elementi di calcolo combinatorio

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1 Liceo Scietifico Sttle Reto Cccioppoli di Scfti Diprtimeto di Mtemtic e Fisic elemeti di clcolo comitorio ver. 5/5 Luigi Priello

2 Luigi Priello: Elemeti di clcolo comitorio pg. SOMMARIO. DIAGRAMMI AD ALBERO.... PERMUTAZIONI E DISPOSIZIONI SEMPLICI...4. COMBINAZIONI SEMPLICI...5 I coefficieti iomili PRINCIPIO DI INDUZIONE MATEMATICA PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONI E PARTIZIONI ORDINATE DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONI COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE Esercizi ed esempi...

3 Luigi Priello: Elemeti di clcolo comitorio pg. PRINCIPIO DI MOLTIPLICAZIONE Suppoimo che u procedur si poss svolgere i svriti modi e che si poss scidere i più fsi idipedeti. Ad esempio suppoimo di scegliere u coppi di umeri cso co l seguete procedur: il primo umero cso dl cestio dell tomol 9 possiilità) ed il secodo lcido u ddo 6 possiilità). Il umero complessivo di possiilità distite è, ell esempio cosiderto, di Più i geerle se l operzioe si può scidere i p fsi, ogu delle quli si può svolgere i più modi, dicimo modi per l fse, modi per l fse,..., p modi per l fse p, llor il umero totle di possiilità si ottiee co l moltipliczioe. p. DIAGRAMMI AD ALBERO A volte si ricorre schemtizzzioi grfiche per rppresetre i mier ituitiv u serie di possiilità e ltertive possiili. Uo dei mezzi più usti i certi csi è il digrmm d lero di cui si dro due esempi. ) Suppoimo che Vicezo V) e Giuseppe G) orgizzio u sfid sccchi i cui l vittori viee ssegt l primo che vice tre volte oppure di volte di seguito. Tutte le evetulità soo ituitivmete riportte ello schem grfico riportto lto. Ogi puto termile rppreset l fie dell sfid. Aimo possiili storie dell sfid, di cui 5 fvorevoli Vicezo e 5 Giuseppe. ) I u ur soo coteute tre iglie rosse ed u igli er. Vegoo estrtte le iglie i sequez fiché o esce quell er. Esmire le vrie evetulità che potro presetrsi Dl digrmm d lero si coclude le imo i tutto 4 possiilità che possoo così eumerrsi: N, RN, RRN, RRRN

4 Luigi Priello: Elemeti di clcolo comitorio pg. 4. PERMUTAZIONI E DISPOSIZIONI SEMPLICI Si dto u isieme S{,, } di oggetti si ricordi che è u isieme o dotto di lcu ordie itero). Se voglimo clcolre il umero di modi diversi i cui possimo cosiderre totlmete orditi gli oggetti, doimo idelmete pesre di sistemrli su posti,,, i tutti i modi possiili sez poter ripetere due o più volte uo stesso oggetto). Sul primo posto imo possiilità di scelt, sul secodo -) possiilità perché mc il primo oggetto scelto, sul terzo -),, sul peultimo, sull ultimo u sol poss i- ilità. I csi possiili soo duque -)-)... Il umero così otteuto si chi fttorile di, si idic co e rppreset il umero di PERMUTAZIONI o lliemeti, o -ple ordite) degli oggetti dell isieme S. -)-). Se ivece doimo sistemre solo u prte *) dell isieme S su posti co umero turle o superiore d ) dovremo rrestre l ostre scelte l posto, otteedo così il umero di possiilità umero di DISPOSIZIONI di ordie e clsse, cioè le disposizioi di oggetti presi per volt) D -)-).-) dove otimo che i fttori moltiplicti fr loro soo esttmete. Due disposizioi differiscoo se cotegoo oggetti diversi oppure se, pur coteedo gli stessi oggetti, essi soo collocti i mier divers sui posti. Notimo ioltre che uo stesso oggetto o può essere preso due o più volte. Ad esempio S{x,y,z} le disposizioi su due posti soo 6: x,y),x,z),y,x),y,z),z,x),z,y). Ivece y,y) o è u disposizioe semplice m co r i- petizioe. *) U prte di S è u sottoisieme di S. Fr le prti di S si overo sempre l isieme vuoto, co zero oggetti) e l isieme S stes so. Comuque S è cosidert prte impr opri di S, metre tutti gli ltri sottoisiemi soo cosiderti prti proprie di S.Vedremo che l isieme delle prti di S cot sottoisiemi, compresi il vuoto ed S.

