1 Si x R e δ > 0, defiimo mpiezz δ l isieme I(x, δ) defiito d itoro di cetro x e I(x, δ) = (x δ, x + δ) (5.1) I(+, δ) = (δ, + ) (5.2) I(, δ) = (, δ) (5.3) Defiimo itoro bucto di cetro x e mpiezz δ l isieme I o (x, δ). I o (x, δ) = I(x, δ) \ {x} (5.4) I o (+, δ) = I(+, δ) (5.5) I o (, δ) = I(, δ) (5.6) Defiizioe 5.2 Si A R, dicimo che x R è u puto di ccumulzioe per A se δ R + A I o (x, δ) = (5.7) Idichimo co D(A) l isieme dei puti di ccumulzioe di A; D(A) si idic usulmete co il ome di isieme derivto di A. Osservimo esplicitmete che D(A) può o essere u sottoisieme di R i quto + e possoo essere elemeti di D(A). Defiizioe 5.3 Si f : D R, x 0 D(D) ed l R ; dicimo che lim f (x) = l (5.8) x x 0

60 60 o.cligris - p.oliv se ε > 0 δ ε > 0 tle che (5.9) x I o (x 0, δ ε ) D si h f (x) I(l, ε) Osservzioe. Nel cso i cui x 0 ed l sio etrmbi reli l 5.9 può essere riscritt ell seguete mier x D tle che 0 < x x 0 < δ ε si h f (x) l < ε (5.10) se x 0 = + ( ) ed l R l 5.9 diviee x D tle che x > δ ε (x < δ ε ) si h f (x) l < ε (5.11) Notimo che, el cso l R, se l 5.9 è verifict per ε (0, ε 0 ), ess è utomticmete verifict che per tutti gli ε ε 0, pur di defiire δ ε = δ ε0. Se x 0 R e l = + ( ) l 5.9 diviee x D tle che 0 < x x 0 < δ ε si h f (x) > ε ( f (x) < ε) (5.12) se x 0 = + ( ) e l = + ( ) l 5.9 diviee x D : x > δ ε (x < δ ε ) si h f (x) > ε ( f (x) < ε) (5.13) Notimo che qui che, el cso i cui l = + o l =, se l 5.9 è verifict per ε > ε 0, ess è utomticmete verifict pure per tutti gli ε (0, ε 0 ], pur di defiire δ ε = δ ε0. Osservzioe. Se esiste l R tle che vlg l defiizioe 5.3 si dice che f mmette limite fiito per x x 0 ; i cso cotrrio si dice che f o mmette limite fiito. Se esiste R tle che vlg l defiizioe 5.3 si dice che f mmette limite per x x 0 ; i cso cotrrio si dice che f o mmette limite. Defiizioe 5.4 Si f : D R, si x 0 D(D); dicimo che f è loclmete (superiormete) [iferiormete] limitt i x 0 se esiste M R ed esiste δ > 0 tle che f (x) M, ( f (x) M), [ f (x) M] x I(x 0, δ) D (5.14) Pssimo or dimostrre che u fuzioe che mmette limite fiito è loclmete limitt. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

61 lisi mtemtic 1 61 Teorem 5.1 Si f : D R, si x 0 D(D) e suppoimo che llor: lim f (x) = l x x 0 1. se l R, llor f è loclmete limitt i x 0 ; 2. se l > 0 (evetulmete l = + ) llor esiste δ > 0 ed esiste M R tle che se x I o (x 0, δ) D si h Dimostrzioe. 1. Si ε > 0, se x I o (x 0, δ ε ) si h e f (x) M > 0 l ε < f (x) < l + ε f (x) mx{ l + ε, l ε, f (x 0 ) } x I o (x 0, δ ε ) D 2. Si l R +, se x I o (x 0, δ l/2 ) D si h f (x) > l l/2 = l/2 > 0. Si ivece l = +, se x I o (x 0, δ 1 ) D si h f (x) > 1 > 0. Teorem 5.2 Si f : D R e si x 0 D(D); llor, se f mmette limite per x x 0, tle limite è uico. Dimostrzioe. Suppoimo che l 1 ed l 2 sio etrmbi limiti di f per x x 0 ; occorre distiguere lcui csi: se l 1, l 2 R, si h ε > 0, se x I o (x 0, δ ε/2 ) D, l 1 l 2 f (x) l 1 + f (x) l 2 < ε/2 + ε/2 = ε Se l 1 R ed l 2 = +, si h che se x I o (x 0, δ 1 ) D f (x) M m essedo l 2 = +, se x I o (x 0, δ M ) D si h f (x) > M; ciò è ssurdo per tutti gli x I o (x 0, δ) D, co δ = mi{δ 1, δ M }. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

62 62 o.cligris - p.oliv Se l 1 R ed l 2 = ci si ricoduce fcilmete l cso precedete, cosiderdo f i luogo di f. Se l 1 = + ed l 2 = si h il che è ssurdo. x I o (x 0, δ 1 ) D f (x) > 1 e f (x) < 1 Defiizioe 5.5 Suppoimo f : D R e si x 0 D(D + ) R, D + = {x D : x x 0 }. Dicimo che f (x) = l, l R lim x x + 0 se ε > 0 δ ε > 0 tle che se x D e x 0 < x < x 0 + δ ε si h f (x) I(l, ε) Se x 0 D(D ) R, D = {x D : x x 0 }, dicimo che lim x x 0 f (x) = l, l R se ε > 0 δ ε > 0 tle che se x D e x 0 δ ε < x < x 0 si h f (x) I(l, ε) Teorem 5.3 Si f : D R e si x 0 D(D + ) D(D ) R, llor se l R, si h lim f (x) = l lim x x 0 x x + 0 f (x) = lim x x 0 f (x) = l Dimostrzioe. Comicimo co l osservre che se il limite esiste ε > 0 esiste δ ε > 0 tle che se x 0 δ ε < x < x 0 + δ ε co x = x 0 ed x D si h f (x) I(l, ε) e ciò implic per l defiizioe 5.5, l tesi. Se vicevers esistoo i limiti d destr e d siistr ε > 0 esistoo δ 1 ε, δ 2 ε > 0 tli che se x 0 < x < x 0 + δ 1 ε, x D si h e se x 0 δ 2 ε < x < x 0, x D si h Pertto se si sceglie f (x) I(l, ε) f (x) I(l, ε) δ ε = mi{δ 1 ε, δ 2 ε } ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

63 lisi mtemtic 1 63 l defiizioe di limite è verifict. A questo puto è coveiete defiire i R le operzioi di ddizioe e di moltipliczioe che fio questo mometo soo defiite solmete i R. Osservimo esplicitmete che o soo pplicbili queste operzioi le usuli regole che permettoo di svolgere clcoli co i umeri reli. Riterremo pertto lecite tutte e sole le uguglize che coivolgoo gli elemeti + e che elechimo qui di seguito. Defiimo: x ± = ± + x = ± x R x(± ) = (± )x = ± x R + x(± ) = (± )x = x R x ± = 0 x R x = + x R \ {0} = +, = (± )(+ ) = ± ± = + Ricordimo ioltre che o soo defiite le segueti operzioi; +, 0(± ), ± ±, 0 0 i quto ciò potrebbe dr luogo fcilmete d icoveieti e d errte iterpretzioi. Teorem 5.4 Sio f, g : D R e si x 0 D(D); suppoimo che Allor lim f (x) = l 1 e lim g(x) = l 2, l 1, l 2 R x x 0 x x0 1. lim x x0 f (x) = l 1 2. lim x x0 ( f (x) + g(x)) = l 1 + l 2 tre che el cso i cui l 1 = ± e l 2 = 3. lim x x0 f (x)g(x) = l 1 l 2 tre che el cso i cui l 1 = 0 e l 2 = ± 4. lim x x0 1 f (x) = 1 l 1 tre che el cso i cui l 1 = 0 Dimostrzioe. Dimostrimo le vrie sserzioi el cso i cui x 0 R, l 1, l 2 R. Per ipotesi bbimo che ε > 0 δε 1, δε 2 > 0 tli che x I o (x 0, δε 1 ) D si h f (x) l 1 < ε 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

64 64 o.cligris - p.oliv x I o (x 0, δ 2 ε ) D si h g(x) l 2 < ε 1. Se x I o (x 0, δε 1 ) D si h f (x) l 1 f (x) l 1 ε 2. Si δ ε = mi{δε/2 1, δ2 ε/2 }, se x Io (x 0, δ ε ) D si h f (x) + g(x) (l 1 + l 2 ) f (x) l 1 + g(x) l 2 < ε/2 + ε/2 = ε 3. Si δ 3 tle che se x I o (x 0, δ 3 ) D si h g(x) M si l 1 = 0 (il cso l 1 = 0 risult ble) e si δ ε = mi{δε/(2m) 1, δ2 ε/(2 l 1 ), δ3 } llor se x I o (x 0, δ ε ) D si h f (x)g(x) l 1 l 2 = f (x)g(x) g(x)l 1 + g(x)l 1 l 1 l 2 g(x) f (x) l 1 + l 1 g(x) l 2 < < Mε/(2M) + ε l 1 /(2 l 1 ) = ε (5.15) 4. Si δ 4 > 0 tle che se x I o (x 0, δ 4 ) D si h f (x) M > 0 si δ ε = mi{δ 1 εm l 1, δ4 }, llor se x I o (x 0, δ ε ) D si h 1 f (x) 1 l = f (x) l 1 1 f (x) l 1 εm l 1 M l 1 Dimostrimo or d esempio l (2) el cso i cui l 1 = + e l 2 R (d cui l 1 + l 2 = + ); l (3) el cso i cui l 1 < 0 e l 2 = (d cui l 1 l 2 = + ) e l (4) el cso i cui l 1 = ± (d cui 1/l 1 = 0). = ε (2) Si l 1 = + ed l 2 R, llor, se x I o (x 0, δ 3 ) D si h g(x) < M metre, se x I o (x 0, δ 1 ε ) D si h f (x) > ε; pertto se δ ε = mi{δ 3, δ 1 ε+m }, se x Io (x 0, δ ε ) D, si h f (x) + g(x) > ε + M M = ε ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

65 lisi mtemtic 1 65 (3) Si l 1 < 0 ed l 2 =, llor, se x I o (x 0, δ 4 ) D si h f (x) M < 0 metre se x I o (x 0, δε 2 ) D si h g(x) < ε; llor, se δ ε = mi{δ 4, δε/m 2 }, per x Io (x 0, δ ε ) D f (x)g(x) > Mg(x) > M( ε/m) = ε (4) Si δ ε = δ1/ε 1, llor se x Io (x 0, δ ε ) D si h f (x) > 1 e 1 ε f (x) < ε Possimo questo puto stbilire u utile corollrio. Corollrio 5.1 Sio f, g : D R, x 0 D(D) e suppoimo che lim f (x) = l 1, lim g(x) = l 2 x x 0 x x0 co l 1, l 2 R ed l 1 < l 2 ; llor δ > 0 : x I o (x 0, δ), f (x) < g(x) Per completre il qudro di risultti provimo il seguete Teorem 5.5 Si f : D R, D 1 = {x D : f (x) = 0}, x 0 D(D 1 ), llor lim f (x) = 0 x x 0 1 lim = + (5.16) x x 0 f (x) se esiste δ > 0 tle che per x I o (x 0, δ) D si h f (x) > 0 ( f (x) < 0), 1 lim = + ( ) (5.17) x x 0 f (x) Dimostrzioe. Per ipotesi, Per ogi ε > 0 esiste δ ε > 0 tle che se x I o (x 0, δ ε ) D si h f (x) < ε. x I o (x 0, δ 1/ε ) f (x) < 1/ε e 1 f (x) > ε 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

66 66 o.cligris - p.oliv (2) Suppoimo per semplicità che f si loclmete positiv i x 0 ; si δ ε = mi{δ, δ 1/ε }, llor, se x I o (x 0, δ ε) D 0 < f (x) < 1/ε e 1 f (x) > ε Il cso i cui f si loclmete egtiv si ricoduce blmete l cso sopr descritto. Osservzioe. Notimo esplicitmete che è essezile ell (2) l ipotesi che f bbi sego loclmete costte i x 0. Si iftti f (x) = x si(1/x) per x = 0; llor si può fcilmete verificre che lim x 0 f (x) = 0 e lim 1/ f (x) = + ; x 0 tuttvi è ltrettto immedito verificre che 1/ f (x) o tede é é +, i quto, se ciò ccdesse, per vlori di x vicii llo 0 si dovrebbe vere f (x) < 0 oppure f (x) > 0. Srà pure di fodmetle importz il seguete teorem: Teorem 5.6 Sio f, g, h : D R, si x 0 D(D); suppoimo che esist δ > 0 tle che, se x I o (x 0, δ) D f (x) g(x) h(x) sio ioltre lim x x0 f (x) = l 1 e lim x x0 h(x) = l 2. Allor l 1, l 2 R l 1 l 2 (5.18) l 1 = l 2 = l lim x x0 g(x) = l (5.19) l 1 = + l 2 = + e lim x x0 g(x) = + (5.20) l 2 = l 1 = e lim x x0 g(x) = (5.21) Dimostrzioe.L prim ffermzioe è u dirett coseguez del corollrio 5.1. Per quto rigurd l secod ffermzioe, dlle ipotesi si h che ε > 0 esiste δ ε > 0 tle che, se x I o (x 0, δ ε ) D l ε < f (x) < l + ε e l ε < h(x) < l + ε d cui, per gli stessi vlori di x si h l ε < f (x) < g(x) < h(x) < l + ε Lscimo l lettore l dimostrzioe delle restti ffermzioi. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex] 27 ottobre :51:15

67 lisi mtemtic 1 67 Teorem 5.7 Sio f : D R e g : A D; sio x 0 D(D) e t 0 D(A); suppoimo che lim f (x) = l e lim g(t) = x 0 x x 0 t t0 Suppoimo ioltre che si verifict u delle segueti codizioi: 1. esiste δ > 0 tle che g(t) = x 0 per ogi t I 0 (t 0, δ); 2. f (x 0 ) = l Allor lim t t 0 f (g(t)) = l Osservimo che se tutte e due le codizioi vegoo mcre, il teorem precedete può o essere vero. Si d esempio D = A = R, g(t) = 0 ed f (x) = 0 se x = 0, f (0) = 1; llor lim g(t) = 0, lim f (x) = 0 t 0 x 0 metre lim f (g(t)) = 1 t 0 Osservimo ioltre che ogu delle segueti codizioi 1. x 0 D, 2. x 0 = ± 3. g è iiettiv 4. g è strettmete mooto è sufficiete per l (1) del teorem 5.7 Teorem 5.8 Si f : (, b) R, f crescete [decrescete]; llor lim f (x) e lim x + x b f (x) esistoo e soo uguli rispettivmete e if{ f (x) : x (, b)} sup{ f (x) : x (, b)} [sup{ f (x) : x (, b)}] [if{ f (x) : x (, b)}] Osservimo esplicitmete che el teorem precedete è essezile supporre che l itervllo i cui si cosider l fuzioe si perto. Si iftti f (x) = x se x [0, 1), f (1) = 2; llor sup{ f (x) : x [0, 1]} = 2 = 1 = lim x 1 f (x) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-1.tex]

68 68 o.cligris - p.oliv Corollrio 5.2 Si f : D R u fuzioe mooto, llor per ogi x 0 D(D + ) D(D ) si h che lim x x + 0 f (x), lim x x 0 f (x) esistoo. Per stbilire l esistez del limite di u fuzioe è possibile vvlersi del criterio di covergez di Cuchy. Teorem Criterio di Cuchy - Si f : D R e si x 0 D(D); soo codizioi equivleti: 1. esiste l R tle che lim x x0 f (x) = l 2. per ogi ε > 0 esiste δ ε > 0 tle che se x, y I 0 (x 0, δ ε ) si h f (x) f (y) < ε ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

69 6. Le Successioi Le successioi costituiscoo u clsse molto prticolre di fuzioi: si trtt di fuzioi defiite su u sottoisieme di R molto prticolre, l isieme N dei umeri turli; quest crtteristic coferisce loro l semplicità che è tipic degli isiemi discreti, metre impedisce u sigifictiv rppresetzioe grfic e rede il cocetto di successioe ppretemete ostico. Il cocetto di successioe, ioltre, iterpret u ruolo di otevole importz elle ppliczioi prtiche e elle descrizioi lgoritmiche. Defiizioe 6.1 Chimimo successioe di umeri reli u fuzioe defiit sull isieme N dei umeri turli, che ssume vlori i R : N R Seguedo le cosuetudii itrodotte per l descrizioe di u fuzioe srebbe turle usre il simbolo () per idetificre il vlore di clcolto i tuttvi è ormle usre, i luogo di esso il simbolo = (). E immedito esplicitre per le successioi i cocetti di crescez, decrescez, mootoi, limittezz, che soo stti itrodotti, i geerle, per le fuzioi. Nell estedere il cocetto di limite però occorre teere presete che D(N) è costituito dl solo elemeto +, per cui, per u successioe, h seso soltto cosiderre il cocetto di limite per +. Più precismete si dice che lim = l (6.1) + se ε > 0 esiste ε N tle che, per > ε, si bbi I(l, ε)

70 70 o.cligris - p.oliv Osservimo che, dl mometo che essu mbiguità è possibile, scriveremo spesso lim oppure lim i luogo di lim +. E molto importte, qudo si trtto le successioi, il cocetto di successioe estrtt d u ltr successioe. Tle cocetto è strettmete legto, o meglio è u specilizzzioe del cocetto di composizioe di fuzioi ed è molto utile per crtterizzre i limiti di u successioe. I ltre prole si dice successioe estrtt dll successioe u uov successioe (k). Nturlmete o ogi fuzioe : R R può essere ust, per due rgioi: 1. deve dr luogo, compost co, d u uov successioe, per cui deve versi che il domiio di f è N; 2. R() deve essere coteuto el domiio di e perciò deve versi R() N. Dovrà pertto essere : N N. 3. Ioltre, poichè voglimo collegre il comportmeto l limite dell successioe co quello delle sue estrtte, è ecessrio che + si u puto di ccumulzioe per R(). I ltre prole è u prticolre successioe (prticolre i quto ssume vlori solo i N) e pertto è d uso fr riferimeto ll otzioe k = (k) Defiizioe 6.2 Si u successioe e si : N N strettmete crescete; dicimo che l successioe b k = (k) è u successioe estrtt d. Sempre proposito di termiologi, ricordimo che che si dice che u successioe è covergete se mmette limite rele, metre si dice che u successioe è positivmete (egtivmete) divergete se mmette come limite + ( ). Lemm 6.1 Si : N N, strettmete crescete; llor lim k k = + ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

71 lisi mtemtic 1 71 Dimostrzioe. Dl mometo che è strettmete crescete si h k+1 > k e k+1 k + 1 perciò, per iduzioe, si prov fcilmete che k k e l tesi. Teorem 6.1 Si u successioe e si lim = l llor se b k è u successioe estrtt d si h lim k b k = l Dimostrzioe. Si b k = k, se > ε si h I(l, ε), ioltre, dl mometo che k +, se k > k ε si h k > ε ; e deducimo che, se k > k ε, b k = k I(l, ε) Si può ioltre dimostrre che Teorem 6.2 Ogi successioe covergete è limitt. Dimostrzioe. Si u successioe e si lim = l llor, se > ε si h l + l < ε + l Perciò se M = mx{ 1,.., ε, l + ε} si può ffermre che M Teorem 6.3 Si u successioe crescete e si λ = sup{ : N} llor lim = λ Dimostrzioe. Distiguimo due csi. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

72 72 o.cligris - p.oliv 1. λ = + i tl cso { : N} è u isieme o limitto e ε > 0 esiste ε N tle che ε > ε m llor, dl mometo che è crescete, si h, per > ε 2. λ R > ε > ε i questo cso, per le proprietà dell estremo superiore, si h λ N e ε > 0 ε N : ε > λ ε pertto, se > ε, si h, essedo crescete λ ε < ε λ I mier log si può dimostrre il seguete teorem. Teorem 6.4 Si u successioe decrescete e si λ = if{ : N} llor lim = λ Il risultto che segue è uo dei più importti tr quelli che rigurdo le successioi di umeri reli. Teorem Bolzo-Weierstrß - Si u successioe limitt, llor esiste λ R ed esiste u successioe b k estrtt d tle che lim k b k = λ Dimostrzioe. Per ipotesi esistoo m, M R tli che m M N Cosiderimo i due itervlli [ m, m + M ] 2 e [ m + M 2 ], M lmeo uo di essi cotiee u umero ifiito di termii dell successioe si esso [α 1, β 1 ] ovvimete si vrà m α 1 < β 1 M e β 1 α 1 = M m 2 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

73 lisi mtemtic 1 73 Cosiderimo or gli itervlli [ α 1, α ] 1 + β 1 2 e [ ] α1 + β 1, β 2 1 lmeo uo di essi cotiee u umero ifiito di termii di si esso [α 2, β 2 ] ovvimete si vrà m α 1 α 2 < β 2 β 1 M e β 2 α 2 = M m 4 Il procedimeto descritto si può iterre e si ottegoo così due successioi α k e β k soddisfceti le segueti proprietà: m α 1 α 2.. α k < β k.. β 2 β 1 M (6.2) β k α k = M m 2 k (6.3) { : [α k, β k ]} h ifiiti elemeti (6.4) Possimo pertto cocludere che le successioi α k e β k soo, rispettivmete, crescete e decrescete ed ioltre che soo etrmbe limitte. Si ottiee pertto che ove lim k α k = α e lim k β k = β α = sup{α k : k N} R e β = if{β k : k N} R Per l 6.3 si h che β α = lim k (β k α k ) = lim k M m 2 k = 0 (si ricordi che è fcile provre per iduzioe che 2 k k), e perciò si h α = β = λ i ltre prole chimimo λ il vlore comue di α e β. Si or 1 N tle che α 1 1 β 1 2 N tle che α 2 2 β 2, 2 > 1 k N tle che α k k β k, k > k 1 Allor b k = k è u successioe estrtt dll successioe, l cui esistez è ssicurt dll 6.4 ed ioltre si h α k b k β k k N e pertto lim k b k = λ. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

74 74 o.cligris - p.oliv Teorem 6.6 Si u successioe: 1. se o è limitt superiormete, esiste b k estrtt d tle che lim k b k = + 2. se o è limitt iferiormete, esiste b k estrtt d tle che lim k b k = Dimostrzioe. Provimo d esempio l prim ffermzioe. Si 1 N tle che 1 > 1 2 N tle che 2 > 2, 2 > 1 k N tle che k > k, k > k 1 Allor b k = k (l esistez di tle estrtt è ssicurt dll ipotesi che o è limitt superiormete) tede + Sppimo bee cos sigific che u successioe coverge d u limite l R cerchimo or di stbilire il sigificto del ftto che o coverge d u limite l R Lemm 6.2 Si u successioe e si l R o coverge d l se e solo se esiste ε 0 > 0 ed esiste u successioe b k estrtt d tle che b k I(l, ε 0 ). Dimostrzioe. L successioe o coverge d l se e solo se esiste ε 0 > 0 tle che m N è possibile trovre > m co Si pertto I(l, ε 0 ) 1 N tle che 1 I(l, ε 0 ) (6.5) 2 > 1 tle che 2 I(l, ε 0 ) (6.6) (6.7) k > k 1 tle che k I(l, ε 0 ) (6.8) (6.9) L successioe b k = k soddisf i requisiti richiesti. Teorem 6.7 Si u successioe soddisfcete l seguete proprietà: esiste l R tle che per ogi successioe b k estrtt d è possibile trovre u successioe c h estrtt d b k co lim h c h = l ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

75 lisi mtemtic 1 75 Allor si h lim = l Dimostrzioe. Suppoimo per ssurdo che lim = l llor esistoo ε 0 > 0 e b k estrtt d tle che b k I(l, ε 0 ) M, per ipotesi, è possibile trovre u successioe c h tle che lim h c h = l e ciò è ssurdo; iftti per h sufficietemete grde si vrebbe cotemporemete c h I(l, ε 0 ) e c h = b kh I(l, ε 0 ) Teorem Criterio di covergez di Cuchy - Si u successioe; soo ftti equivleti: 1. esiste l R tle che lim = l 2. Per ogi ε > 0 esiste ε N tle che se, m > ε si h m < ε Dimostrzioe. (1) (2) si ε > 0, llor esiste ε N tle che per > ε si h l < ε Allor se, m > ε/2 si h m l + m l < ε/2 + ε/2 = ε (2) (1) se > ε si h ε ε < < ε + ε per cui l successioe è limitt. Si k u successioe estrtt d tle che lim k k = l Se k > k ε si h k l < ε 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

76 76 o.cligris - p.oliv ed ioltre se k > k 1 ε si h k > ε M llor fissto k > mx{k ε/2, k 1 ε/2 }, se > ε/2 si h l k + k l < ε/2 + ε/2 = ε E di grde utilità per il seguito provre i due segueti risultti. Lemm 6.3 Si A R, A =, e sio λ = sup A, µ = if A llor esistoo due successioi, b A tli che lim = λ, lim b = µ Dimostrzioe. Provimo d esempio che esiste u successioe b A tle che lim b = µ Occorre distiguere due csi: 1. µ = ; i tl cso l isieme A o è iferiormete limitto e pertto per ogi N esiste b A tle che b <. Ciò è sufficiete per cocludere che lim b = 2. µ R; i tl cso si h che: µ b b A N b A : µ + 1/ > b Pertto si h: µ + 1/ > b µ e l tesi. Defiizioe 6.3 Si u successioe e si Φ( ) = {l R : k, lim k k = l } Defiimo lim sup lim if = sup Φ( ) = if Φ( ) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

77 lisi mtemtic 1 77 Lemm 6.4 Si b k u successioe tle che lim k b k = b e suppoimo che, per ogi fissto k, k si u successioe tle che lim k = b k ; llor : N N strettmete crescete tle che lim k k k = b Dimostrzioe. Osservimo izi tutto che ε > 0 esiste k ε tle che: b k b < ε se k > k ε e Pertto se sceglimo vremo, se k > k ε, k > 1/ε Teorem 6.9 Si h che k k : k b k < 1/k se > k 1 > 1 (6.10) (6.11) k > k, k > k 1 (6.12) k k b k k b k + b k b < ε + 1/k < 2ε 1. Se λ = lim sup si h λ Φ( ) 2. Se µ = lim if si h µ Φ( ) Dimostrzioe. Si λ = sup Φ( ), llor per il lemm 6.3 Poiché l k Φ( ) si prov, come el lemm 6.4, che l k Φ( ) : lim k l k = λ. k N k : lim k k = l k ; b k = k k estrtt d : lim k b k = λ cioè λ Φ( ). 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

78 78 o.cligris - p.oliv Teorem 6.10 Vlgoo i segueti ftti: 1. lim if lim sup 2. lim if lim if k lim sup k lim sup 3. lim if = lim sup = l lim = l Φ( ) = {l} Dimostrzioe. (1) segue dll defiizioe 6.4. (2) è immedit coseguez del ftto che essedo Φ( k ) Φ( ) if Φ( ) if Φ( k ) sup Φ( k ) sup Φ( ) (3) segue d (2) e di teoremi 6.4 e 6.9. Corollrio 6.1 Si h Teorem 6.11 Si h lim sup lim if = lim = (6.13) = + lim = + (6.14) l = lim sup, l R {+ } (6.15) se e solo se 1. ε > 0 esiste ε tle che se > ε tle che < l + ε 2. esiste k tle che lim k k = l Dimostrzioe. L secod codizioe dell (2) segue dl teorem 6.9; l prim codizioe dell (2) è ovvi se l = + ; si pertto l R, se per u certo ε 0 > 0 o fosse l + ε 0 defiitivmete, ci srebbero ifiiti idici per i quli > l + ε 0 ed esisterebbe pertto u estrtt tle che lim k k = l + ε 0 > l cioè l o srebbe il lim sup di. Per l secod codizioe dell (2) l Φ( ) d cui l lim sup Per l prim codizioe dell (2), d ltro cto lim sup k k l + ε ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

79 lisi mtemtic 1 79 U risultto logo vle per il lim if. Teorem 6.12 Si h lim sup = if sup k k = lim sup k k Dimostrzioe. Evidetemete b = sup k k è decrescete e λ = if b = lim b Ioltre, se k > ε k < b λ + ε e sup k k = b > λ ε e si può trovre kh > λ ε d cui l tesi. Teorem 6.13 Sio e b due successioi, si h 1. lim if = lim sup ( ) 2. b lim sup lim sup b. 3. lim sup ( + b ) lim sup + lim sup b 4. lim b = b > 0 lim sup b = lim sup lim b 5. > 0 lim sup 1 = 1 lim if. Dimostrzioe. (1), (2), (3) seguoo dl teorem 6.12; (4) segue d Φ( b ) = bφ( ); (5) segue d Φ(1/ ) = 1/Φ( ) U risultto logo vle per il lim if. Pssimo or dimostrre due risultti estremmete utili per il clcolo dei limiti di rpporti di successioi, che si preseto i form idetermit. Teorem 6.14 Sio e b due successioi tli che lim = lim b = 0. Suppoimo ioltre che b si strettmete mooto, llor lim if +1 lim if lim sup lim sup +1 b +1 b b b b +1 b 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

80 80 o.cligris - p.oliv Dimostrzioe. Osservimo izi tutto che o è restrittivo cosiderre b strettmete decrescete (e quidi b > 0) i quto, se così o fosse, potremmo cosiderre b e i luogo di b e (rimedo ivriti i rpporti cosiderti). Osservimo ltresì che è sufficiete provre, d esempio, l ultim disugugliz, essedo l prim u su coseguez o ppe si cosideri i luogo di, ed essedo l secod ovvi. Si provimo che l = lim sup lim sup +1 b +1 b b l Se l = + o c è ull d provre; i csi l R ed l = soo soggetti d u trttzioe del tutto simile che esplicitimo prllelmete: llo scopo defiimo l + ε sel R l ε = (6.16) ε se l = si h ε > 0 ε N : > ε e +1 b b +1 < l ε +1 < (b b +1 )l ε Allor, se m > > ε, si h e, fcedo m +, m < (b b m )l ε b l ε ode b l ε Teorem 6.15 Sio e b due successioi e suppoimo che b si strettmete crescete [decrescete] co Allor lim if lim b = + [ ] +1 lim if lim sup lim sup +1 b +1 b b b b +1 b ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

81 lisi mtemtic 1 81 Dimostrzioe. Come per il teorem precedete è sufficiete provre l ultim disugugliz; ioltre possimo sempre supporre che b si strettmete crescete. Pertto, posto provimo che l = lim sup lim sup +1 b +1 b b l Se l = + ull è d dimostrre; i csi l R ed l = sro cosiderti prllelmete, ricorddo l 6.16: ε > 0 ε N : > ε e +1 b +1 b l ε +1 (b +1 b )l ε Se > m > ε si h m (b b m )l ε e m + (b b m )l ε Fcedo + si h b m b + ( 1 b m b ) lε lim sup b l ε e l tesi. I due precedeti teoremi permettoo di provre lcui iteressti risultti sui limiti delle medie ritmetiche e geometriche dei primi termii di u successioe. Corollrio 6.2 Si α u successioe, llor α lim if α lim if α lim sup α α lim sup α (6.17) Dimostrzioe. Bst pplicre il teorem 6.15 lle successioi = i=1 α i, b =. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

82 82 o.cligris - p.oliv Corollrio 6.3 Si α u successioe llor lim if α lim if (α...α 1 ) 1/ lim sup(α...α 1 ) 1/ lim sup Dimostrzioe. Bst pplicre il teorem 6.15 lle successioi teere coto del ftto che ( i=1 log 2 (α i ) ed i=1 ) 1/ ( 1 ( α i = exp2 log 2 (α i ) )) i=1 ed osservre che exp 2 è crescete e, se x x, si dimostr che exp 2 (x ) exp 2 (x). Corollrio 6.4 Si α > 0 llor si h α lim if α +1 α lim if α lim sup α lim sup α +1 α Dimostrzioe. Segue dl corollrio 6.3 posto β 1 = α 1, β +1 = α +1 α Lemm 6.5 Si u successioe: 1. se > 0 e lim +1 = l < 1 llor lim = 0 2. se 0 e lim = l < 1 llor lim = 0; 3. se > 0 e lim +1 = l > 1 llor lim = + ; 4. se 0 e lim = l > 1 llor lim = + Dimostrzioe. Provimo d esempio l prim e l ultim ffermzioe. (1) Si h, fissto ε > 0 i modo che l + ε < 1 pertto e se > m > ε +1 < l + ε > ε +1 < (l + ε) 0 < < (l + ε) m m e si può cocludere che (1) è ver. (4) Fissto ε i modo che l ε > 1 si h ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

83 lisi mtemtic 1 83 ( ) 1/ > (l ε) > ε e > (l ε) > ε. Ciò è sufficiete per cocludere. Defiizioe 6.4 Defiimo per N {0}! verrà detto fttorile. Osservimo che, se 1, 0! = 1! = ( 1)!! = i=1 Defiimo ioltre per N {0} ell seguete mier: (0)!! = 1 (1)!! = 1!! = ( 2)!!!! verrà idicto co il ome di semifttorile. Osservimo che Defiimo ifie (2)!! = i=1 2i, (2 + 1)!! = ( ) = k i! k!( k)! i=0 (2i + 1) coefficiete biomile di ordie e posto k e verrà dett su k. I coefficieti biomili godoo di otevoli proprietà: d esempio possoo essere clcolti usdo il be oto trigolo di Trtgli e cosetoo di stbilire l formul dell potez di u biomio di Newto Trigolo di Trtgli e Biomio di Newto Si h Teorem 6.16 ( ) ( ) + = k k 1 ( ) + 1 k (6.18) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

84 84 o.cligris - p.oliv Dimostrzioe. ( ) ( ) + = k k 1 =! k!( k)! +!![( + 1 k) + k] k!( + 1 k)! (k 1)!( + 1 k)! = ( ) ( + 1)! + 1 = k!( + 1 k)! = k (6.19) L precedete ugugliz cosete di costruire il così detto trigolo di Trtgli: ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k 1 k ( ) k È importte osservre che ogi elemeto del trigolo si può otteere dll somm dei due elemeti dell rig precedete, che occupo l posizioe sopr e siistr dell posizioe occupt dll elemeto cosiderto. Vle ioltre il seguete risultto Teorem 6.17 (biomio di Newto) ( + b) = k=0 ( ) k b k k Dimostrzioe. E immedito verificre che l formul vle per = 1. Provimo or che, se l formul è vlid per, llor è vlid che ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

85 lisi mtemtic 1 85 per + 1. Si h ( + b) +1 = ( + b) ( + b) = ( ( ) = ) k b k ( + b) = k k=0 ( ) = k b k ( ) + b k k b k = k k=0 k=0 ( ) = +1 k b k ( ) + k k b k+1 = k k=0 k=0 = +1 ( ) + +1 k b k 1 ( ) + k k b k+1 + b +1 = k k=1 k=0 = +1 ( ) + +1 k b k ( ) + k +1 k b k + b +1 = k 1 k=1 k=1 = +1 (( ) ( )) k b k + b +1 = k k 1 k=1 = +1 ( ) k b k + b +1 = k k=1 ( + 1 = k +1 k=0 Ricordimo che l seguete disugugliz Lemm 6.6 Se > 1 llor Dimostrzioe. Si prov per iduzioe; ) +1 k b k (6.20) (1 + ) 1 + (6.21) 1. L disugugliz è blmete ver per = 1 2. Ioltre se suppoimo (1 + ) 1 + vremo che (1 + ) +1 = (1 + ) (1 + ) > (1 + )(1 + ) = 1 + ( + 1) ( + 1) (6.22) Possimo or studire le proprietà di u successioe di otevole importz. Si E l successioe defiit d ( E = ) si h che E è u successioe strettmete crescete ed ioltre 2 E < 3 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

