L insegnamento degli integrali con l ausilio del Derive. (A.Trampetti, V.Facchini, F.Gialanella, M.Talamo)

Transcript

1 L isegmeto degli itegrli co l usilio del Derive (A.Trmpetti, V.Fcchii, F.Gilell, M.Tlmo) 1

2 Problem delle ree Dt u fuzioe di equzioe y = f(x) cotiu e o egtiv i u itervllo [,b], l'isieme dei puti del pio veti sciss x compres tr e b ed ordit compres tr 0 ed f(x) è defiito rettgoloide. Il problem che ci propoimo di risolvere è quello di clcolre le ree delle superfici pie S idividute d sifftti rettgoloidi. Ovvimete il vlore che chimeremo re di S verific lcue proprietà : 1) essere u umero o egtivo; 2) verificre l proprietà di mootoi, el seso che se cosiderimo u superficie S 1 coteut i S 2, llor l're di S 1 è miore dell're di S 2. ) verificre l proprietà di dditività el seso che se S è l'uioe degli isiemi disgiuti S 1 e S 2, llor l're di S è dt dll somm delle ree di S 1 e S 2. 4) l're del qudrto di lto 1 è 1. Si è già descritto il procedimeto che Archimede utilizzò per determire l're di u segmeto prbolico bsto sul "bilcimeto" di tle isieme pio co u ltro di re fcilmete clcolbile: i tl modo iftti egli trovò che l're del segmeto prbolico è ugule i 2/ dell're del rettgolo circoscritto tle isieme (vete cioè u lto coicidete co l bse del segmeto prbolico ed il lto opposto tgete l segmeto stesso) ovvero i 4/ del trigolo iscritto el segmeto prbolico (vete l bse coicidete co quell del segmeto prbolico ed il vertice opposto coicidete co il puto di tgez dell prllel ll bse). M 2

3 Archimede stesso cosiderò questo come u procedimeto teso verificre i mier "meccic" u su ituizioe che dv comuque successivmete dimostrt i mier rigoros. A tl fie pplicò il cosiddetto metodo di esustioe otteedo il vlore dell're cerct ttrverso pprossimzioi successive. Il metodo cosistev el costruire u serie di figure iscritte el segmeto prbolico le cui ree determivo u successioe crescete. L proprietà fodmetle utilizzt per determire le ree di queste figure è l'dditività dell misur. Ricordimo il metodo di esustioe riferito l clcolo dell're del segmeto prbolico: PROPOSIZIONE 24 Quluque segmeto compreso d u rett e d u sezioe di coo rettgolo è quttro terzi del trigolo vete l su stess bse e ugule ltezz. L dimostrzioe viee eseguit co il metodo di esustioe, medite u doppi riduzioe ll'ssurdo

4 Si cosidero l sezioe di coo rettgolo, S, e il trigolo T vete l su stess bse e egule ltezz. Si costruisce u're K ugule i 4/ di T Si dimostr medite riduzioi ll'ssurdo che o può essere é S>K e é S<K No potedo essere é S > K é S < K si deduce che è S = K Dimostrimo, medite il clcolo dei limiti, l'equivlez dei 4/ del trigolo iscritto T co il segmeto prbolico. A tle proposito 2 2 cosiderimo l prbol di equzioe y = x A(,0), A'(-,0), B(0, 2 ). L're del trigolo T=ABA' iscritto è dt d A(T)=A 1 =. Trccido l prllel ll'sse y psste per ilputo medio H del segmeto OA e per il suo simmetrico rispetto ll'sse y, si determio i trigoli uguli ABP=T'' e A'BP' di cui si vuole determire l're. D semplici pssggi di geometri litic si trov che: 4

5 P(/2, /4 2 ), Q(/2, 2 /2), PQ= 2 /4 Are(APQ)=(PQ AH)/2 = 2 /16 Are(BPQ)=Are(APQ) = 2 /16 Pertto l're del poligoo otteuto dll'uioe del trigolo T e dei trigoli APB e A'P'B è dt d: A 2 = A(T)+2A(T'')=A(T)+1/4A(T) Trccido uove prllele pssti per i puti medi di OH e di AH e per i loro simmetrici si idividuo uovi trigoli, il poligoo dto dll'uioe del precedete e dei quttro uovi trigoli vrà re A =A(T)+2A(T')+4(T'')=A(T)+1/4A(T)+1/16 A(T) Si viee così determire u progressioe geometric di rgioe 1/4 e pertto A =A(T) (1-(1/4) )/(1-1/4)=4/ (1-(1/4) ) il cui limite è 4/ =4/ A(T). L' dditività dell misur suggerisce u procedimeto geerlizzbile per l determizioe di ree di figure cotoro curvilieo. Ripercorredo il procedimeto "geometrico" di Archimede, si può pprossimre l're del ostro isieme S co le ree di plurirettgoli (cioè isiemi pii decompoibili i u umero fiito di rettgoli) coteuti e coteeti S. Più è lto il umero dei rettgoli che compogoo i plurirettgoli, più le ree di quelli coteuti si vvicio lle ree di quelli coteeti. Se le ree dei plurirettgoli coteuti soo sempre miori delle ree dei plurirettgoli coteeti, e se questi due isiemi umerici costituiscoo due clssi di isiemi cotigue, llor il ostro isieme S è misurbile. I tl cso l're di S srà il umero rele o egtivo idividuto dlle due clssi. 5