5 Luigi Priello: Elemeti di clcolo comitorio pg. 5. COMBINAZIONI SEMPLICI Se ivece delle disposizioi voglimo cosiderre le COMBINAZIONI di ordie e clsse cioè le comizioi di oggetti presi per volt), i cui cosiderimo uguli due comizioi che se l ordimeto è diverso, ovvero cosiderimo l comizi o- e come u prte o ordit) del set S, compost d oggetti, il umero di csi d cosiderre dimiuisce: iftti per ciscu comizioe {,, } imo umerose disposizioi ordite compredeti gli stessi oggetti, e precismete tutte quelle che si ottegoo permutdo gli oggetti i ei modi possiili. I ltre prole, idicdo il umero delle le comizioi di ordie e clsse co il simolo C imo C D. Il umero C compre i molte questioi di mtemtic e viee idicto spesso co il simolo, chimto coefficiete iomile di ordie e clsse. I se ll fo r- mul precedete si h: ) ) ) ) ) ) ) ) ) D C Ad esempio se imo cique oggetti {,,c,d,e}, vremo comizioi di oggetti per volt che soo {,}, {,c}, {,d}, {,e}, {,c}, {,c}, {,d}, {,e}, {c,d}, {c,e}, {d,e}. Le disposizioi sreero ivece, ed ogi comizioe potree geerre due disposizioi distite: d esempio l comizioe isieme) {c,e} geer le disposizioi coppie ordite) c,e), e,c). I coefficieti iomili Per defiizioe si poe Provre che, per quluque turle, è ; Provre che, per quluque coppi di umeri turli, co o superiore d Simmetri dei coefficieti iomili) Si può provre l seguete importte proprietà dditiv:, per quluque coppi di umeri turli, co <. DIM.. )... ) ) ).... )... ) )...

6 Luigi Priello: Elemeti di clcolo comitorio pg. 6 )[ )... ) )] )... ) ) ) ).... )... )[ )] ) ).... ) )... ) ) )... Le proprietà precedeti cosetoo di otteere ricorsivmete tutti i coefficieti iomili i u TRIANGOLO NUMERICO oto come trigolo di Pscl o di Trtgli Alizzdo, d esempio, l 5 rig, otimo ) che il primo e l ultimo soo uitri ) l simmetri soo uguli i due coefficieti equidistti dgli estremi: primo ugule ll ultimo, secodo ugule l peultimo, ecc.) c) l legge fodmetle per cui ogi coefficiete del 5 ord.) è l somm dei due coefficieti veti l ordie dimiuito del 4 ord.), uo dell stess clsse e l ltro co l clsse dimiuit. 4. PRINCIPIO DI INDUZIONE MATEMATICA Il pricipio di iduzioe mtemtic è essezilmete u metodo dimostrtivo che pprtiee ll defiizioe stess dei umeri turli. Esso può essere eucito i vri modi il cui sigificto è però cocettulmete idetico. Se S è u set di umeri turli, potremo ffermre che S è l itero set dei umeri - turli se per esso si s che: ) Il umero pprtiee d S; ) Si può dimostrre che se pprtiee d S llor pprtiee d S Si P) u formul o u proprietà il cui eucito cotiee il umero turle. Potremo ffermre che l formul o proprietà P) è sempre ver, per quluque turle, se è stto dimostrto che: ) L proprietà P) reltiv l umero zero è ver; ) Ogiqulvolt l proprietà P) reltiv l umero è ver llor è ver che quell, P), reltiv

