ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO

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1 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO Cpitolo 6 ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO 6 Itroduzioe Oggetto del clcolo comitorio è quello di determire il umero dei modi medite i quli possoo essere ssociti, secodo prefisste regole, gli elemeti di uo stesso isieme o di più isiemi I molte ppliczioi sorge il prolem di spere i quti modi possiili si può presetre u certo feomeo Il prolem, ll pprez, semr le: ciò è vero se il umero degli elemeti presi i cosiderzioe è piccolo, m qudo questo umero è elevto si preseto delle difficoltà el formre tutti i rggruppmeti possiili e sez cosiderre ripetizioi Nelle ppliczioi ci si può, per esempio, chiedere: I quti modi diversi si possoo scegliere tre liri d u lireri che e cotiee? I quti modi si possoo scegliere tre umeri diversi, compresi tr e 5, i modo che l loro somm si divisiile per? Nel meù di u ristorte si può scegliere tr cique primi pitti, sei secodi e sette dessert: quti tipi di psti, co lmeo u portt divers, può sommiistrre il ristortore? e così vi Il clcolo comitorio oltre che rispodere domde del tipo precedete costituisce che uo strumeto ritmetico che è di supporto idispesile el Clcolo delle Proilità poiché cosete di determire il umero di eveti possiili (m che quelli fvorevoli e cotrri) che si possoo verificre i u prov I defiitiv possimo dire che il Clcolo comitorio forisce quegli strumeti di clcolo per determire il umero di rggruppmeti che si possoo formre co u umero di oggetti presi d u isieme coteete oggetti ( ) secodo le modlità segueti: ) i oggetti possoo formre gruppi orditi (che chimeremo disposizioi); ) i oggetti possoo formre gruppi o orditi (che chimeremo comizioi); c) se otterremo dei gruppo orditi che chimeremo permutzioi Esmiimo i dettglio questi rggruppmeti 6 Disposizioi semplici Cosiderimo u isieme A formto d elemeti distiti ed u umero Si chimo disposizioi semplici degli elemeti presi ( o disposizioi dell clsse ) u gruppo ordito formto d degli elemeti dell isieme dto A i modo che vlgo le segueti proprietà: i ciscu rggruppmeto figuro oggetti sez ripetizioe; 8

2 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO due di tli disposizioi si ritegoo diverse qudo differiscoo per lmeo u elemeto oppure per l ordie co cui gli stessi elemeti si preseto Il umero delle disposizioi semplici di elemeti distiti, dell clsse, si idic co il simolo il cui vlore è dto dl teorem (che o dimostreremo) seguete: D, Il umero delle disposizioi semplici di elemeti distiti dell clsse, è ugule l prodotto di umeri iteri cosecutivi decresceti dei quli il primo è Si h cioè: D, ( ) ( ) Λ ( ) e si dimostr che:! D, ( )! Il simolo! si legge fttorile e o è ltro che il prodotto di umeri iteri decresceti prtire d e per defiizioe si poe! Così, d esempio, se voglimo clcolre D7, ei due modi descritti, si h: D , 7! D 7, ( 7 )! 6 Disposizioi co ripetizioe Cosiderimo u isieme costituito elemeti distiti ed u umero turle sez lcu limitzioe superiore Il prolem che ci poimo è quello di costruire tutti i possiili rggruppmeti distiti prededo oggetti i modo che: ) i ciscu rggruppmeto figuro oggetti ed uo stesso oggetto può figurre, ripetuto, fio d u mssimo di volte; ) due qulsisi rggruppmeti soo distiti se uo di essi cotiee lmeo u oggetto che o figur ell ltro, oppure gli oggetti soo diversmete orditi, oppure gli oggetti che figuro i uo figuro che ell ltro m soo ripetuti u umero diverso di volte Il umero delle disposizioi co ripetizioe si idic co il simolo D ', e si dimostr che tle umero è dto d: D ', Esempi Usdo le cifre sigifictive,,,,5,6,7,8,9 del sistem decimle, quti umeri di cifre differeti si possoo formre co esse? E quti se e possoo formre se o tutte le cifre soo differeti? Per rispodere ll prim domd occorre cosiderre le disposizioi (cot l ordie) semplici (le cifre o si ripetoo) di 9 9! elemeti di clsse, cioè: Per rispodere ll secod domd 6! occorre cosiderre le disposizioi (cot l ordie) co ripetizioe (le cifre si ripetoo) di 9 elemeti di clsse, cioè: 9 79 Quti umeri turli co cifre distite si possoo formre? Le cifre sigifictive soo:,,,,,5,6,7,8,9 Occorre cosiderre le disposizioi (cot l ordie) semplici (le cifre devoo essere distite) di elemeti di clsse : D, 7 Occorre poi teere preseti che clcoldo D si cosidero che le, disposizioi del tipo 57869, che o è u umero turle co cifre Pertto, teedo coto che esistoo 7, lo, il umero richiesto srà: D, D disposizioi veti come cifr iizile 8