86 86 o.cligris - p.oliv. Iftti si h per cui E = ( ) = k=0 E 1 + (1/) = 2 ( ) 1 k k Per dimostrre che E è crescete osservimo che si h ( E = ) ( ) 1 = E 1 1 se e solo se se e solo se ( ) + 1 ( 1 ) ( ) 1 ( 2 ) ( ) se e solo se ( ) 1 1 e l ultim disugugliz si deduce immeditmete dl lemm 6.6. Ifie, dl mometo che si può fcilmete provre per iduzioe che (k + 1)! 2 k per k 0 si h E < 1 k=0 1 k! = 1 + k=0 1 1 (k + 1)! 1 + k=0 1 2 k < 3 (6.23) Pertto E è u successioe crescete e limitt per cui possimo ffermre che lim E esiste ed è rele e pertto è lecito defiire chimre e il suo limite. e = lim E Se x è u successioe termii positivi, x x si può provre (si ved il cpitolo successivo sull cotiuità) che lim log x = log x e pertto si h ( lim log ) = log e ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

87 lisi mtemtic 1 87 Osservimo che che log e = 1 = e per cui si è turlmete idotti privilegire il umero e come bse per i logritmi. Si h co 51 cifre decimli estte e = Defiizioe 6.5 Defiimo logritmo turle l fuzioe log e. Più semplicemete scriveremo log e x = l x. Elechimo or lcue successioi che sro utili el seguito e clcolimoe i reltivi limiti: 1. lim k = +, k > 0 2. lim k = 0, k < 0 3. lim = +, > 1 4. lim = 0, < 1 5. lim = 1, > 0 6. lim = 1 7. lim = 0 Possimo verificre le ffermzioi precedeti medite le segueti rgometzioi: 1. si prov medite l defiizioe di limite. 2. si deduce dll precedete teedo coto che k = 1/ k. 3. si = 1 + b co b > 0, llor = (1 + b) 1 + b. 4. si deduce dll precedete teedo coto che = 1/(1/ ). 5. se > 1, posto y = 1 > 0 si h = (1 + y ) 1 + y 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

88 88 o.cligris - p.oliv d cui 0 y ( 1)/ se 0 < < 1 si h = 1/ 1/. 6. posto si h y = 1 > 0 = (1 + y ) 1 + ( 1)y 2 /2 e 0 y (2/) 7. Se > 2 si h per cui 0 < / < 1/2 0 < / < (1/2) Vlgoo i segueti ftti: 1. lim! = 0 2. lim! = 0 3. lim k = 0, < 1 4. lim k = +, > 1 5. lim log k = 0, k > 0, > 0, = 1 Iftti se idichimo co b ciscu delle successioi i oggetto si h 1. b +1 b = b +1 b = ( +1 ) 1 e < 1 b +1 b = ( +1 ) k 4. si può fcilmete dedurre dl ftto che log k = 1 k log ( k k ) Ache se prim vist ciò o ppre verosimile, operre co successioi piuttosto che co fuzioi è molto più comodo e fcile; è pertto molto utile provre il seguete risultto che permette di otteere iformzioi sul limite di u fuzioe utilizzdo opportue successioi. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

89 lisi mtemtic 1 89 Teorem 6.18 Si f : D R e sio x 0 D(D), l R ; soo ftti equivleti: 1. lim x x0 f (x) = l 2. per ogi x D \ {x 0 }, x x 0, si h lim f (x ) = l Dimostrzioe. Se vle l prim codizioe vremo che per ogi ε > 0 esiste δ ε > 0 tle che, se x I 0 (x 0, δ ε ) si h f (x) I(l, ε) Ioltre esiste ε N tle che per > ε si bbi x I 0 (x 0, δ ε ) e di coseguez si h f (x ) I(l, ε) D cui l secod sserzioe. Se vicevers l prim sserzioe è fls, llor esiste ε 0 > 0 tle che, per ogi N esiste x D, x = x 0, co x I 0 (x 0, 1/) e f (x ) I(l, ε 0 ) e quidi l secod è fls Si può provre che ogi successioe covergete mmette u successioe estrtt mooto (e covergete llo stesso limite); pertto el verificre (2) è sufficiete limitrsi lle sole successioi mootoe. Il criterio di covergez di Cuchy riveste otevole importz ed è utile spere che esso può essere provto che per le fuzioi ell seguete form. Teorem Criterio di Cuchy - Si f : D R e si x 0 D(D); soo codizioi equivleti: 1. esiste l R tle che lim x x0 f (x) = l 2. per ogi ε > 0 esiste δ ε > 0 tle che se x, y I 0 (x 0, δ ε ) si h f (x) f (y) < ε Dimostrzioe. (1) (2) Per ogi ε > 0 esiste δ ε > 0 tle che se x I 0 (x 0, δ ε/2 ) si h f (x) l < ε/2 per cui se x, y I 0 (x 0, δ ε/2 ) si h f (x) f (y) f (x) l + f (y) l < ε/2 + ε/2 = ε. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

90 90 o.cligris - p.oliv (2) (1) Se per ssurdo (1) o fosse ver esisterebbero due successioi x, y D, covergeti d x 0 tli che f (x ) l 1 e f (y ) l 2 co l 1, l 2 R, l 1 = l 2. Pertto l codizioe (2) o potrebbe essere soddisftt. Medite le successioi simo che i grdo di provre i segueti risultti che crtterizzo gli isiemi perti, chiusi e comptti i R e che soo fcilmete estedibili più geerli situzioi. Teorem 6.20 Si A R, llor 1. A è perto se e solo se per ogi x A e per ogi successioe x, tle che x x, si h x A defiitivmete; 2. A è chiuso se e solo se per ogi x A, x x si h x A Dimostrzioe. Si A perto, x A, llor esiste ε > 0 tle che (x ε, x + ε) A; poiché defiitivmete x x < ε e segue x A. Suppoimo vicevers che A o si perto, llor esiste x A tle che, per ogi N, esiste x (x 1/, x + 1/) \ A e ciò è ssurdo. Si A chiuso e x A, x x; llor A c è perto e se x A c si vrebbe x A c defiitivmete e ciò è ssurdo. Vicevers, se A o è chiuso, A c o è perto; pertto esiste x A c e per ogi N esiste x I(x, 1/), x A; pertto x x, x A ed x A Teorem 6.21 Si A R, A è u isieme comptto se e solo se per ogi x A esiste x k x, tle che x A Dimostrzioe. Il solo se segue blmete di teorem 6.5 e Se vicevers A o fosse limitto, esisterebbe x A, x +, e quluque estrtt di x o potrebbe covergere d x A. 6.1 Ifiitesimi ed Ifiiti Se f (x) l, l R llor f (x) l 0 per cui per studire il comportmeto di u fuzioe che mmette limite fiito srà sufficiete cosiderre fuzioi che tedoo 0; tli fuzioi si defiiscoo ifiitesime ed è importte cercre di otteere qulche iformzioe i più su come u fuzioe ifiitesim tede 0. Ad esempio è evidete che x dimiuisce più o meo velocemete, i dipedez d, qudo ci si vvici 0. È quidi ovvio che si utile cercre di idividure che i fuzioi più complesse tli comportmeti. Quto detto per le fuzioi ifiitesime si può poi fcilmete estedere che lle fuzioi che tedoo ll ifiito: che chimeremo ifiite. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

91 lisi mtemtic 1 91 Pertto itroducimo l defiizioe di ordie di ifiitesimo e di ordie di ifiito. Defiizioe 6.6 Si f : (, b) R, dicimo che f è ifiitesim i + se lim f (x) = 0 x + I mier log si possoo dre le defiizioi per x, x, x + e x. Defiizioe 6.7 Sio f,g due fuzioi ifiitesime i + e suppoimo che lim x + f (x) g(x) = l se l R \ {0} dicimo che f e g ho lo stesso ; se l = 0 dicimo che f è ifiitesim di ordie superiore g. Defiizioe 6.8 Chimimo ifiitesimo cmpioe di ordie α R + i +,,,+, rispettivmete l fuzioe (x ) α, ( x) α, x α, 1 x α, 1 ( x) α Si dice che f è ifiitesim di ordie α R + se f h lo stesso ordie dell ifiitesimo cmpioe di ordie α. Osservimo esplicitmete che può ccdere che f o bbi ordie di ifiitesimo rele. Ad esempio l fuzioe 1 l x è ifiitesim per x + di ordie iferiore d ogi α R +. Iftti per ogi α R + lim x + 1 l x 1 = 0 (6.24) x α L defiizioe di ordie di ifiitesimo cosete di provre che Teorem 6.22 Sio f e g due fuzioi ifiitesime i + di ordie α e β rispettivmete; llor 1. f g h ordie α + β 2. se α < β, f + g h ordie α 3. se α = β, f + g h ordie mggiore o ugule d α. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

92 92 o.cligris - p.oliv Defiizioe 6.9 Dicimo che f è ifiit i + se 1/ f è ifiitesim i +. Dicimo che f è ifiit di ordie α se 1/ f è ifiitesim di ordie α. Teorem 6.23 Sio f e g due fuzioi ifiite i + di ordie α e β rispettivmete; llor 1. f g h ordie α + β; 2. se α < β, f + g h ordie β; 3. se α = β, f + g h ordie miore o ugule d α Osservimo che si potrebbe defiire f di ordie α R i + se lim x + f (x) (x ) α R \ {0} ed osservre che f è ifiitesim se α > 0 ed è ifiit se α < 0. Co queste covezioi si può provre che se f h ordie α e g h ordie β, llor f /g h ordie α β. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

93 7. L Cotiuità L mggior prte delle situzioi semplici che cerchimo di rppresetre medite l uso di u fuzioe rele di u vribile rele preseto u crtteristic comue: piccoli cmbimeti dell vribile (rgometo dell fuzioe) cuso piccoli cmbimeti dei vlori dell fuzioe stess. Ad esempio se T(x) rppreset l tempertur di u sbrr di metllo i u puto che dist x d u delle sue estremità, ci spettimo che due puti vicii sull sbrr bbio temperture o molto dissimili. Tuttvi o tutti i feomei soo fcilmete rppresetbili medite fuzioi cotiue; se d esempio L(t) rppreset l lumiosità di u stz ell qule si ccede u lmpd ll istte t 0 è evidete che i quell istte il vlore dell lumiosità può subire u brusc vrizioe, (se l lumiosità dell lmpd è lt i cofroto co l lumiosità mbiete). Ache el liguggio comue è turle ttribuire l ggettivo cotiuo l primo feomeo m o l secodo. I prole povere, u fuzioe è cotiu i u puto se il vlore che ess ssume i tle puto dipede di vlori d ess ssuti ei puti vicii, o per meglio dire, se piccole vrizioi dell rgometo do luogo piccole vrizioi dei corrispodeti vlori dell fuzioe. I ltri termii u fuzioe è cotiu se o mmette repetii cmbimeti, slti, "discotiuità". Voglimo llor formlizzre cos si itede per cotiuità di u fuzioe. Precismete poimo l seguete defiizioe Defiizioe 7.1 Si f : D R, x 0 D, dicimo che f è cotiu i x 0 se

94 94 o.cligris - p.oliv ε > 0 δ ε > 0 tle che se x x 0 < δ ε, x D si h f (x) f (x 0 ) < ε Dicimo che f è cotiu i D se è cotiu i ogi puto di D. E immedito verificre l logi, m o l idetità, co l defiizioe di limite, ed è immedito provre che: Teorem 7.1 Si f : D R e si x 0 D D(D); soo ftti equivleti: 1. f è cotiu i x 0, 2. lim x x0 f (x) = f (x 0 ). I teoremi sui limiti cosetoo di stbilire lcui semplici risultti che ci limitimo d eucire. Teorem 7.2 Sio f, g : D R cotiue i x 0 α, β R; si h D, sio ioltre 1. α f + βg è cotiu i x 0 ; 2. f g è cotiu i x 0 ; 3. se f (x 0 ) = 0, 1/ f è cotiu i x 0. Teorem 7.3 Si f : D R, x 0 D; soo ftti equivleti: 1. f è cotiu i x 0 ; 2. x D, x x 0, si h f (x ) f (x 0 ). Il precedete teorem cosete di crtterizzre l cotiuità per successioi: el cofroto co il teorem 6.18 medite il qule soo crtterizzti i limiti si evidezi il ftto che: per crtterizzre il limite l successioe x deve essere scelt i D \ {x 0 }, metre per l cotiuità x ssume vlori i D. Osservimo che che, come el teorem 6.18, ci si può limitre cosiderre soltto successioi mootoe. Teorem 7.4 Si f : D R cotiu i x 0 D, llor se f (x 0 ) = 0 esiste δ > 0 tle che se x D I(x 0, δ) si h f(x) f (x 0 ) > 0. Teorem 7.5 Sio f : D R cotiu i x 0 D, g : A D cotiu i t 0 A, x 0 = g(t 0 ); llor f (g( )) : A R è cotiu i t 0. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

95 8. I Teoremi sull Cotiuità Dopo quest rpid rsseg di risultti pssimo studire le proprietà più importti ed iteressti delle fuzioi cotiue i u isieme. L mggior prte delle proprietà che studieremo rigurdo le fuzioi cotiue su di u itervllo chiuso e limitto. E fcile vedere, medite esempi, che se si cosidero fuzioi cotiue su isiemi che o soddisfo i requisiti opportui, tli proprietà possoo o essere soddisftte. Teorem degli zeri - Si f : [, b] R u fuzioe cotiu e suppoimo che f () f (b) < 0. Allor esiste x 0 (, b) tle che f (x 0 ) = 0. Dimostrzioe. Defiimo le successioi α e β ell seguete mier: [α 0, β 0 ] = [, b] (8.1) [α, (α + β )/2] se f (α ) f ((α + β )/2) < 0 [α +1, β +1 ] = [(α + β )/2, β ] se f (α ) f ((α + β )/2) > 0 [(α + β )/2, (α + β )/2] se f ((α + β )/2) = 0 (8.2) Se, esiste, f ((α + β )/2) = 0 si è trovto lo zero; i cso cotrrio, per α e β si h: α è crescete, β è decrescete, (8.3) α, β [, b], f (α ) f (β ) < 0 (8.4) β α = b 2 (8.5)

96 96 o.cligris - p.oliv Pertto si può ffermre che α α β β α, β [, b] (8.6) e dll 8.5 si ricv α = β = c. Per l cotiuità di f e per 8.4 si h 0 lim f (α ) f (β ) = ( f (c)) 2 e f (c) = 0 (8.7) Si h che che c (, b) ed ioltre 0 c α β α b 2 (8.8) e 0 β c β α b 2 (8.9) Possimo provre il teorem degli zeri che come segue Teorem degli zeri - Si f : [, b] R u fuzioe cotiu e suppoimo che f () f (b) < 0. Allor esiste x 0 (, b) tle che f (x 0 ) = 0. Dimostrzioe. Si, per fissre le idee f () < 0 ed f (b) > 0 e defiimo N = {x [, b] : f (x) < 0}. Si h N = i quto N; ioltre N è limitto perchè N [, b]. Pertto x 0 = sup N R e, per l cotiuità di f si h x 0 (, b). Dimostrimo or che f (x 0 ) = 0. Per il lemm 6.3 esiste x x 0, x N, per cui f (x ) < 0. D ltro cto x 0 + 1/ N d cui f (x 0 + 1/) 0. Pssdo l limite per + si ottiee che f (x 0 ) 0 e f (x 0 ) 0 d cui l tesi. Il teorem 8.1 mmette come immedito corollrio il seguete: Teorem dei vlori itermedi - Si f : [, b] R u fuzioe cotiu e sio c, d R( f ), c < d, llor [c, d] R( f ). ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

97 lisi mtemtic 1 97 Dimostrzioe. Sio α, β [, b] tli che f (α) = c, f (β) = d e cosiderimo y (c, d); l fuzioe g(x) = f (x) y è cotiu su [α, β], g(α) < 0, g(β) > 0 e perciò, per il teorem 8.1, esiste x 0 (α, β) tle che g(x 0 ) = f (x 0 ) y = 0 d cui f (x 0 ) = y e y R( f ). Corollrio 8.1 Si f : [, b] R, se f è cotiu llor R( f ) è u itervllo. Ci propoimo or di dimostrre u teorem di esistez del mssimo per u fuzioe cotiu su u isieme comptto (cioè chiuso e limitto). Teorem Weierstrß - Si f : D R u fuzioe cotiu, D comptto; llor esistoo α, β D tli che f (α) = mi{ f (x) : x D} f (β) = mx{ f (x) : x D}. Dimostrzioe. Provimo d esempio l esistez del miimo dell fuzioe f. Si λ = if{ f (x) : x D} = if R( f ); per il lemm 6.3 esiste y R( f ) tle che y λ. Si x D tle che y = f (x ); dl mometo che D è comptto esiste x k estrtt d x tle che x k α D. Pertto y k = f (x k ) f (α) per l cotiuità di f ed che y k λ d cui λ = f (α) e l tesi. E possibile geerlizzre il teorem 8.4 sez l ipotesi di compttezz dell isieme D, d esempio possimo provre: 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

98 98 o.cligris - p.oliv Teorem 8.5 Si f : (, b) R cotiu,, b R, e suppoimo che esist x (, b) tle che lim x llor esiste α (, b) tle che f (x), lim f (x) > f ( x) + x b f (α) = mi{ f (x) : x (, b)}. Dimostrzioe. Suppoimo, b R, essedo l dimostrzioe egli ltri csi log. Sio λ = if{ f (x) : x (, b)} si h µ = f ( x) λ, µ R Se λ = f ( x) vremmo che il miimo è ssuto. si δ > 0 tle che x (, + δ) (b δ, b) f (x) > µ. Si y R( f ), y λ poiché µ > λ, defiitivmete si h y µ e perciò esiste x [ + δ, b δ] tle che f (x ) = y. Ne segue che esiste x k α [ + δ, b δ] e y k = f (x k ) f (α). A questo puto srebbe rgioevole itrodurre il cocetto di uiforme cotiuità, tuttvi poichè si trtt di u cocetto fodmetle m difficile d compredere rimdimo chi fosse iteressto quto è coteuto egli pprofodimeti. I prole povere dicimo che u fuzioe è uiformemete cotiu su u itervllo [, b], se, ell defiizioe di cotiuità pplict d u puto x [, b], il vlore di δ si può trovre i fuzioe di ɛ, m o dipede che d x. Possimo cioè dire che i u quluque puto di x 0 [, b] il modo co cui f (x) si vvici d f (x 0 ) qudo x si vvici d x 0 è i questo seso uiforme. Abbimo suo tempo dimostrto che, se u fuzioe è strettmete mooto, llor ess è ivertibile; vedimo or che se ci restrigimo ll clsse delle fuzioi cotiue, l strett mootoi è che ecessri per l ivertibilità. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

99 lisi mtemtic 1 99 Teorem 8.6 Si f : [, b] R cotiu, llor f è ivertibile se e solo se f è strettmete mooto. Dimostrzioe. Ci limitimo provre l prte solo se, i quto l prte se è già stt provt el teorem 3.4. Se per ssurdo f o fosse mooto, per il teorem 3.3 x, y, z [, b] : x < y < z, [ f (y) f (x)][ f (z) f (y)] 0 (8.10) se ell 8.10 vle l ugugliz, f o è ivertibile; se vle l disegugliz strett possimo, per fissre le idee, supporre che f (z) f (y) < 0, f (y) f (x) > 0, f (z) > f (x). Allor, per il teorem dei vlori itermedi, poichè f (x) < f (z) < f (y) α (x, y) : f (α) = f (z) e ciò è cotro l ivertibilità di f. Per cocludere co l cotiuità provimo i segueti risultti. Teorem 8.7 Si f : (, b) R, strettmete mooto, sio x 0 (, b) e y 0 = f (x 0 ); llor f 1 è cotiu i y 0. Dimostrzioe. Suppoimo, per fissre le idee, che f si strettmete crescete e provimo che, per ogi ε > 0 esiste δ ε > 0 tle che y : y y 0 < δ ε, si h f 1 (y) f 1 (y 0 ) < ε. Si ε 0 > 0 tle che (x 0 ε 0, x 0 + ε 0 ) (, b). Dl mometo che f è strettmete crescete si h, per 0 < ε ε 0 Defiimo se y y 0 < δ ε si h f (x 0 ε) < y 0 < f (x 0 + ε). δ ε = mi{y 0 f (x 0 ε), f (x 0 + ε) y 0 } > 0; y 0 + f (x 0 ε) y 0 < y 0 δ ε < y < y 0 + δ ε < y 0 + f (x 0 + ε) y 0 e f (x 0 ε) < y < f (x 0 + ε). Poiché f 1 è strettmete crescete si h f 1 ( f (x 0 ε)) < f 1 (y) < f 1 ( f (x 0 + ε)) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

100 100 o.cligris - p.oliv cioè x 0 ε < f 1 (y) < x 0 + ε f 1 (y 0 ) ε < f 1 (y) < f 1 (y 0 ) + ε e f 1 (y) f 1 (y 0 ) < ε. Teorem 8.8 Si f : (, b) R cotiu e ivertibile; llor f 1 è cotiu. Dimostrzioe. Dl mometo che f è cotiu ed ivertibile su (,b), ess è strettmete mooto e si può pplicre il teorem 8.7. Si può verificre che: 1. p, per R è cotiu i R + 2. p, per N è cotiu i R 3. exp, per R + è cotiu i R 4. si è cotiu i R 5. cos è cotiu i R 6. r, per pri è cotiu i R + 7. r, per dispri è cotiu i R 8. log, per R + \ {1} è cotiu i R +. L verific di questi ftti può essere complett usdo l defiizioe di limite. possimo ltresì verificre, usdo il teorem dei vlori itermedi che Teorem 8.9 Si h 1. R(p ) = R +, per pri 2. R(p ) = R, per dispri 3. R(exp ) = R + per R +, = 1 4. R(p ) = R + per R, = 0 5. R(si) = [ 1, 1] 6. R(cos) = [ 1, 1] 7. R(t) = R ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

101 lisi mtemtic L uiforme cotiuità Defiizioe 8.1 Si f : D R, dicimo che f è uiformemete cotiu i D se ε > 0 δ ε > 0 : x, y D, x y < δ ε si h f (x) f (y) < ε. Possimo trovre fuzioi che sio cotiue m o uiformemete cotiue su u isieme I. Ad esempio cosiderimo f (x) = 1 x su I = (0, 1) Per provre che f è uiformemete cotiu su I dovremmo verificre che y ε > 0 δ ε > 0 : x, y (0, 1), x y < δ ε si h 1 x 1 y < ε. A δ Questo sigific che, se defiimo x A δ = {(x, y) R 2 : x y δ} e B ε = {(x, y) R 2 : occorrerà verificre che 1 x 1 y ε} ε > 0 δ > 0 : A δ B ε D u lto x y δ è equivlete x δ y x + δ e quidi A δ può essere rppresetto come ell figur lto, Dll ltro si h se e solo se se e solo se 1 x 1 y ε x y xy ε y y(1 εx) x y(1 + εx) se e solo se, (teedo coto che per ε piccolo (1 εx) e (1 + εx soo A δ Bε x qutità positive) x 1 + εx y x 1 εx e quidi B ε può essere rppresetto come ell figur lto. Poichè è evidete che per ogi ɛ fissto o esiste essu δ per cui A δ B ε, possimo cocludere che 1/x o è uiformemete cotiu su (0, 1) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

102 102 o.cligris - p.oliv È che evidete che 1/x è uiformemete cotiu su [, + ) come mostr l figur e come si può verificre che ricorddo che, per il teorem di Lgrge, esiste c ell itervllo di estremi x ed y e defiedo δ = ε 2 Similmete si vede che 1 x 1 y 1 c 2 x y 1 x y 2 f (x) = x 2 su I = R o è uiformemete cotiu. Per provre che f è uiformemete cotiu su I dovremmo verificre che ε > 0 δ ε > 0 : x, y (0, 1), x y < δ ε si h x 2 y 2 < ε. Ache qui, se defiimo A δ = {(x, y) R 2 : x y δ} e B ε = {(x, y) R 2 : x 2 y 2 ε} per dimostrre l uiforme cotiuità di f su I, occorrerà verificre che ε > 0 δ > 0 : A δ B ε Come prim A δ può essere rppresetto come ell figur lto, D ltro cto si h y A δ Bε x se e solo se se e solo se x 2 y 2 ε x 2 ε y 1 x 2 + ε y x 2 + ε e y x 2 ε e quidi B ε può essere rppresetto come ell figur lto. Poichè è evidete che per ogi ɛ fissto o esiste essu δ per cui A δ B ε, possimo cocludere che 1/x o è uiformemete cotiu su (0, 1) È che evidete che x 2 è uiformemete cotiu su [, ), co > 0 come mostr l figur e come si può verificre che ricorddo che, per il teorem di Lgrge, esiste c ell itervllo di estremi x ed y e defiedo δ = ε 2 x 2 y 2 2c x y 2 x y ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex] 27 ottobre :51:15

103 lisi mtemtic Teorem di Heie-Ctor - Suppoimo f : D R cotiu, D comptto, llor f è uiformemete cotiu i D. Dimostrzioe. Suppoimo che f o si uiformemete cotiu i D, llor ε 0 > 0, x, y D : x y < 1/ e f (x ) f (y ) ε 0. Dl mometo che D è comptto esiste x k x D e y k = (y k x k ) + x k x. D ltro cto, d f (x k ) f (y k ) ε 0, per l cotiuità di f, si h 0 = f (x) f (x) ε 0 > 0 il che è ssurdo. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-2.tex]

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105 9. L Derivbilità. Cosiderimo u fuzioe f cotiu i u puto x 0, vremo che, qudo x si discost di poco d x 0, f (x) è poco distte d f (x 0 ). È i questo cso importte vlutre come vri f (x) f (x 0 )i rpporto x x 0 cioè il vlore del rpporto f (x) f (x 0 ) x x 0 (9.1) Possimo vedere che 9.1 rppreset il coefficiete golre dell cord che pss per i puti (x 0, f (x 0 )) e (x, f (x)). Se x è vicio l puto x 0 il deomitore tede 0, m se f è cotiu che il umertore tede 0 e quidi è sigifictivo cosiderre il vlore limite di 9.1 per x x 0. Si stbilisce quidi l seguete defiizioe. Defiizioe 9.1 Si f : (, b) R, x 0 (, b); g(x) = f (x) f (x 0) x x 0 è defiito per ogi x (, b) \ {x 0 } e si chim rpporto icremetle reltivo ll fuzioe f el puto x 0. Dl mometo che x 0 è i (, b) h seso cosiderre Dicimo che f è derivbile i x 0 se lim g(x). x x 0 f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 esiste fiito. I tl cso chimimo il suo vlore derivt di f i x 0 e scrivimo f (x 0 ) o d f dx (x 0) Dicimo che f è derivbile i x 0 d destr oppure d siistr se lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0

106 106 o.cligris - p.oliv oppure lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 esiste ed è fiito, I tl cso chimimo tle limite derivt destr o derivt siistr di f i x 0 e scrivimo f +(x 0 ) o f (x 0 ), ovvero d + f dx (x 0) o d f dx (x 0). Dicimo che f è derivbile i (, b) se è derivbile i ogi puto di (, b). I tl cso possimo defiire u fuzioe f = d f : (, b) R dx che si chim derivt di f. I mier del tutto log si possoo defiire le fuzioi derivt destr e derivt siistr. Osservimo che f (x) è il limite per x che tede x 0 del coefficiete golre dell cord secte il grfico di f ei puti (x, f (x)), (x 0, f (x 0 )) e che pertto è rgioevole supporre che si il coefficiete golre dell rett tgete l grfico i (x 0, f (x 0 )). L derivt di f, forisce, vicio d x 0, u stim del vrire di f (x) f (x 0 ) rispetto x x 0. Poichè si h d cui Se or poimo vremo che f (x) f (x 0 ) lim = f (x) (9.2) x x 0 x x 0 f (x) f (x 0 ) lim f (x) = 0 x x 0 x x 0 f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) lim = 0 (9.3) x x 0 x x 0 f (x) f (x 0 f (x 0 )(x x 0 ) x x 0 = ω(x x 0 ) (9.4) f (x) ( f (x 0 + f (x 0 )(x x 0 )) = ω(x x 0 )(x x 0 ) (9.5) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex] 27 ottobre :51:15

107 lisi mtemtic co lim ω(x x 0 ) = 0 x x 0 I ltre prole, ll qutità f (x) è possibile sostituire l qutità commettedo u errore f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) (9.6) ω(x x 0 )(x x 0 ) che tede 0 più velocemete di (x x 0 ) Poichè l equzioe y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) rppreset u rett el pio co l proprietà di pprossimre f (x) co u errore ifiitesimo di ordie superiore l primo, per x x 0, possimo defiirl rett tgete l grfico di f el puto x 0. Rest così giustificto l uso di f (x 0 ) per idetificre il coefficiete golre dell rett tgete l grfico di f i x 0. Defiimo pertto, llo scopo di sviluppre quest ide, l differezibilità di u fuzioe. Defiizioe 9.2 Si L : R R, dicimo che L è liere se: L(αx + βy) = αl(x) + βl(y), α, β R, x, y R (9.7) Più i geerle l defiizioe può essere dt per u fuzioe L : V R dove V è uo spzio vettorile su R. I tl cso L si dice liere se l 9.7 risult ver per ogi α, β R, x, y V. Idichimo co L(R, R) l isieme delle fuzioi lieri d R i R. No è difficile verificre che L(R, R) è uo spzio vettorile su R. Scriveremo spesso L(R) i luogo di L(R, R). Per le ppliczioi lieri vle il seguete risultto Teorem 9.1 Si L : R R, llor L L(R) γ R : L(x) = γx. Dimostrzioe. Evidetemete, se L(x) = γx, L è liere. Se vicevers L è liere, si h L(x) = L(x 1) = xl(1) = γx se γ = L(1). Defiizioe 9.3 Si f : (, b) R, x 0 (, b); dicimo che f è differezibile i x 0 se esiste R tle che f (x) f (x 0 ) (x x 0 ) lim = 0. x x 0 x x 0 L fuzioe liere L(x) = (x x 0 ) si chim differezile di f i x 0 e si idic co d f (x 0 )(x). 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex]

108 108 o.cligris - p.oliv Teorem 9.2 Si f : (, b) R, x 0 (, b), llor f è derivbile i x 0 se e solo se f è differezibile i x 0. Ioltre d f (x 0 )(h) = h f (x 0 ) per ogi h R. Dimostrzioe. Se f è derivbile i x 0 è sufficiete defiire e si h = f (x 0 ) f (x) f (x 0 ) (x x 0 ) lim = 0. x x 0 x x 0 Se vicevers f è differezibile i x 0 si h che e d cui e f (x) f (x 0 ) (x x 0 ) lim = 0 x x 0 x x 0 f (x) f (x 0 ) lim = 0 x x 0 x x 0 f (x 0 ) = d f (x 0 )(h) = h f (x 0 ) Dll 9.5 risult evidete che se f è derivbile i x 0 si h: e Pertto f (x) f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ω(x x 0 ). lim [ f (x) f (x 0 )] = lim [ f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ω(x x 0 )] = 0 x x 0 x x0 Si è così provto che lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Teorem 9.3 Si f : D R, D R perto, e si x 0 D; se f è derivbile i x 0 llor f è cotiu i x 0. No è però vero il vicevers; esempi che illustrio questo ftto o soo difficili trovrsi (bst cosiderre f (x) = x ), e di più è possibile costruire u fuzioe cotiu su u itervllo ed ivi mi derivbile. Teorem 9.4 Si f : (, b) R, x 0 (, b); soo ftti equivleti: ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex] 27 ottobre :51:15

109 lisi mtemtic e f (x) f (x 0 ) lim = f (x x x 0 x 0 ) x 0 f (x) f (x 0 ) d f (x 0 )(x x 0 ) lim = 0 x x 0 x x 0 ω : R R, co ω(0) = 0 = lim h 0 ω(h) f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ω(x x 0 ) 4. e ω : R R, co ω(0) = 0 = lim h 0 ω(h) f (x) = f (x 0 ) + d f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ω(x x 0 ). Provimo or lcui risultti sull derivbilità. Teorem 9.5 Sio f, g : D R, D R perto, e si x 0 D; suppoimo che f e g sio derivbili i x 0, llor: 1. α f + βg è derivbile i x 0 α, β R e si h (α f + βg) (x 0 ) = α f (x 0 ) + βg (x 0 ); 2. f g è derivbile i x 0 e si h ( f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 ). 3. Se f (x 0 ) = 0 llor (1/ f ) è derivbile i x 0 e si h: Dimostrzioe. ( ) 1 (x 0 ) = f (x 0 ) f f 2 (x 0 ). 1. è ble coseguez dell defiizioe di derivt e dei risultti provti sui limiti. 2. si può provre osservdo che f (x)g(x) f (x 0 )g(x 0 ) x x 0 = f (x)[g(x) g(x 0)] x x 0 + [ f (x) f (x 0)]g(x 0 ) x x 0 e pssdo l limite. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex]

110 110 o.cligris - p.oliv 3. Dl mometo che f è derivbile i x 0, f è ivi cotiu e per il teorem dell permez del sego δ > 0 tle che f (x) = 0 se x x 0 < δ. Possimo pertto cosiderre l fuzioe 1/ f i x x 0 < δ e costruire il suo rpporto icremetle 1/ f (x) 1/ f (x 0 ) x x 0 = f (x) f (x 0 ) x x 0. 1 f (x) f (x 0 ) Pssdo l limite per x x 0 si ottiee che ( ) 1 (x 0 ) = f (x 0 ) f f 2 (x 0 ) Teorem 9.6 Sio f : (, b) R, g : (c, d) (, b); si t 0 (c, d), g derivbile i t 0 ; si x 0 = g(t 0 ) e si f derivbile i x 0. Allor se ϕ = f (g( )), ϕ è derivbile i t 0 e si h ϕ (t 0 ) = f (x 0 )g (t 0 ). Dimostrzioe. Per l 9.5 si h che Si h f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ω 1 (x x 0 ) (9.8) g(t) = g(t 0 ) + g (t 0 )(t t 0 ) + (t t 0 )ω 2 (t t 0 ). (9.9) ϕ(t) = f (g(t)) = f (g(t 0 )) + f (g(t 0 ))[g(t) g(t 0 )]+ + [g(t) g(t 0 )]ω 1 (g(t) g(t 0 )) = = f (x 0 ) + f (x 0 )[g (t 0 )(t t 0 ) + (t t 0 )ω 2 (t t 0 )]+ + [g(t) g(t 0 )]ω 1 (g(t) g(t 0 )) = = f (x 0 ) + f (x 0 )g (t 0 )(t t 0 ) + (t t 0 )ω 3 (t t 0 ). (9.10) E dl mometo che lim ω 3 (t t 0 ) = 0 t t 0 si h l tesi Teorem 9.7 Si f : (, b) R, x 0 (, b), y 0 = f (x 0 ); suppoimo f strettmete mooto i (,b), derivbile i x 0 ed f (x 0 ) = 0; llor f 1 è derivbile i y 0 e si h ( f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ). ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex] 27 ottobre :51:15

111 lisi mtemtic Dimostrzioe. Cosiderimo il rpporto icremetle vremo che G(y) = f 1 (y) f 1 (y 0 ) y y 0, G(y) = F( f 1 (y)) ove Or F(x) = x x 0 f (x) f (x 0 ) = x f 1 (y 0 ). f (x) y 0 x x 0 lim x x 0 f (x) f (x 0 ) = 1 f (x 0 ) e lim y y 0 f 1 (y) = f 1 (y 0 ) = x 0 (si ricordi che f 1 è cotiu i y 0 i quto ivers di u fuzioe mooto cotiu). Ioltre x 0 o pprtiee l cmpo di defiizioe di F; pertto possimo pplicre il teorem che cosete di clcolre il limite di u fuzioe compost per cocludere che lim G(y) = 1 y y 0 f (x 0 ) e l tesi. Clcolimo or le derivte di lcue fuzioi elemetri; d dx x d dx x = x 1 = x l d dx log x = 1 x l dx d si x = cos x dx d cos x = si x d dx t x = 1 + t2 x d dx rcsi x = 1 1 x 2 d dx rccos x = 1 1 x 2 d dx rct x = 1 1+x ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex]

112 112 o.cligris - p.oliv Ciscu delle formule vle per quegli x per cui h seso e può essere provt usdo l defiizioe di derivt. Abbimo co ciò itrodotto quello che si chim derivt prim di u fuzioe f ; ovvimete pplicdo successivmete più volte lo stesso procedimeto, otterremo quelle che si chimo derivt secod, terz,.., -esim di f. Idichimo co f (x 0 ) o d 2 dx 2 f (x 0) f (3) d (x 0 ) 3 o dx 3 f (x 0) f () d (x 0 ) o dx f (x 0) l derivt secod, terz,.., -esim di f i x 0. Discorsi e otzioi loghe vo bee per le derivte successive destre e siistre. Idichimo ifie co C (I), I R, l isieme delle fuzioi f : I R derivbili lmeo volte, co derivt -esim cotiu. I prticolre C 0 (I) è l isieme delle fuzioi cotiue, metre C (I) è l isieme delle fuzioi che mmettoo derivte di ogi ordie i ogi puto di I. Si può fcilmete verificre che oguo di questi isiemi è uo spzio vettorile su R. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex] 27 ottobre :51:15

113 10. I Teoremi di Rolle, Lgrge e Cuchy. Le derivte foriscoo u importte strumeto per lo studio delle proprietà e del grfico di u fuzioe. L ppliczioe di tle strumeto si cocretizz ttrverso lcui risultti dimostrti el corso del 700, dei quli ci occupimo di seguito. Comicimo co il provre il seguete lemm. Lemm 10.1 Si f : [, b] R derivbile, si x 1 [, b] tle che si h che 1. se x 1 (, b) llor f (x 1 ) = 0 2. Se x 1 = llor f +(x 1 ) 0 3. Se x 1 = b llor f (x 1 ) 0 f (x 1 ) = mi{ f (x) : x [, b]} Dimostrzioe. L esistez del puto di miimo è ssicurt dll cotiuità di f i [,b]. Provimo l prim ffermzioe; si si h Pertto g(x) = f (x) f (x 1) x x 1 g(x) 0 se x < x 1 g(x) 0 se x > x 1. 0 lim x x 1 g(x) = f (x 1 ) = lim x x + 1 g(x) 0. Per quto rigurd l secod ffermzioe: se x 1 = si h che f +(x 1 ) = lim x x + 1 g(x) 0.