7 Luigi Priello: Elemeti di clcolo comitorio pg. 7 Il metodo si pplic che el cso i cui il termie iizile o si zero m u certo umero h. I tl cso il set S cotiee tutti i umeri turli d h i poi, ovvero le proprietà P) sro vere d h i poi. Qudo si pplic il metodo iduttivo, l dimostrzioe vviee duque i due fsi: ) Si deve dimostrre per il turle zero oppure per il turle iizile h che st i S oppure che Ph) è ver). ) Prtedo dll cosiddett ipotesi di iduzioe sti i S, ovvero P) si ver), si deve giugere co u dimostrzioe vlid l ftto che che st i S oppure che P) è ver. Provimo d esempio, medite iduzioe, che l somm dei umeri turli cosecutivi d d è )/, ovvero che -) )/ ) Per l formul è ver i quto si riduce )/ che è ver ) Suppoimo che ess si ver per. Voglimo dimostrre che ess è ver che per. Scrivimo iftti s ) [ ] ) e teimo coto che, per ipotesi di iduzioe, l somm i pretesi qudre è già ot come )/. Quidi s)/ [))]/ ))/. Notimo che l ultim frzioe è l formul scritt per ). Come secodo esempio dimostrimo che u poligoo covesso d lti possiede il umero D -)/ digoli d esempio il trigolo h zero digoli, il qudrto h digoli ecc.). Notimo che il clcolo di D è lecito d i poi. ) Per, 4 l formul è evidetemete estt. ) Suppoimo che co lti si io -)/ digoli ipotesi di iduzioe). Doimo verificre llor che D -))/ -))/. Ed iftti cosiderimo il poligoo d lti ed vertici). Predimo tre vertici cosecutivi ABC ed escludimo i due lti AB, BC, oledo il vertice B e cosiderdo l digole AC come lto di u poligoo che ormi h vertici. Aoledo il vertice B

8 Luigi Priello: Elemeti di clcolo comitorio pg. 8 imo dovuto ccellre liee usceti d B. Quidi le digoli elimite soo: il lto AC e le - che uscivo d B, i tutto --. Pertto D D ---)/ [- -]/[ -]/ e scompoedo il triomio di grdo: D -))/ Come importte esempio dimostrimo or l formul di Newto per lo sviluppo dell potez del iomio: ) ) L formul è ver per i primi vlori di,, e poi qudrto e cuo del iomio). ) Suppoimo che l formul si ver per e provimol per. Prtimo d ) ) ) e quidi ) Durte l dimostrzioe si è ust l proprietà dditiv dei coefficieti iomili. 5. PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONI E PARTIZIONI OR- DINATE Suppoimo di vere oggetti di cui però e cosiderimo uguli fr loro, uguli fr loro,, p uguli fr loro. I ltri termii gli oggetti si possoo riprtire i p tipi, ed il tipo i i,,,p) è costituito d i oggetti cosiderti idistiguiili tr loro, per cui p. I quti modi distiguiili) li possimo lliere su posti? Ciscuo di questi lliemeti si chim PERMUTAZIONE CON RIPET IZIONI. Se gli oggetti fossero distiti vremmo modi. Però quelli del tipo i, coteete i oggetti, si permut-

9 Luigi Priello: Elemeti di clcolo comitorio pg. 9 o fr loro i i modi idistiguiili. Pertto il umero di permutzioi idistiguiili srà rip P... p Risult che per p > il umero p è divisore proprio di Se per i umeri turli,,,c,d risult c<d, llor c) è divisore di d Se oggetti si riprtiscoo i due tipi di ed - elemeti, P rip C. Se imo oggetti d riprtire i p tipi diversi, dove l primo tipo devoo pprteere oggetti, l secodo oggetti,, l p -esimo p oggetti, si prl di PARTIZIONI ORDINATE di oggetti i p tipi diversi turlmete deve essere p ). Vedremo che il umero di prtizioi ordite coicide co il umero di prtizioi co ripetizioe. Iftti l primo tipo possimo ssegre tutte le comizioi C di oggetti per volt. Per ciscu di queste scelte potremo ssegre l secodo tipo, dto che gli oggetti soo ormi -, tutte le comizioi C - e così vi. Ne risult il umero P C C prt ) ) ) ) p 6. DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONI Suppoimo di vere tipi distiti di oggetti,, tutti distiti fr loro e di dover riempire posti orditi d, co l possiilità di poter riutilizzre più volte lo stesso tipo di oggetto disposizioi co ripetizioe). Il umero di modi i cui ciò si può fre è. Iftti sul posto umero imo possiilità di scegliere il tipo, sul posto umero imo cor possiilità e così vi fio l posto umero ove imo cor possiilità. Pertto le possiilità totli soo dte dl prodotto..) di fttori e perciò il loro umero è. Si oti che el cso i esme il umero turle può ssumere che vlori superiori. D rip