3 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO 6 Permutzioi semplici Le permutzioi semplici ltro o soo che le disposizioi di oggetti presi d d, ossi, dto u isieme di oggetti, si dicoo permutzioi di tli oggetti tutti i gruppi che si possoo formre co gli oggetti dti prededoli tutti Se e deduce llor che le permutzioi semplici differiscoo soltto per l ordie co cui soo disposti gli oggetti distiti coteuti ei vri rggruppmeti Dll defiizioe segue quidi che le permutzioi coicidoo co le disposizioi semplici di clsse Il umero delle permutzioi si idic co P e il clcolo delle permutzioi è ugule l clcolo del umero delle disposizioi semplici di elemeti di clsse ; i prtic è: P D, P ( ) ( ) Λ cioè: il umero delle permutzioi di elemeti distiti è ugule l prodotto dei primi umeri turli (escluso lo zero) Ricorredo ll defiizioe di fttorile, possimo che dire che: il umero delle permutzioi semplici di elemeti distiti è dto dl fttorile del umero, ossi: P! Gli grmmi ltro o soo che le permutzioi che si ottegoo d u prol vrido solo il posto delle lettere Ad esempio, co l prol ROMA (compost d lettere) si ottegoo P! grmmi 65 Permutzioi di elemeti o tutti diversi Nel prgrfo precedete imo supposto che gli elemeti dell isieme fossero tutti distiti Suppoimo or che di questi elemeti ve e sio α uguli tr loro ( α < ) Ci propoimo llor di trovre il umero delle loro permutzioi che ( ) idicheremo co P α Iizimo co u esempio Cosiderimo l prol ORO che cotiee due lettere uguli Aimo visto che il umero di grmmi di u prol (co lettere tutte diverse) di tre lettere è dto d: P! 6 Nel cso dell prol ORO i possiili grmmi distiti soo soltto: ORO ROO OOR cioè soo tre e o sei come ci si sree spettto, cioè soo i umero miore di P I geerle, voledo clcolre le permutzioi di oggetti i cui ve e sio α idetici fr loro, si ottiee u umero di permutzioi dto d: ( α ) P! P α! α! Nel ostro cso quidi è: ( ) 6! P 6! Se poi, dt u prol di lettere ell qule u letter è ripetut α volte, u ltr β volte, ecc o, più i geerle, dto u isieme di elemeti dei quli α soo uguli fr loro, β uguli fr loro, ecc, il umero delle permutzioi distite co elemeti ripetuti che si possoo otteere è dto d: ( α, β, Κ, γ ) P! P α! β! Κ γ! α! β! Κ γ! Ad esempio, se predimo i cosiderzioe l prol MATEMATICA, osservimo che elle lettere i ess coteute, l letter M si ripete volte (α ), l letter A si ripete volte ( β ) e l letter T si ripete volte (γ ) Il umero di grmmi distiti che si possoo costruire co ess è dto d: 8