114 114 o.cligris - p.oliv L terz ffermzioe si dimostr i modo simile. È chiro che u risultto simile si può provre per i puti di mssimo. Provimo or u estesioe del teorem degli zeri lle fuzioi, evetulmete o cotiue, che soo derivte di u qulche ltr fuzioe. Teorem 10.1 Drbôux Si f : [, b] R derivbile, llor f +() f (b) < 0 c (, b) : f (c) = 0. Dimostrzioe. f è cotiu i [, b] e pertto ivi mmette mssimo e miimo ssoluti. Se etrmbi fossero ssuti egli estremi dell itervllo si vrebbe, per il lemm 10.1, f +() f (b) 0, e perciò lmeo uo di essi è itero d (, b). L coclusioe segue cor dl lemm Osservimo che il teorem è u effettiv geerlizzzioe del teorem degli zeri, i quto esistoo fuzioi o cotiue che soo derivte di u qulche ltr fuzioe; si cosideri d esempio 2x si(1/x) cos(1/x), x = 0 f (x) = (10.1) 0, x = 0. ove Si h che f (x) = g (x) x 2 si(1/x) x = 0 g(x) = 0, x = 0 (10.2) E evidete che f o è cotiu i 0. A questo puto simo i grdo di provre u risultto che è, pur ell su semplicità, fodmetle per lo sviluppo del clcolo differezile. Teorem Rolle - Si f : [, b] R cotiu i [, b] e derivbile i (, b); llor f () = f (b) c (, b) : f (c) = 0. Dimostrzioe. Per il teorem di Weierstrß f mmette mssimo e miimo ssoluti i [, b]; se etrmbi soo ssuti egli estremi si h mx{ f (x) : x [, b]} = mi{ f (x) : x [, b]} ed f è costte, d cui f (x) = 0 x (, b). Se ivece il mssimo o il miimo è ssuto i u puto itero c, dl lemm 10.1 si h f (c) = 0. Ne segue che ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex] 27 ottobre :51:15

115 lisi mtemtic Teorem Lgrge - Si f : [, b] R cotiu i [, b] e derivbile i (, b); llor esiste c (, b) tle che f (b) f () = f (c)(b ). Dimostrzioe. Cosiderimo l fuzioe g : [, b] R defiit d ( g(x) = f (x) f () + ) f (b) f () (x ). b g è cotiu i [,b] e derivbile i (,b) ed ioltre g() = g(b) = 0. Per il teorem di Rolle esiste c (, b) tle che e 0 = g (c) = f (c) f (b) f () b f (b) f () = f (c)(b ). Teorem Peo - Sio f, g : [, b] R, f, g cotiue i [, b] e derivbili i (, b); llor esiste c (, b) tle che ( f (b) f () det g(b) g() ) f (c) g = 0 (10.3) (c) Dimostrzioe. Cosiderimo l fuzioe h : [, b] R defiit d ( ) f (b) f () f (x) h(x) = det = [ f (b) f ()]g(x) [g(b) g()] f (x) g(b) g() g(x) (10.4) h soddisf le ipotesi del teorem di Rolle e pertto si può ffermre che esiste c (, b) tle che ( h f (b) f () (c) = det g(b) g() ) f (c) g = 0 (10.5) (c) Teorem Cuchy - Sio f, g : [, b] R cotiue i [, b] e derivbili i (, b); si ioltre g (x) = 0 per ogi x (, b). Allor esiste c (, b) tle che f (b) f () g(b) g() = f (c) g (c) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex]

116 116 o.cligris - p.oliv Dimostrzioe. Per il teorem di Peo si h che esiste c (, b) tle che [ f (b) f ()]g (c) = [g(b) g()] f (c). M g (x) = 0 per ogi x (, b) e pertto che g(b) g() = 0 (se così o fosse ci srebbe, per il teorem di Rolle, u puto ξ (, b) tle che g (ξ) = 0). Possimo llor dividere per g (c) e per g(b) g() ed otteere l tesi. I teoremi ppe dimostrti foriscoo tutt u serie di risultti molto utili per lo studio del grfico di u fuzioe. Teorem 10.6 Si f : [, b] R cotiu i [, b] e derivbile i (, b); llor f è costte i [, b] se e solo se f (x) = 0 per ogi x (, b). Dimostrzioe. Se f è costte i [, b] è immedito provre che f è ideticmete ull. Provimo vicevers che se f (x) = 0 per ogi x (, b) si h che f è costte: si x (, b) ed pplichimo il teorem di Lgrge ll itervllo [, x]. Per u opportuo vlore di c (, x) si h f (x) f () = f (c)(x ) = 0 e si deduce che f (x) = f () Corollrio 10.1 Sio f, g : [, b] R cotiue i [, b], derivbili i (, b) e tli che f (x) = g (x) x (, b) ; llor c R : f (x) = g(x) + c x [, b]. Teorem 10.7 Si f : (, b) R, derivbile; llor f è crescete (decrescete) i (, b) se e solo se f (x) 0 ( f (x) 0) per ogi x (, b). Dimostrzioe. E itto ovvio che se f è crescete llor si h f (x) 0 per ogi x (, b); suppoimo vicevers che f (x) 0 per ogi x (, b), llor se x 1, x 2 (, b), x 1 < x 2, si h f (x 2 ) f (x 1 ) = f (c)(x 2 x 1 ), x 1 < c < x 2 e pertto f (x 2 ) f (x 1 ) 0 Sottolieimo che i risultti provti fuzioo soltto per fuzioi defiite su u itervllo. È iftti fcile trovre esempi che cotrddico gli euciti precedeti se si riuci ll codizioe di itervllo: ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex] 27 ottobre :51:15

117 lisi mtemtic Ad esempio cosiderimo le fuzioi oppure Si può che provre che: 1, x > 0 f (x) = 1, x < 0 (10.6) g(x) = 1/x su R \ {0} (10.7) Teorem 10.8 Si f : (, b) R derivbile e suppoimo che f (x) > 0 per ogi x (, b); llor f è strettmete crescete i (, b). L fuzioe f (x) = x 3 ci covice ioltre che possoo esistere fuzioi strettmete cresceti l cui derivt o è sempre strettmete mggiore di zero. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex]

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119 11. L Regol di De L Hôpitl Dl teorem di Cuchy è possibile ricvre u risultto molto importte usulmete idetificto come regol di De L Hôpitl, dl ome del mrchese che pubblicò u trttto che l cotiee, m è più probbilmete dovut Joh Beroulli. Il suo scopo è forire uo strumeto tto risolvere, i certi csi, il problem di trovre il limite di u form idetermit. E importte ricordre che l ppliczioe di tle regol è subordit, come sempre, ll verific di lcue ipotesi, i ssez delle quli si possoo otteere dei risultti sbgliti. L regol di De l Hôpitl è u rffimeto del seguete ftto del tutto elemetre. Teorem 11.1 Sio f, g : D R derivbili i x 0 D, D perto; llor, se f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0 e g (x 0 ) = 0, si h lim x x 0 f (x) g(x) = f (x 0 ) g (x 0 ). Dimostrzioe. E sufficiete osservre che lim x x 0 f (x) g(x) = lim f (x) f (x 0 ) x x 0 x x 0 x x 0 g(x) g(x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ) Il risultto ppe eucito si può geerlizzre l cso i cui o si possibile cosiderre f (x 0 ) g (x 0 ) m soltto lim x x 0 f (x) g (x). Nturlmete tutto ciò è ftto llo scopo di determire il el cso i cui lim x x 0 lim x x 0 f (x) g(x) f (x) = lim x x0 g(x) = 0. No srà ovvimete restrittivo trttre solo il cso i cui x x + 0.

120 120 o.cligris - p.oliv Teorem 11.2 Sio f, g : (, b) R derivbili; suppoimo che g (x) = 0 x (, b) Allor, se esiste, si h lim x + lim x + f (x) = lim g(x) = 0. + lim x + x f (x) g (x) f (x) g(x) = lim x + f (x) g (x). Dimostrzioe. Si Se < x < + δ ε si h lim x + f (x) g (x) = l R. f (x) g I(l, ε). (x) Or, se prolughimo f e g per cotiuità i poedo f () = g() = 0, si può pplicre il teorem di Cuchy ell itervllo [, x] co x (, b) ed otteere che f (x) f (x) f () = g(x) g(x) g() = f (c) g (c) co < c < x Perciò, se < x < + δ ε si h < c < x < + δ ε e f (x) g(x) = f (c) g I(l, ε). (c) Il teorem 11.2 può ovvimete essere rieucito che cosiderdo limiti per x e per x. Resto fuori d quest trttzioe i limiti per x + e per x. Osservimo che i tli csi può essere utilizzto il ftto che f (x) lim x + g(x) = lim t 0 + f (1/t) g(1/t). A quest ultimo limite può essere pplicto il teorem 11.2 o ppe si sio verificte le ipotesi i esso richieste. Eucimo, per comodità, il risultto che si ottiee seguedo quest vi. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex] 27 ottobre :51:15

121 lisi mtemtic Corollrio 11.1 Sio f, g : (, + ) R derivbili; suppoimo g (x) = 0 x (, + ) lim x + f (x) = lim x + g(x) = 0. Allor, se esiste, si h f (x) lim x + g (x) f (x) lim x + g(x) = lim f (x) x + g (x). Nel cso i cui g + oppure g possimo dimostrre il seguete teorem l cui domostrzioe comport qulche difiicoltà i più. Teorem 11.3 Sio f, g : (, b) R derivbili; suppoimo g (x) = 0 x (, b) lim x + g(x) = +. Allor, se esiste, si h lim x + lim x + f (x) g (x) f (x) g(x) = lim x + f (x) g (x). Dimostrzioe. L dimostrzioe è leggermete divers secod che f l = (x) lim x + g (x) si u umero rele oppure + o. Comicimo cosiderre il cso l R. Si ε > 0, esisterà δ ε > 0 tle che, se < x < + δ ε Or, dl mometo che l ε < f (x) g (x) l + ε lim g(x) = + x + si h che, fissto comuque u puto α (, + δ ε ), esiste δ > 0 tle che, se < x < + δ si h g(x) > mx{g(α), 0}. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex]

122 122 o.cligris - p.oliv Cosiderimo or u puto x tle che < x < + mi{δ ε, δ, α } e l itervllo [x, α], (osservimo che si h x < (α ) + = α). Per il teorem di Cuchy esiste c (x, α) tle che f (x) f (α) g(x) g(α) = f (c) g (c). Or, dl mometo che < x < c < α < + δ ε, si h e l ε < f (x) f (α) g(x) g(α) < l + ε f (α) + (l ε)(g(x) g(α)) < f (x) < f (α) + (l + ε)(g(x) g(α)) Se or dividimo per g(x) otteimo ( (l ε) 1 g(α) g(x) ) + f (α) g(x) < f (x) ( < (l + ε) g(x) 1 g(α) g(x) ) + f (α) g(x) Or, il primo ed il terzo membro (il secodo) tedoo d l + ε ed l ε (ε) rispettivmete e perciò, se < x < + δ si h l 2ε < f (x) g(x) < l + 2ε Riportimo l dimostrzioe che el cso i cui l = +. Si ε > 0, esisterà δ ε > 0 tle che, se < x < + δ ε Or, dl mometo che ( f ) (x) g (x) > ε. lim g(x) = + x + si h che, fissto comuque u puto α (, + δ ε ), esiste δ > 0 tle che, se < x < + δ si h g(x) > mx{g(α), 0}. Cosiderimo or u puto x tle che < x < + mi{δ ε, δ, α } e l itervllo [x, α], (osservimo che si h x < (α ) + = α). Per il teorem di Cuchy esiste c (x, α) tle che f (x) f (α) g(x) g(α) = f (c) g (c). ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex] 27 ottobre :51:15

123 lisi mtemtic Or, dl mometo che < x < c < α < + δ ε, si h e ( ) f (x) f (α) g(x) g(α) > ε ( f (x) > f (α) + ε(g(x) g(α))) Se or dividimo per g(x) otteimo ( f (x) g(x) > f (α) ( g(x) + ε 1 g(α) g(x) )). Or, il primo ed il terzo membro (il secodo) tedoo d l + ε ed l ε (ε) rispettivmete e perciò, se < x < + δ si h ( f (x) g(x) > ε ) 2 Ecco lcui esempi che mostro come l regol di De L Hôpitl o di risultti corretti se viee meo che u sol delle ipotesi ftte. Esempio 11.1 Sio e cosiderimo f (x) = x + cos x, g(x) = x (si x)/2 f (x) lim x + g(x). L regol di De L Hôpitl o può essere pplict perché f (x) lim x + g (x) = lim x + 1 si x 1 (cos x)/2 o esiste. Osservimo che che tutte le ltre ipotesi soo soddisftte. U ppliczioe icut dell regol stess codurrebbe cocludere che che f (x) lim x + g(x) o esiste, metre o è difficile vedere che tle limite esiste e vle 1. Esempio 11.2 Sio f (x) = e 2x (2 si x + cos x), g(x) = e x (si x + cos x) e cosiderimo f (x) lim x + g(x). 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex]

124 124 o.cligris - p.oliv L regol di De L Hôpitl o può essere pplict perché esiste u successioe x tle che x + e g (x ) = 0, tutte le ltre ipotesi essedo soddisftte. Tuttvi si h f (x) lim x + g (x) = 0 ed u icut ppliczioe dell regol di De L Hôpitl codurrebbe cocludere che f (x) lim x + g(x) = 0 m ciò è flso i quto tle limite o esiste. Verifichimo le ostre ffermzioi. Si h f (x) = 5e 2x si x, g (x) = 2e x si x, per cui f (x) lim x + g (x) = 0. f (x) g (x) = 5 2 e x Ioltre, si c tle che 2 si c + cos c = 0 e cosiderimo l successioe x + ed f (x ) = 0 per cui si h Si d ltro cto x = c + 2π, lim f (x ) g(x ) = 0. = t(e 7 ), y = π 4 + 2π + ; usdo le formule di ddizioe del seo e del coseo si clcol fcilmete che f (y ) g(y ) = eπ/4 2π 3 si cos 2 si = = e π/4 e 2π 3 t 1 2 t = e π/4 t(e 7 ) 3e 7 1 e (7 2π) (11.1) 2 Ciò è sufficiete per cocludere che il limite i oggetto o esiste. Teorem 11.4 Sio f, g : (, b) R derivbili; suppoimo g (x) = 0 x (, b) lim x + g(x) = +. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-3.tex] 27 ottobre :51:15

125 lisi mtemtic Allor, se esiste, si h lim x + lim x + f (x) g (x) f (x) g(x) = lim x + f (x) g (x). L regol di De L Hôpitl permette di ricvre u risultto molto utile per clcolre l derivt di u fuzioe i puti che presetio qulche criticità. Corollrio 11.2 Si f : D R, derivbile i D \ {x 0 } e cotiu i x 0 D, D perto, co Allor lim x x se λ R llor f +(x 0 ) = λ 2. Se µ R llor f (x 0 ) = µ f (x) = λ, lim x x 0 f (x) = µ. 3. Se λ = ± llor f o è derivbile d destr i x 0 4. Se µ = ± llor f o è derivbile d siistr i x 0 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

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127 12. L Formul Di Tylor L formul di Tylor sce dll esigez di trovre buoe pprossimzioi, fcilmete clcolbili, per le fuzioi elemetri. Si trtt essezilmete dello sviluppo del cocetto di pprossimzioe liere che è stto itrodotto co l defiizioe di derivt. Iftti se suppoimo che f si u fuzioe derivbile i x 0 ; bbimo visto che dove f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ω(x x 0 ) lim x x 0 ω(x x 0 ) = 0 = ω(0). Possimo pertto ffermre che i tle occsioe bbimo trovto u poliomio di primo grdo che pprossim l fuzioe f co u errore che può essere espresso ell form (x x 0 )ω(x x 0 ), co ω(x x 0 ) 0 se x x 0, tle errore quidi risult essere ifiitesimo di ordie superiore d 1 cioè di ordie superiore l grdo del poliomio pprossimte. Poimoci or il problem di pprossimre l fuzioe f co u poliomio di grdo, commettedo u errore che si ifiitesimo di ordie superiore d, cioè che poss essere espresso ell form Si pertto (x x 0 ) ω(x x 0 ) ove lim x x0 ω(x x 0 ) = 0. P (x) = u tle poliomio; dovrà versi f (x) = i=0 i=0 i (x x 0 ) i i (x x 0 ) i + (x x 0 ) ω(x x 0 ) (12.1) co ω(x x 0 ) 0 se x x 0. Se suppoimo f derivbile volte, ffiché l 12.1 si ver dovrà essere f (x 0 ) = 0

128 128 o.cligris - p.oliv per cui si vrà e f (x) = f (x 0 ) + f (x) f (x 0 ) = x x i=1 i=2 Pssdo l limite per x x 0 si ottiee i (x x 0 ) i + (x x 0 ) ω(x x 0 ) i (x x 0 ) i 1 + (x x 0 ) 1 ω(x x 0 ). e si vrà f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + d cui f (x 0 ) = 1 i=2 f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) (x x 0 ) 2 = = 2 + i=3 i (x x 0 ) i + (x x 0 ) ω(x x 0 ) i (x x 0 ) i 2 + (x x 0 ) 2 ω(x x 0 ) (12.2) per cui, pplicdo l regol di De L Hôpitl, si ottiee che e f (x 0 ) = 2. 2! Così procededo si ottiee che f (x) f (x 0 ) lim = x x 0 2(x x 0 ) 2 (12.3) f () (x 0 )! = e pertto, ffiché il ostro scopo si rggiuto, srà ecessrio che P(x) = i=0 Rissumedo possimo dire che f (i) (x 0 ) (x x 0 ) i. i! Affichè si bbi f (x) = i=0 co ω(x x 0 ) 0 se x x 0. deve essere i (x x 0 ) i + (x x 0 ) ω(x x 0 ) (12.4) = f () (x 0 )! (12.5) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

129 lisi mtemtic Ci rest or d provre che tle poliomio soddisf effettivmete le codizioi richieste. Ciò srà ftto provdo il seguete risultto: Teorem Formul di Tylor co il resto di Peo - Si f : (, b) R derivbile -1 volte i (, b) ed volte i x 0 (, b); llor co f (x) = i=0 Dimostrzioe. Defiimo e chimimo provimo che f (i) (x 0 ) (x x 0 ) i + (x x 0 ) ω(x x 0 ) (12.6) i! lim ω(x x 0 ) = 0 = ω(0). x x 0 P(x) = i=0 ω(x x 0 ) = f (i) (x 0 ) (x x 0 ) i i! f (x) P(x) (x x 0 ) ; lim ω(x x 0 ) = 0 x x 0 Allo scopo di pplicre l regol di De L Hôpitl clcolimo lim x x 0 f (x) P (x) (x x 0 ) 1 = = lim x x0 1 (x x 0 ) 1 ( f (x) i=1 ) f (i) (x 0 ) (i 1)! (x x 0) i 1 (12.7) e proseguedo clcolimo lim x x 0 f (x) P (x) ( 1)(x x 0 ) 2 = = lim x x0 1 ( 1)(x x 0 ) 2 ( f (x) i=2 ) f (i) (x 0 ) (i 2)! (x x 0) i 2 fio d rrivre (12.8) lim x x 0 f ( 1) (x) P ( 1) (x)!(x x 0 ) = f = ( 1) (x) f ( 1) (x 0 ) f () (x 0 )(x x 0 ) lim = x x0!(x x 0 ) ( ) 1 f = ( 1) (x) f ( 1) (x 0 ) lim f () (x x x0! x 0 ) = 0 (12.9) x 0 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

130 130 o.cligris - p.oliv Si può pertto dedurre che lim ω(x x 0 ) = 0 (12.10) x x 0 L formul di Tylor co il resto ell form di Peo permette di estedere l possibilità di pprossimre u fuzioe f co u poliomio di primo grdo, fio d otteere l possibilità di pprossimrl co u poliomio di grdo rbitrrio. Ovvimete il ftto più importte è l vlutzioe dell errore commesso e, se cosiderimo il resto ell form di Peo, tle vlutzioe è di tipo qulittivo. Se voglimo u vlutzioe dell errore di tipo qutittivo ci occorre seguire u procedimeto diverso dll defiizioe di differezibilità. U rpido sgurdo i risultti di clcolo differezile fio d or provti ci covicerà be presto che il risultto d estedere è il teorem di Lgrge. Cercheremo i ltre prole di vlutre l differez f (x) i=0 f (i) (x 0 ) (x x 0 ) i i! i fuzioe di mggiorti di f (+1) (x). Teorem 12.2 Formul di Tylor co il resto di Lgrge - Si f : (, b) R derivbile + 1 volte i (, b); sio x, x 0 (, b), llor esiste c tr x 0 ed x, tle che f (x) = i=0 f (i) (x 0 ) i! (x x 0 ) i + f (+1) (c)(x x 0 ) +1. ( + 1)! Dimostrzioe. Provimo il teorem el cso i cui = 2; dovremo i questo cso provre che esiste c tr x 0 ed x, tle che f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2 Si (x x 0 ) 2 + f (c) (x x 0 ) 3 3! (12.11) F(x) = f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 ) (x x 0 ) 2 R(x x 0 ) 3 2 (12.12) Ovvimete R dipede dl ftto che bbimo fissto = 3 oltre che d x e d x 0, che comuque soo essi pure fissti, Se cosiderimo F sull itervllo di estremi x 0 ed x, possimo ffermre che è derivbile lmeo tre volte e si h ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

131 lisi mtemtic F (x) = f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) 3R(x x 0 ) 2 (12.13) F (x) = f (x) f (x 0 ) 6R(x x 0 ) (12.14) F (x) = f (x) 6R (12.15) Poichè F(x) = F(x 0 ) = 0 per il teorem di Rolle esiste u puto α tr x 0 ed x tle che F (α) = 0 Poichè ioltre F (x 0 ) = 0, sempre per il teorem di Rolle si h che esiste u puto β tr x 0 ed α tle che F (β) = 0 Ed cor per il teorem di Rolle, poichè cor F (x 0 ) = 0 esiste u puto c tr x 0 ed β tle che Ne ricvimo ifie che F (c) = 0 F (c) = f (c) 6R = 0 e e deducimo che R = f (c) 6 Lemm 12.1 Si f : (, b) R derivbile + 1 volte i (, b) e si ϕ : [0, 1] R derivbile i (, b), co ϕ(0) = 0 e ϕ(1) = 1. Sio x, x 0 (, b), llor esiste c, tr x 0 ed x, tle che f (x) = i=0 f (i) (x 0 ) (x x 0 ) i + f (+1) (c)(x c) (x x 0 ) i!! ϕ ((x c)/(x x 0 )). Dimostrzioe. Si x (, b), posto e Q(t) = i=0 f (i) (t) (x t) i i! R = f (x) Q(x 0 ) = f (x) P(x) defiimo F : (, b) R medite l ( ) x t F(t) = Q(t) + ϕ R. x x 0 Si h F(x) = Q(x) + ϕ(0)r = Q(x) = f (x) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

132 132 o.cligris - p.oliv F(x 0 ) = Q(x 0 ) + ϕ(1)r = f (x); ioltre F è derivbile i (, b), pertto per il teorem di Rolle, esiste c, tr x 0 ed x tle che F (c) = 0, ovvero Notimo che F (c) = Q (c) 1 ( ) ϕ x c R = 0. x x 0 x x 0 Q(t) = f (t) + f (t)(x t) + f (t) (x t) f () (t)!(x t) 2 d cui e Q (t) = = f (t) f (t) + f (t)(x t) f (t)(x t) + f (3) (t) (x t) f () (t) ( 1)! (x t) 1 + f (+1) (t) (x t) =! Ne viee = f (+1) (t) (x t)! F (c) = f (+1) (c) (x c) 1 ( ) ϕ x c R = 0.! x x 0 x x 0 R = f (+1) (c)(x c) (x x 0 )!ϕ ((x c)/(x x 0 )) (12.16) Il precedete teorem può essere pplicto per otteere diversi resti corrispodeti diverse scelte dell fuzioe ϕ. Illustrimo di seguito tre delle quttro più importti formulzioi, rivido l seguito per l qurt, che coivolge il cocetto di itegrle. Teorem 12.3 Formul di Tylor co il resto di Schlomilch-Ròche Si f : (, b) R derivbile + 1 volte i (, b) e sio x, x 0 (, b), α > 0; llor esiste c (, b), tr x 0 ed x, tle che f (x) = i=0 f (i) (x 0 ) i! Dimostrzioe. E sufficiete scegliere (x x 0 ) i + f (+1) (c)(x c) +1 α (x x 0 ) α.! α ϕ(t) = t α ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

133 lisi mtemtic Teorem 12.4 formul di Tylor co il resto di Cuchy - Si f : (, b) R derivbile + 1 volte i (, b); sio x, x 0 (, b), llor esiste esiste c, tr x 0 ed x, tle che f (x) = i=0 f (i) (x 0 ) i! (x x 0 ) i + f (+1) (c)(x c) (x x 0 ).! Dimostrzioe. α = 1. E sufficiete pplicre il teorem precedete co Teorem 12.5 Formul di Tylor co il resto di Lgrge - Si f : (, b) R derivbile + 1 volte i (, b); sio x, x 0 (, b), llor esiste c (, b), c, tr x 0 ed x, tle che f (x) = i=0 f (i) (x 0 ) i! (x x 0 ) i + f (+1) (c)(x x 0 ) +1. ( + 1)! Dimostrzioe. posto α = + 1. E sufficiete pplicre il teorem 12.3 dopo ver 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

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135 13. Qulche Sviluppo di Tylor Alcui sviluppi di fuzioi elemetri ricorroo spesso e quidi è molto comodo fre u breve rccolt di risultti i merito Nel seguito idichimo co ω u fuzioe ifiitesim per x x Lo sviluppo di McLuri di e x Si f (x) = e x Avremo che f C + (R) e si h

136 136 o.cligris - p.oliv f (x) = e x f (0) = 1 (13.1) f (x) = e x f (0) = 1 (13.2) f (x) = e x f (0) = 1 (13.3) f (x) = e x f (0) = 1 (13.4) (13.5) f () (x) = e x f () (0) = 1 (13.6) d cui si ricv che il poliomio di McLuri P di e x di grdo è P (x) = x k k! k=0 ed il resto di Lgrge R ssume l form R (x) = Possimo pertto cocludere che e c ( + 1)! x+1 c x e x = e x = k=0 x k k! + x ω(x) (13.7) x k k! + e c ( + 1)! x+1 c x (13.8) k= Lo sviluppo di McLuri di si x Si f (x) = si x Avremo che f C + (R) e si h f (x) = si x f (iv) (x) = si x (13.9) f (x) = cos x f (v) (x) = cos x (13.10) f (x) = si x f (vi) (x) = si x (13.11) f (x) = cos x f (vii) (x) = cos x (13.12) Pertto le derivte di f si ripetoo di 4 i 4 e si h ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

137 lisi mtemtic f (0) = 0 f (iv) (0) = 0 (13.13) f (0) = 1 f (v) (0) = 1 (13.14) f (0) = 0 f (vi) (0) = 0 (13.15) f (0) = 1 f (vii) (0) = 1 (13.16) d cui si ricv che il poliomio di McLuri P di si x di grdo è P 2+1 (x) = k=0 ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! ed il resto di Lgrge R 2+1 ssume l form R 2+1 (x) = f (2+3) (c) (2 + 3)! c x Ricordimo che il termie di grdo è ullo. Possimo pertto cocludere che 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

138 138 o.cligris - p.oliv si x = si x = k=0 k=0 ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! + x2+3 ω(x) (13.17) ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! + f (2+3) (c) (2 + 3)! x2+3 c x (13.18) 13.3 Lo sviluppo di McLuri di cos x Si f (x) = cos x Avremo che f C + (R) e si h f (x) = cos x f (iv) (x) = cos x (13.19) f (x) = si x f (v) (x) = si x (13.20) f (x) = cos x f (vi) (x) = cos x (13.21) f (x) = si x f (vii) (x) = si x (13.22) Pertto le derivte di f si ripetoo di 4 i 4 e si h ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

139 lisi mtemtic f (0) = 1 f (iv) (0) = 1 (13.23) f (0) = 0 f (v) (0) = 0 (13.24) f (0) = 1 f (vi) (0) = 1 (13.25) f (0) = 0 f (vii) (0) = 0 (13.26) d cui si ricv che il poliomio di McLuri P di cos x di grdo 2 è P 2 (x) = k=0 x2k ( 1) k (2k)! ed il resto di Lgrge R 2 ssume l form R 2 (x) = f (2+2) (c) (2 + 2)! c x Ricordimo che il termie di grdo è ullo. Possimo pertto cocludere che cos x = cos x = k=0 k=0 x2k ( 1) k (2k)! + x2+1 ω(x) (13.27) ( 1) k x2k (2k)! + f (2+2) (c) (2 + 2)! x2+3 c x (13.28) 13.4 Lo sviluppo di McLuri di l(1 + x) Si f (x) = l(1 + x) Avremo che f C + (( 1, + )) e si h f (x) = l(1 + x) (13.29) f (x) = x (13.30) f 1 (x) = (1 + x) 2 (13.31) f (x) = 2 (1 + x) 3 (13.32) f (iv) (x) = 3 2 (1 + x) 4 (13.33) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

140 140 o.cligris - p.oliv Possimo quidi cogetturre che f () +1 ( 1)! (x) = ( 1) (1 + x) (13.34) L si dimostr per iduzioe, iftti: 1. per = 1 e l è ver. f (x) = x 2. se l è ver per llor è ver che per + 1 iftti: f (+1) (x) = d dx f () (x) = d ( 1)! ( 1)+1 dx (1 + x) = Pertto +1 ( 1)!(1 + x) 1 ( 1)( 1) (1 + x) 2 ( 1) +2! (1 + x) +1 (13.35) e quidi P (x) = k=0 f () (0) = ( 1) +1 ( 1)! (13.36) ( 1) k+1 (k 1)! xk k! = k=0 k+1 xk ( 1) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15 k

141 lisi mtemtic ed il resto di Lgrge R 2 ssume l form R (x) = ( 1) +2 ()! x +1 (1 + c) +1 ( + 1)! = x +1 ( 1)+2 ( + 1)(1 + c) +1 c x Possimo pertto cocludere che l(1 + x) = l(1 + x) = k+1 xk ( 1) k=0 k+1 xk ( 1) k=0 k + x ω(x) (13.37) k + x +1 ( 1)+2 ( + 1)(1 + c) +1 c x (13.38) 13.5 Lo sviluppo di McLuri di 1 + x Si f (x) = 1 + x. Avremo che f C + (( 1, + )) e si h 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

142 142 o.cligris - p.oliv f (x) = 1 + x = (1 + x) 1/2 (13.39) f (x) = 1 2 (1 + x) 1/2 (13.40) f (x) = 1 ( 1 ) (1 + x) 3/2 (13.41) 2 2 f (x) = 1 ( 1 ) ( 3 ) (1 + x) 5/2 (13.42) f (iv) (x) = 1 ( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) (1 + x) 7/2 (13.43) Possimo quidi cogetturre che f () +1 (2 3)!! (x) = ( 1) 2 (1 + x) (13.44) L si dimostr per iduzioe, iftti: 1. per = 1 e l è ver. f (x) = 1 (1 + x) 1/ se l è ver per llor è ver che per + 1 iftti: f (+1) (x) = d dx f () (x) = d (2 3)!! ( 1)+1 dx 2 (1 + x) 2 1 ( +1 (2 3)!! = ( 1) ) (1 + x) = 2 Pertto 2 = +2 (2 1)!! = ( 1) 2 +1 (1 + x) (13.45) e quidi f () +1 (2 3)!! (0) = ( 1) 2 (13.46) P (x) = k=0 k+1 (2k 3)!! x ( 1) k 2 k ed il resto di Lgrge R 2 ssume l form k! = k+1 (2k 3)!! ( 1) k=0 k!2 k x k R (x) = ( 1) +2 (2 1)!! 2+1 (1 + c) 2 c x ( + 1)!2+1 Possimo pertto cocludere che ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