6 Esistoo isiemi per i quli l clsse delle ree dei plurirettgoli coteuti e quell delle ree dei plurirettgoli coteeti S o costituiscoo u coppi di clssi cotigue; tli isiemi si dicoo o misurbili e per essi o è defiit lcu re. Situzioi del geere, però, o possoo presetrsi se ci si limit cosiderre dei rettgoloidi reltivi fuzioi cotiue i itervlli chiusi e limitti. Clcolimo or, uovmete, m utilizzdo i plurirettgoli coteuti, 2 2 l're del segmeto prbolico riferito ll prbol y = x Limitimo l ostr ttezioe l trtto di segmeto prbolico compreso tr 0 ed, sfruttdo l simmetri dell figur, e cosiderimo rettgoli iscritti l cui bse coicide co l'-sim prte dell'itervllo [0,] e l cui 6

7 ltezz è dt dl miimo dell fuzioe i suddetti itervllii; si R i l're dell'i -esimo rettgolio: R 1 =/ f(/) R 2 =/ f(2/) R i =/ f(i/)=/( 2 - i 2 2 / 2 )= / ( 2 i 2 ) L're del plurirettgolo iscritto srà pertto dt d: S = 2 = ( i i= 1 2 ) = ( i= 1 i ( + 1) = ) = ( [ D cui clcoldo il limite per tedete ll' si ottiee uovmete che 2 )] = l're del segmeto prbolico è 4/ dell're del trigolo iscritto. Estededo il procedimeto quluque rettgoloide, idichimo co s l successioe delle ree dei plurirettgoli coteuti e co S l successioe delle ree dei plurirettgoli coteeti. I questo cso è lecito prlre di successioi perché per ogi esiste u determito vlore di S o s. Come meglio vedremo i seguito, l suddivisioe dell'itervllo di prtez o deve ecessrimete frsi i prti uguli, e emmeo è idispesbile scegliere il miimo dell fuzioe i ciscu itervllio come ltezz del sigolo rettgolio, m semplicemete uo dei vlori dll fuzioe ello stesso. I tl cso srà evidete come drà effettuto u mplimeto del cocetto di successioe. 7

8 Ebbee il comue limite di tli successioi, S e s, srà detto "itegrle b defiito d b di f(x)", f ( x) dx, e coiciderà co l're del rettgoloide. Tle opertore può essere che esteso fuzioi o positive i [,b] o comuque cotiue m di sego vribile. Ci chiedimo: coiciderà cor il suo vlore co l're del rettgoloide idividuto dll fuzioe i [,b]? Per rispodere quest domd è opportuo l uso di softwre didttici come DERIVE. SCHEDA DI LABORATORIO Usdo DERIVE: 1) Trcci il grfico dell fuzioe di equzioe y = x 2) Clcol l itegrle defiito di tle fuzioe ell itervllo [0, 5] ) Vlut il risultto dell itegrle: può questo vlore rppresetre l re del rettgoloide idividuto dl grfico dell fuzioe ell itervllo [0, 5]? 4) Ripercorri i puti 1) 2) ) prtire dlle segueti fuzioi, egli itervlli idicti i tbell: Fuzioe Itervllo Itegrle Are Relzioe tr re e itegrle y = 1 x 2 [ 1, 1] y = x [ 5, 0] y = x 2 1 [ 1, 1] 5) Che cogettur si può fre sull relzioe esistete tr re e itegrle defiito, prtire d questi esempi? 8

9 6) Osservdo il grfico dell fuzioe y = six, iterpret i risultti che DERIVE forisce per gli itegrli reltivi i segueti itervlli: Fuzioe Itervllo Itegrle y = six [0, π] y = six [π, 2π] y = six [0, 2π] 7) Questi ultimi esempi cofermo l cogettur ftt? Discutete i segueti puti: Come v utilizzto l itegrle defiito per clcolre l re ssolut di u rettgoloide idividuto d u fuzioe o egtiv? e d u fuzioe o positiv? Qul è il risultto forito i etrmbi i csi d DERIVE? e se è >b? Clcol l'itegrle defiito dell fuzioe di equzioe y = x 5x 2 + 6x ell'itervllo [0,] Come iterpreti il risultto? L sched è risultt di fcile lettur e iterpretzioe e le risposte soo stte per lo più corrette. Riportimo lcue osservzioi degli studeti: l itegrle defiito rppreset l re del rettgoloide qudo l fuzioe è o egtiv per u fuzioe o positiv, per otteere l re del rettgoloide, bisog mettere i vlore ssoluto l itegrle ; 9