4 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO (,, )! P 5!!! 66 Comizioi semplici Dto u isieme di elemeti, si dicoo comizioi semplici degli elemeti presi (o di clsse ) tutti i gruppi di elemeti, scelti fr gli dell isieme dto, i modo che ciscu gruppo differisc di restti lmeo per uo degli elemeti i esso coteuti (sez cosiderre, quidi, l ordie degli elemeti) D otre l differez fr disposizioi e comizioi (semplici): metre elle disposizioi si tiee coto dell ordie, elle comizioi semplici, ivece, si cosidero distiti solo qudo due i rggruppmeti differiscoo lmeo per u elemeto Per determire il umero delle comizioi semplici di elemeti di clsse, e che idichimo co il simolo, ci servimo dell formul: C, D, C, P ossi: ( ) ( ) Λ ( ) C, ( ) Λ D quest formul si ricv che il umero delle comizioi di oggetti di clsse è dto dl quoziete di fttori iteri, cosecutivi, decresceti prtire d ed il prodotto di fttori iteri, cosecutivi, decresceti, prtire d Quest formul può essere scritt che sotto u ltr form; iftti, moltiplicdo umertore e deomitore per il fttore ( )! si ottiee: ( ) ( ) Λ ( ) ( )! C, ( ) Λ ( )! ( ) ( ) Λ ( ) ( ) ( ) Λ C, ( ) Λ ( )! Essedo il umertore di quest frzioe ugule d!, possimo scrivere:! C,!( )! Esempio Quti mi si possoo formre co i 9 umeri del lotto? Occorre cosiderre tutte le possiili comizioi di 9 umeri di clsse, teedo presete che l ordie o h importz (d esempio le coppie (,),(,) rppreseto lo stesso mo) e che i u mo i umeri o si possoo ripetere (comizioi semplici) Quidi si! 9! h: 5!( )!! 86! 67 Comizioi co ripetizioe Si possoo predere i cosiderzioe che le comizioi co ripetizioe Cosiderimo u isieme formto d elemeti e fissimo u umero (sez lcu limitzioe superiore): ci propoimo di costruire i possiili rggruppmeti distiti prededo elemeti dell isieme dto i modo che: ) i ciscu rggruppmeto figurio elemeti dell isieme dto potedovi uo stesso elemeto figurre più volte fio d u mssimo di volte; ) due rggruppmeti soo distiti se uo di essi cotiee lmeo u elemeto che o figur ell ltro, oppure gli elemeti che figuro i uo figuro che ell ltro m soo ripetuti u umero diverso di volte Cosiderimo, d esempio, l isieme: A {,, c} Le comizioi di clsse, co ripetizioe, soo: (, ) (, ) (, c) (, ) (, c) (c, c) (soo sei) Le comizioi di clsse, co ripetizioe, soo: 8

5 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO (,, ) (,, ) (,, c) (,, ) (,, c) (, c, c) (,, ) (,, c) (, c, c) (, c, c) (soo ) L formul che dà il umero delle comizioi co ripetizioe di elemeto di clsse è: ' ( )! C,!( )! Nell esempio precedete si h: ' ( )!! C, 6!( )!!! ' ( )! 5! 5 C,!( )!!! Esempio Gli uici cocorreti di gre podistiche soo: Mrio, Luigi, Frco, Giorgio, Sergio Ciscu gr h come premio u medgli (le medglie soo tutte uguli) Cosiderto che ogi cocorrete può vicere più di u medgli, i quti modi può vveire l suddivisioe delle medglie? Sulle 5 persoe, occorre scegliere le co u medgli test, cosiderto che u perso può essere ripetut u umero di volte ugule l umero di medglie che prede; o cot l ordie i quto le medglie soo tutte uguli Si trtt pertto delle comizioi co ripetizioe di 5 oggetti di clsse, il cui umero è dto d: ( )! 8! 7!( )!!! 68 Coefficieti iomili e potez di u iomio Il umero delle comizioi semplici, C, è spesso idicto co il simolo seguete: che si legge su e viee detto coefficiete iomile perché se e f uso ello sviluppo dell potez di u iomio Per defiizioe è quidi:! C,!( )! Per l covezioe!, h sigificto che l scrittur!!! I se quest uov defiizioe possimo dire che il umero delle comizioi co ripetizioe è dto dll: ' C, Cosiderimo due umeri reli quluque e Soo ote le formule: ( ) ( ) 8 ( ) e così vi Alizzdo il clcolo dell geeric potez di u iomio otimo che tutti gli sviluppi soo dei poliomi omogeei e completi, di grdo ugule ll espoete dell potez Ordido gli sviluppi secodo le poteze decresceti di uo dei due moomi, otimo che i loro coefficieti soo umeri del seguete