143 lisi mtemtic x = k+1 (2k 3)!! k=0( 1) k!2 k x k + x ω(x) (13.47) 1 + x = = k=0 k+1 (2k 3)!! x ( 1) k 2 k k! + (2 1)!! ( 1)+2 ( + 1)!2 2+1 (1 + c) 2 +1 c x (13.48) 13.6 Lo sviluppo di McLuri di 1 1 x Si f (x) = 1 1 x Avremo che f C + (( 1, 1)) e si h Defiimo S (x) = x k k=0 ed osservimo che 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

144 144 o.cligris - p.oliv S (x) = xs (x) = x k=0 k=0 x k =1 + x + x 2 + x x (13.49) x k =x + x 2 + x 3 + x x +1 (13.50) Sommdo le due uguglize otteimo (1 x)s = 1 x +1 (13.51) e Ne deducimo che S = 1 x+1 1 x S = 1 1 x x+1 1 x (13.52) (13.53) 1 1 x = S + x+1 1 x = x k + x+1 (13.54) 1 x k=0 ed osservdo che x +1 lim x 0 1 x = 0 (13.55) di ordie + 1 N possimo cocludere ricorddo l 12.4 che P = x k (13.56) k=0 è il poliomio di McLuri di f (x) = 1 x 1. Pertto e 1 1 x = x k + x ω(x) (13.57) k=0 1 1 x = k=0 x k + x+1 1 x (13.58) Allo stesso risultto si può perveire dimostrdo per iduzioe che f () 1 (x) = (1 x) +1. f () (0) = 1 (13.59) I questo modo si trov che che R = 1 (1 c) +1 c x (13.60) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

145 lisi mtemtic Come ricvre ltri sviluppi Le precedeti formule possoo essere utilizzte per ricvre uovi sviluppi di Tylor medite semplice sostituzioe. Ad esempio dll 13.7 possimo ricvre, sostituedo x co x 2 che e x2 = e x2 = k=0 ( 1) k x 2k + x 2 ω(x) (13.61) k! ( 1) k x 2k + ( 1) +1 e c k! ( + 1)! x2+2 c x 2 k=0 (13.62) D quest ultim, osservdo che x 2 ω(x) è u ifiitesimo di ordie superiore d 2 e ricorddo l 12.4 possimo ffermre che ( 1) k x 2k k! k=0 è il poliomio di McLuri di e x2 di grdo. L ffermzioe è giustifict dl ftto che ( 1) k x 2k k=0 k! differisce d e x2 per ifiitesimi di ordie superiore 2. Si cpisce quidi che può essere utile disporre di criteri che coseto di ffermre che l differez tr u poliomio ed u fuzioe è ifiitesim di ordie superiore l grdo del poliomio. Possimo questo proposito dire che Se f è derivbile e se llor f (x) = P (x) + R (x) (13.63) f (x) = (P (x)) + (R (x)) (13.64) (R è derivbile perchè R = f P e quidi è l differez di due fuzioi derivbili.) Or se (R (x)) è u ifiitesimo di ordie superiore d 1 si h (R (x)) lim x 0 x 1 = 0 (13.65) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

146 146 o.cligris - p.oliv e, per l regol di De l Hopitl (R (x)) (R (x)) lim x 0 x = lim x 0 x 1 = 0 (13.66) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

147 14. L Covessità Co le defiizioi e gli strumeti che bbimo itrodotto fio questo puto simo i grdo di distiguere u fuzioe il cui grfico si del tipo illustrto i figur 14.1() d u il cui grfico si quello illustrto ell figur 14.1(b) () Possimo iftti osservre che il primo è il grfico di u fuzioe crescete metre il secodo rppreset u fuzioe decrescete. Abbimo ioltre già sviluppto strumeti (studio del sego dell derivt prim) che ci cosetoo di stbilire se u fuzioe è crescete o decrescete. (b) Figur 14.1: () (b) (c) Figur 14.2: No simo tuttvi cor i grdo di distiguere tr i grfici delle tre fuzioi rppresette i 14.2(),14.2(b),14.2(c). i quto, d u primo esme, possimo osservre che tutte e tre soo fuzioi cresceti; è tuttvi chiro che si trtt di fuzioi il

148 148 o.cligris - p.oliv cui grfico preset crtteristiche molto diverse, così come è evidete qule è l differez tr u scodell ed u ombrello. Ode cercre di defiire u proprietà che ci coset di distiguere tr i tre grfici comicimo d esmire il più semplice dei tre cioè il secodo. Chirmete si trtt di u rett e quidi il suo grfico è idividuto d due puti. Idichimo co l l fuzioe reltiv e co (x, l(x)), (y, l(y)) due puti del suo grfico. Possimo idividure il vlore di l i z semplicemete usdo l proporziolità tr i trigoli idicti i figur 14.3(). l(z) = tl(y) + (1 t)l(x) l(y) l(z) = tl(y) + (1 t)l(x) = tf(y) + (1 t)f(x) f(y) = l(y) l(z) l(z) l(x) f(x) = l(x) f(z) x t z 1 t y x t z 1 t y Figur 14.3: () (b) Avremo iftti che l(z) l(x) z x Poichè l(z) l(x) l(x) l(z) = z x x z =, l(y) l(x) y x l(x) l(y) x y = l(y) l(x) y x (14.1) l 14.1 o cmbi che el cso i cui z o si, come i figur, itero ll itervllo di estremi x ed y. Ioltre o è restrittivo cosiderre x < y. Avremo pertto che il vlore di l i z è dto d l(y) l(x) l(z) = l(x) + (z x) (14.2) y x L 14.2 è semplicemete l equzioe di u rett che pss per il puto (x, l(x) ed h coefficiete golre l(y) l(x) y x. È utile osservre che, se poimo t = z x y x ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

149 lisi mtemtic esprimimo, el cotempo, l proporziolità t 1 = z x y x tr le lughezze dei segmeti di [x, z] e [x, y] ed i vlori t ed 1. Pertto il rpporto tr le lughezze dei segmeti [z, y] e [x, y], srà ugule 1 t. U semplice clcolo mostr iftti che 1 t = 1 z x y x = y x z + x = y z y x y x Ioltre se poimo vremo t = z x y x (14.3) z x = t(y x) (14.4) e quidi z = x + t(y x)x = ty + (1 t)x (14.5) Per t (0, 1) l 14.5 idividu u puto z che si trov ll itero dell itervllo di estremi x ed y, metre per t > 1 si ho puti destr di y e per t < 0 si ho puti siistr di x. Similmete possimo scrivere l 14.2 come l(y) l(x) l(z) = l(x) + (z x) = l(x) + (l(y) l(x)) z x y x y x ed ifie possimo scrivere l(x) + t(l(y) l(x)) = tl(y) + (1 t)l(x) (14.6) l(ty + (1 t)x) = tl(y) + (1 t)l(x) (14.7) ed osservre che l vrire di t l 14.7 cosete di esprimere il ftto che tutti i vlori l(z) = l(ty + (1 t)x) si trovo sull rett di cui bbimo studito il grfico. Se or sovrppoimo i primi due grfici elle figure 14.3() e14.3(b), risult evidete che, se chimimo f l fuzioe del primo grfico ed x e y i puti di itersezioe tr il grfico e l rett, vremo che, ll itero dell itervllo [x, y], il grfico di f st sotto il grfico dell rett. Chimimo u tle fuzioe covess ed esprimimo il ftto che bbimo ppe idividuto semplicemete chiededo che 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

150 150 o.cligris - p.oliv f (ty + (1 t)x) t f (y) + (1 t) f (x) t (0, 1) Poimo i ltre prole l seguete defiizioe Defiizioe 14.1 f si dice covess i (, b) se x, y (, b), λ (0, 1) f (λx + (1 λ)y) λ f (x) + (1 λ) f (y) (14.8) Dicimo che f è strettmete covess se l 14.8 vle i seso stretto. Figur 14.4: l(z) = tl(y) + (1 t)l(x) = tf(y) + (1 t)f(x) f(y) = l(y) l(z) f(x) = l(x) f(z) x t z 1 t y Teorem 14.1 f è covess se e solo se, N, x i (, b), λ i 0 i=1 λ i = 1 si h f ( i=1 λ i x i ) i=1 λ i f (x i ) Dimostrzioe. Provimolo per iduzioe: per = 2 è ovvio. Suppoimolo vero per e provimolo per + 1; si Λ = i=1 λ i = 1 λ +1, ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

151 lisi mtemtic si h ( ) ( +1 f λ i x i = f Λ i=1 Λ f i=1 ( i=1 i=1 λ i x i Λ + (1 Λ)x +1 ) λ i Λ x i ) + (1 Λ) f (x +1 ) λ i f (x i ) + λ +1 f (x +1 ) Defiizioe 14.2 Si A R 2, dicimo che A è u isieme covesso se, per ogi P, Q A, il segmeto di estremi P e Q è itermete coteuto i A. Osservimo che, se P = (p 1, p 2 ), Q = (q 1, q 2 ) u quluque puto R del segmeto di estremi P e Q h coordite (λp 1 + (1 λ)q 1, λp 2 + (1 λ)q 2 ), λ [0, 1]. Defiizioe 14.3 Defiimo epigrfico di f l isieme epi f = {(x, α) R 2 : f (x) α }. epi f Teorem 14.2 f è covess se e solo se epi f è covesso. Dimostrzioe. Suppoimo che f si covess e sio Figur 14.5: Epigrfico (x, α), (y, β) epi f ; llor f (λx + (1 λ)y) λ f (x) + (1 λ) f (y) λα + (1 λ)β per cui (λx + (1 λ)y, λα + (1 λ)β) epi f. Vicevers, se epi f è covesso, poiché (x, f (x)), (y, f (y)) epi f si h (λx + (1 λ)y, λ f (x) + (1 λ) f (y)) epi f e l Osservimo che il risultto precedete permette di ricooscere fcilmete u fuzioe covess. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

152 152 o.cligris - p.oliv È utile osservre che l 14.8 può essere scritt i diversi modi tutti utili per compredere le proprietà delle fuzioi covesse. f (ty + (1 t)x) t f (y) + (1 t) f (x) (14.9) f (z) t f (y) + (1 t) f (x) (14.10) f (z) f (x) + (z x) f (y) f (x) y x (14.11) Dll defiizioe di covessità si ricv sottredo d mbo i membri f (y) u fuzioe f è covess se e solo se f (z) f (y) z y per ogi x < z < y f (y) f (x) y x f (z) f (y) (t 1)( f (y) f (x)) (14.12) f (z) f (y) z y ( f (y) f (x)) y x (14.13) f (z) f (y) z y f (y) f (x) y x (14.14) Figur 14.6: f(y) f(x) f(z) x z y Possimo pertto cocludere, osservdo che bbimo sempre operto trsformdo u disugugliz i u equivlete, che Teorem 14.3 f è covess se e solo se r x (h) = f (x + h) f (x) h è crescete per ogi x (, b). Dimostrzioe. Bst osservre che l crescez di r x è equivlete ll 14.14, e quidi ll covessità. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

153 lisi mtemtic Teorem 14.4 Se f è covess llor, per ogi x (, b), esistoo f +(x) e f (x). Ioltre f (x) f +(x). Dimostrzioe. L fuzioe r x è crescete e, se δ è scelto i modo che < x δ < x < x + δ < b si h r x ( δ) < r x (h) < r x (δ) se h < δ. Pertto r x è limitt, si superiormete che iferiormete, ed è lecito ffermre che lim h 0 r x(h) e lim h 0 + r x(h) esistoo e soo fiiti. Teorem 14.5 Se f è covess i (, b), llor f o è derivbile i u isieme N (, b) che risult l più umerbile. Dimostrzioe. Dl mometo che f (x) e f +(x) esistoo fiiti, per ogi x (, b) e si h f (x) f +(x), possimo ffermre che N = {x (, b) : f (x) < f +(x) }. E pertto possibile ssocire d ogi x N u umero rziole q x tle che f (x) < q x < f +(x) ed è immedito provre che, se x = y, si h q x = q y. Ciò ed il ftto che l isieme dei umeri rzioli è umerbile, permettoo di cocludere. u fuzioe f è covess se e solo se D ltro cto, sempre dll f è covess se e solo se: f (z) t f (y) + (1 t) f (x) (14.15) f (z)(t + (1 t)) t f (y) + (1 t) f (x) (14.16) f (y) f (z) y z f (z) f (x) z x per ogi x < z < y Si ved l Figur 14 t( f (z) f (y)) (1 t)( f (x) f (z)) (14.17) Figur 14.7: (z x)( f (z) f (y)) (y z)( f (x) f (z)) (14.18) f (y) f (z) y z f (z) f (x) z x (14.19) f(y) Per defiizioe f è covess se il suo grfico st, ll itero di u itervllo (x, y) coteuto el suo domiio, sotto l rett secte il grfico che pss per (x, f (x)) ed (y, f (y)). L disugugliz puo essere riscritt come f(x) x f(z) z y F(y) f (z) + f (z) f (x) (y z) z x 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

154 154 o.cligris - p.oliv e mostr che che il grfico di u fuzioe covess st, ll estero di u itervllo (x, y) coteuto el suo domiio, sopr l rett secte il grfico che pss per (x, f (x)) ed (y, f (y)). Figur 14.8: f(y) f(x) f(z) x z y Or, se x < z < w < y si h Figur 14.9: f(y) f(x) f(w) f(z) x z w y f (z) f (x) z x f (w) f (z) w z f (y) f (w) y w (14.20) Pssdo l limite per x z e per y w + se f è covess e derivbile llor f (z) f (w) (14.21) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

155 lisi mtemtic e quidi f è crescete. Vicevers se f è derivbile ed f è crescete, usdo il teorem di Lgrge si può ffermre che Figur 14.10: f(y) f(x) f(ξ) f(η) f(z) x η z ξ y f (z) f (x) z x e quidi f è covess. Ne cocludimo che: = f (ξ) f (η) = Teorem 14.6 Si f derivbile, llor Soo ftti equivleti f è covess i (, b) f è u fuzioe crescete i (, b) f (y) f (w) y w (14.22) Osservimo ifie che, se f è covess, llor f (z) f (x) f (y) f (z) (y z) z x f (z) f (x) f (y) f (z) + (y z) z x (14.23) (14.24) e pssdo l limite per x z f (y) f (z) + f (z)(y z) (14.25) (14.26) e pertto il grfico di f st sopr l grfico di ogi su rett tgete, 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

156 156 o.cligris - p.oliv Se vicevers il grfico di f st sopr l grfico di ogi su rett tgete, llor f (y) f (z) + f (z)(y z) (14.27) e f (x) f (z) + f (z)(x z) (14.28) d cui, teedo coto che y z > 0, e x z < 0 f (y) f (z) y z f (z) f (z) f (x) z x (14.29) e e quidi f è covess. Ne cocludimo che: f (y) f (z) (y z) f (z) f (x) z x (14.30) Teorem 14.7 Si f è derivbile, llor Soo ftti equivleti f è covess i (, b) il grfico di f st sopr l grfico di ogi su rett tgete I risultti che lego sego dell derivt e crescez dell fuzioe permettoo poi di cocludere che Teorem 14.8 Si f u fuzioe derivbile due volte i (, b); soo codizioi equivleti: f è covess i (, b); f è crescete i (, b); f è o egtiv i (, b). Defiizioe 14.4 Si f : (, b) R, dicimo che f è cocv i (, b) se f è covess i (, b). Defiizioe 14.5 Dicimo che f : (, b) R h u puto di flesso i x 0 (, b) se esiste δ > 0 tle che f è covess (cocv) i (x 0 δ, x 0 ) e cocv (covess) i (x 0, x 0 + δ). Semplici esempi mostro come si possibile per u fuzioe vere u puto di flesso i 0 e o essere derivbile i 0 ( f (x) = 3 x) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

157 lisi mtemtic vere derivt o ull i 0 ( f (x) = si x) vere derivt ull i 0 ( f (x) = x 3 ). Teorem 14.9 Si f : (, b) R e si x 0 (, b), suppoimo f derivbile i (, b); llor x 0 è u puto di flesso se e solo se f è crescete (decrescete) i u itoro destro di x 0 e decrescete (crescete) i u itoro siistro. E pertto evidete che o è possibile crtterizzre u puto di flesso fcedo uso soltto dell derivt prim el puto. Possimo tuttvi provre i segueti ftti Teorem Si f : (, b) R e si x 0 (, b), suppoimo f derivbile i (, b); llor x 0 è u puto di flesso se e solo se f è crescete (decrescete) i u itoro destro di x 0 e decrescete (crescete) i u itoro siistro. Corollrio 14.1 Si f : (, b) R derivbile volte i (, b); llor x 0 è u puto di flesso per f solo se l prim derivt o ull i x 0 è di ordie dispri. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

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159 15. Estremi Reltivi e Asitoti. Abbimo già visto cos si itede per miimo e mssimo ssoluto di u fuzioe e bbimo già trovto codizioi ecessrie e sufficieti per l esistez di u miimo o u mssimo ssoluto. (Si ved il lemm 10.1 ed il teorem 8.4). I questo prgrfo ci occuperemo di stbilire l defiizioe di mssimo e miimo reltivo per u fuzioe e dremo codizioi ecessrie e sufficieti per l esistez di u puto di miimo o di mssimo reltivo. Defiizioe 15.1 Si f : D R dicimo che x 0 D è u puto di miimo (mssimo) reltivo per l fuzioe f se δ > 0 tle che se x D (x 0 δ, x 0 + δ) si h f (x) f (x 0 ) ( f (x) f (x 0 )) Usdo l formul di Tylor possimo otteere uo strumeto utile d idetificre i puti di mssimo e di miimo reltivo per u fuzioe. Tutto si fod sul ftto che il poliomio di Tylor pprossim u fuzioe meo di ifiitesimi di ordie superiore l grdo del poliomio stesso. Iftti, si P il poliomio di Tylor di f cetrto i x 0 di grdo, ( ricordimo che per scrivere il poliomio di Tylor di f, f deve essere derivbile lmeo volte); per il teorem 12.1 possimo llor ffermre che f (x) = P (x) + (x x 0 ) ω(x x 0 ) (15.1) dove, come l solito, qui e el seguito suppoimo lim x x 0 ω(x x 0 ) = 0 e se defiimo si vrà P 1 (x) = k=1 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! f (x) f (x 0 ) = P 1 (x) + (x x 0 ) ω(x x 0 ) (15.2)

160 160 o.cligris - p.oliv metre se si vrà P 2 (x) = k=2 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) = P 2 (x) + (x x 0 ) ω(x x 0 ) (15.3) Osservimo che P 1 e P 2 soo, rispettivmete, i poliomi di Tylor di f (x) f (x 0 ) e f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ). Dividedo le 15.1,15.2,15.3 per P, P 1 e P 2, rispettivmete, otteimo f (x) P (x) = 1 + (x x 0) ω(x x P (x) 0 ) (15.4) f (x) f (x 0 ) P(x) 1 = 1 + (x x 0) P(x) 1 ω(x x 0 ) (15.5) f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) P 2 (x) = 1 + (x x 0) P(x) 2 ω(x x 0 ) (15.6) (15.7) Poichè P,P 1,P 2, soo poliomi di grdo e quidi soo ifiitesimi, per x x 0 di ordie l più, teedo coto che ω è su volt ifiitesim, possimo dedurre che (x x 0 ) ω(x x P (x) 0 ) (x x 0 ) P(x) 1 ω(x x 0 ) (x x 0 ) P(x) 2 ω(x x 0 ) (15.8) soo ifiitesimi per x x 0. Il teorem dell permez del sego permette quidi di ffermre che I u itoro di x 0 1. f h lo stesso sego di P 2. f (x) f (x 0 ) h lo stesso sego di P 1 3. f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) h lo stesso sego di P 2 Poichè il sego di P i u itoro di x 0 è quello di f (x 0 ), l prim ffermzioe si riduce semplicemete ll riffermzioe del teorem dell permez del sego, tuttvi le ltre due foriscoo utili iformzioi su crescez e covessità. Iftti poichè f (x) f (x 0 ) h lo stesso sego di P 1 i u itoro di x 0 possimo dire che x 0 è u puto di miimo reltivo se simo i grdo di stbilire che P 1 è positivo i u itoro di x 0, vicevers possimo dire che x 0 o è di miimo reltivo se il poliomio P 1 cmbi sego i u itoro di x 0. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

161 lisi mtemtic Or se suppoimo che f si derivbile lmeo volte i (, b) x 0 e che f () (x 0 ) si l prim derivt o ull di f i x 0 possimo cosiderre il poliomio P 1 che risult essere defiito d P(x) 1 = f () (x 0 ) (x x 0 )! e quidi risult evidete che P 1 mtiee sego costte o cmbi sego i u itoro di x 0 secod che si pri o dispri; el cso che si pri il sego di P 1 è determito dl sego di f () (x 0 ) Possimo llor eucire il seguete risultto Teorem 15.1 Si f : (, b) R u fuzioe derivbile lmeo volte e si x 0 (, b); si f () (x 0 ) = 0 l prim derivt che o si ull, 1; llor x 0 è puto di miimo reltivo per f se e solo se è pri e f () (x 0 ) > 0. I mier simile f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) h lo stesso sego di P 2 i u itoro di x 0 e quidi si h che che x 0 è u puto di flesso se P 2 cmbi sego i u itoro di x 0, vicevers possimo dire che x 0 o è u puto di flesso se il poliomio P 2 è positivo i u itoro di x 0, Or se, come prim, suppoimo che f si derivbile lmeo volte i (, b) x 0 e che f () (x 0 ) si l prim derivt o ull di f i x 0 possimo cosiderre il poliomio P 2 che risult essere defiito d P(x) 2 = f () (x 0 ) (x x 0 )! e quidi risult evidete che P 2 mtiee sego costte o cmbi sego i u itoro di x 0 secod che si pri o dispri; el cso che si pri il sego di P 2 è determito dl sego di f () (x 0 ) Possimo llor eucire il seguete risultto Teorem 15.2 Si f : (, b) R u fuzioe derivbile lmeo volte e si x 0 (, b); si f () (x 0 ) = 0 l prim derivt che o si ull, 2; llor x 0 è puto di flesso per f se e solo se è dispri. Il sego di f () (x 0 ) forisce poi iformzioi sul ftto che il grfico di f si sopr (fuzioe loclmete covess) o sotto (fuzioe loclmete cocv) l rett tgete l suo grfico Defiizioe 15.2 Sio f, g : (, + ) R; dicimo che f e g soo sitotiche se Nel cso i cui si lim x + dicimo che g è u sitoto per f. f (x) g(x) = 0. g(x) = αx + β 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

162 162 o.cligris - p.oliv Teorem 15.3 Si f : (, + ) R; l rett di equzioe è u sitoto per f se e solo se α = f (x) lim x + x y = αx + β, β = lim x + f (x) αx (15.9) Dimostrzioe. E immedito verificre che le 15.9 soo sufficieti ffiché l rett si sitoto. Vicevers, se l rett è u sitoto, si h f (x) αx β f (x) lim = lim α = 0 (15.10) x + x x + x Defiizioe 15.3 Si f : (, b) R, dicimo che l rett di equzioe x = c è u sitoto verticle per f se lim x c f (x) = + ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

163 16. Ricerc Numeric di Zeri e Miimi. U delle ppliczioi più tipiche dell covessità cosiste ell ricerc pprossimt degli zeri di u fuzioe. Il più semplice dei metodi di ricerc degli zeri è idubbimete il metodo di bisezioe di cui bbimo già dto u dimostrzioe i 8.1 Il metodo di bisezioe offre idubbi vtggi di semplicità di ppliczioe e ecessit di ipotesi ridotte ll sol cotiuità dell fuzioe f ; tuttvi, i presez di migliori codizioi, si possoo trovre metodi che covergoo ll soluzioe molto più velocemete. Tli metodi, usulmete utilizzo l covessità dell fuzioe, e soo tto più importti quto è più grde l difficoltà di svolgere clcoli. Chirmete, co tempi di clcolo sempre più ridotti, tli metodi perdoo prte dell loro ttrttiv che se rimgoo iteressti per l loro elegz ed efficiez. E questo il cso del metodo di Newto (o delle tgeti) e del metodo dell regul flsi ; essi covergoo se le fuzioi di cui si ricerco gli zeri soo covesse e possoo essere geerlizzti l cso o covesso purché le derivte prime e secode dell fuzioe f sio opportumete mggiorbili o miorbili. Comicimo co l occuprci dei metodi di ricerc degli zeri di u fuzioe. Teorem Metodo di Newto (o delle tgeti)- Suppoimo f : (α, β) R, covess e derivbile due volte i (α, β); suppoimo ioltre che α < < b < β e si f () < 0, f (b) > 0. Allor esiste uo ed u solo puto c (, b) tle che f (c) = 0, f (x) f (c) > 0 x [c, b]. Defiimo l successioe x ell seguete mier: x 0 = b

164 164 o.cligris - p.oliv llor: x +1 = x f (x ) f (x ) ; x è decrescete e iferiormete limitt, lim x = c Figur 16.1: se 0 f (x) M per ogi x [, b] 3 se f () = P > 0 si h f() 0 x c 2P M ( ) M 2 (b ) 2P c f(c) f(d) d Dimostrzioe. L esistez di c è immedit coseguez del teorem degli zeri; per quel che rigurd l uicità, se esistessero c, d (, b) tli che c < d, f (c) = f (d) = 0, per l si vrebbe f () 0. Ioltre si h f (c) > 0; iftti se fosse f (c) 0, dl mometo che f è crescete i [, b], si vrebbe f (x) f (c) 0 x [, c] ; pertto f srebbe decrescete i [, c] e f () f (c) = 0. Pertto f (x) f (c) > 0 x [c, b]. Provimo or per iduzioe che c x +1 x b. Per ipotesi c < x 0 = b. Provimo pertto che, suppoedo c x b si può dedurre c x +1 x b. Si s(x) = f (x ) + f (x )(x x ) llor e Ioltre s(c) = f (x ) + f (x )(c x ) f (c) = 0 s(x ) = f (x ) 0. s(x) = 0 x = x +1 ; ciò permette di cocludere. Pertto l successioe x è decrescete ed iferiormete limitt e si h che x l, l [, b]. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

165 lisi mtemtic Per l cotiuità di f ed f si h f (l) > 0, l = l f (l) f (l) e f (l) = 0. Per l uicità dello zero di f e segue c = l. Suppoimo ifie vere le ipotesi del puto 3); usdo l formul di Tylor co il resto di Lgrge si ottiee 0 = f (c) = f (x ) + f (x )(c x ) + f (c ) (c x ) 2, c < c < x ; 2 e, se teimo coto che otteimo e Pertto f (x )(x x +1 ) = f (x ) 0 = f (x )(x x +1 ) + f (x )(c x ) + f (c ) (c x ) 2 2 x +1 c = f (c )(c x ) 2 2 f. (x ) 0 x +1 c M 2P (x c) 2 e si può fcilmete provre per iduzioe l tesi dell 3). Il precedete metodo può essere geerlizzto l cso i cui l fuzioe o si covess, m sio verificte opportue codizioi. Teorem Metodo delle tgeti geerlizzto - Suppoimo f derivbile due volte i [2 b, b] e si f () < 0, f (b) > 0. Suppoimo ioltre che f (x) M, f (x) P > 0 x [2 b, b] e M (b ) < 1. 2P Allor esiste u uico c (, b) tle che f (c) = 0; ioltre se defiimo x ell seguete mier: si h 1. lim x = c ( 2 2. x c 2P M2P M (b )). x 0 = b x +1 = x f (x ) f (x ) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

166 166 o.cligris - p.oliv Dimostrzioe. Esistez ed uicità di c soo ovvie poiché f è cotiu e strettmete crescete i [, b]. Si h ioltre 0 = f (c) = f (x ) + f (x )(c x ) + f (c ) (c x ) 2, 2 c c x c. Si ottiee pertto, come el teorem precedete, Provimo or per iduzioe che x +1 c f (c ) 2 f (x ) (x c) 2. x c b c. Izi tutto si h x 0 c = b c ; ioltre, se x c b c si può ffermre che 2 b x b, c c b c e 2 b c b per cui x +1 c M 2P (x c) 2 M 2P (b ) x c x c b c. Pertto, dl mometo che x, c [2 b, b] si h che x +1 c M 2P (x c) 2 e per iduzioe si deduce l tesi. Teorem Metodo dell regul flsi - Si f : (α, β) R u fuzioe covess e derivbile due volte i (α, β) e sio, b (α, β), < b, tli che f () < 0, f (b) > 0. Allor esiste uo ed u solo c (, b), tle che f (c) = 0 e f (x) f (c) > 0 x [c, b]. Ioltre, se defiimo u successioe x ell seguete mier: x 0, x 1 [c, b], x 1 < x 0 (16.1) x +1 = x f (x ) x x 1 f (x ) f (x 1 ) = x 1 f (x 1 ) x x 1 f (x ) f (x 1 ) (16.2) si h ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

167 lisi mtemtic x è decrescete ed iferiormete limitt, lim x = c se M, P R soo tli che llor 0 f (x) M, f (x) P > 0 x [, b] 0 x c 2P M ove δ è l successioe di Fibocci. ( ) M δ (b ) 2P Dimostrzioe. L prim prte dell eucito è comue l metodo delle tgeti di Newto e pertto l dimostrzioe è idetic quell del teorem Pssimo or provre l secod prte; provimo cioè, per iduzioe, che l successioe x è decrescete ed iferiormete limitt d c. Itto si h c x 1 x 0 b ; dimostrimo perciò che, se c x x 1 b, si h c x +1 x b. Defiimo s(x) = f (x ) + (x x ) f (x ) f (x 1 ) x x 1 llor (teorem 13.7) e ioltre s(c) = f (x ) (c x ) f (x ) f (x 1 ) x x 1 f (c) = 0 s(x ) = f (x ) > 0, s(x) = 0 x = x +1. Se e decuce che c x +1 x x 1 b. Or, essedo x decrescete e iferiormete limitt, posto l = lim x R si h, per l cotiuità di f ed f e per il ftto che f (x ) f (x 1 ) x x 1 = f (c ), x c x 1, 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

168 168 o.cligris - p.oliv che l = l f (l) f (l). M l c i quto x c; pertto f (l) f (c) > 0, per cui si può sserire che f (l) = 0 e, per l uicità dello zero, l = c. Suppoimo or che vlgo le ipotesi del puto 3); si h x x x +1 c = x f (x ) 1 f (x ) f (x 1 ) c = ( = (x c) 1 f (x ) ) f (c) x x 1 = x c f (x ) f (x 1 ) x x = (x c)(x 1 c) 1 1 f (x ) f (x 1 ) x 1 c ( f (x ) f (x 1 ) f (x ) ) f (c). x x 1 x c Or metre 1 x 1 c x x 1 f (x ) f (x 1 ) = 1 f (c ), x < c < x 1 ( f (x ) f (x 1 ) f (x ) ) f (c) = x x 1 x c = F(x 1) F(c) x 1 c dove ioltre e F(x) = f (x ) F(x 1 ) F(c) x 1 c f (x) f (x ) x x se = x sex = x = F (ξ ), c < ξ < x 1 F (ξ ) = f (ξ )(ξ x ) f (ξ ) + f (x ) (ξ x ) 2 = f (d ), 2 c < d < x. Si ottiee quidi che x +1 c = (x c)(x 1 c) f (d ) 2 f (c ) M 2P (x c)(x 1 c) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

169 lisi mtemtic e se defiimo vremo ε = x c ε 0 = x 0 c x 1 c = ε 1 ed che M ε +1 ε ε 1 2P d cui si può dedurre per iduzioe che ε ( ) M δ 1 ε δ 2P 0 e l tesi. Teorem 16.4 Metodo dell regul flsi geerlizzto - Si f derivbile due volte i [2 b, b] e si f () < 0, f (b) > 0. Suppoimo ioltre che f (x) M, f (x) P > 0 x [2 b, b] e M (b ) < 1. 2P Allor esiste uo ed u solo c (, b) tle che f (c) = 0. Ioltre, se defiimo x come el teorem precedete, si h 1. lim x = c 2. x c 2P M ( M2P (b )) δ dove δ è l successioe di Fibocci. Dimostrzioe. L esistez e l uicità di c è ovvi dll cotiuità e dll strett crescez di f. Come el teorem precedete si prov che x +1 c = x c x 1 c f (d ) 2 f (c ) essedo c x x x 1, d c x c. Si può poi provre per iduzioe che x c b c e e segue x +1 c x c x 1 c M 2P. Si coclude come el cso covesso. Possimo ifie ricvre u metodo per idividure gli zeri di u fuzioe osservdo che f (x) = 0 x = x + α f (x). 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

170 170 o.cligris - p.oliv Posto F(x) = x + α f (x) il uovo problem è risolvere l equzioe F(x) = x e viee usulmete idicto come ricerc di u puto fisso per l fuzioe F. A questo proposito è immedito provre il seguete risultto: Teorem 16.5 Si f : [, b] [, b] u fuzioe cotiu, llor esiste c [, b] tle che f (c) = c. Dimostrzioe. Defiimo φ : [, b] R medite l φ(x) = f (x) x. Si h φ() = f () 0, φ(b) = f (b) b 0 ; pertto pplicdo il teorem degli zeri, si ottiee c [, b] : φ(c) = f (c) c = 0. Possimo che provre il seguete risultto che permette di ricvre u semplicissimo lgoritmo per pprossimre l soluzioe del problem cosiderto. Teorem Metodo delle cotrzioi - Si D = [x 0 ρ, x 0 + ρ] e suppoimo che f : D R soddisfi le segueti codizioi 1. f (x) f (y) k x y, x, y D, 0 k < x 0 f (x 0 ) (1 k)ρ. Allor esiste uo ed u solo puto c D tle che f (c) = c. Ioltre, defiit u successioe x, medite l x +1 = f (x ) si h e lim x = c x c ρk. Dimostrzioe. Comicimo co il provre che c, se esiste, è uico; se iftti esistesse d D tle che f (d) = d si vrebbe d c = f (d) f (c) k d c ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

171 lisi mtemtic d cui (1 k) d c 0 e dl mometo che 1 k > 0 si h d = c. Vedimo or che è possibile cosiderre l successioe x ; llo scopo srà sufficiete provre per iduzioe che x D 0. Osservimo itto che x 0, x 1 D e dimostrimo che, supposto x k D, 0 k, si h x +1 D. Si h e x +1 x = f (x ) f (x 1 ) k x x 1... k x 1 x 0 x +1 x 0 i=0 x i+1 x i i=0 k i x 1 x 0 = = 1 k+1 x 1 k 1 x 0 (1 k +1 )ρ ρ. Si h ioltre x +p x p 1 i=0 = x 1 x 0 k p 1 i=0 x +i+1 x +i k i p 1 i=0 k +i x 1 x 0 = = x 1 x 0 k 1 kp 1 k ρk. Ciò prov che x è u successioe di Cuchy e pertto esiste c D tle che c = lim x. Per l cotiuità di f c = lim x +1 = lim f (x ) = f (c). Ifie, pssdo l limite per p + ell precedete disugugliz si h l tesi. Osservzioe. U fuzioe soddisfcete l ipotesi 1) del teorem 14.7 si chim cotrzioe di costte k. U fuzioe tle che f (x) f (y) k x y, k 0 si chim ivece lipschitzi di costte k. Osservimo che u fuzioe lipschitzi è cotiu, ed ioltre f è lipschitzi se e solo se il suo rpporto icremetle è limitto. Possimo più i geerle provre che 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