10 Luigi Priello: Elemeti di clcolo comitorio pg. Dimostrimo che u set S di oggetti possiede prti o sottoisiemi). Nturlmete si cosidero prti che il sottoisieme vuoto Ø e il sottoisieme totl e S. Cosiderimo gli oggetti,.., del set S come posti orditi. Per decidere u prte di S occorrerà defiire chi predere e chi o predere. Ciò equivle distriuire due simoli d esempio, oppure SI,NO oppure ON,OFF ecc.) sugli posti. Ad esempio se il sottoisieme vuoto è dto d u distriuzioe costte di OFF, llor il sottoisieme totle S è tto d u distriuzioe costte di ON. Poiché due simoli su posti si possoo distriuire i modi, vremo sottoisiemi di S. L cos si può dimostrre che co l formul di Newto per lo sviluppo dell potez del iomio. Iftti i sottoisiemi di S soo tutte le disposizioi di elemeti di S su posti co che vri d zero d. Si trtt di sommre quidi tutt l rig del trigolo dei umeri. Si può vedere che effettivmete l somm dell righ è. Ciò risult evidete per le prime righe, eseguedo l somm dirett. Per le righe geeriche si pplic l formul di Newto el seguete modo: ) COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE Si dto u set S{,, } di tipi oggetti. Voglimo clcolre il umero di comizioi di oggetti ll volt, potedo predere che più oggetti dello stesso tipo. U tle comizioe srà cosidert co ripetizioi. Si ricordi che elle comizioi o cosiderimo l ordimeto degli oggetti. Ad esempio si co S{,,c} e 8. U comizioe co ripetizioe è {,,,,,,,c}. L comizioe {,,,,c,,,} è idetic ll precedete i quto cotiee gli stessi oggetti e l ordimeto o h importz. I prticolre otimo che, proprio per l iifluez dell ordimeto degli oggetti, po s- simo cosiderre solo le disposizioi ordite i qulche modo come {,,,,,,,c}, che possiede u ordimeto lfetico). Per trovre il umero C rip di comizioi co ripetizioe si f il seguete rgiometo.

11 Luigi Priello: Elemeti di clcolo comitorio pg. Immgiimo di ver ordito i tipi ell sequez,, ) e di scrivere u esempio di comizioe el seguete modo:,,,,,,,, 5,.., si trtt di posti) si ot l mcz del tipo 4 ). Tle comizioe si può codificre co due soli simoli, d esempio si preg di gurdre l codific seguete, cofrotre co l disposizioe di esempio e riflettere ee, i prticolre gurdre come si risolve l mcz del tipo @,.,@ Occorroo per i posti d coprire e - simoli per seprre gli tipi. Si trtt quidi di permutre - simoli di visi i due tipi, uo co elemeti e l ltro co - elemeti). Pertto 5) C rip ) ) 8. Esercizi ed esempi ) Provre che ) ) ) ) C rip ) Quti teri si possoo vere co i 9 umeri del lotto? R ) Provre per iduzioe) che 6 ) )... 4) Risolvere l equzioe x x R. x6 5) Dti i umeri turli m,,, co, m, si h... m m m m m DIM. Dti m oggetti, di cui m di tipo M ed di tipo N, voglimo costruire tutte le comizioi di oggetti ll volt. Il loro umero è ovvimete C m. Alizzdole i fuzioe dei tipi M e N) che compogoo le comizioi otimo che: C C m soo composte d essu oggetto tipo N e oggetti tipo M M; C C m - ) soo composte d oggetto tipo N e - oggetti tipo M; C C m - ) soo composte d oggetti tipo N e - oggetti tipo M;.; C C m ) soo composte d oggetti tipo N e essu oggetto tipo M. D ciò risult C m C C m )C C m - ) C C m - ) C C m ) e quidi l formul ) 6) A prtire dll ) provre che... 7) Dimostrre l formul ) co u rgiometo sulle disposizioi di ordie e clsse. 8) Dll ugugliz umeric -) e dll formul dello sviluppo dell potez del iomio si ricv che ) Risolvere l equzioe x x R. Impossiile