6 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO 85 prospetto che oi chimimo Trigolo di Trtgli e che i frcesi chimo Trigolo di Pscl: Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ per l cui costruzioe è sufficiete osservre che ogi rig iizi e termi co e gli ltri vlori si ottegoo come somm dei due elemeti sovrstti Questo trigolo può essere scritto el modo seguete co lo sviluppo dell potez secodo Newto, il qule, ell su dimostrzioe, f uso delle comizioi: Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Sussiste il teorem: quluque sio i due umeri e e l itero positivo, si h: ( ) Κ cioè lo sviluppo di ( ) è u poliomio omogeeo di grdo el complesso delle due vriili e che, ordito secodo le poteze decresceti di (e cresceti di e vicevers) h per coefficieti i umeri:,,,, Κ Lo sviluppo dell potez del iomio co il metodo di Newto può essere scritto i mier più comptt el modo seguete: ( )

7 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO Esempio Si sviluppi l potez seguete: ( x Si h: x x ( x ( x( ( Teedo presete che i coefficieti iomili che ppioo i questo sviluppo si possoo leggere ell quit rig del trigolo di Trtgli, si h: x x ( 6x ( x( ( x 8x y x y xy 6 y ESERCIZI PROPOSTI ) Il commissrio Bsettoi st fiedo il locchetto delle multe; gli resto solo moduli, m vede 7 mcchie i divieto di sost (tutte elle stesse codizioi) I quti modi può scegliere mcchie d multre? )! ) 8 c) d) 5 ) 8 mmiistrtori pulici vegoo codotti S Vittore, ove soo dispoiili solo 6 celle sigole (tutte uguli); i quti modi si possoo scegliere i 6 che vro l sigol? ) 56 ) 8 c) 6! d) 8 ) Quti soo gli grmmi, che privi di seso, dell prol cvll? ) 5 ) c) 8 d) 5 ) Per fre u git mre, 5 persoe ho disposizioe coe sigole (uguli fr loro) e due pedlò sigoli (uguli fr loro), i quti modi possoo sprtirsi le imrczioi? ) 6 ) c) d) Nessu delle precedeti è corrett 5) I quti modi, su 6 studeti, possoo occupre gli ultimi posti lieri i u ul d esme (uo, i prim fil, sotto gli occhi del docete, l ltro i fodo ll ul, e l ultimo vicio l primo dell clsse)? ) ) c) 6 d) 6 6) 7 persoe si cotedoo cioccoltii (tutti uguli); ogi perso, se ci riesce, può predere più di uo I quti modi può vveire l sprtizioe? ) 5 ) 8 c) d) 86

8 CAPITOLO 6-ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO 7) I u gr ciclistic co tleti, oltre l trgurdo file, c è u trgurdo itermedio (gr premio dell motg); quti soo i csi possiili dei vicitori dei due trgurdi? ) ) 66 c) 78 d) 6 8) Sviluppre le segueti poteze: ( x ), ( x) Soluzioi ) d ) ) ) c 5) 6) c 7) d 8) x 6x 5x x 5x 6x, 8x 8 x 5x x 87