172 172 o.cligris - p.oliv Teorem 16.7 Si f u fuzioe cotiu e suppoimo che esist m N tle che φ = f m soddisfi le ipotesi del teorem precedete. Allor esiste uo ed u solo puto c D tle che f (c) = c. Dimostrzioe. Applicdo il risultto precedete φ si ottiee che esiste u uico puto c D tle che f m (c) = φ(c) = c. Ioltre si h e quidi, dl mometo che, φ p ( f (c)) = f (φ p (c)) φ p ( f (c)) c per p + si h d cui f (c) = f (φ p (c)) = φ p ( f (c)) c f (c) = c. Pertto ogi puto fisso di φ è che puto fisso di f ; il vicevers è di immedit verific. U semplice esempio di ppliczioe del precedete teorem è dto dll fuzioe f (x) = t(x + π). Iftti f o è cotrzioe, m f 2 lo è. Si osservi che u metodo rpido e semplice per verificre le ipotesi del teorem 14.7 è usre il teorem di Lgrge, co opportue mggiorzioi dell derivt prim. Illustrimo ifie brevemete u metodo di ricerc degli zeri che si dimostr prticolrmete efficce ell uso prtico. Si f : [, b] R u fuzioe cotiu e suppoimo che f() f (b) < 0; i modo che f mmett lmeo uo zero i (, b). Defiimo u successioe x di puti di [, b] ell seguete mier: x 0 =, x 1 = b, f 0 = f (x 0 ), f 1 = f (x 1 ) x +1 = x f x x 1 f f 1, f +1 = f (x +1 ) ioltre se f f +1 > 0 si sostituisce x co x 1 e f co f 1 /2. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

173 lisi mtemtic Il metodo descritto permette di trovre u itervllo di mpiezz rbitrrimete piccol, di estremi x 1 e x, etro il qule è certmete loclizzto uo zero dell fuzioe i esme; si può ioltre verificre u otevole efficci, i termii di rpidità di covergez del metodo stesso. Molto spesso o è fcile trovre i mssimi e miimi reltivi od ssoluti di u fuzioe usdo i metodi clssici i quto, d esempio, o si possoo fcilmete vlutre gli zeri dell derivt prim o ddirittur l fuzioe i esme o è derivbile. I tli csi si ricorre metodi per l determizioe umeric pprossimt dei puti e dei vlori di miimo. Tli metodi si prefiggoo di restrigere, fio ll lughezz desidert, l itervllo i cui c è il miimo dell fuzioe: i ltre prole, ssegt u fuzioe f su u itervllo [,b], che mmett ivi u miimo reltivo itero, si cerc u itervllo più piccolo [ 1, b 1 ] [, b] i modo che f mmett cor i [ 1, b 1 ] u miimo reltivo itero. Iterdo il procedimeto si può ridurre l itervllo fio trovre [ k, b k ] i modo che l su mpiezz si più piccol dell precisioe desidert. L possibilità di trovre l itervllo [ 1, b 1 ] prtire d [, b] è grtit d lcui semplici risultti che illustrimo di seguito e dipede dll scelt di opportui puti i [,b]. Lemm 16.1 Si f : [, b] R cotiu e suppoimo che esist c (, b) tle che f (c) mi{ f (), f (b)}. Allor esiste u puto x 0 (, b) di miimo reltivo per f. Dimostrzioe. Per il teorem di Weierstrss esiste x 0 [, b] tle che f (x 0 ) f (x) x [, b] e poiché f (c) mi{ f (), f (b)} il miimo ssoluto o può essere ssuto soltto i o i b. Stbilimo or u criterio di scelt per pssre dll itervllo [, b] = [ 0, b 0 ] ll itervllo [ k, b k ] itertivmete. Defiizioe 16.1 Si f : [, b] R cotiu, dicimo che è dt u successioe di itervlli [ k, b k ] loclizzte u miimo reltivo se: [ 0, b 0 ] = [, b]; è ssegt u regol che permette di scegliere i ( k, b k ) due puti, che idichimo co α k, β k, (idichimo quest regol co il ome di regol di scelt); 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

174 174 o.cligris - p.oliv è idividuto [ k+1, b k+1 ] ell seguete mier [ k+1, b k+1 ] = [ k, β k ] se f (α k ) f (β k ) [ k+1, b k+1 ] = [α k, b k ] se f (α k ) > f (β k ) Dicimo ioltre che l regol di scelt è ure se ccde che β k+1 = α k se f (α k ) f (β k ) α k+1 = β k se f (α k ) > f (β k ). Osservimo che u regol di scelt ure permette di itrodurre d ogi iterzioe u solo uovo puto e quidi cus d ogi psso l ecessità di u solo uovo clcolo di fuzioe ziché due. Teorem 16.8 Si f : [, b] R cotiu e si [ k, b k ] u successioe di itervlli loclizzte reltiv d u scelt di puti ure; llor se mi{ f (α 0 ), f (β 0 )} mi{ f ( 0 ), f (b 0 )}, i ogi itervllo ( k, b k ) esiste u puto di miimo reltivo per f. Dimostrzioe. Se f (α 0 ) f (β 0 ) si h [ 1, b 1 ] = [ 0, β 0 ] e se e f (α 0 ) mi{ f ( 1 ), f (b 1 )} ; f (α 0 ) > f (β 0 ) si h [ 1, b 1 ] = [α 0, b 0 ] f (β 0 ) mi{ f ( 1 ), f (b 1 )}. Poiché l regol di scelt è ure risult mi{ f (α 1 ), f (β 1 )} mi{ f ( 1 ), f (b 1 )} e iterdo il procedimeto, per il lemm 14.9, si h l tesi. Corollrio 16.1 Se oltre lle ipotesi del teorem 14.11, f mmette u uico puto di miimo ssoluto x 0 (, b), llor k x 0 b k k N. I risultti precedeti sottolieo l importz di cooscere u scelt di puti ure, vlutre l mpiezz di [ k, b k ] e cooscere codizioi che grtisco l uicità del miimo di f. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

175 lisi mtemtic U buo scelt ure dei puti α k e β k può essere ftt seguedo diversi criteri: izi tutto deve essere e α k < β k b k α k = β k k i modo che i csi d cosiderre di volt i volt sio ridotti i umero e ffiché l mpiezz di ogi itervllo si idipedete d ciò che ccde el precedete itervllo. Ciò premesso imporremo e α k+1 = β k se [ k+1, b k+1 ] = [α k, b k ] β k+1 = α k se [ k+1, b k+1 ] = [ k, β k ]. Per scegliere α k e β k sotto queste codizioi srà perciò opportuo scegliere θ k i modo che ed imporre codizioi su θ k. Affiché α k < β k si deve vere α k = k + (1 θ k )(b k k ) β k = b k (1 θ k )(b k k ) 1 + (1 θ k ) + (1 θ k ) < 0 e d cui 1 2θ k < 0 (14.1) θ k > 1 2. Affiché α k+1 = β k qudo [ k+1, b k+1 ] = [α k, b k ] deve versi k+1 + (1 θ k+1 )(b k+1 k+1 ) = b k (1 θ k )(b k k ) k + (1 θ k )(b k k ) + (1 θ k+1 )[b k k (1 θ k )(b k k )] = d cui (14.2) θ k+1 = 1 θ k θ k. = b k (1 θ k )(b k k ) L stess relzioe si ottiee per vere α k = β k+1 qudo [ k+1, b k+1 ] = [ k, β k ]. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

176 176 o.cligris - p.oliv L successioe θ k dovrà pertto soddisfre le codizioi (14.1) e (14.2) e dipederà dll scelt del primo termie θ 1 (dl qule è uivocmete determit). Ad ogi iterzioe l itervllo riduce l su lughezz di u fttore θ k e dopo iterzioi l lughezz srà ridott del fttore k=1 θ k. Osservimo che, se deve versi e ciò è verificto se θ k = φ k ψ k φ k+1 ψ k+1 = ψ k φ k φ k (14.3) φ k+1 = ψ k 1 φ k e ψ k+1 = φ k, φ 0 = ψ 1. e I tl cso si h k=1 θ k = θ k φ k φ k 1 = φ φ 0. Pertto, dopo iterzioi, l dimiuzioe dell lughezz dell itervllo è di φ φ 0, tle qutità dipededo di vlori φ 0 e φ 1 che fio d or soo rbitrri. Essedo φ k = 1 φ 0 2 ( 5 + 1) 5 ( ) k ( ( ) k ) ( ) k ( ) k ( 1) k, φ φ 0 ffiché φ /φ 0 si miimo occorre che D ltr prte, ffiché deve essere 1 2 θ θ φ 1 φ 0 φ 1 φ 0 si mssimo, se è pri; si miimo, se è dispri. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex] 27 ottobre :51:15

177 lisi mtemtic e così di seguito. Posto 3 5 θ r k = F k F k+1 dove F k è l successioe di Fibocci, risult r k θ k r k+1 se k è dispri r k+1 θ k r k se k è pri e quidi r 1 θ 1 r se è pri r θ 1 r 1 se è dispri. Teedo coto che θ 1 = φ 1 φ 0 l mssim riduzioe dell itervllo si h per per cui si può scegliere φ 1 φ 0 = r = F F +1 e o ppe si ricordi l (14.3). Co quest scelt k=1 φ 1 = F, φ 0 = F +1 φ k = F k θ k = 1 F +1. U scelt più ble per l successioe θ k è θ k = costte = θ ed i tl cso ffiché l (14.2) si verifict deve risultre 5 1 θ = ; 2 dopo iterzioi l riduzioe dell itervllo di prtez è proporziole d u fttore ( ) Osservimo che lim F +1 ( ) = per cui il metodo co θ costte, essedo di poco peggiore, m estremmete più semplice, è cosiglibile. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-4.tex]

178 178 o.cligris - p.oliv V ioltre otto che se θ è costte, si può migliorre l pprossimzioe picere, proseguedo elle iterzioi; ell ltro cso ivece il umero di iterzioi v fissto priori, e per cmbirlo occorre rifre tutti clcoli dll iizio. Ai metodi qui illustrti vo ggiuti quelli che cerco gli zeri dell derivt, o del rpporto icremetle (si vedo i metodi di ricerc umeric degli zeri). Notimo fr l ltro che, se f (x + h) f (x) = 0 llor c (x, x + h) puto di miimo o di mssimo reltivo per f. Osservimo esplicitmete che, cus degli rrotodmeti co cui le mcchie eseguoo i clcoli, può ccdere che u fuzioe veg vlutt zero che i puti o vicii ll soluzioe effettiv: d esempio, utilizzdo meo di 20 cifre sigifictive 1 cos(x 10 ) risulterà ull per x =.1. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

179 17. Itegrzioe. Cosiderimo u puto mterile P che si muove lugo l sse x di u sistem di riferimeto crtesio, ed è sottoposto d u forz di richimo costte trtti verso u puto O dell rett, che ssumimo come origie degli ssi coorditi. Più precismete se x è lo spostmeto d O del puto P l forz di richimo R srà espress d: R(x) = k i se i x < i + 1 co i = 0, 1, 2,... Il lvoro svolto per muovere u puto su cui gisce u forz costte, si clcol moltiplicdo l itesità dell forz per lo spostmeto che il puto h subito, pertto il lvoro che occorre per spostre il puto P dll origie è dto d: Λ(x) = i 1 k j + k i (x i) se i x < i + 1 co i = 0, 1, 2,... j=0 Se suppoimo che l forz di richimo R zichè costte trtti si proporziole ll distz x di P d O, come d esempio ccde el cso i cui su P gisc u forz elstic, cioè se ipotizzimo che R(x) = kx co k R + vremo qulche problem i più per il clcolo del lvoro che o è più svolto d u forz costte, o costte trtti. Possimo llor tetre di clcolre il lvoro pprossimdo l forz di richimo co u forz costte su trtti bbstz piccoli. Sio 0 = x 0 < x 1 <... < x = x puti che coveimo di idicre come P = {x 0, x 1,..., x } e possimo chimre prtizioe dell itervllo [0, x]. Possimo pprossimre Λ(x) co le qutità Λ + (P, x) e Λ (P, x)

180 180 o.cligris - p.oliv defiite medite le Λ (P, x) = Λ + (P, x) = i=1 i=1 Per come soo stte defiite si h kx i 1 (x i x i 1 ) (17.1) Λ (P, x) Λ(x) Λ + (P, x). ed ioltre se cosiderimo le prtizioi si h che P = {ix/, i = 0, 1, 2,.., } kx i (x i x i 1 ) (17.2) kx 2 ( 1) 2 = kx2 2 2 i=1 (i 1) = Λ (P, x) sup{λ (P, x) : P} if{λ + (P, x) : P} Λ + (P, x) = kx2 2 i=1 i = kx2 ( + 1) 2 2 (17.3) Per cui pssdo l limite per + si ottiee che kx 2 2 sup{λ+ (P, x) : P} if{λ (P, x) : P} kx2 2 ed è lecito defiire (17.4) Λ(x) = if{λ + (P, x) : P} = sup{λ (P, x) : P} = kx2 2 (17.5) Lo stesso problem si poe o ppe cerchimo di defiire l re dell isieme D = {(x, y) R 2 : 0 x 1, 0 y x 2 } Sio 0 = x 0 < x 1 <... < x = 1 e defiimo P = {x 0, x 1,..., x }; possimo pprossimre, rispettivmete per eccesso e per difetto, l re di D medite le A(P) = i=1 x 2 i (x i x i 1 ), (P) = xi 1 2 (x i x i 1 ) i=1 e possimo defiire l re di D come l evetule vlore comue di if{a(p) : P} e sup{(p) : P} dichirdo che D o è misurbile se tli vlori o risulto coicideti. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

181 lisi mtemtic Cosidert l prtizioe P = {i/ : i = 0, 1, 2,..., } si clcol che 1 ( 1)(2 1) 3 = (i 1) 2 i=1 sup{(p) : P} if{a(p) : P} 1 3 i=1 i ( + 1)(2 + 1) 6 (17.6) e per + si ottiee 1 3 sup{(p) : P} if{(p) : P} 1 3 (17.7) ode è lecito defiire re(d) = if(a(p) : P} = sup{(p) : P} = 1 3 L defiizioe di itegrle sce dll esigez di formlizzre procedimeti del tipo che bbimo esposto; i sostz si trtt di defiire l estesioe del cocetto di somm discret l cso i cui l somm si ftt su isieme cotiuo di idici. Defiizioe 17.1 Si [, b] R, chimimo prtizioe di [, b] u isieme di puti di [, b] tli che P = {x 0, x 1,..., x } = x 0 < x 1 <... < x = b. () Somme Iferiori (b) Somme superiori Idichimo co P(, b) l isieme delle prtizioi di [, b]. Defiimo I k = [x k, x k+1 ], I k = x k+1 x k (17.8) I = [, b], I = b (17.9) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

182 182 o.cligris - p.oliv ovvimete si vrà I = 1 k=0 I k, [, b] = Defiimo ioltre, per ogi P P(, b), 1 k=0 (P) = mx{ I k, k = 0.. 1} [x k, x k+1 ] (17.10) Defiizioe 17.2 Si P P(, b) e si f : [, b] R u fuzioe limitt che supporremo sempre; m f (x) M x [, b] poimo e defiimo P = {x 0, x 1,.., x } m k = if{ f (x) : x [x k, x k+1 ]} M k = sup{ f (x) : x [x k, x k+1 ]}. Defiimo ioltre L( f, P) = U( f, P) = R( f, P, S) = 1 k=0 1 k=0 1 k=0 m k I k (17.11) M k I k (17.12) f (c k ) I k (17.13) ove si idichi co S = {c 1,.., c } u scelt di puti tle che x k c k x k+1. L( f, P) ed U( f, P) si dicoo, rispettivmete, somme iferiori e somme superiori di f rispetto ll prtizioe P, metre R( f, P, S) si dice somm di Cuchy-Riem. Vle l pe di osservre che le somme di Cuchy-Riem dipedoo dll scelt dei puti S oltre che di puti c k. Defiizioe 17.3 Sio P, Q P(, b); dicimo che P è u prtizioe più fie di Q, e scrivimo P Q, se P Q. Dicimo ioltre che P P(, b) è u successioe ordit di prtizioi se P +1 P lim (P ) = 0 (17.14) e che P P(, b) è u successioe regolre di prtizioi se lim (P ) = 0 (17.15) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

183 lisi mtemtic Figur 17.1: Cofroto tr somme superiori e somme iferiori È evidete dlle figure che vlgoo i segueti ftti l cui dimostrzioe può essere scritt formlizzdo ciò che è suggerito d esse. Lemm 17.1 Sio P, Q P(, b), Q P, Allor m(b ) L( f, P) L( f, Q) si h R( f, Q, S) U( f, Q) U( f, P) M(b ) (17.16) Ioltre, comuque si scelgo R, S P(, b), si h L( f, R) U( f, S). Dimostrzioe. Dl mometo che L( f, P) m m i m P P(, b) (x i x i 1 ) = m(b ). i=1 Il ftto che L( f, P) L( f, Q) lo si può dedurre teedo coto che se u < v < w, detti si h m µ, m ν e m = if{ f (x) : x [u, w]} µ = if{ f (x) : x [u, v]} ν = if{ f (x) : x [v, w]} m(w u) = m(w v) + m(v u) ν(w v) + µ(v u). 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

184 184 o.cligris - p.oliv L prte rigurdte le somme superiori si prov i mier log. Per provre l secod prte dell eucito, si T = R S, ovvimete T R e T S; perciò L( f, R) L( f, T) U( f, T) U( f, S). Defiizioe 17.4 Defiimo b f (x)dx = if{u( f, P) : P P(, b)} (17.17) b f (x)dx = sup{l( f, P) : P P(, b)} (17.18) Le precedeti qutità si dicoo, rispettivmete, itegrle iferiore di f i [, b] È immedito verificre che b b m(b ) f (x)dx f (x)dx M(b ). Defiizioe 17.5 Dicimo che f è itegrbile i [, b] se b b f (x)dx = f (x)dx. itegrle superiore e I tl cso chimimo il vlore comue otteuto itegrle di f tr e b e lo deotimo co il simbolo b f (x)dx. Defiimo ed osservimo che b b f (x)dx = f (x)dx = 0. f (x)dx Defiizioe 17.6 Dicimo che f soddisf l codizioe di itegrbilità i [, b] se ε > 0 esiste u prtizioe P ε P(, b) tle che 0 U( f, P ε ) L( f, P ε ) < ε (17.19) Dl mometo che l qutità U( f, P) L( f, P) decresce l rffirsi dell prtizioe, restdo o egtiv, l precedete codizioe è equivlete ll seguete ε > 0 esiste P ε P(, b) tle che 0 U( f, P) L( f, P) < ε. P P(, b), P P ε ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

185 lisi mtemtic Teorem 17.1 Soo ftti equivleti: 1. f è itegrbile su [, b] 2. f soddisf l codizioe di itegrbilità i [, b] Dimostrzioe. Se f è itegrbile llor b f (x)dx = M per defiizioe b b f (x)dx = f (x)dx b f (x)dx = sup P L( f, P), b f (x)dx = if U( f, P) (17.20) P e quidi possimo trovre due prtizioi P ɛ e Q ɛ tli che b b Se e deduce che f (x)dx ɛ 2 L( f, Q ɛ) f (x)dx U( f, P ɛ ) b b f (x)dx (17.21) f (x)dx + ɛ 2 (17.22) Se R ɛ = Q ɛ Pɛ, si ottiee che U( f, P ɛ ) L( f, Q ɛ ) ɛ (17.23) U( f, R ɛ ) L( f, R ɛ ) U( f, P ɛ ) L( f, Q ɛ ) ɛ (17.24) e quidi vle l codizioe di itegrbilità. Se vicevers si h U( f, P ɛ ) L( f, P ɛ ) ɛ (17.25) llor U( f, P ɛ ) L( f, P ɛ ) + ɛ (17.26) e pertto b b f (x)dx f (x)dx + ɛ (17.27) e, pssdo l limite per ɛ 0 si ottiee poichè è ovvio che b b f (x)dx f (x)dx (17.28) b b f (x)dx f (x)dx (17.29) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

186 186 o.cligris - p.oliv si può cocludere che b b f (x)dx = f (x)dx (17.30) e l itegrbilità di f è dimostrt. Teorem 17.2 Se f è mooto su [, b], llor f è itegrbile i [, b]. Dimostrzioe. Il teorem segue d quto illustrto ell figur Figur 17.2: Itegrbilità delle fuzioi mootoe Suppoimo d esempio che f si crescete i [, b]; si h per cui m i = f (x i 1 ), M i = f (x i ) U( f, P) L( f, P) = [ f (x i ) f (x i 1 )](x i x i 1 ) i=1 e, scelt P ε P(, b) i modo che (P ε ) < ε, si h U( f, P ε ) L( f, P ε ) < ε [ f (x i ) f (x i 1 )] = ε[ f (b) f ()]. i=1 Teorem 17.3 Se f : [, b] R è cotiu, llor f è itegrbile i [, b]. Dimostrzioe. Dl mometo che f è u fuzioe cotiu su u isieme chiuso e limitto, llor f è uiformemete cotiu su [, b] e quidi ε > 0 esiste δ > 0 tle che f (x) f (y) ε, x, y [, b] : x y δ ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

187 lisi mtemtic Pertto se P ε è u prtizioe di [, b] tle che P ε δ si h U( f, P ε ) L( f, P ε ) = 1 k=0 (M k m k ) I k = 1 k=0 ( f (x k ) f (y k )) I k 1 ε I k = ɛ(b ) (17.31) k=0 essedo y k x k P ε δ Teorem 17.4 Sio f, g : [, b] R, e si f limitt ed itegrbile i [, b]; se f (x) = g(x) x [, b] \ N, N = {y 1,..., y k } llor che g è itegrbile i [, b] e si h b f (x)dx = b g(x)dx. Dimostrzioe.È sufficiete provre che l fuzioe 1, x = c h c (x) = 0, x = c co c [, b], è itegrbile i [, b] e Si P P(, b); si h b h c (x)dx = 0. L(h c, P) = 0, U(h c, P) 2 (P). Pertto if{u(h c, P) : P P(, b)} = 0. L tesi segue teedo coto del ftto che f (x) = g(x) + k i=1 Possimo che dimostrre che h yk (x) [ f (y k ) g(y k )]. Teorem 17.5 Se f è limitt i [, b] e cotiu i [, b] \ N, N = {y 1,..., y k }; llor f è itegrbile i [, b]. Dimostrzioe. Provimo che f è itegrbile i [y i 1, y i ] = [α, β]. Si cosideri [α + ε, β ε], f è ivi itegrbile e pertto esiste P ε P(α + ε, β ε) tle che U( f, P ε ) L( f, P ε ) < ε. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

188 188 o.cligris - p.oliv Si Q ε = P ε {α, β}, llor U( f, Q ε ) L( f, Q ε ) U( f, P ε ) + 2Mε L( f, P ε ) 2mε < < ε + 2ε(M m). Defiizioe 17.7 Dicimo che f è itegrbile secodo Cuchy-Riem i [, b] se esiste I R per cui esiste u prtizioe P ε P(, b) tle che ε > 0 si h che R( f, P, S) I < ε (17.32) per ogi P P(, b), P P ε e per ogi scelt di puti S Teorem 17.6 Se f è itegrbile su [, b] llor f è itegrbile secodo Cuchy-Riem ed il vlore dell itegrle è lo stesso. Dimostrzioe. Poichè L( f, P) R( f, P, S) U( f, P) (17.33) ed che si h L( f, P) b f (x)dx U( f, P) (17.34) b R( f, P, S) f (x)dx U( f, P) L( f, P) (17.35) Qudo f è itegrbile U( f, P) L( f, P) può essere reso piccolo quto si vuole, pur di rffire l prtizioe e quidi per l precedete disugugliz è possibile verificre l defiizioe di itegrle secodo Cuchy-Riem. Nel teorem 17.6 può essere dimostrt che l impliczioe oppost per cui Teorem 17.7 f è itegrbile su [, b] se e solo se f è itegrbile secodo Cuchy-Riem ed il vlore dell itegrle è lo stesso. Dimostrzioe. Dl mometo che vle l defiizioe 17.7 vremo che se P è bbstz fie llor per ogi scelt di puti S. I ε R( f, P, S) I + ε (17.36) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

189 lisi mtemtic Poichè si h U( f, p) = 1 k=0 M k I k 1 k=0 ( f (c k ) + ε) I k = = R( f, P, S 1 ) + ε(b ) I + ε(b ) + ε (17.37) L( f, p) = 1 k=0 Ne viee llor che m k I k 1 k=0 ( f (d k ) ε) I k = = R( f, P, S 2 ) ε(b ) I ε(b ) ε (17.38) I ε(b ) ε L( f, P) U( f, P) I + ε(b ) + ε (17.39) e quidi vle l codizioe di itegrbilità e b f (x)dx = I Lemm 17.2 Si f u fuzioe itegrbile e si P u successioe regolre di prtizioi di [, b], llor lim U( f, P ) = b lim R( f, P, Ξ ) = f (x)ds = lim L( f, P ) b f (x)ds Dimostrzioe. Dl mometo che f è itegrbile, possimo trovre u prtizioe P ɛ tle che U( f, P ɛ ) L( f, P ɛ ) < ɛ Se P ɛ è costituit d N puti, dll figur 17 si vede che U( f, P ) L( f, P ) U( f, P ɛ ) L( f, P ɛ ) + N(M m) P (17.40) iftti è evidete che o si può ffermre semplicemete che U( f, P ) L( f, P ) U( f, P ɛ ) L( f, P ɛ ) cus del ftto messo i evidez dll zo trtteggit i figur 17. Tuttvi l re di tle zo può essere mggiort co (M m) P 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

190 190 o.cligris - p.oliv Figur 17.3: Cofroto tr U( f, P ) L( f, P ) e U( f, P ɛ ) L( f, P ɛ ) e tle eveiez h luogo l più i tti csi quti soo i puti (N) di P ɛ. Pertto, fissdo opportumete P ɛ e scegliedo bbstz grde, si ottiee che U( f, P ) L( f, P ) divet piccol quto si vuole e quidi U( f, P ) L( f, P ) 0 Ne segue immeditmete che b U( f, P ) f (x)ds U( f, P ) L( f, P ) 0 b f (x)ds L( f, P ) U( f, P ) L( f, P ) 0 R( f, P,, Ξ ) b f (x)ds U( f, P ) L( f, P ) 0 Osservzioe. Qulor f o si itegrbile l sserto del corollrio precedete può risultre flso; iftti il limite secodo membro può dipedere dll scelt dei puti ξ. Si cosideri d esempio l fuzioe che vle 0 sui rzioli e 1 sugli irrzioli. Teorem 17.8 Si f u fuzioe itegrbile e si P u successioe regolre di prtizioi di, llor b Dimostrzioe. f (x)dx = lim U( f, P ), b = lim L( f, P ) (17.41) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

191 lisi mtemtic Si h per l defiizioe di itegrle superiore che ɛ > 0 esiste u prtizioe P ɛ tle che b U( f, P ɛ ) f (x)dx + ɛ ioltre, come el lemm 17.2, si h b b f (x)dx U( f, P ) U( f, P ɛ ) + N(M) P f (x)dx + ɛ + N(M) P Se pssimo l limite per ɛ 0 otteimo (17.42) b b f (x)dx U(( f, P ) f (x)dx + N(M) P e, per +, b lim U(( f, P ) = f (x)dx Per l ltr ugugliz si procede i modo logo. Teorem 17.9 Sio f, g : [, b] R limitte e si c (, b); vlgoo i segueti ftti: b b b [ f (x) + g(x)]dx f (x)dx + g(x)dx(1) b b [ f (x) + g(x)]dx f (x)dx + g(x)dx(2) b b α f (x)dx = α f (x)dx α > 0(3) b b b b b α f (x)dx = α f (x)dx α > 0(4) b c b β f (x)dx = β f (x)dx β < 0(5) f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx(6) b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.(7) c Dimostrzioe. (1) segue dl ftto che, se P è u successioe ordit di prtizioi, si h U( f + g, P ) U( f, P ) + U(g, P ). (2) è log, (3),(4),(5) seguoo d U(α f, P ) = αu( f, P ), L(α f, P ) = αl( f, P ), L(β f, P ) = βu( f, P ). c c b 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

192 192 o.cligris - p.oliv Per provre (6) e (7) è sufficiete scegliere u successioe ordit di prtizioi di [,b] tle che P 1 = {, c, b}. Teorem Sio f, g : [, b] R limitte e itegrbili su [, b], sio α, β R; llor α f + βg e f g soo itegrbili su [, b] e b b [α f (x) + βg(x)]dx = α Dimostrzioe. Si h b f (x)dx + β g(x)dx. b α b b f (x)dx + β g(x)dx [α f (x) + βg(x)]dx b b b [α f (x) + βg(x)]dx α f (x)dx + β g(x)dx. Provimo or che f g è itegrbile. Suppoimo f (x) M, g(x) M x [, b]. Si P P(, b), si ε > 0 e sio α i, β i [x i 1, x i ] tli che Si h M i m i f (α i )g(α i ) f (β i )g(β i ) + ε. M i m i e f (α i )[g(α i ) g(β i )] + g(β i )[ f (α i ) f (β i )] + ε M(M g i m g i ) + M(M f i m f i ) + ε U( f g, P) L( f g, P) M[U( f, P) L( f, P)] + M[U(g, P) L(g, P)] + ε. Teorem Si f : [, b] R limitt ed itegrbile i [, b]; si c (, b), llor f è itegrbile i [, c] ed i [c, b] e b f (x)dx = c f (x)dx + b c f (x)dx. Dimostrzioe. Si h b b c b f (x)dx = f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx c c b b f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx = c b f (x)dx e ( c c ) ( b c b c ) f (x)dx f (x)dx + f (x)dx f (x)dx = 0 d cui f è itegrbile su [, c] e su [c, b]. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

193 lisi mtemtic Teorem Se f, g : [, b] R soo itegrbili i [, b] e se f (x) g(x) x [, b]; llor b f (x)dx b g(x)dx. Dimostrzioe. Srà sufficiete provre che, se f (x) 0, b f (x)dx 0, m questo è ovvi coseguez del ftto che m = if{ f (x) : x [, b]} 0. Teorem Se f : [, b] R e se defiimo f + (x) = mx{ f (x), 0}, f (x) = mi{ f (x), 0}. Allor f + ed f soo itegrbili su [, b] se e solo se f è itegrbile su [, b] e si h b f (x)dx = b f + (x)dx + Dimostrzioe. Si P P(, b), llor i quto b f (x)dx. U( f +, P) L( f +, P) U( f, P) L( f, P) sup{ f + (x) f + (y) : x, y [x i 1, x i ]} sup{ f (x) f (y) : x, y [x i 1, x i ]}. Ioltre si h f = f + + f. Corollrio 17.1 Se f : [, b] R è itegrbile i [, b], llor che f è itegrbile i [, b]. Dimostrzioe. Bst osservre che f = f + f Osservimo che f può essere itegrbile sez che f si tle; d esempio 1, x Q f (x) = 1, x R \ Q Teorem Se f è itegrbile, llor b b f (x)dx f (x) dx. Dimostrzioe. Si h f (x) f (x) f (x) e l tesi segue di risultti precedeti. Teorem Se f è itegrbile i [, b], o egtiv, e se [α, β] [, b]; llor β α f (x)dx b f (x)dx. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

194 194 o.cligris - p.oliv Teorem Se f è cotiu e o egtiv e se b f (x)dx = 0 llor f (x) = 0 per ogi x [, b] Dimostrzioe. Suppoimo per ssurdo che esist α [, b] tle che f (α) > 0 ; llor esiste [c, d] [, b] i modo che f (x) m > 0 i [c, d]. Pertto b f (x)dx d c f (x)dx m(d c) > 0. Gli sviluppi del clcolo itegrle e le sue ppliczioi dipedoo dl legme strettissimo tr il cocetto di itegrle e quello di derivt che è espresso dl teorem fodmetle del clcolo itegrle e dlle proprietà di cui gode l fuzioe itegrle x x x f (t)dt. 0 Defiimo pertto F(x) = x x 0 f (x)dx (17.43) e dedichimo u po di ttezioe llo studio dell cotiuità e dell derivbilità di F Teorem Si f itegrbile i [, b] e cosiderimo, per ogi x [, b], l fuzioe defiit d F(x) = Allor F è lipschitzi i [, b]. x f (t)dt. Dimostrzioe. Sio x, y [, b] e si f (x) M x [, b]; si h y y F(x) F(y) = f (t)dt f (t) dt M y x. (17.44) x Teorem Si f itegrbile i [, b]; cosiderimo l fuzioe defiit d x F(x) = f (t)dt. Se f è cotiu i x 0 (, b), llor F è derivbile i x 0 e x F (x 0 ) = f (x 0 ). Dimostrzioe. Per ogi ε > 0 esiste δ ε > 0 tle che se t x 0 < δ ε si h f (t) f (x 0 ) < ε. Perciò se h < δ ε si h F(x 0 + h) F(x 0 ) h f (x 0 ) 1 h x0 +h x 0 f (t) f (x 0 ) dt ε. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

195 lisi mtemtic Teorem dell medi - Si f cotiu, llor esiste c [, b] tle che b f (x)dx = f (c)(b ). Dimostrzioe. Possimo pplicre il teorem di Lgrge ll Fuzioe F(x) su [, b] Il precedete teorem può essere geerlizzto ell seguete form Teorem dell medi - Sio f, g cotiue, g o egtiv; llor esiste c [, b] tle che b f (x)g(x)dx = f (c) b g(x)dx. Dimostrzioe. Il teorem è ble se g è ideticmete ull. I cso cotrrio si h b g(x)dx > 0 e, posto m = mi{ f (x) : x [, b]}, M = mx{ f (x) : x [, b]} si h e b m g(x)dx m b b b b f (x)g(x)dx M f (x)g(x)dx M. g(x)dx g(x)dx Pertto l tesi segue dl ftto che f è cotiu i [, b] ed ssume tutti i vlori compresi tr il suo miimo m ed il suo mssimo M. I precedeti risultti idico l ecessità di itrodurre u uovo cocetto: quello di fuzioe l cui derivt è ssegt. Defiizioe 17.8 Dicimo che F è u primitiv di f i (, b) se F è ivi derivbile e risult F (x) = f (x) x (, b). Defiimo itegrle idefiito di f e lo idichimo co il simbolo l isieme delle primitive di f. f (x)dx Teorem Suppoimo che F e G sio due primitive di f i (, b), llor esiste k R tle che F(x) = G(x) + k x (, b). 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

196 196 o.cligris - p.oliv Dimostrzioe. Dl mometo che (F G) (x) = 0 i (, b) si può pplicre il corollrio del teorem di Lgrge che ssicur che se u fuzioe h derivt ull llor è costte. Corollrio 17.2 Si F u primitiv di f i (, b) e si f cotiu i (, b); llor esiste k R tle che F(x) = x f (t)dt + k. Il precedete corollrio permette di determire l itegrle idefiito di u fuzioe. Ricordimo tuttvi che l su vlidità è limitt fuzioi defiite su u itervllo. Ache il clcolo dell itegrle di f i [, b] beefici di questo risultto vle iftti il seguete teorem. Teorem Si f itegrbile i [, b], si F u primitiv di f i (, b) e si [α, β] (, b); llor β α f (x)dx = F(β) F(α). Dimostrzioe. Si P P(, b), P = {x 0,.., x }, si h β α f (x)dx [F(β) F(α)] = β = f (x)dx [F(x i ) F(x i 1 )] α = i=1 β = f (x)dx F (ξ i )(x i x i 1 ) α = i=1 β = f (x)dx R( f, P, Ξ) (17.45) α e si può cocludere scegliedo u prtizioe sufficietemete fie. Il teorem precedete cosete di usre le primitive di u fuzioe per clcolre il vlore di u itegrle defiito. È pertto importte cooscere le primitive di lcue fuzioi elemetri. Rimddo ll ppedice per u iformzioe più complet, ci limitimo qui d osservre che l tbell di derivte dt el prgrfo 8, lett d destr verso siistr, forisce le primitive delle pricipli fuzioi elemetri. Le fuzioi che soo primitive di qulche ltr fuzioe godoo di u cert regolrità che è precist el seguete eucito. Teorem Se f h u primitiv i (, b), per ogi c (, b) o è possibile che lim f (x) = lim x c + x c ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15 f (x).