12 Luigi Priello: Elemeti di clcolo comitorio pg. ) Quti grmmi si possoo costruire co l prol TRATTARE? Si cosidero grmmi che le prole sez sigificto) R. 6) ) Si provi per iduzioe) che l somm dei primi umeri dispri forisce il qudrto di ) Si cosiderio i umeri del tipo x y ) dove è u umero turle m o è u qudrto perfetto ed x,y soo iteri positivi, ulli o egtivi), l vrire di x,y m fermo restdo. Dimostrre ch ddiziodo, sottredo e moltiplicdo umeri delle stesso tipo otteimo risultti dello stesso tipo. Medite l formul di Newto provre che le poteze secode e terze soo cor dello stesso tipo. Spiegre i motivi lgerici per ) Provre che se voglimo l stilità dei umeri del tipo 9) che rispetto ll divisioe srà ecessrio ricorrere lle frzioi rzioli cioè x ed y dovro essere frzioi rzioli) 4) Provre che i umeri del tipo x y ) co x,y iteri vriili) soo stili rispetto ll somm lgeric cui tutte le poteze soo sempre dello stesso tipo. Clcolre d esempio ) 6 m o lo soo rispetto ll moltipliczioe. Provre i prticolre che l potez x y ) 4 o coserv il tipo di umero. Provre ivece che l stilità dditiv e moltiplictiv è ssicurt se cosiderimo triomi del tipo x y z 4) 5) Qute coloe di schedie di totoclcio prtite) esistoo? R. '594') 6) Quti segli si possoo ivire medite seglzioe di 5 diere colorte lliete, suppoedo di vere 8 colori. Cosiderre il cso delle ripetizioi di colore mmesse R. 768 ) o o mmesse R. 6 7) 7) Vedere se si trtt di u idetità o di u equzioe: x x x R. idetità ver per x>6) ) Provre che 9) Quti teri soo coteuti i 5 umeri distiti? R. ) ) Co 7 puti distiti del pio quti segmeti o ulli si possoo costruire? E quti segmeti orietti? R. ; 4) ) Co 45 puti dello spzio, tre tre mi llieti, quti trigoli possimo costruire? R. 4'9) ) Quti grmmi iiziti co M si possoo costruire co l prol AMMARARE? Si cosidero grmmi che le prole sez sigificto) R. 4) ) Provre per iduzioe che l somm dei qudrti dei primi umeri dispri è ) ) ) 6 4) Qute trghe utomoilistiche diverse,del rppreset u letter geeric dell lfeto 6 lettere ed X rppreset u qulsisi cifr fr e 9), possimo cosiderre? R. 456'976') 5) Vegoo sorteggiti dei umeri tre cifre lcido tre volte u ddo sei fcceumerzioe d 6). Quti soo i umeri che possoo essere sorteggiti? R. 6) 6) I quti modo si possoo dividere 6 gioctori di scopoe i 4 squdre di 4? R. 6'6') 7) Aimo secchi di verici di cique colori diversi. U mcchi può otteere ltre tite mescoldo due verici i prti uguli oppure tre verici i prti uguli. Nturlmete due colori A e B foriscoo tite diverse se li mescolimo i prti uguli oppure i proporzioe due terzi e u terzo qudo d esempio predimo due secchi A ed u secchio B). Qute tite può produrre l mcchi? R ) ) 8) Provre per iduzioe) che... 9) I quti modi distiti si possoo ordire 5 persoe itoro d u tvolo rotodo? Due modi si cosidero distiti se per qulche perso cmi lmeo uo dei vicii). R. i 4 modi se o cosiderimo l differez fr destr e siistr; ltrimeti i i modi) ) Messggi cifrti soo iviti mettedo i u scchetto 5 iglie colorte. I colori possiili soo ico, ero, rosso e gillo. Quti messggi soo cifrili cosiderdo che el scchetto l ordie delle iglie è iesistete e che i colori si possoo liermete ripetere)? R. 56) ) U estrzioe l lotto cosiste ell uscit di u ciqui e poiché imo dieci ruote l estrzioe el co m- plesso forisce l mssimo ciquie distite. E qute qutere distite? E quti teri e mi distiti? R. l mssimo 5, l mssimo, l mssimo. I miimi soo rispettivmete 5,,) ) I quti modi si possoo dividere uiformemete giocttoli fr mii? R. 4'65) ) Provre, per iduzioe sul umero p di fsi, il pricipio di moltipliczioe se u procedur si può scidere i p fsi idipedeti e l fse i) mmette i possiilità, il umero totle di possiilità risult. p )