10 el cso di y=six ell itervllo [0, 2π], l re clcolt col DERIVE risult ull qudo dovrebbe essere ugule 4!!! per u fuzioe di sego vribile l itegrle ci dà u re reltiv m o ssolut. Ne segue che se si deve clcolre u re el seso dell geometri si clcolo seprtmete le ree delle prti di pio che sto sopr l sse delle scisse e di quelle che sto sotto ll sse delle scisse e poi si sommo i vlori ssoluti delle loro misure, il che equivle clcolre b f ( x) dx Dopo l sommiistrzioe dell sched è risultto più fcile dre u sigificto l vlore egtivo dell itegrle defiito, che giustifichi i risultti foriti d DERIVE. E stto, poi, qusi turle i trodurre il cocetto di re reltiv, usulmete o idicto ei testi scolstici, come estesioe del cocetto di misur reltiv già itrodotto per u segmeto orietto su u rett oriett. Co u discussioe i clsse si è rrivti formulre le defiizioi di rettgoloide orietto e di re reltiv: U rettgoloide di bse [,b] si dice orietto positivmete (el verso subordito dgli ssi crtesii) se il suo cotoro viee percorso dl puto (,0), el verso che lugo l sse x v l puto (b,0), cocordemete l verso idividuto dgli ssi; si dice orietto egtivmete i cso cotrrio. 10

11 + _ b Si defiisce re reltiv di u rettgoloide orietto l re del rettgoloide o il suo opposto secod che il rettgoloide si orietto positivmete o egtivmete. Si è potuto, così, cocludere che: L'itegrle defiito di u fuzioe cotiu i u itervllo [,b] di sego costte rppreset il vlore dell're reltiv del rettgoloide orietto i u pio orietto. Questo risultto giustific ciò che usulmete si ssume per defiizioe b ( : b f x) dx = f ( x) dx iftti, scmbire gli estremi di itegrzioe di u itegrle defiito equivle d ivertire il verso di percorrez del cotoro del ostro rettgoloide e quidi forire il vlore opposto dell're reltiv. Osservzioi: 11

12 L'uso dello strumeto iformtico i tle ttività si è rivelto molto utile perché: θ θ h cosetito i rgzzi di lvorre su molti esempi otteedo risposte immedite (rigurdti si il risultto dell itegrle si il sego dell fuzioe ttrverso l osservzioe del grfico), foclizzdo l loro ttezioe sui cocetti i gioco (sigificto di re e di itegrle defiito) ziché sulle procedure di clcolo; h permesso gli studeti di pprezzre il vtggio di demdre il clcolo llo strumeto e di cpire che i risultti trovti o vo ccettti criticmete, m devoo essere sosteuti dll compresioe profod dei cocetti; Ioltre, si è osservto che θ θ θ θ è stto possibile itrodurre i mier qusi turle il cocetto di re reltiv di u regioe oriett di pio idividut dl grfico di u fuzioe; è stto possibile sottoliere l importz dell fuzioe vlore ssoluto, che risolve i mier sitetic il problem del clcolo di ree ssolute medite itegrle defiito; l richiest di relziore sui risultti e sulle cogetture ftte, h ftto sorgere l ecessità di rgometre i mier corrett e rigoros; gli studeti ho ffrotto il lvoro co molto iteresse, perché coivolti i u ttività di scopert. 12

13 Prllelmete tle ttività ed idipedetemete d ess, si può proporre il problem reltivo ll ricerc delle primitive di u fuzioe, utilizzdo l'opertore dell'itegrle idefii to. V chirito, però, che il cocetto di itegrle idefiito è molto diverso d quello di itegrle defiito e, solo i seguito, si idividuerà u legme "idissolubile" tr i due opertori "uiti o solo dl ome" A tle proposito si può proporre u uov sched itroduttiv llo studio degli itegrli idefiiti che mett i luce l differez tr derivt e primitiv di u fuzioe. Successivmete si proporrà, i mier guidt, l dimostrzioe del teorem fodmetle del clcolo itegrle. Osservzioi: Nelle clssi i cui è stt vvit che l'ttività reltiv ll'itegrzioe idefiit, soo stti riscotrti diversi limiti elle risoluzioi forite d DERIVE. 1