197 lisi mtemtic Dimostrzioe. Si F u primitiv di f i (, b); se i limiti i oggetto esistessero, si vrebbe, per le proprietà dell derivbilità, F (c) = lim x c + f (x) = lim f (x). x c Per il clcolo degli itegrli defiiti è molto utile servirsi delle segueti regole di itegrzioe. Teorem itegrzioe per prti - Sio f, g di clsse C 1 e si [α, β] (, b); llor β α β f (x)g(x)dx = f (β)g(β) f (α)g(α) α Dimostrzioe. Si h f (x)g (x)dx. ( f g) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x); pertto β α f (x)g(x) dx = β α β ( f g) (x)dx α f (x)g (x)dx ed osservdo che f g è u primitiv di ( f g) i (, b) si deduce l tesi. Teorem itegrzioe per sostituzioe - Se f C 0, g C 1 ; si [α, β] (c, d), llor β α f (g(x))g (x)dx = g(β) g(α) f (x)dx. Dimostrzioe. Si F u primitiv di f i (, b), llor F(g( )) è u primitiv di f (g( ))g ( ) i (c, d) e si h β α f (g(x))g (x)dx = F(g(β)) F(g(α)) = Se f è u fuzioe, idichimo f (x) b = f (b) f () g(β) g(α) f (x)dx I tl modo risulto semplificti molti euciti che coivolgoo gli itegrli defiiti. Ad esempio si può dire che, se F è u primitiv dell fuzioe cotiu f, llor b f (x)dx = F(x) Il secodo teorem dell medi. b 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

198 198 o.cligris - p.oliv Corollrio 17.3 Sio f, g : (, b) R, f C 1, g C 0, f crescete, e si [α, β] (, b), llor γ [α, β] : β α γ f (x)g(x)dx = f (α) α β g(x)dx + f (β) γ g(x)dx. Dimostrzioe. Si G u primitiv di g i (, b), si h β α β f (x)g(x)dx = f (β)g(β) f (α)g(α) f (x)g(x)dx = α = f (β)g(β) f (α)g(α) G(γ)[ f (β) f (α)] = = f (α)[g(γ) G(α)] + f (β)[g(β) G(γ)] Teorem formul di Tylor co il resto itegrle - Si f : [, b] R, di clsse C +1 ; sio x, x 0 [, b], llor f (x) = i=0 Dimostrzioe. Si x [, b], posto si h e f (i) (x 0 ) x (x x 0 ) i (x t) + f (+1) (t)dt. i! x 0! Q(t) = i=0 Q(x) = f (x), Q(x 0 ) = e, dl teorem Q (t) = f (i) (t) (x t) i i! i=0 (x t)! f (i) (x 0 ) r(x x 0 ) i = P(x) i! f (+1) (t) f (x) P(x) = Q(x) Q(x 0 ) = x x 0 Q (t)dt. L formul di Tylor co il resto di Lgrge può essere otteut dl precedete teorem fcedo uso del teorem dell medi; il resto di Peo può su volt essere otteuto dl resto di Lgrge; il tutto però co ipotesi sovrbbodti. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

199 18. Itegrli Impropri Ci simo occupti fio d or del problem di itegrre u fuzioe limitt su di u itervllo limitto che, i geere, è che supposto chiuso. Nell prtic è spesso ecessrio itegrre fuzioi o limitte o su itervlli o limitti, questo scopo è ecessrio defiire u estesioe del cocetto di itegrle, che permett di cosiderre che questi csi. L defiizioe o è strettmete collegt col procedimeto di itegrzioe defiit dto precedetemete, che se d esso dipede i mier essezile, e, per quest rgioe, viee deomito procedimeto di itegrzioe impropri. Defiizioe 18.1 Si f itegrbile i [x, b], per ogi x (, b]. Dicimo che f mmette itegrle improprio (fiito) i (, b] se esiste (fiito) b lim x + x f (t)dt I tl cso defiimo il suo vlore b f (x)dx Defiizioi loghe permettoo di cosiderre fcilmete l itegrle improprio su di u itervllo [, b] di u fuzioe f limitt e itegrbile i ogi itervllo [x, y] [, b] \ N, dove N è u isieme fiito di puti Defiizioe 18.2 Si f itegrbile i [, x], per ogi x. Dicimo che f mmette itegrle improprio (fiito) i [, + ) se esiste (fiito) x lim x + f (t)dt I tl cso defiimo il suo vlore + f (x)dx

200 200 o.cligris - p.oliv Defiizioi loghe permettoo di cosiderre l itegrle improprio di u fuzioe limitt e itegrbile su ogi itervllo [x, y], i (, ] o (, + ). I etrmbe le due precedeti defiizioi dicimo che f mmette itegrle improprio covergete o divergete, secod che il suo vlore si fiito o ifiito rispettivmete. Per semplicità, el seguito fremo riferimeto solo i csi cotemplti elle defiizioi 18.1, 18.2, tuttvi i risultti che proveremo possoo essere fcilmete rieuciti e ridimostrti egli ltri csi. Possimo cosiderre qulche esempio per illustrre i cocetti itrodotti Si f α (x) = 1 x α llor: f α (x)dx = 1 1 α se 0 < α < 1 f α (x)dx = + se α 1 f α (x)dx = 1 α 1 se α > 1 f α (x)dx = + se 0 < α 1 I risultti esposti si possoo ricvre pplicdo semplicemete le defiizioi e le regole elemetri di itegrzioe. Prtedo d questi semplici puti fermi possimo ricvre dei criteri che cosetoo di stbilire se u fuzioe è itegrbile i seso improprio. A questo scopo dobbimo cosiderre u coseguez del criterio di covergez di covergez di Cuchy. Teorem 18.1 Si f itegrbile i [x, b], per ogi x (, b]; llor f mmette itegrle improprio covergete i (, b] se e solo se per ogi ε > 0 esiste δ ε > 0 tle che se si cosidero x, x (, + δ ε ) llor x f (t)dt < ε x Teorem 18.2 Si f itegrbile i [, x], per ogi x ; llor f mmette itegrle improprio covergete i [, + ) se e solo se per ogi ε > 0 esiste δ ε > 0 tle che se x, x > δ ε llor x f (t)dt < ε ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15 x

201 lisi mtemtic I due precedeti teoremi seguoo immeditmete dl criterio di covergez di Cuchy. Teorem 18.3 Sio f, g itegrbili i ogi [x, y] I; vlgoo i segueti ftti: 1. se f mmette itegrle improprio covergete i I, llor che f mmette itegrle improprio covergete i I; 2. se f g e g mmette itegrle improprio covergete i I, llor che f (e quidi f ) mmette itegrle improprio covergete i I. Dimostrzioe. Si h x f (x)dx x f (x) dx x g(x)dx x x No è tuttvi vero che se f mmette itegrle improprio covergete che f mmette itegrle improprio covergete. Per esempio si cosideri f (x) = si x x sull itervllo [0, + ), (si ved teorem 18.7). Dimo or u risultto che srà di grde utilità per stbilire l itegrbilità i seso improprio di u fuzioe. x Teorem 18.4 Si f itegrbile i [x, b], per ogi x (, b], e suppoimo che f si ifiit per x + di ordie β. 1. Se esiste α R, co β α < 1 llor f mmette itegrle improprio covergete i (, b]. 2. se β 1 llor f mmette itegrle improprio divergete i (, b]. Dimostrzioe. Suppoimo d esempio f (x) + per x + e provimo (1). Si h lim x + e pertto esistoo k, δ > 0 tli che 0 f (x) f (x) 1/(x ) α = l R + k (x ) α x (, + δ) e l tesi segue dl teorem 18.3 e dlle 18.1, o ppe si si teuto coto del ftto che lim x + b x f (t)dt = b +δ f (t)dt + lim x + +δ x f (t)dt. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

202 202 o.cligris - p.oliv Provimo or (2); se x (, + δ), co k, δ > 0 opportumete scelti, si h f (x) k x α e come prim segue l tesi. Teorem 18.5 Si f itegrbile i [, x], per ogi x ; suppoimo che f mmett itegrle improprio covergete i [, + ) e che Allor l = 0. lim x + f (x) = l. Dimostrzioe. Suppoimo d esempio che si l > 0; llor, se x > δ, f (x) > l/2. Pertto x lim x + f (t)dt = δ f (t)dt + lim δ x + x δ f (t)dt f (t)dt + lim (x δ)l/2 = + (18.1) x + Osservimo che f può mmettere itegrle improprio covergete i [, + ) sez che esist il limite di f per x +, se d esempio si h 1 i < x i + 1/2 i f (x) = 0 i + 1/2 i x i + 1, i N (18.2) f (t)dt = lim i=1 2 i = lim 2 1 1/2 1 1/2 = 1 Si può logmete provre che Teorem 18.6 Si f itegrbile i [, x], per ogi x, e suppoimo che f si ifiitesim di ordie β per x Se esiste α R tle che β α > 1, llor f mmette itegrle improprio covergete i [, + ). 2. Se β 1 llor f mmette itegrle improprio divergete i [, + ). ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

203 lisi mtemtic Osservimo, proposito dei teoremi 18.4,?? che qulor β R, i (1) è sufficiete predere α = β. Teorem 18.7 Sio f, g, f C 0, g C 1, e si F u primitiv di f ; llor le segueti codizioi soo sufficieti per l covergez dell itegrle improprio di f g i [, + ): 1. F limitt i [, + ) e g mooto 0 per x + ; 2. F covergete per x + e g mooto e limitt. Segue d x x f (t)g(t)dt = F(x)g(x) F()g() F(t)g (t)dt. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

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205 19. Qulche Itegrle Elemetre. Forimo qui u tbell di primitive F delle pricipli fuzioi elemetri f, essedosi trscurto di precisre l isieme di defiizioe delle fuzioi stesse. f (x) F(x) x 1 x l x x x +1 x si x cos x 1 si 2 x 1 cos 2 x = 1 + t2 x 1 (1 x 2 ) + 1 x l cos x si x cos x si x t x rcsi x 1 (1 x 2 ) rccos x x 2 rct x sih x = ex e x 2 cosh x = ex + e x 2 1 sih 2 x cosh x sih x cosh x sih x

206 206 o.cligris - p.oliv 1 cosh 2 x 1 (1 + x 2 ) 1 (x 2 1) sih x cosh x sih 1 x cosh 1 x Per l itegrzioe idefiit, oltre che dell precedete tbell, si f uso delle usuli regole di itegrzioe (lierità dell itegrle, itegrzioe per prti e per sostituzioe). Ioltre esistoo u serie di itegrli che possoo essere studiti i mier stdrd; e elechimo qui i pricipli, rimddo d u libro di tvole mtemtiche, per u più completo ssortimeto. se f (x) = P(x) Q(x) dove P e Q soo poliomi, si procede come segue ci si riduce, evetulmete effettudo u divisioe di poliomi, l cso i cui il grdo di P si iferiore l grdo di Q (si ricordi che, se P(x) = A(x)Q(x) + B(x), si h P(x)/Q(x) = A(x) + B(x)/Q(x) co grdo di B miore del grdo di Q). si trovo le rdici di Q; sio esse λ 1,.., λ e α 1 ± iβ 1,.., α m ± iβ m co molteplicità ν 1,.., ν e µ 1,.., µ m. Osservimo che, se α + iβ è u soluzioe di Q(x) = 0, llor tle è che α iβ i quto Q h coefficieti reli. Se p = i=1 ν i e q = risulterà p + 2q ugule l grdo di Q. m j=1 I corrispodez di u rdice rele λ, co molteplicità ν, si cosidero le segueti frzioi (dette frtti semplici) µ j A 1 x λ, A 2 (x λ) 2,..., A ν (x λ) ν. I corrispodez di u rdice compless α ± iβ, co molteplicità µ, si cosider il triomio di secodo grdo coefficieti reli t(x) = (x α) 2 + β 2 ed i frtti semplici B 1 x + C 1 t(x), B 2 x + C 2 (t(x)) 2,..., B µ x + C µ (t(x)) µ. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

207 lisi mtemtic Si determio poi, impoedo le opportue uguglize, le costti A, B e C i modo che P(x)/Q(x) si l somm dei frtti semplici reltivi tutte le rdici, cioè P(x) Q(x) = i=1 ν i h=1 A h,i (x λ i ) h + m j=1 µ j k=1 B k,j x + C k,j (t j (x)) k. Gli itegrli dei frtti semplici possoo essere ctlogti come segue: (x λ) 1 mmette come primitiv l x λ ; (x λ) h mmette come primitiv [(1 h)(x λ) h 1 ] 1 Ax + B (x 2 + bx + c) m = A ( 2x + b 2 (x 2 + bx + c) m + + (2B/A) b (x 2 + bx + c) m U primitiv dell prim frzioe etro pretesi può essere trovt medite l sostituzioe t = x 2 + bx + c metre u primitiv dell secod frzioe può essere trovt medite l sostituzioe t = 2x + b 4c b 2 che riduce il problem ll ricerc delle primitive dell fuzioe 1 (t 2 + 1) m. U primitiv di tle fuzioe si trov ifie osservdo che 1 (t 2 + 1) m = 1 (t 2 + 1) m 1 t (d/dt)(t 2 + 1) 2 (t 2 + 1) m e ricvdo u formul itertiv. U modo ltertivo per decomporre l frzioe P(x)/Q(x) è dto dl metodo di Hermite: si determio A h, B k, C k R, h = 1,..,, k = 1,.., m, e due poliomi N(x) e D(x) i modo che ) D(x) = (x λ i ) ν i 1 i=1 m (t j (x)) µ j 1 j=1, N bbi grdo iferiore di u uità l grdo di D e P(x) Q(x) = h=1 A h x λ h + m k=1 B k x + C k t k (x) + d N(x) dx D(x). 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

208 208 o.cligris - p.oliv x m si x, x m cos x, si m x, cos m x, x αx si mx, x αx cos mx, x m αx, x α log m x, x rct m x, co, m N, si itegro itertivmete per prti. si(mx) cos(x) si itegr usdo le formule di prostferesi. cos( 1 x + b 1 )... cos( x + b ) si itegr usdo le formule di Werer itertivmete. Molti itegrli possoo essere risolti per sostituzioe: idichimo qui di seguito le sostituzioi più comui. Nelle righe che seguoo R idic u fuzioe rziole dei suoi rgometi. R(x p 1/q 1,.., x p /q ) si itegr poedo x = t µ dove µ = m.c.m.(q 1,..., q ). Lo stesso vle se i luogo di x c è x + b cx + d. R(x, x 2 + bx + c) ; se α, β soo rdici di x 2 + bx + c = 0 si esegue u delle segueti tre sostituzioi (di Eulero), purché possibile x 2 + bx + c = (x α)t x 2 + bx + c = x + t x 2 + bx + c = xt + c. R(x, x + b, cx + d) ; si poe x + b = t e ci si ricoduce d uo dei precedeti x q ( + bx r ) s, q, r, s Q, s = m/ (itegrli biomi). se (q + 1)/r Z si poe + bx r = t se s + (q + 1)/r Z si poe b + x r = t. qulor q, r, s R, le sostituzioi idicte soo cor vlide purché (q + 1)/r N e s + (q + 1)/r ( N) e si pog = 1. R( αx ) ; si poe αx = t R( p 1x/q 1,.., p x/q ) ; si poe x = t µ dove µ = m.c.m.(q 1,..., q ). R(si x, cos x); si poe t = t(t/2) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

209 lisi mtemtic si m x cos x; si poe t = si x e divet u itegrle biomio. R(x, f (x)), dove R è u fuzioe rziole, si può ridurre per sostituzioe d u itegrle rziole se esiste u prmetrizzzioe rziole x = φ(t) y = ψ(t) dell curv y = f (x) cioè se esistoo due fuzioi φ e ψ rzioli tli che ψ(t) = f (φ(t)). I tl cso iftti è sufficiete operre l sostitizioe x = φ(t). Aggiugimo che u prmetrizzzioe rziole dell curv y = f (x) può essere otteut trovdo l vrire di t l itersezioe dell rett y y 0 = t(x x 0 ) co il grfico di y = f (x), essedo (x 0, y 0 ) scelto i modo che y 0 = f (x 0 ) e l ulteriore itersezioe si uic. Osservimo cor che el cso i cui l curv y = f (x) si u coic o u prte di coic ciò può essere sempre ftto evetulmete scegliedo come (x 0, y 0 ) u puto improprio. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

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211 20. Qulche Studio di Fuzioe Itegrle Lo studio di u fuzioe che si dt medite u itegrle ricorre i molti csi: d esempio qudo si studio le soluzioi di equzioi differezili i cui compioo fuzioi che o mmettoo primitive elemetri o che mmettoo primitive elemetri o fcilmete clcolbili. Per fuzioe itegrle si itede u fuzioe defiit d F(x) = x x 0 f (t)dt (20.1) I risultti che occorre teer be preseti qudo si studi u fuzioe itegrle soo i segueti: 1. I risultti che soo sufficieti grtire l itegrbilità di u fuzioe: soo quelli coteuti ei teoremi?? e si possoo brevemete rissumere dicedo che: f è itegrbile su ogi itervllo su cui è cotiu f è itegrbile su ogi itervllo su cui è mooto f è itegrbile su ogi itervllo su cui è limitt e cotiu meo di u umero fiito di puti f è itegrbile su ogi itervllo su cui differisce d u fuzioe itegrbile meo di u isieme fiito di puti 2. Il risultto che ssicur che se f è limitt llor F è cotiu. 3. il teorem fodmetle del clcolo che ssicur che se f è cotiu i x llor F è derivbile i x e F (x) = f (x) 4. l defiizioe di itegrle improprio per cui:

212 212 o.cligris - p.oliv Se f è itegrbile i seso improprio i c + c lim F(x) = f (t)dt x c + x 0 Se f è itegrbile i seso improprio + + lim F(x) = f (t)dt x + x 0 Vle ioltre l pe di ricordre che se llor G(x) = β(x) x 0 f (t)dt (20.2) G(x) = F(β(x)) (20.3) e quidi, se le fuzioi i gioco soo derivbili Ioltre se G (x) = F (β(x))β (x) = f (β(x))β (x) (20.4) G(x) = β(x) α(x) f (t)dt (20.5) llor se c è scelto el cmpo di itegrbilità di f, si h G(x) = β(x) α(x) e quidi f (t)dt = c β(x) f (t)dt + α(x) c f (t)dt = β(x) c α(x) f (t)dt f (t)dt c (20.6) G (x) = F (β(x))β (x) F (α(x))α (x) = f (β(x))β (x) f (α(x))α (x) (20.7) 20.1 Esempio Si cosideri l fuzioe f (x) = x 0 e t2 3 1 e t (t 1) t + 2 dt Comicimo determire il domiio di f. L fuzioe itegrd risult defiit e cotiu (e quidi itegrbile) per t ( 2, 0) (0, 1) (1, + ). Ioltre lim t 2 e t2 3 1 e t (t 1) t + 2 = ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

213 lisi mtemtic di ordie 1 2 i quto l itegrd è ifiit cus del fttore t + 2 presete el deomitore; lim t 0 e t2 3 1 e t (t 1) t + 2 = di ordie 1 3 cus del fttore deomitore 3 1 e t (si ricordi che 1 e t è ifiitesimo i zero di ordie 1); logmete lim t 0 + e t2 3 1 e t (t 1) t + 2 = + di ordie 1 3 Ifie lim t 1 e t2 3 1 e t (t 1) t + 2 = + di ordie 1 cus del fttore t 1 deomitore. Ne segue che l fuzioe itegrd è itegrbile (evetulmete i seso improprio) i [ 2, 1) (1, + ). Poichè gli estremi di itegrzioe soo 0 ed x dovrà essere x [ 2, 1). Dl mometo che l fuzioe itegrd è cotiu per t ( 2, 0) (0, 1) (1, + ) f è defiit i [ 2, 1)) il teorem fodmetle del clcolo ssicur che f (x) = e x2 3 1 e x (x 1) x + 2 Per ogi x ( 2, 0) (0, 1) Per quto rigurd i puti x = 2 e x = 0 si è già visto che lim f (x) = t 2 lim f (x) = t 0 lim f (x) = + t 0 + cui f o è derivbile per x = 1 ed x = 0. Per trccire il grfico di f dobbimo teere coto che f (x) > 0 per x (0, 1) lim x 1 f (x) = +, f o è derivbile i 2 ed i 0 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

214 214 o.cligris - p.oliv Figur 20.1: Grfico di f (x) i 2 ed i 0 il grfico h tgete verticle Pertto il grfico di f risult: Cosiderimo or g(x) = x 0 e t2 3 1 e t (t 1) t + 2 dt Dl mometo che g(x) = f ( x ) il grfico di g srà ugule quello di f per gli x [0, 1) ed il simmetrico rispetto ll sse y per gli x ( 1, 0]. Se ifie cosiderimo h(x) = x 2 +2 x 3 e t2 3 1 e t (t 1) t + 2 dt per quto visto i puti precedeti, ( f è itegrbile i [ 2, 1) (1, + )) L itervllo di itegrzioe dovrà essere coteuto ell isieme i cui è possibile clcolre l itegrle; dovrà cioè risultre che [x 3, x 2 + 2] [ 2, 1) (1, + ) e quidi l fuzioe h risult defiit per x 3 > 1 ovvero per x > 1. Poiché l itegrd è cotiu per t > 1 e gli estremi di itegrzioe soo derivbili, si h, per x (1, + ) h (x) = 2xe (x2 +2) e x2 +2 (x 2 1) x x2ex6 3 1 e x3 (x 3 1) x ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

215 lisi mtemtic Figur 20.2: Grfico di g(x) 20.2 Esempio Cosiderimo l fuzioe f (x) = 4 x x 3 + cos(t) (t 4) 3 t 5 1 dt L fuzioe itegrd è defiit e cotiu (e quidi itegrbile) i (, 1) (1, 4) (4, + ). Ioltre 3 + cos(t) lim t 1 (t 4) 3 t 5 1 = + di ordie 1 3 metre 3 + cos(t) lim t 4 (t 4) 3 t 5 = + di ordie 1 1 Pertto l itegrd risult itegrbile (che i seso improprio) i (, 4) (4, + ). Dovrà llor essere x < 4 x > 4 oppure 4 x < 4 4 x > 4 ovvero 0 < x < ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

216 216 o.cligris - p.oliv Essedo gli estremi di itegrzioe due fuzioi cotiue e derivbili, f risult cotiu i tutto il suo domiio (perché l itegrd è itegrbile) e derivbile per x = 1 e 4 x = 1 essedo l itegrd cotiu per t = 1 (per t = 1 l itegrd è ifiit). Pertto l isieme di cotiuità è (0, 4) e l isieme di derivbilità è (0, 1) (1, 3) (3, 4). Dl teorem fodmetle del clcolo itegrle e dll formul di derivzioe delle fuzioi composte si h, se x (0, 1) (1, 3) (3, 4) f 3 + cos(4 x) (x) = ( x) 3 (4 x) cos(x) (x 4) 3 x Esempio Si cosiderio le fuzioi Si h, per ogi k R, h(x) = x 4 + 8x + k e g(x) = 1 h(x) h : R R, cotiu, lim h(x) = + x ± per cui h o è limitt superiormete (e quidi o mmette mssimo globle), metre, per il teorem di Weierstrss geerlizzto, mmette miimo ssoluto, per ogi k R. Se g risult cotiu llor h primitive i R ed ioltre, (essedo ifiit dove o è cotiu, g mmette primitive se e solo se h(x) = x 4 + 8x + k = 0 per ogi x R. Poiché come visto el puto precedete h h miimo ssoluto, e tle vlore è ssuto el puto x = 3 2 (ove si ull h (x) = 4x 3 + 8) e si h h( 3 2) = k 6 3 2, si coclude che g h primitive i R se e solo se k > 0 ovvero k > Similmete g h primitive i [ 1, + ) se e solo se risult cotiu i tle itervllo ovvero se e solo se h(x) = x 4 + 8x + k = 0 per ogi x 1. Essedo h crescete per x 3 2, e quidi per x 1, g h primitive i [ 1, + ) se e solo se h( 1) = k 7 > 0 ovvero Posto k = 0 si h g(x) = 1 ( 2, 0) (0, + ). x 4 +8x k > 7, che è defiit e cotiu i (, 2) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

217 lisi mtemtic Utilizzdo l decomposizioe i frtti semplici si h 1 x 4 + 8x = x + d cui b x cx + d x 2 2x + 4 = ( + b + c)x 3 + (2c 2b + d)x 2 + (4b + 2d)x + 8 x 4 + 8x + b + c = 0 2c 2b + d = 0 4b + 2d = 0 8 = 1 che risolto forisce = 1 8, b = 24 1, c = 12 1, d = 12 1 ; pertto 1 x 4 + 8x = 1 ( 3 24 x 1 x + 2 2x 2 ) x 2 2x + 4 U primitiv di g è quidi 1 24 l x 3 (x + 2)(x 2 2x + 4) = 1 24 l x 3 x Tutte le primitive di g i (, 2) ( 2, 0) (0, + ) soo pertto 1 x3 24 l 1 x3 24 l 1 24 Si cosideri or il problem x c 1, se x < 2 x c 2, se 2 < x < 0 x3 l x c 3, se x > 0 y (x) = g(x) y(0) = 0 y (0) = 0 Il problem h soluzioi i R se e solo se g h primitive i R, poiché y è l primitiv di g che soddisf y (0) = 0 e di coseguez y è l primitiv di x 0 g(t)dt che soddisf y(0) = 0 cioè x ( s ) y(x) = g(t)dt ds 0 Pertto il problem dto h u ed u sol soluzioe per k > ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

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219 21. Itegrzioe secodo Riem- Stieltjes. Defiizioe 21.1 Sio f, g : [, b] R due fuzioi limitte; si P P(, b), P = {x 0,..., x } ed idichimo co Ξ = {ξ 1,..., ξ } u scelt di puti x i 1 ξ i x i ssocit ll prtizioe P. Defiimo R( f, g, P, Ξ) = i=1 f (ξ i )[g(x i ) g(x i 1 )]; R( f, g, P, Ξ) si dice somm di Riem Stieltjes di f rispetto g reltiv ll prtizioe P ed ll scelt di puti Ξ. Dicimo che f è itegrbile secodo Riem Stieltjes i [, b] se esiste I R tle che ε > 0 P ε P(, b) tle che se P < P ε si h R( f, g, P, Ξ) I < ε, Ξ. I tl cso chimimo I itegrle di Riem-Stieltjes di f rispetto g e scrivimo I = b f si dice itegrd, g si dice itegrtrice. f (x)dg(x). Si può subito provre il seguete fodmetle risultto: Teorem 21.1 Sio f, g : [, b] R due fuzioi limitte; llor f è itegrbile rispetto g se e solo se g è itegrbile rispetto d f. Si h ioltre che b b f (x)dg(x) + g(x)d f (x) = f (b)g(b) f ()g(). Dimostrzioe. Dt l simmetri dell eucito è sufficiete provre u sol impliczioe. Suppoimo pertto che f si itegrbile rispetto g. Si h che ε > 0 P ε P(, b) tle che se P P(, b), P < P ε b R( f, g, P, Ξ) f (x)dg(x) < ε, Ξ.

220 220 o.cligris - p.oliv Si or Q P(, b), Q < P ε, Q = {x 0,..., x } e si Ξ = {ξ 1,..., ξ } u scelt di puti x i 1 ξ i x i. Avremo che R(g, f, Q, Ξ) = Cosiderimo or l prtizioe i=1 g(ξ i )[ f (x i ) f (x i 1 )]. P 1 = Q Ξ = {x 0, ξ 1, x 1, ξ 2,.., ξ, x } e l scelt di puti Ξ 1 che ssoci il puto x i 1 ll itervllo [x i 1, ξ i ] ed il puto x i ll itervllo [ξ i, x i ]. Si h R( f, g, P 1, Ξ 1 ) = Si h pertto + f (x i 1 )[g(ξ i ) g(x i 1 )]+ i=1 i=1 i=1 + = i=1 f (x i )[g(x i ) g(ξ i )] = g(ξ i )[ f (x i 1 ) f (x i )]+ [ f (x i )g(x i ) f (x i 1 )g(x i 1 )] = b R(g, f, Q, Ξ) [ f (b)g(b) f ()g() = f (b)g(b) f ()g() R(g, f, Q, Ξ) = R( f, g, P 1, Ξ 1 ) f (x)dg(x)] = b f (x)dg(x) < ε o ppe si ricordi che P 1 < Q < P ε. Ciò prov il teorem. Possimo che provre il seguete risultto, che permette di effetture cmbi di vribili egli itegrli di Riem-Stieltjes. Teorem itegrzioe per sostituzioe - Suppoimo che f, g : [, b] R sio limitte e si φ : [c, d] [, b] cotiu e strettmete crescete, φ(c) =, φ(d) = b. Allor si h che f è itegrbile su [, b] rispetto g se e solo se f (φ( )) è itegrbile rispetto g(φ( )). Ioltre b f (x)dg(x) = d c f (φ(x))dg(φ(x)). Dimostrzioe. Dto che φ è strettmete crescete, si h P P(c, d) φ(p) P(, b) e P, Q P(c, d), P < Q se esolo se φ(p), φ(q) P(, b), φ(p) < φ(q) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

221 lisi mtemtic Pertto R( f (φ), g(φ), P, Ξ) = R( f, g, φ(p), φ(ξ)) e R( f (φ), g(φ), P, Ξ) I < ε, P < P ε, Ξ se e solo se R( f, g, P, Ξ ) I < ε, P < φ(p ε ), Ξ. Nel cso i cui g(x) = x l defiizioe A1.1 si riduce ll usule defiizioe di itegrle secodo Riem. Se f è itegrbile rispetto g(x) = x, diremo semplicemete che f è itegrbile. Vlgoo i due segueti risultti che cosetoo di clcolre fcilmete gli itegrli di Riem-Stieltjes. Teorem 21.3 Sio f, g : [, b] R limitte e suppoimo che g C 1 ([, b]); llor, se f è itegrbile rispetto g, si h che f g è itegrbile e b f (x)dg(x) = b f (x)g (x)dx. Dimostrzioe. P < P si h Dl mometo che f è itegrbile rispetto g, se b R( f, g, P, Ξ) f (x)dg(x) < ε, Ξ Ioltre, se (P) < δ ε, dl mometo che g è uiformemete cotiu su [, b], si h g (ξ i ) g (η i ) < ε se ξ i, η i [x i 1, x i ] pertto, se sceglimo P ε P(, b), P ε < P ε e (P ε) < δ ε si h, per P < P ε R( f, g, P, Ξ) = ξ i, η i [x i 1, x i ] i=1 f (ξ i )[g(x i ) g(x i 1 )] = = i=1 f (ξ i )g (η i )(x i x i 1 ) R( f g, P, Ξ) = i=1 f (ξ i )g (ξ i )(x i x i 1 ). 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

222 222 o.cligris - p.oliv Pertto b R( f g, P, Ξ) ε + f (x)dg(x) = b R( f, g, P, Ξ) i=1 f (x)dg(x) + + R( f, g, P, Ξ) R( f g, P, Ξ) f (ξ i )[g (ξ i ) g (η i )](x i x i 1 ) ε + ε(b ) sup{ f (x) : x [, b]} e l tesi. Teorem 21.4 Sio f, g : [, b] R limitte e si g derivbile co g limitt; suppoimo ioltre che f e g sio itegrbili su [, b]; llor f è itegrbile rispetto g e si h b f (x)dg(x) = b f (x)g (x)dx. Dimostrzioe. Osservimo izi tutto che f g è itegrbile su [, b] e che vlgoo i segueti ftti: 1. f (x) M, x [, b] 2. se P P(, b) è sufficietemete fie 0 U(g, P) L(g, P) < ε 3. se P P(, b) è sufficietemete fie si h b R( f g, P, Ξ) f (x)g (x)dx < ε. Si h pertto, se P < P ε e P ε è scelto i modo che sio verificte ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

223 lisi mtemtic ) e 3), b R( f, g, P, Ξ) f (x)g (x)dx = b = f (ξ i )[g(x i ) g(x i 1 )] f (x)g (x)dx i=1 = b = f (ξ i )g (η i )(x i x i 1 ) f (x)g (x)dx i=1 b f (ξ i )g (ξ i )(x i x i 1 ) f (x)g (x)dx i=1 + + f (ξ i )[g (η i ) g (ξ i )](x i x i 1 ) i=1 b R( f g, P, Ξ) f (x)g (x)dx + + [U(g, P) L(g, P)]M ε(1 + M). Comicimo questo puto cosiderre u situzioe ppretemete più prticolre, suppoimo cioè che l itegrtrice si mooto. No srà restrittivo supporre che tle fuzioe si crescete ed è ovvio che lcui dei risultti esposti si itedoo estesi che lle fuzioi decresceti ed lle fuzioi che soo differez di fuzioi cresceti. Quest ultim clsse di fuzioi è di otevole iteresse; u fuzioe che si poss esprimere come differez di fuzioi cresceti, si dice di vrizioe limitt. Solitmete o si cosidero, come itegrtrici, fuzioi che sio più geerli delle fuzioi di vrizioe limitt ed è per questo che bbimo defiito l ttule situzioe solo ppretemete più prticolre. Defiizioe 21.2 Sio f, g : [, b] R limitte e suppoimo che g si mooto crescete. Si P P(, b), P = {x 0, x 1,.., x } e defiimo m i = if{ f (x) : x [x i 1, x i ]}, M i = sup{ f (x) : x [x i 1, x i ]} L( f, g, P) = m i (g(x i ) g(x i 1 )), U( f, g, P) = M i (g(x i ) g(x i 1 )) i=1 i=1 Defiimo ioltre b f (x)dg(x) = sup{l( f, g, P) : P P(, b)} b f (x)dg(x) = if{u( f, g, P) : P P(, b)} 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

224 224 o.cligris - p.oliv e b b b f (x)dg(x) = f (x)dg(x) = f (x)dg(x) qulor l secod ugugliz si verifict. Si può vedere, come el prgrfo 15, che se P, Q, P, Q P(, b), P < P, Q < Q e se m f (x) M i [,b], si h m(g(b) g()) L( f, g, P ) L( f, g, P) e, di coseguez, U( f, g, Q) U( f, g, Q ) M(g(b) g()) b b m(g(b) g()) f (x)dg(x) f (x)dg(x) M(g(b) g()) Si h ioltre L( f, g, P) R( f, g, P, Ξ) U( f, g, P) Ξ e si può provre che o c è mbiguità elle defiizioi di itegrle e elle otzioi dottte elle defiizioi A1.1 e A1.6 i quto sussiste il seguete teorem. Teorem 21.5 Sio f, g : [, b] R limitte e si g mooto crescete. Soo equivleti le segueti codizioi; 1. ε > 0 P ε P(, b) tle che se P < P ε si h R( f, g, P, Ξ) b f (x)dg(x) < ε Ξ; 2. ε > 0 P ε P(, b) tle che 0 U( f, g, P ε ) L( f, g, p ε ) < ε 3. b f (x)dg(x) = b f (x)dg(x) = b f (x)dg(x). Usdo cor le dimostrzioi del prgrfo 15 si prov che: Teorem 21.6 Sio f, h, g : [, b] R limitte e si g mooto. Allor se f ed h soo itegrbili rispetto g, tle risult che α f + βh, α, β R e si h; b b [α f (x) + βh(x)]dg(x) = α Ioltre si h che f h è itegrbile rispetto g. b f (x)dg(x) + β h(x)dg(x). ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

225 lisi mtemtic Dulmete, ricorddo il teorem A1.2 di itegrzioe per prti, si prov che: Teorem 21.7 Sio f,g,h: [, b] R limitte e sio g ed h mootoe cresceti. Allor se f è itegrbile rispetto g e rispetto d h si h che che f è itegrbile rispetto d αg + βh e b b f (x)d[αg(x) + βh(x)] = α Risult ioltre che f è itegrbile rispetto gh. b f (x)dg(x) + β f (x)dh(x). Usdo i teoremi e 15.6 (vi,vii) si ottiee che Teorem 21.8 Sio f, h, g : [, b] R limitte e suppoimo che g si mooto crescete; llor 1. Se f, h soo itegrbili rispetto g e se f h si h b f (x)dg(x) b h(x)dg(x); 2. se defiimo f + = mx{ f, 0} ed f = mi{ f, 0}, f è itegrbile rispetto g se e solo se f + ed f soo itegrbili rispetto g; 3. f è itegrbile rispetto g se e solo se f è itegrbile rispetto g e si h b f (x)dg(x) b f (x) dg(x) ; 4. se f è itegrbile rispetto g, se f 0 e se [α, β] [, b] 0 β α f (x)dg(x) b f (x)dg(x) 5. se f è cotiu, g è strettmete crescete, f 0 e llor f 0. b f (x)dg(x) = 0 Per quel che cocere l itegrbilità possimo stbilire il seguete risultto Teorem Sio f,g: [, b] R, f cotiu, g mooto crescete; llor f è itegrbile rispetto g e g è itegrbile rispetto d f. Dimostrzioe. Ci limitimo provre che f è itegrbile rispetto g, ppelldoci l teorem A1.2 per il resto dell tesi. Dl mometo che f è uiformemete cotiu su [, b] ε > 0 δ ε > 0 tle che, se x y < δ ε si h 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

226 226 o.cligris - p.oliv f (x) f (y) < ε. Si P ε P(, b) tle che (P ε ) < δ ε, llor si h 0 U( f, g, P ε ) L( f, g, P ε ) (M i m i )(g(x i ) g(x i 1 ) i=1 ε(g(b) g()) Pssimo or provre lcui teoremi dell medi per gli itegrli di Riem-Stieltjes. Teorem Cosiderimo f, g : [, b] R, f cotiu e g crescete, llor esiste c [, b] tle che b Dimostrzioe. Sio b f (x)dg(x) = f (c) dg(x) = f (c)(g(b) g()) m = mi{ f (x) : x [, b]}, M = mx{ f (x) : x [, b]}; si h m(g(b) g()) b f (x)dg(x) M(g(b) g()). Se g(b) = g() l tesi è ble; i cso cotrrio si h m b f (x)dg(x)/(g(b) g()) M e si può cocludere per il teorem dei vlori itermedi. Teorem Sio f,g: [, b] R, f cotiu, g crescete; suppoimo che g si derivbile i x 0 [, b], llor è derivbile i x 0 e Dimostrzioe. Si h F(x 0 + h) F(x 0 ) h = 1 h F(x) = x f (t)dg(t) F (x 0 ) = f (x 0 )g (x 0 ). x0 +h f (t)dg(t) = f (c h ) g(x 0 + h) g(x 0 ) x 0 h co c h x 0 < h, e si coclude per l cotiuità di f e l derivbilità di g i x 0. Teorem Cosiderimo f, g : [, b] R, f crescete, g cotiu; llor esiste c [, b] tle che b c f (x)dg(x) = f () b dg(x) + f (b) dg(x). c ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

227 lisi mtemtic Dimostrzioe. Dl mometo che g è cotiu ed f è crescete, g è itegrbile rispetto d f e per il teorem A1.12 si h b M, per il teorem A1.2 g(x)d f (x) = g(c)( f (b) f ()), c [, b]. b b f (x)dg(x) = f (b)g(b) f ()g() g(x)d f (x) = = f (b)g(b) f ()g() g(c)( f (b) f ()) = = f (b)(g(b) g(c)) + f ()(g(c) g()) = = f (b) b c dg(x) + f () c dg(x) Per prticolri scelte delle fuzioi itegrtrici si provo i segueti risultti per gli itegrli di Riem. Teorem Sio f, h : [, b] R cotiue, h 0. Allor esiste c [, b] tle che b b f (x)h(x)dx = f (c) h(x)dx. Dimostrzioe. Dl teorem A1.12 co g(x) = x h(t)dt. Teorem Sio f,h: [, b] R, f crescete, h cotiu; llor esiste c [, b] tle che b c b f (x)h(x)dx = f () h(x)dx + f (b) h(x)dx. c Dimostrzioe. Dl teorem A1.14 co g(x) = x h(t)dt. Teorem Sio f, h : [, b] R, f crescete f 0, h cotiu, llor c [, b] tle che b b f (x)dh(x) = f (b) c h(x)dx. Dimostrzioe. Dl teorem precedete pplicto ll fuzioe f 1 defiit d f (x), x (, b] f 1 (x) = 0, x = 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

228 228 o.cligris - p.oliv Cosiderimo or il problem di defiire l itegrle di Riem- Stieltjes che su sottoisiemi o limitti di R. Defiizioe 21.3 Sio f, g : [, + ) R e suppoimo che f si itegrbile rispetto g i [, δ] δ >. Qulor δ lim f (x)dg(x) δ + esist, dicimo che f è itegrbile rispetto g su [, + ) e defiimo + f (x)dg(x) = δ lim δ + f (x)dg(x). Possimo provre fcilmete, usdo il teorem 6.20, che Teorem Sio f, g : [, + ) R e suppoimo che f si itegrbile rispetto g i [, δ] δ > ; llor f è itegrbile rispetto g i [, + ) se e solo se ε > 0 δ ε > 0 tle che, se x, x > δ ε x x f (t)dg(t) < ε E coseguez immedit del teorem A1.19 il seguete Corollrio 21.1 Sio f, g : [, + ) R e suppoimo che g si crescete. Allor, se f è itegrbile rispetto g, che f è itegrbile rispetto g su [, + ). Dimostrzioe. Si h x x f (t)dg(t) x f (t) dg(t). x Teorem Sio f,g: [, + ) R, f limitt e g crescete e limitt su R. Allor f è itegrbile rispetto g su [, + ). Dimostrzioe. L fuzioe δ δ f (t) dg(t) è mooto crescete e pertto mmette limite per δ +. Si h ioltre δ f (t) dg(t) M(g(δ) g()) 2MN se M è u mggiorte per f ed N è u mggiorte per g. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

229 lisi mtemtic Ne deducimo che lim δ + δ f (t) dg(t) esiste fiito e per il corollrio A1.20 cocludimo. Per fiire occupimoci del problem degli itegrli di Riem- Stieltjes dipedeti d u prmetro. Ci limitimo provre i segueti risultti. Teorem Sio g : [, b] R limitt e crescete, e si h : [, b] I R cotiu, I R; llor F(s) = b h(t, s)dg(t) è cotiu i I. Se ioltre h è derivbile rispetto d s e h(t, s)/ s è cotiu i [, b] I, llor F è derivbile i I e si h Dimostrzioe. Si h F (s) = b h (t, s)dg(t). s F(s) F(s 0 ) b h(t, s) h(t, s 0 ) dg(t) ε(g(b) g()) se ricordimo che h è uiformemete cotiu i [, b] [c, d]. Ioltre F(s + r) F(s) b h s (t, s)dg(t) r = b ( ) = h(t, s + r) h(t, s) h s (t, s) dg(t) r b h s (t, σ) h s (t, s) dg(t) ε(g(b) g()) co σ s r e si coclude come prim, usdo l uiforme cotiuità di h s. Teorem Sio g : [, + ) R limitt e crescete, h : [, + ) I R cotiu e limitt, I R; suppoimo ioltre che h(t, s) φ(t) co φ itegrbile rispetto g i [, + ); llor è cotiu i I. F(s) = + h(t, s)dg(t) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex]

230 230 o.cligris - p.oliv Se ioltre h s esiste i [, + ) I e h s (t, s) ψ(t) co ψ itegrbile rispetto g su [, + ), llor F è derivbile e si h F (s) = + h s (t, s)dg(t). L dimostrzioe è log quell del teorem ATot.TEX [ Cotet/Alisi-5.tex] 27 ottobre :51:15

231 22. Itroduzioe i Modelli Differezili Uo degli rgometi più iteressti del clcolo differezile è costituito dlle equzioi differezili: si trtt di equzioi i cui l icogit è u fuzioe y(x) di cui soo oti i vlori iizili ed il ftto che deve essere verifict, per ogi x, u relzioe tr l fuzioe stess e l su derivt prim y (x). L esempio più semplice e turle di u problem di questo geere è dto dl modello che descrive l cdut di u grve. Figur 22.1: U puto mterile soggetto ll grvità Se cosiderimo u puto di mss m posto d u ltezz h dll superficie terrestre e trscurimo gli effetti dell resistez dell ri, vremo che sul puto gisce solo l forz di grvità F = mg. L esperiez mostr che il puto mterile P si muove verso il bsso; per descrivere il suo moto possimo cosiderre u sistem di riferimeto che coicide co l rett che il puto percorre cdedo.

232 232 o.cligris - p.oliv Assumimo l origie i corrispodez del suolo e cosiderimo positive le ltezze misurte dl suolo. Figur 22.2: Il sistem di riferimeto L velocità co cui il puto P si muove verso il bsso lugo l rett scelt come sse di riferimeto è v(t) = ẋ(t) e l su ccelerzioe è (t) = ẍ(t) Come già detto, sul puto gisce l sol forz grvitziole F = mg. Per le leggi di Newto si vrà llor m(t) = mg e quidi ẍ(t) = g (22.1) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex] 27 ottobre :51:15

233 lisi mtemtic L 22.1 è u semplicissimo esempio di equzioe differezile: ess impoe u relzioe che coivolge u fuzioe e le sue derivte. Il moto del puto si può ricvre itegrdo due volte tr t e t 0 = 0, es xssumimo che il moto iizi ll istte t 0 = 0. Si ottiee ẋ(t) = gt + c 1 (22.2) e x(t) = 1 2 gt2 + c 1 t + c 0 (22.3) e si vede che per determire i mier uic il moto dovremo procurrci dei vlori per c 0 e c 1. Questo si può fre utilizzdo iformzioi sull velocità e sull posizioe iizile del puto. È subito visto iftti dll 22.2 e dll 22.3 rispettivmete che v 0 = ẋ(0) = c 1 h 0 = x(0) = c 0 (22.4) Possimo osservre che per determire il moto bbimo cioè bisogo di cooscere posizioe e velocità iizile del puto P e ciò corrispode che ll ituizioe. Se teimo coto di tli dti, possimo ffermre che il puto P si muove sull sse x seguedo l legge x(t) = 1 2 gt2 + v 0 t + h 0 (22.5) Possimo descrivere lo stesso feomeo che usdo il pricipio di coservzioe dell eergi. L eergi potezile del puto P, soggetto l solo cmpo grvitziole è, i ogi istte t, metre l su eergi cietic è U(t) = mgx(t) e l su eergi totle 1 2 mẋ2 (t) E(t) = 1 2 mẋ2 (t) + mgx(t) si mtiee costte durte il moto 1 2 mẋ2 (t) + mgx(t) = mk (22.6) Se cooscimo le codizioi iizili v 0 ed h 0 simo che i grdo di clcolre k = 1 2 mv2 0 + mgh 0 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex]

234 234 o.cligris - p.oliv L 22.6 è u equzioe differezile, che è i grdo di descrivere l posizioe x(t) del puto P i ogi istte t, tuttvi ricvre x d tle relzioe è più difficile. Possimo riscrivere l 22.6 come 1 2 ẋ2 (t) = k gx(t) (22.7) e d quest ugugliz possimo ricvre u prim iformzioe: k g. l qutità k gx(t) deve mteersi positiv e quidi x(t) Abbimo così ricvto u limitzioe per l soluzioe dell equzioe sez risolverl, bbimo otteuto cioè u limitzioe priori per l soluzioe dell equzioe. Osservimo che che x(t) = k g è u soluzioe costte dell equzioe 22.7 Per cercre soluzioi o costti possimo pplicre l rdice d etrmbi i membri ẋ(t) = ± 2k 2gx(t) (22.8) e dividere per il secodo membro ẋ(t) 2k 2gx(t) = ±1 (22.9) Or, se moltiplichimo per g gẋ(t) 2k 2gx(t) = ±g (22.10) ed itegrimo tr t 0 = 0 e t, otteimo t 0 gẋ(s) 2k 2gx(s) ds = ±gt (22.11) dove tuttvi il primo itegrle o può essere clcolto i quto l fuzioe itegrd dipede dll fuzioe icogit x(t). Possimo itegrre per sostituzioe poedo u = x(s), du = ẋ(s)ds osservdo che per s = 0 e s = t vremo x(s) = x(0) = h 0 e x(s) = x(t), d cui si ricv che v 0 = ± 2k 2gx 0, vremo x(t) x 0 gdu 2k 2gu = ±gt (22.12) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex] 27 ottobre :51:15

235 lisi mtemtic A questo puto possimo clcolre l itegrle siistr ed otteere che 2k 2gx(t) 2k 2gx 0 = gt (22.13) 2k 2gx(t) = gt ± v 0 (22.14) 2k 2gx(t) = ( gt ± v 0 ) 2 (22.15) x(t) = k g 1 2g ( gt ± v 0) 2 (22.16) Osservimo esplicitmete che l scelt dei segi di gt e di ±v 0 è coerete co i clcoli ftti. Tle scelt si mtiee fio qudo l derivt di x(t), cioè l velocità o si ull; quest evetulità o si verific mi se v 0 < 0 metre h luogo per t 0 = v 0 g el cso i cui v 0 > 0. I tl cso ci trovimo i uo stto descritto d x(t 0 ) = ẋ(t 0 ) = 0 y e quidi o bbimo idiczioi sul sego d ttribuire ll rdice che rppreset l velocità ell Tuttvi possimo osservre che essedo ẋ(t) = 0 dll 22.8 si deduce x(t) = g k per cui, dovedosi vere x(t) g k x o può più umetre e quidi occorre cosiderre d quell istte i poi, ẋ(t) = 2k 2gx(t) (22.17) Osservimo che questo puto occorre distiguere tr risultto del modello e soluzioe dell equzioe differezile: iftti il modello esprime l coservzioe dell eergi, che si può otteere che co l soluzioe costte che o è ivece ccettbile per l descrizioe dell cdut di u grve. O x 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex]

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237 23. Equzioi Differezili Vribili Seprbili. Risolvere u equzioe differezile vribili seprbili, sigific trovre u fuzioe y, che si derivbile e per cui si bbi y (x) = f (x)g(y(x)) co f, g ssegte. Più precismete possimo dire che Se I, J R soo itervlli perti e o vuoti ed f : I R, g : J R soo due fuzioi, dicimo che risolvimo l equzioe differezile vribili seprbili y (x) = f (x)g(y(x)) (23.1) se trovimo u itervllo I I ed u fuzioe y : I J tle che l 23.1 si soddisftt per ogi x I Qudo si cerco soluzioi di u equzioe differezile che soddisfio che u dto iizile, si prl di problem di Cuchy. Precismete se I, J R soo itervlli perti x 0 I, y 0 J, f : I R e g : J R soo fuzioi; chimimo problem di Cuchy vribili seprbili il problem di trovre I I ed y : I R, derivbile, tli che y (x) = f (x)g(y(x)), x I (23.2) y(x 0 ) = y 0 Vle il seguete teorem di esistez ed uicità dell soluzioe del problem di Cuchy vribili seprbili, per dimostrre il qule pro-

238 238 o.cligris - p.oliv cedimo i mier costruttiv utilizzdo u metodo che, di ftto, cosete di risolvere l equzioe. L dimostrzioe è, i questo cso, molto più utile dell eucito, m che le codizioi di esistez ed uicità dell soluzioe soo di fodmetle importz. Nei teorem che segue gioco u ruolo fodmetle il ftto che I e J sio itervlli perti e che g(y) = 0 y J. Quest ultim codizioe è certmete soddisftt se g è cotiu e se g(y 0 ) = 0 meo di cosiderre u itervllo J piì piccolo. Teorem 23.1 Sio I, J R, itervlli perti, sio x 0 I, y 0 J e sio f : I R, g : J R due fuzioi cotiue, suppoimo ioltre che g(y) = 0, per ogi y J. Allor esiste u itervllo I I e u ed u sol soluzioe y : I J del problem di Cuchy Dimostrzioe. y è soluzioe del problem ssegto se e solo se y (x) g(y(x)) = f (x) (23.3) y(x 0 ) = y 0 e ciò si verific se e solo se se e solo se x x 0 y (t) g(y(t)) dt = x y(x) y 0 x 0 f (t)dt (23.4) ds g(s) = x x 0 f (t)dt (23.5) se e solo se, dette F e G due primitive di f ed 1/g su I e J rispettivmete, G(y(x)) G(y 0 ) = F(x) F(x 0 ) (23.6) R(G G(y 0 )) e R(F F(x 0 )) soo itervlli per l cotiuità delle medesime, etrmbi cotegoo 0 e R(G) cotiee 0 l suo itero i virtù del ftto che G è strettmete mooto i quto g = G h sego costte ioltre G è ivertibile. Ciò ssicur che esiste u itervllo I, perto e coteete x 0 i cui l ugugliz vle ed i tle itervllo si può scrivere che y(x) = G 1 (F(x) + G(y 0 ) F(x 0 )). (23.7) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex] 27 ottobre :51:15

239 lisi mtemtic È importte che ricordre due risultti di esistez e di uicità l cui dimostrzioe o è opportu questo puto, che possimo tuttvi utilizzre per otteere iformzioi sull esistez e l uicità dell soluzioe di u problem di Cuchy. Sio I, J R, itervlli perti, sio x 0 I, y 0 J e sio f : I R, g : J R due fuzioi cotiue. Allor esiste u itervllo I I e u soluzioe y : I J del problem di Cuchy Se ioltre g C 1,cioè se mmette derivt prim cotiu, llor l soluzioe è che uic. L uicità è che ssicurt dll lipschitziità di g cioè dll codizioe g(x) g(y) L x y (23.8) Vle l pe di ricordre che, usdo il teorem di Lgrge, si può dimostrre che u fuzioe che bbi derivt prim limitt è lipschitzi: iftti se g (c) L si h g(x) g(y) = g (c) x y L x y (23.9) Ricordimo che che se g C 1, il teorem di Weierstrß ssicur che g ( che è cotiu) mmette mssimo su ogi itoro chiuso e limitto di x 0 Possimo procedere ll soluzioe dell equzioe differezile vribili seprbili che sez precisi riferimeti i dti iizili seguedo essezilmete gli stessi pssi percorsi i precedez Sio f e g cotiue sugli itervlli perti I e J e suppoimo che g(y) = 0 su J; Cosiderimo l equzioe vribili seprbili Dl mometo che g(y) soddisftt i I se e solo se y (x) = f (x)g(y(x)) (23.10) = 0 i J, vremo che l è y (x) g(y(x)) = f (x) e, dette F e G due primitive i I e J di f ed 1/g rispettivmete, l ultim ugugliz è equivlete G(y(x)) = F(x) + c (23.11) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex]

240 240 o.cligris - p.oliv co c R (ricordimo che stimo lvordo su itervlli e quidi due primitive differiscoo per costte). Or, se fissimo x 0 itero d I e chimimo y(x 0 ) = y 0 J, posto c = G(y 0 ) F(x 0 ) vremo che l divet G(y(x)) G(y 0 ) = F(x) F(x 0 ) (23.12) ed è verifict lmeo i u itervllo I I. Iftti R(G G(y 0 )) e R(F F(x 0 )) soo itervlli per l cotiuità delle medesime, etrmbi cotegoo 0 e R(G) cotiee 0 l suo itero i virtù del ftto che G è strettmete mooto i quto g = G h sego costte ioltre G è ivertibile. Pertto possimo ricvre per x I. y(x) = G 1 (F(x) + c) Il procedimeto sopr esposto forisce, l vrire di c, l isieme di tutte le soluzioi dell equzioe differezile vribili seprbili cosidert. Allorqudo ecessiti trovre le soluzioi dell equzioe cosidert, che soddisfio di più l codizioe y(x 0 ) = y 0, x 0 I, y 0 J, è sufficiete cosiderre c = G(y 0 ) F(x 0 ) ed osservre che tle scelt di c cosete di determire I I tle che F(I ) + c G(J). I tl cso si risolve u problem di Cuchy. Per u corrett risoluzioe di u equzioe vribili seprbili o v trscurto di cosiderre quto ccde se g si ull i qulche puto. Ricordimo che per seprre le vribili occorre dividere per g e quidi i questo cso o si può procedere già dll iizio. È rgioevole limitrci l cso i cui y 0 è uo zero isolto di g, cioè se esiste u itoro di y 0 i cui g o si ull ltre volte. I tl cso possimo osservre che l fuzioe y(x) = y 0 è u soluzioe dell equzioe, che i presez di codizioi che ssicurio l uicità è che l sol soluzioe possibile. Qulor o sussisto tli codizioi occorre idgre l esistez di ltre soluzioi; questo scopo si procede studido l equzioe per ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex] 27 ottobre :51:15

241 lisi mtemtic y = y 0 e, giuti l puto di cosiderre y(x) y 0 ds g(s) = x x 0 f (t)dt (23.13) prim di procedere, occorre studire l esistez i seso improprio dell itegrle siistr. Le iformzioi che bbimo sull itegrzioe impropri ci cosetoo llor di cpire che: se g è ifiitesim i y 0 di ordie α 1. l primitiv G di 1/g o può essere prolugt per cotiuità i y 0 e pertto l soluzioe costte è l uic possibile. Se ivece g è ifiitesim i y 0 di ordie α β < 1, β R. Allor G può essere prolugt per cotiuità i y 0 e, si può procedere oltre. Nei teoremi 16.2 e 16.4 gioco u ruolo fodmetle il ftto che I e J sio itervlli perti e che g(y) = 0 y J. Quest ultim codizioe è certmete soddisftt se g(y 0 ) = 0. Esmiimo brevemete cos ccde se mco queste ipotesi. Comicimo co il cosiderre il cso i cui I e J sio itervlli chiusi; i quest situzioe si è turlmete codotti l cocetto di soluzioe defiit solo destr o solo siistr del puto iizile. L esistez di u tle soluzioe si prov, esttmete come el teorem 16.4, el cso i cui si poss ivertire G per risolvere rispetto d y(x) G(y(x)) = G(y 0 ) + F(x) F(x 0 ). Ciò è possibile se e solo se G è loclmete mooto i u itoro di y 0 e sg(g(y) G(y 0 )) = sg(f(x) F(x 0 )). U codizioe sufficiete ffiché ciò ccd è che g(y) f (x)(x x 0 )(y y 0 ) > 0 x it I, y it J. Qudo ivece g(y 0 ) = 0, lo studio dell esistez di u soluzioe per il Problem di Cuchy (16.2) divet ble i quto è sempre possibile cosiderre l soluzioe costte y(x) y 0, metre si complic lo studio dell uicità. Acceimo qui quto ccde se y 0 è uo zero isolto di g, cioè se g o si ull i u itoro di y 0, e distiguimo due csi. (1 o cso). g è ifiitesim i y 0 di ordie α 1. I questo cso l primitiv G di 1/g o può essere prolugt per cotiuità i 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex]

242 242 o.cligris - p.oliv y 0 e pertto l soluzioe costte è l uic possibile. (2 o cso). g è ifiitesim i y 0 di ordie α β < 1, β R. Quest volt G può essere prolugt per cotiuità i y 0 e, dl mometo che y 0 è uo zero isolto di g, si h che G è loclmete mooto i u itoro, che solo destro o siistro di y 0. Pertto, fissto ˆx I, evetulmete ˆx = x 0, si può risolvere rispetto d y(x) l ugugliz o ppe si suppog che Posto G(y(x)) = G(y 0 ) + F(x) F( ˆx) f (x)g(y)(x ˆx)(y y 0 ) > 0 x it I, y it J. y(x) = G 1 (F(x) F( ˆx) + G(y 0 )) x I ove I è u itoro evetulmete solo destro o siistro di ˆx, si può subito osservre che y (x) = lim x ˆx f (x)g(y(x)) = f ( ˆx)g(y( ˆx)) = 0. Pertto y è derivbile i ˆx e si può ivi rccordre co derivbilità ll soluzioe y(x) y 0. Ciò permette di costruire ifiite soluzioi del problem di Cuchy (16.2). Si può provre, ell mbito di u più geerle trttzioe delle equzioi differezili, che l soluzioe del problem di Cuchy (16.2) esiste ed è uic el cso i cui f C 0 (I), g C 1 (J). Usdo le teciche sopr descritte si può provre il seguete risultto che, oostte l su semplicità, è di fodmetle importz qudo si trtto equzioi differezili ordirie ed che lle derivte przili. Provimo ifie u risultto rigurdte u disequzioe differezile che è spesso utile per trovre limitzioi priori per soluzioi di equzioi differezili che o si è i grdo di risolvere. Lemm di Growll - Sio y, f : I R + fuzioi cotiue, I itervllo, e sio c > 0, x 0 I; llor se x y(x) f (t)y(t)dt + c x 0 per ogi x I si h per ogi x I. 0 y(x) ce x xo f (t)dt ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex] 27 ottobre :51:15

243 lisi mtemtic Dimostrzioe. Suppoimo x x 0 ; dividedo mbo i membri per il secodo e moltiplicdo poi per f (x) si ottiee (si ricordi che f 0, c > 0) y(x) f (x) c + x x 0 f (t)y(t)dt f (x) d cui [ ( d x )] l c + f (t)y(t)dt f (x). dx x 0 Itegrdo or tr x 0 ed x si h ( x ) l c + f (t)y(t)dt l c x 0 ode e x x x c + f (t)y(t)dt ce xo f (t)dt. x 0 x 0 f (t)dt x x y(x) c + f (t)y(t)dt ce xo f (t)dt x 0 Se x x 0 si procede i modo logo solo teedo coto di u cmbimeto di sego. Corollrio 23.1 Sio y, f : I R + cotiue, I itervllo, e si x 0 I; llor se x y(x) f (t)y(t)dt x I si h Dimostrzioe. Si h y(x) x 0 y(x) = 0 x x 0 x I f (t)y(t)dt + c c > 0 e pertto 0 y(x) ce x xo f (t)dt c > 0 per cui, l limite per c 0 +, si h y(x) 0. Se el lemm di Growll si suppoe x y(x) f (t)y(t)dt + c(x) co c crescete, si prov che x 0 0 y(x) c(x)e x xo f (t)dt 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex]

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245 24. Esempi Notevoli di Problemi di Cuchy 24.1 Esempio Cosiderimo l equzioe y (x) = y 2 (x) (24.1) Osservimo izi tutto che y(x) 0 è soluzioe dell equzioe. Se y(x) = 0 possimo seprre le vribili ed itegrdo tr x 0 ed x x posto s = y(t), vremo ds = y (t)dt e x 0 y (x) y 2 (x) = 1 (24.2) y (t) y 2 (t) dt = x x 0 (24.3) y(x) y(x 0 )=y 0 ds s 2 = x x 0 (24.4) Poichè 1 s 2 è ifiit i s = 0 di ordie 2, o è itegrbile i s = 0 (itedimo co ciò che o è itegrbile i itervlli che cotego 0). Pertto y ed y 0 dovro vere sempre lo stesso sego: soluzioi che prtoo co vlori y 0 positivi (egtivi), rimgoo positive (egtive). Sotto tle codizioe vremo che dove si si defiito 1 y + 1 y 0 = x x 0 (24.5) 1 y = 1 y 0 + x 0 x = c x (24.6) c = 1 y 0 + x 0

246 246 o.cligris - p.oliv Osservimo ioltre che l vrire di x 0 ed y 0 c può ssumere tutti i vlori reli. Le soluzioi dell equzioe sro pertto dte d y(x) = 1 c x ed il loro grfico è idicto i figur (24.7) Figur 24.1: 24.2 Esempio Cosiderimo l equzioe y (x) = y(x) (24.8) Osservimo izi tutto che deve essere y(x) 0 e che y(x) 0 è soluzioe dell equzioe. Se y(x) = 0 possimo seprre le vribili y (x) y(x) = 1 (24.9) ed itegrdo tr x 0 ed x x x 0 y (t) y(t) dt = x x 0 (24.10) posto s = y(t), vremo ds = y (t)dt e y(x) y(x 0 )=y 0 ds s = x x 0 (24.11) Poichè 1 s è ifiit i s = 0 di ordie 1/2, è itegrbile i s = 0 (itedimo co ciò che è itegrbile i itervlli che cotego 0). ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex] 27 ottobre :51:15

247 lisi mtemtic Pertto y ed y 0 potro ssumere che il vlore 0. Avremo dove si si defiito 2 y 2 y 0 = x x 0 (24.12) 1 y = 2 (x x y 0 ) = 1 (x + c) (24.13) 2 c = 2 y 0 x 0 Osservimo ioltre che l impoe che deve essere 1 (x + c) 0 cioè x c 2 Osservimo che l vrire di x 0 ed y 0 c può ssumere tutti i vlori reli. Le soluzioi dell equzioe sro pertto dte d y(x) = 1 4 (x + c)2 per x c (24.14) ed il loro grfico è idicto i figur Esempio Cosiderimo l equzioe y (x) = x y(x) (24.15) Osservimo izi tutto che deve essere y(x) 0 e che y(x) 0 è soluzioe dell equzioe. Se y(x) = 0 possimo seprre le vribili y (x) y(x) = x (24.16) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex]

248 248 o.cligris - p.oliv ed itegrdo tr x 0 ed x x posto s = y(t), vremo ds = y (t)dt e x 0 y (t) x dt = tdt (24.17) y(t) x 0 y(x) y(x 0 )=y 0 ds = x2 s 2 x2 0 2 (24.18) Poichè 1 s è ifiit i s = 0 di ordie 1/2, è itegrbile i s = 0 (itedimo co ciò che è itegrbile i itervlli che cotego 0). Pertto y ed y 0 potro ssumere che il vlore 0. Avremo dove si si defiito 2 y 2 y 0 = x2 2 x2 0 2 (24.19) x 2 y = 4 + ( y 0 x2 0 2 ) = x2 4 + c (24.20) c = y 0 x2 0 2 Osservimo che l impoe che deve essere x c 0 cioè sempre se c > 0 x 2c se c < 0 Osservimo che l vrire di x 0 ed y 0 c può ssumere tutti i vlori reli. Le soluzioi dell equzioe sro pertto dte d ( x 2 ) 2 y(x) = 4 + c (24.21) sotto le codizioi idicte per x ed il loro grfico è idicto i figur Esempio Cosiderimo l equzioe y (x) = x y(x) (24.22) Osservimo izi tutto che deve essere y(x) 0 e che y(x) 0 è soluzioe dell equzioe. Se y(x) = 0 possimo seprre le vribili y (x) y(x) = x (24.23) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex] 27 ottobre :51:15

249 lisi mtemtic ed itegrdo tr x 0 ed x x posto s = y(t), vremo ds = y (t)dt e x 0 y (t) x dt = tdt (24.24) y(t) x 0 y(x) y(x 0 )=y 0 ds = x2 s 2 + x2 0 2 (24.25) Poichè 1 s è ifiit i s = 0 di ordie 1/2, è itegrbile i s = 0 (itedimo co ciò che è itegrbile i itervlli che cotego 0). Pertto y ed y 0 potro ssumere che il vlore 0. Avremo dove si si defiito 2 y 2 y 0 = x2 2 + x2 0 2 (24.26) x 2 y = 4 + ( y 0 + x2 0 2 ) = x2 4 + c (24.27) c = y 0 + x2 0 2 Osservimo che l impoe che deve essere x2 4 + c 0 cioè mi se c < 0 x 2c se c < 0 Osservimo che l vrire di x 0 ed y 0 c può ssumere solo vlori positivi. Le soluzioi dell equzioe sro pertto dte d y(x) = ) 2 ( x2 4 + c (24.28) sotto le codizioi idicte per x ed il loro grfico è idicto i figur ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex]

250 250 o.cligris - p.oliv 24.5 Esempio Cosiderimo l equzioe y (x) = 1 y 2 (x) (24.29) Osservimo izi tutto che deve essere y(x) 1 e che y(x) ±1 è soluzioe dell equzioe. Se y(x) = ±1 possimo seprre le vribili y (x) 1 y 2 (x) = 1 (24.30) ed itegrdo tr x 0 ed x x posto s = y(t), vremo ds = y (t)dt e x 0 y(x) y (t) 1 y 2 (t) dt = x x 0 (24.31) y(x 0 )=y 0 ds 1 s 2 = x x 0 (24.32) 1 Poichè è ifiit i s = ±1 di ordie 1/2, è itegrbile i s = 1 s 2 ±1 (itedimo co ciò che è itegrbile i itervlli che cotego ±1). Pertto y ed y 0 potro ssumere che il vlore ±1. Avremo dove si si defiito rcsi y(x) rcsi y 0 = x x 0 (24.33) rcsi y(x) = x x 0 + rcsi y 0 = x + c (24.34) c = rcsi y 0 x 0 Osservimo che l impoe che deve essere ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex] 27 ottobre :51:15

251 lisi mtemtic x + c π 2 Osservimo che l vrire di x 0 ed y 0 c può ssumere tutti i vlori reli. Le soluzioi dell equzioe sro pertto dte d y(x) = si(x + c) (24.35) sotto le codizioi idicte per x ed il loro grfico è idicto i figur Esempio Cosiderimo il problem di Cuchy y (x) = e (y(x))4 1 (24.36) y(x 0 ) = y 0 Possimo scrivere y (x) = f (x)g(y(x) se defiimo f (x) = 1 e g(y) = e y4 1; Si h f C 0 (R) e g C 1 (R), e quidi si vrà u ed u sol soluzioe per ogi x 0 R ed y 0 R. L equzioe mmette soluzioi costti che possoo essere trovte poedo y(x) = c e sostituedo; vremo 0 = e c4 1 per cui l sol soluzioe costte è y(x) = c = 0. Nel cso i cui y 0 = 0 l soluzioe costte è che l uic soluzioe del problem di Cuchy. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex]

252 252 o.cligris - p.oliv Se fissimo x 0 = 0 ed y 0 = 1. possimo supporre y(x) = 0 i u itoro di 0 e seprdo le vribili ed itegrdo tr 0 ed x si ottiee ovvero x 0 y (x) e (y(x))4 1 = 1 (24.37) y (t) x e (y(t))4 1 dt = dt (24.38) 0 y(x) 1 ds e s4 1 = x Studimo or l fuzioe itegrle primo membro h(y) = y 1 Poiché l itegrd è defiit e cotiu per s = 0 e lim s 0 1 e s4 1 = ds e s4 1. di ordie 4, l itegrle è divergete per i 0; e segue che, essedo il primo estremo di itegrzioe positivo, l fuzioe è defiit per y > 0. Ioltre lim s + 1 e s4 1 = 1 d cui l itegrle è divergete che per y +. Si h ifie h(1) = 0 e h (y) =] f rc1e y4 1 essedo l itegrd cotiu per y > 0, e tle derivt risult sempre egtiv. Possimo che osservre che h (y) = 4y3 e y4 (e y4 1) 2 > 0 per ogi y > 0, per cui l fuzioe risulterà covess; ioltre, poiché lim y + h (y) = 1 il grfico dell fuzioe tederà divetre prllelo ll bisettrice del secodo e qurto qudrte) Il grfico dell fuzioe h è idicto ell figur; Poichè deve versi h(y(x)) = x il grfico dell soluzioe del problem di Cuchy srà quello dell ivers di h, come riportto ell figur Per disegre il grfico delle soluzioi del problem di Cuchy dto l vrire dei dti iizili x 0, y 0 R. possimo osservre che l equzioe dt è u equzioe differezile utoom, e quidi se y(x) è soluzioe, che y(x + ) è soluzioe per ogi R. Pertto tutte le trslte (i orizzotle) dell soluzioe trovt soo cor soluzioi, per y > 0. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex] 27 ottobre :51:15

253 lisi mtemtic () Grfico 1 (b) Grfico2 (c) Grfico3 Per quto rigurd le soluzioi per y < 0, ripetedo i clcoli ftti, d esempio co x 0 = 0 e y 0 = 1, si h y(x) 1 ds e s4 1 = x e co cosiderzioi loghe si ottegoo le curve idicte i figur (Si oti che, se y(x) è soluzioe dell equzioe differezile, tle è pure y( x), ovvero i grfici delle soluzioi soo simmetrici rispetto ll origie) Esempio Si cosideri il problem di Cuchy y (x) = 6x 2 y(x) y(x 0 ) = 1 Si trtt di u problem vribili seprbili co f (x) = 6x 2 defiit e cotiu su tutto R, e g(y) = y defiit e di clsse C 1 per y > 0; pertto essedo y 0 = 1, per il teorem di esistez ed uicità, esiste u ed u sol soluzioe del problem dto, per ogi x 0 R. Seprdo le vribili, per y(x) > 0, si ottiee y (x) y(x) = 6x 2 ed itegrdo tr 0 ed x ovvero x 2 y(x) 2 y(0) = 2x 3 0 y (t) x dt = 6t 2 dt y(t) 0 d cui y(x) = 1 + x 3 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-6.tex]

254 254 o.cligris - p.oliv Elevdo l qudrto i due membri, dopo ver osservto che 1 + x 3 > 0 e cioè x > 1, si ottiee y(x) = (1 + x 3 ) 2, x > 1 (si oti che l soluzioe è prolugbile, i modo uico, co y(x) = 0 per x 1). Il grfico delle soluzioi è riportto i figur 24.7 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex] 27 ottobre :51:15

255 25. Equzioi e Sistemi di Equzioi Differezili Lieri U ltro tipo importte di equzioi di equzioi differezili è costituito dlle equzioi lieri. L più semplice equzioe liere può essere scritt ell form y (x) = (x)y(x) + b(x) (25.1) Se, b C o (I), l equzioe 25.1 mmette u ed u soluzioe defiit su tutto I; quest è forse u delle più importti crtteristiche di questo tipo di equzioi e si può fcilmete verificre, i questo cso, direttmete. Si x 0 I, ed y 0 R, e si A u primitiv di i I. L esistez di A è ssicurt dll cotiuità di ; d esempio possimo porre A(x) = x x o (t)dt. L 25.1 è ver se e solo se e ciò è equivlete e A(x) y (x) e A(x) (x)y(x) = b(x)e A(x) d ( ) e A(x) y(x) = b(x)e A(x). dx Itegrdo tr x 0 ed x, si ottiee ed ifie e A(x) y(x) = y 0 + x x 0 b(t)e A(t) dt x ) y(x) = e (y A(x) 0 + b(t)e A(x) dt x 0 (25.2) Quto bbimo esposto cosete di ffermre che tutte le soluzioi dell equzioe 25.1 si ottegoo, l vrire di y 0 R, dll Osservimo che che l 25.2 stess può essere riscritt ell seguete mier: x y(x) = y 0 e xo (t)dt x x + e xo (t)dt b(t)e t xo (s)ds dt x 0

256 256 o.cligris - p.oliv i ccordo co i risultti che proveremo el seguito per il cso più geerle. L 25.2 costituisce, l vrire di y 0, l itegrle geerle dell equzioe I pssi successivi cosistoo el cosiderre equzioi lieri di ordie superiore oppure sistemi di equzioi del primo ordie. U equzioe liere di ordie si può scrivere ell form y () (x) = i y (i 1) (x) + b(x) (25.3) i=1 dove i, b C 0 metre u sistem liere di ordie si scrive ell form Y (x) = A(x)Y(x) + B(x) (25.4) dove A(x) = { ij (x)} e B(x) = {b i (x)} soo u mtrice ed u vettore i cui elemeti soo fuzioi cotiue su u itervllo I; (scrivimo A C k (I), B C k (I) qudo itedimo pertto ffermre che ij C k (I), b i C k (I) per i, j = 1,..., ). Il sistem può essere riscritto usdo le compoeti di Y, A, B, ell seguete mier y 1 (x) 11 (x) 12 (x)... 1 (x) y 1 (x) b 1 (x) y 2 (x) = 21 (x) 22 (x)... 2 (x) y 2 (x) b 2 (x)... y (x) 1 (x) 2 (x)... (x) y (x) b (x) (25.5) ed che, i form più comptt y i (x) = j=1 ij (x)y j (x) + b i (x), i = 1,..., (25.6) Qulor B 0 il sistem si dice omogeeo e ssume l form Y (x) = A(x)Y(x) (25.7) Qudo = 1 il sistem si riduce d u sol equzioe differezile liere del primo ordie che, posto A = ( 11 ) = e B = b 1 = b, si scrive ell form y (x) = (x)y(x) + b(x) L isieme T di tutte le soluzioi di 25.4 si chim itegrle geerle del sistem. Qudo si ssoci l sistem o ll equzioe differezile u opportuo isieme di codizioi iizili prlimo di problem di Cuchy Y (x) = A(x)Y(x) + B(x), x I (25.8) Y(x 0 ) = Y 0 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex] 27 ottobre :51:15

257 lisi mtemtic y (x) = (x)y ( 1) (x) (x)y(x) + b(x), x I y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y ( 1) (x 0 ) = y 1 (25.9) soo problemi di Cuchy. Lo studio di u sistem cosete di trovre risultti che per l equzioe di ordie ; si iftti y () (x) = (x)y ( 1) (x) (x)y(x) + b(x) (25.10) u equzioe differezile liere di ordie e poimo y i (x) = y (i 1) (x), i = 1,...,. (25.11) (Per chirire le idee osservimo che si vrà y 1 (x) = y(x),..., y (x) = y ( 1) (x) ). Possimo riscrivere l equzioe ell seguete form y 1 (x) = y 2(x) y 2 (x) = y 3(x) y (x) = (x)y (x) (x)y 1 (x) + b(x) (25.12) ed che come Y (x) = A(x)Y(x) + B(x) o ppe si si defiito A(x) = (x) 2 (x) 3 (x)... (x) 0 0 B(x) =. b(x) Vle il seguete teorem di cui è importte i questo cotesto solo l eucito. Teorem 25.1 Sio A: I M, B : I R cotiue e sio x 0 I, Y 0 R. Allor esiste u ed u sol soluzioe del problem di Cuchy Y (x) = A(x)Y(x) + B(x), x I (25.13) Y(x 0 ) = Y 0 Il teorem precedete cosete di provre u risultto di esistez che per le equzioi differezili lieri di ordie. 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex]

258 258 o.cligris - p.oliv Teorem 25.2 Sio i, b C 0 (I), i = 1,..., e sio x 0 I, y i R, i = 0,..., 1. Allor esiste u ed u sol soluzioe y : I R del problem di Cuchy y () (x) = i=1 i(x)y (i 1) (x) + b(x) y (i) (25.14) (x 0 ) = y i, i = 0,..., 1 Provimo or che l isieme delle soluzioi di u sistem differezile liere, cioè l itegrle geerle di u sistem differezile omogeeo del primo ordie è uo spzio vettorile vete dimesioe ugule l umero di equzioi del sistem stesso. Teorem 25.3 Si A C 0 (I) e cosiderimo il sistem differezile liere del primo ordie Y (x) = A(x)Y(x); si S il suo itegrle geerle. Allor S è uo spzio vettorile di dimesioe. Dimostrzioe. E immedito verificre che S è uo spzio vettorile i quto si vede subito che se y e z soo soluzioi del sistem ssegto tli risulto che αy + βz ove α, β soo sclri. Per provre che dim S = è sufficiete osservre che, per il teorem di esistez ed uicità dell soluzioe l ppliczioe liere defiit d Γ : S R Γ(Y) = Y(x 0 ), x 0 I è u isomorfismo. I bse l teorem precedete è possibile ffermre che ogi soluzioe di u sistem differezile liere omogeeo di equzioi i icogite può essere espress medite u combizioe liere di soluzioi liermete idipedeti del sistem stesso. Sio esse Y 1,..., Y e si (y i ) j l compoete j-esim dell i-esim soluzioe. Possimo llor costruire l mtrice (y 1 ) 1 (y 2 ) 1... (y ) 1 (y 1 ) 2 (y 2 ) 2... (y ) 2 G =..... (25.15). (y 1 ) (y 2 )... (y ) che idicheremo spesso come G = (Y 1, Y 2,..., Y ) cosiderdo gli Y i come vettori colo, e che si chim mtrice fodmetle del sistem ssegto. ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex] 27 ottobre :51:15

259 lisi mtemtic È possibile verificre che se G è u mtrice fodmetle del sistem omogeeo 25.7 llor si h G (x) = A(x)G(x) (25.16) Il sistem è u sistem differezile liere di 2 equzioi i 2 icogite. Ogi soluzioe del ostro sistem potrà llor essere scritt ell form Y(x) = G(x)C, C R ovvero, cosiderdo le compoeti, y i (x) = (y j ) i c j. j=1 Ache lo spzio delle soluzioi di u sistem differezile liere ordirio del primo ordie o omogeeo è strutturto i mier molto precis. Teorem 25.4 Sio A C 0 (I) B C 0 (I) e cosiderimo il sistem differezile liere o omogeeo del primo ordie Y (x) = A(x)Y(x) + B(x) Si T l itegrle geerle del sistem ssegto e si S l itegrle geerle del sistem omogeeo d esso ssocito si cor z C 0 (I) tle che Allor Y (x) = A(x)Y(x) Z (x) = A(x)Z(x) + B(x) T = Z + S e T è uo spzio liere ffie di dimesioe. Dimostrzioe. E evidete che T Z + S; si vicevers Y T, è fcile verificre che Y Z soddisf il sistem omogeeo ssocito e pertto Y Z S d cui Y Z + S. Defiizioe 25.1 Sio Y 1, Y 2,..., Y soluzioi del sistem differezile liere omogeeo Y (x) = A(x)Y(x) Chimimo determite wroskio, o più semplicemete wroskio, ssocito lle soluzioi ssegte il determite dell mtrice (Y 1, Y 2,..., Y ) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex]

260 260 o.cligris - p.oliv I ltri termii (y 1 (x)) 1 (y 2 (x)) 1... (y (x)) 1 (y 1 (x)) 2 (y 2 (x)) 2... (y (x)) 2 W(x) = det (y 1 (x)) (y 2 (x))... (y (x)) (25.17) Provimo or u iteresste proprietà del wroskio. Teorem 25.5 Sio verificte le ipotesi del teorem di esistez ed uicità per il sistem differezile liere omogeeo Y (x) = A(x)Y(x) e sio Y 1,Y 2,...,Y soluzioi del sistem stesso. Soo ftti equivleti: 1. Y 1,..., Y soo liermete idipedeti; 2. W(x) = 0 per ogi x I 3. esiste x 0 I tle che W(x 0 ) = 0. Dimostrzioe. Cosiderimo, per ogi x fissto i I l ppliczioe liere Γ x : S R defiit d Γ x (Y) = Y(x). Per il teorem di esistez ed uicità Γ x è u isomorfismo. (1) (2) Se Y 1,..., Y soo liermete idipedeti i S, llor Γ x (Y 1 ),..., Γ x (Y ) soo liermete idipedeti i R e perciò 0 = det (Γ x (Y 1 ),..., Γ x (Y )) = det (Y 1 (x),..., Y (x)) = W(x) per ogi x I (2) (3) È ovvio. (3) (1) W(x 0 ) = 0 implic che Y 1 (x 0 ),..., Y (x 0 ) soo liermete idipedeti i R e perciò Y 1 = Γ 1 x 0 (Y 1 (x 0 )),..., Y = Γ 1 x 0 (Y (x 0 )) soo liermete idipedeti i S ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex] 27 ottobre :51:15

261 lisi mtemtic Per il teorem precedete è essezile che Y 1,..., Y sio soluzioi del sistem; se ciò o fosse, srebbe vero solo che (2) (3) (1) Che le ltre impliczioi sio flse è fcilmete visto se si cosider il wroskio ssocito lle fuzioi Y 1,2 : R R 2 defiite d oppure Y 1 (x) = (x 2, 2x), Y 2 (x) = (2x, 2) (x 2, 2x) x 0 Y 1 (x) = 0 x < 0 (x 2, 2x) x 0, Y 1 (x) = 0 x > 0 Altrettti risultti possoo essere otteuti per le equzioi di ordie. Teorem 25.6 Sio i, b C 0 (I), i = 1,...,, e cosiderimo l equzioe differezile liere di ordie y () (x) = i (x)y (i 1) (x) i=1 Si S il suo itegrle geerle, llor S è uo spzio vettorile di dimesioe. Si y () (x) = i y (i 1) (x) + b(x) i=1 l corrispodete equzioe differezile liere di ordie o omogee, e si T il suo itegrle geerle. T è uo spzio liere ffie di dimesioe ed ioltre T = z + S dove z è u soluzioe dell equzioe o omogee. Il teorem precedete cosete di ffermre che ogi soluzioe dell equzioe differezile liere omogee di ordie si può esprimere come combizioe liere di soluzioi y 1,..., y dell equzioe stess che sio liermete idipedeti. L isieme y 1,..., y si chim sistem fodmetle di soluzioi per l equzioe dt; i ltre prole ogi soluzioe y può essere espress medite l y(x) = c i y i (x) i=1 dove c i R 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex]

262 262 o.cligris - p.oliv Defiizioe 25.2 Sio y 1,..., y soluzioi dell equzioe differezile liere di ordie, omogee y () (x) = i (x)y (i 1) (x) i=1 Chimimo wroskio ssocito lle soluzioi y 1,..., y il determite y 1 (x) y 2 (x)... y (x) y 1 W(x) = det (x) y 2 (x)... y (x)..... (25.18). y ( 1) 1 (x) y ( 1) 2 (x)... y ( 1) (x) Teorem 25.7 Sio verificte le ipotesi del teorem di esistez ed uicità e sio y 1,..., y soluzioi dell equzioe differezile omogee di ordie Soo ftti equivleti: y () (x) = 1. y 1,..., y soo liermete idipedeti; 2. W(x) = 0 per ogi x I; 3. esiste x 0 I tle che W(x 0 ) = 0. i (x)y (i 1) (x) i=1 Come i precedez, usdo lo stesso esempio, si vede che, qulor y 1,..., y o sio soluzioi dell equzioe, le uiche impliczioi cor vere soo (2) (3) (1) I risultti precedeti ssicuro l possibilità di trovre l itegrle geerle di u sistem o omogeeo o ppe sio oti l itegrle geerle del sistem omogeeo d esso ssocito ed u soluzioe del sistem o omogeeo; è pertto molto importte vere disposizioe uo strumeto che coset, oto l itegrle geerle del sistem omogeeo, di trovre u soluzioe del sistem o omogeeo. Si G u mtrice fodmetle del sistem liere omogeeo Y (x) = A(x)Y(x) e x 0 I. U soluzioe del sistem o omogeeo Y (x) = A(x)Y(x) + B(x) è dt d x Z(x) = G(x) G 1 (t)b(t)dt. x 0 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex] 27 ottobre :51:15

263 lisi mtemtic Iftti se cerchimo soluzioi del sistem o omogeeo dell form Z(x) = G(x)λ(x) dove λ : I R è derivbile, dovrà versi Z (x) = A(x)Z(x) + B(x) e pertto, poiché si può verificre che l regol di derivzioe del prodotto può essere estes che l prodotto righe per coloe, si h deve essere Z (x) = G (x)λ(x) + G(x)λ (x) G (x)λ(x) + G(x)λ (x) = A(x)G(x)λ(x) + B(x) M G è u mtrice fodmetle e quidi, G(x)λ (x) = B(x) e λ (x) = G 1 (x)b(x). Se e deduce che se λ(x) = x x 0 G 1 (t)b(t)dt Z è soluzioe del sistem completo. Osservimo ioltre che, essedo G(x)λ (x) = B(x), per il teorem di Crmer si h λ i (x) = W i(x) W(x) essedo (y 1 ) 1 (y 2 ) 1... (y i 1 ) 1 b 1 (y i+1 ) 1... (y ) 1 (y 1 ) 2 (y 2 ) 2... (y W i = det i 1 ) 2 b 2 (y i+1 ) 2... (y ) (y 1 ) (y 2 )... (y i 1 ) b (y i+1 )... (y ) (25.19) e u soluzioe del sistem o omogeeo è dt d Y(x) = λ i (x)y i (x). i=1 Come coseguez se G è u mtrice fodmetle del sistem liere omogeeo Y (x) = A(x)Y(x) l itegrle geerle del sistem liere o omogeeo Y (x) = A(x)Y(x) + B(x) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex]

264 264 o.cligris - p.oliv è dto d ( x Y(x) = G(x) C + x 0 ) G 1 (t)b(t)dt, C R Dove x 0 I metre l soluzioe del problem di Cuchy reltivo i dti Y(x 0 ) = Y 0 è ( x Y(x) = G(x) G 1 (x 0 )Y 0 + x 0 ) G 1 (t)b(t)dt Il metodo esposto si chim dell metodo di Lgrge di vrizioe delle costti rbitrrie e può ovvimete essere pplicto che lle equzioi differezili di ordie o ppe le si si trsformte i u sistem. Tuttvi per le equzioi è più coveiete procedere direttmete; illustrimo qui di seguito, il cso di u equzioe del secodo ordie. Sio, b, c C 0 (I) e cosiderimo l equzioe liere del secodo ordie y (x) = (x)y (x) + b(x)y(x) + c(x). Suppoimo ote due soluzioi liermete idipedeti dell equzioe differezile omogee ssocit; vremo llor disposizioe l itegrle geerle dell equzioe omogee ell form y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) Cerchimo soluzioi per l equzioe o omogee ell form Avremo e posto si h Sostituedo si ottiee z(x) = λ 1 (x)y 1 (x) + λ 2 (x)y 2 (x) z = λ 1 y 1 + λ 2 y 2 + λ 1 y 1 + λ 2y 2 λ 1 y 1 + λ 2 y 2 = 0 z = λ 1 y 1 + λ 2 y 2 + λ 1y 1 + λ 2y 2. λ 1 y 1 + λ 2 y 2 + λ 1y 1 + λ 2y 2 = λ 1y 1 + λ 2y 2 + λ 1by 1 + λ 2 by 2 + c e, teuto coto che y 1 e y 2 soo soluzioi dell omogee, λ 1 y 1 + λ 2 y 2 = c. Ne viee che λ 1 e λ 2 devoo soddisfre il seguete sistem λ 1 y 1 + λ 2 y 2 = 0 λ 1 y 1 + λ 2 y 2 = c (25.20) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex] 27 ottobre :51:15

265 lisi mtemtic d cui si possoo ricvre λ 1 e λ 2 e per itegrzioe λ 1 e λ 2. Ricordimo ifie, per sommi cpi, u metodo che cosete di ridurre l ordie di u equzioe differezile liere, qulor si ot u soluzioe dell equzioe stess. Ci occuperemo qui di mostrre come esso fuzio el cso di u equzioe del secodo ordie, essedo l estesioe del metodo del tutto ovvi per equzioi lieri di ordie superiore. Cosiderimo pertto, b C 0 (I) e l equzioe differezile di ordie 2 y (x) = (x)y (x) + b(x)y(x). Suppoimo ot u soluzioe z dell equzioe, tle che z(x) = 0 x I. Cerchimo soluzioi dell equzioe ell form y(x) = u(x)z(x) Derivdo e sostituedo ell equzioe otteimo che u z + 2u z + uz = u z + uz + buz e, teuto coto che z è soluzioe, u z + 2u z u z = 0 Posto v = u si h v z + v(2z z) = 0 e quidi, poiché z = 0, Se e deduce che deve essere v + v(2 z z ) = 0. v(x) = e x xo 2 z (t) z(t) dt+ x xo (t)dt e quidi v(x) = ( ) z(x0 ) 2 x e xo (t)dt. z(x) Pertto u soluzioe srà v(x) = 1 (z(x)) 2 e x x 0 (t)dt e u(x) = x x 0 1 (z(t)) 2 e t xo (s)ds dt d cui si può ricvre l soluzioe cerct. L soluzioe trovt risult liermete idipedete d z. Se iftti x 1 c 1 z(x) + c 2 z(x) x 0 (z(t)) 2 e t xo (s)ds dt = 0 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex]

266 266 o.cligris - p.oliv per ogi x si h, per x = x 0 Ne viee che che c 2 z(x) c 1 z(x 0 ) = 0 e c 1 = 0 x x 0 1 (z(t)) 2 e t xo (s)ds dt = 0 e c 2 = 0 i quto il secodo fttore o può mi ullrsi, se x = x 0. Possimo pertto scrivere l itegrle geerle dell equzioe dt come ( x ) 1 y(x) = z(x) c 1 + c 2 x 0 (z(t)) 2 e t x (s)ds 0 dt. Ci occupimo or dell soluzioe di equzioi e sistemi differezili lieri coefficieti costti dell form Y (x) = AY(x) + B(x) y () (x) = y () (x) = Y (x) = AY(x) k y (k 1) (x) + b(x) k=1 k y (k 1) (x) k=1 I prtic l itegrle geerle di u equzioe differezile liere di ordie y () (x) = k y (k 1) (x) k=1 si può determire come segue 1. si cosider il poliomio crtteristico ssocito ll equzioe dt P(λ) = λ k=1 k λ k 1 che si ottiee sostituedo formlmete l qutità lgebric λ k d y (k) (x) 2. si trovo le soluzioi, reli o complesse e coiugte, dell equzioe ( coefficieti reli) P(λ) = 0 Cosiderimo ogi soluzioe λ 1,.., λ r co l su molteplicità µ 1,.., µ r 3. i corrispodez d ogi vlore λ, vete molteplicità µ, se λ è rele si cosidero le fuzioi y 1 (x) = e λx y 2 (x) = xe λx y µ (x) = x µ 1 e λx (25.21) ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex] 27 ottobre :51:15

267 lisi mtemtic se λ = α + ıβ è complesso, llor che il suo complesso coiugto λ = α ıβè utovlore i quto i coefficieti dell equzioe soo reli, e si cosidero le fuzioi u 1 (x) = e αx si βx u 2 (x) = xe αx si βx u µ (x) = x µ 1 e αx si βx (25.22) v 1 (x) = e αx cos βx v 2 (x) = xe αx cos βx v µ (x) = x µ 1 e αx cos βx (25.23) Si verific che le soluzioi trovte soo tr loro liermete idipedeti. 4. Si trovo così i corrispodez di ogi soluzioe rele λ, µ soluzioi del sistem liermete idipedeti i corrispodez di ogi soluzioe compless e dell su coiugt, 2µ soluzioi del sistem liermete idipedeti 5. sio y 1, y 2, y 3,..., y le soluzioi trovte ei puti precedeti. Avremo che le soluzioi soo proprio i quto l somm del umero delle soluzioi, cotte co l loro molteplicità, è proprio per il teorem fodmetle dell lgebr. L soluzioe dell equzioe srà pertto y(x) = c i y i (x) i=1 I prtic l itegrle geerle del sistem Y = AY si può determire come segue 1. si trovo gli utovlori dell mtrice A, λ 1,.., λ r e l loro molteplicità µ 1,.., µ r ; 2. i corrispodez d ogi vlore λ di A, vete molteplicità µ, se λ è rele si cosidero le fuzioi y 1 (x) = e λx y 2 (x) = xe λx y µ (x) = x µ 1 e λx (25.24) se λ è complesso, llor che il suo complesso coiugto è utovlore i quto i coefficieti del sistem soo reli, e si cosidero le fuzioi u 1 (x) = e αx si βx u 2 (x) = xe αx si βx u µ (x) = x µ 1 e αx si βx (25.25) v 1 (x) = e αx cos βx v 2 (x) = xe αx cos βx v µ (x) = x µ 1 e αx cos βx (25.26) 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex]

268 268 o.cligris - p.oliv Si verific che le soluzioi trovte soo tr loro liermete idipedeti. 3. Si trovo così i corrispodez di ogi utovlore rele λ, µ soluzioi del sistem liermete idipedeti i corrispodez di ogi utovlore complesso e del suo coiugto, 2µ soluzioi del sistem liermete idipedeti 4. sio y 1, y 2, y 3,..., y le soluzioi trovte ei puti precedeti. Avremo che le soluzioi soo proprio i quto l somm del umero delle soluzioi, cotte co l loro molteplicità, è proprio per il teorem fodmetle dell lgebr e possimo cercre soluzioi Y = (Y j ) del sistem omogeeo che bbio come compoeti delle combizioi lieri delle fuzioi y i cioè Y j (x) = c i,j y i (x) i=1 5. Le costti itrodotte c i,j soo i umero di 2 e quidi superiore l umero di costti ecessrio e sufficiete per descrivere l itegrle geerle del sistem differezile liere omogeeo di ordie ; ode determire solo costti si procede quidi sostituedo el sistem ed usdo le uguglize trovte per ridurre il umero di costti libere d Abbimo co ciò gli strumeti per risolvere ogi equzioe differezile ed ogi sistem differezile liere omogeeo, coefficieti costti; per risolvere i corrispodeti problemi o omogeei srà sufficiete trovre u soluzioe prticolre dei problemi o omogeei stessi. Ciò può essere ftto, i geerle, usdo il metodo di vrizioe delle costti di Lgrge, m, el cso dei coefficieti costti, possimo, se ioltre il termie oto è di form prticolrmete semplice, trovre u soluzioe prticolre di form similmete semplice. Più precismete possimo ffermre che: 1. Se cosiderimo l equzioe differezile o omogee 25.3 e se b(x) = q(x)e λx ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex] 27 ottobre :51:15

269 lisi mtemtic dove λ C e q è u poliomio di grdo m coefficieti complessi, si può trovre u poliomio r di grdo l più m tle che, se µ è l molteplicità di λ come rdice del poliomio crtteristico P, si soluzioe dell equzioe y(x) = x µ r(x)e λx 2. Se cosiderimo il sistem differezile o omogeeo 25.4 e se B(x) = Q(x)e λx dove Q è u vettore colo i cui elemeti soo poliomi coefficieti complessi, di grdo miore o ugule d m, si può trovre u vettore colo R i cui elemeti soo poliomi coefficieti complessi di grdo l più m + µ, dove µ è l molteplicità di λ come rdice del poliomio crtteristico P dell mtrice A, tle che risolve il sistem Y(x) = R(x)e λx Si può ioltre provre che, el cso i cui i coefficieti sio reli, 1. Se b(x) = e αx [q 1 (x) cos(βx) + q 2 (x) si(βx)] dove q 1 e q 2 soo poliomi coefficieti reli di grdo mssimo m e α ± iβ è rdice del poliomio crtteristico P di molteplicità µ, si possoo trovre due poliomi r 1, r 2 di grdo l più m tli che si soluzioe dell y(x) = x µ e αx [r 1 (x) cos(βx) + r 2 (x) si(βx)] 2. Se B(x) = e αx [Q 1 (x) cos(βx) + Q 2 (x) si(βx)] dove Q 1 e Q 2 soo vettori colo i cui elemeti soo poliomi coefficieti reli di grdo l più m e α ± i β è rdice del poliomio crtteristico dell mtrice A co molteplicità µ, si possoo trovre R 1 ed R 2, vettori colo i cui elemeti soo poliomi coefficieti reli di grdo l più m + µ, tli che Y(x) = e αx [R 1 (x) cos(βx) + R 2 (x) si(βx)] si soluzioe del sistem ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex]

270 270 o.cligris - p.oliv 25.1 L mtrice espoezile Per studire le soluzioi del sistem Y (x) = A(x)Y(x) è quidi essezile cooscere l mtrice fodmetle G che possimo idividure come l uic soluzioe del problem G (x) = AG(x) G(0) = I Possimo verificre, medite sostituzioe, che, se defiimo e At = + 0 A t! = lim N N 0 A t! e At soddisf il problem ssegto e quidi, per il teorem di uicità G(t) = e At Pertto per cooscere l mtrice fodmetle G è sufficiete clcolre e At. Allo scopo osservimo che se D(x) e S(x) soo poliomi di grdo e mggiore di, rispettivmete, si h S(x) = D(x)Q(x) + R(x) dove Q ed R soo poliomi e il grdo di R è iferiore d. Teedo coto che e x = 0 + x! = lim N 0 N x! possimo llor ffermre che e x = Q(x)D(x) + R(x) dove il grdo di R è iferiore d. Or, se D(λ) = det(a λi) è il poliomio crtteristico dell mtrice A, possimo scrivere che e λ = Q(λ)D(λ) + R(λ) e clcoldo per λ = λ i dove λ i è utovlore di A e quidi D(λ i ) = 0 otteimo e λ i = Q(λ i )D(λ i ) + R(λ i ) = R(λ i ) Otteimo così tte equzioi lgebriche di grdo 1 quti soo gli utovlori distiti di A; ioltre possimo osservre che, se λ i ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex] 27 ottobre :51:15

271 lisi mtemtic è u utovlore co molteplicità 2, oltre D si ull i λ i che l su derivt prim e quidi si h per cui e λ = Q (λ)d(λ) + Q(λ)D (λ) + R (λ) e λ i = R (λ i ) Co simili rgometi si trovo quidi esttmete equzioi lgebriche d cui ricvre i coefficieti del poliomio R. Poichè, per il teorem di Cyley-Hmilto possimo ffermre che A soddisf il suo poliomio crtteristico, cioè che possimo dedurre che che D(A) = 0 e At = R(At) e quidi ricvre l espressioe di e At 25.2 L oscilltore rmoico U esempio molto importte di modello mtemtico che utilizz l teori delle equzioi differezili lieri è costituto dll oscilltore rmoico. Si cosideri l equzioe del secodo ordie x (t) + 2hx (t) + ω 2 x(t) = K si(αt) (25.27) dove h, K, α > 0. Ess può descrivere il comportmeto di diversi sistemi reli quli, 1. u puto mterile soggetto d u forz di richimo proporziole ll distz ed d forz di ttrito proporziole ll velocità, sollecitto d u forz ester siusoidle di mpiezz K e di frequez α. 2. l itesità di correte che circol i u circuito RLC limetto d u forz elettromotrice siusoidle. Le soluzioi dell equzioe soo dte d: 1. Se h > ω x(t) = c 1 e ( h+θ)t + c 2 e ( h θ)t + ˆx(t) I grfici di possibili soluzioi soo riportti elle figure 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex]

272 272 o.cligris - p.oliv Figur 25.1: Soluzioi del poliomio crtteristico reli distite u positiv ed u egtiv Figur 25.2: Soluzioi del poliomio crtteristico reli distite u positiv ed u egtiv Figur 25.3: Soluzioi del poliomio crtteristico reli distite etrmbe positive ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex] 27 ottobre :51:15

273 lisi mtemtic Figur 25.4: Soluzioi del poliomio crtteristico complesse e coiugte co prte rele egtiv 2. Se h = ω x(t) = c 1 e ht + c 2 te ht + ˆx(t) I grfici di possibili soluzioi soo riportti elle figure 3. Se h < ω x(t) = e ht (c 1 si(θt) + c 2 cos(θt)) + ˆx(t) I grfici di possibili soluzioi soo riportti elle figure Figur 25.5: Soluzioi del poliomio crtteristico reli coicideti egtive dove ˆx(t) = α si(αt) + b cos(αt) = A si(αt φ) ed ioltre si è posto θ = h 2 ω 2 1/2 ω = 2 α 2 K 4h 2 α 2 + (ω 2 α 2 ) 2 27 ottobre :51:15 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex]

274 274 o.cligris - p.oliv 2hα b = K 4h 2 α 2 + (ω 2 α 2 ) 2 A = K 4h 2 α 2 + (ω 2 α 2 ) 2 ( ) φ = rccos A Nel cso i cui h = 0 l equzioe divet x (t) + ω 2 x(t) = K si(αt) co k, α > 0 e rppreset u oscilltore rmoico o smorzto sollecitto d u forz ester siusoidle. Le soluzioi i questo cso soo 1. Se α = ω 2. Se α = ω x(t) = c 1 si(ωt) + c 2 cos(ωt) + K ω 2 α 2 si(αt) x(t) = c 1 si(ωt) + c 2 cos(ωt) K 2ω t cos(ωt) Figur 25.6: Grfico di A i fuzioe di α ed ω co A = K (4h 2 α 2 + (ω 2 α 2 ) 2 ) 1/2 = = K/ω 2 (4(h/ω) 2 (α/ω) 2 + (1 (α/ω) 2 ) 2 ) 1/2 (25.28) K/ω 2 =.5 ATot.TEX [ Cotet/Alisi-7.tex] 27 ottobre :51:15