(labeling) si ottiene così l insieme a n ordinato (codominio della funzione f ) : Primo termine. Termine Generale
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- Gastone Napoli
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1 Successioi umeriche / Def. Si chim successioe umeric ogi fuzioe f d N i R defiit i u isieme del tipo I= { N 0 }, co 0 umero turle e che ssoci d u itero di I u umero rele f(). I geerle però porremo f: N R Ioltre spesso si poe: (lbelig) si ottiee così l isieme f ( ) ordito (codomiio dell fuzioe f ) :,,...,,... N Il grfico di u successioe è costituito d ifiiti puti isolti di coordite Esempi: ( ; ) co 0 Primo termie Termie Geerle
2 Successioi umeriche / Esempi: Successioi otevoli: Armoic Di Wllis ()
3 Successioi umeriche 3/ A volte le successioi possoo essere defiite per ricorrez: 0 Fibocci Def. Successioi limitte Dto che ogi successioe è u fuzioe, h seso prlre di successioi: limitte iferiormete limitte superiormete limitte ochè di: estremo iferiore ed estremo superiore miimo e mssimo di u successioe. 3
4 Successioi umeriche 4/ A volte le successioi possoo essere defiite per ricorrez: (Fibocci) Def. Successioi limitte Dto che ogi successioe è u fuzioe, h seso prlre di successioi: limitte iferiormete limitte superiormete limitte oché di: estremo iferiore ed estremo superiore miimo e mssimo di u successioe. Esempio Stbilire per ogu delle successioi ()-(6) se e limitt e determire estremo iferiore e superiore, precisdo se soo miimo e mssimo. 4
5 Def. Successioi mootoe Successioi umeriche 5/ Precismete, u successioe { } è : crescete se e solo se + per ogi strettmete crescete se e solo se < + per ogi decrescete se e solo se + per ogi strettmete decrescete se e solo se > + per ogi Esempio Studire l mootoi delle successioi ()-(6). Def. Proprietà vere deitivmete Dicimo che u proprietà P() è ver defiitivmete se P() è ver per tutti gli sufficietemete grdi, cioè se : Esempi k N : P( ) è ver k Si cosideri: 0! 5
6 Successioi umeriche 6/ Esempi I termii dell successioe {-5} soo defiitivmete positivi. I termii dell successioe o soo defiitivmete positivi. I termii dell successioe soo defiitivmete mggiori di 5. L successioe 0! Def. Limiti di Successioi () Si ho llor 3 possibili risultti: lim L (fiito) lim lim è defiitivmete decrescete. 0 : L 0 0 L successioe è dett CONVERGENTE K 0 : 0 0 K L successioe è dett DIVERGENTE + K 0 : 0 0 K L successioe è dett DIVERGENTE - 6
7 Successioi umeriche 7/ lim o esiste L successioe è dett IRREGOLARE Def. Successioi ifiitesime L successioe { } è dett ifiitesim se e solo se: Def. Successioi ifiite L successioe { } è dett ifiit se e solo se: Es. lim 0 lim si qr N q si chim progressioe geometric di rgioe q. Se q -, l progressioe geometric e irregolre. Se q > -, l progressioe geometric e regolre e si h : lim q 0 per per per q q q 7
8 Successioi umeriche 8/ Es. Verificre che le segueti successioi soo covergeti e determire i rispettivi limiti. 8
9 Successioi umeriche 9/ 9
10 Successioi umeriche 0/ 0
11 Successioi umeriche 0/
12 Successioi umeriche /
13 3 Successioi umeriche / A volte le successioi possoo essere defiite per ricorrez: 0 Fibocci
14 Successioi umeriche 3/ Es. Limiti di successioi defiite per ricorrez: 4
15 Progressioi Progressioi Aritmetiche / Def. U progressioe ritmetic é u successioe di umeri reli tle che l differez tr due termii cosecutivi dell successioe è costte. Quest costte si chim rgioe dell progressioe stess: se l rgioe è positiv l successioe è crescete, se l rgioe è egtiv l successioe è decrescete. Idicdo co il termie geerle e co d l rgioe: d 5
16 Progressioi Aritmetiche / Def. U progressioe ritmetic é u successioe di umeri reli tle che l differez tr due termii cosecutivi dell successioe è costte. Quest costte si chim rgioe dell progressioe stess: se l rgioe è positiv l successioe è crescete, se l rgioe è egtiv l successioe è decrescete. Idicdo co il termie geerle e co d l rgioe: d Es. d s r s rd 6
17 Progressioi Aritmetiche / Es. Es. 7
18 Progressioi Aritmetiche 3/ Es. Es. Iserimeto Medi Aritmetici Es. Iserire m medi fr due estremi e b. d b m 8
19 Progressioi Aritmetiche 4/ Poiché i geerle bbimo che l somm dei termii equidistte dgli estremi è ugule ll somm dei termii estremi : S Es. Somm dei primi umeri pri P ; 4;..; Es. Somm dei primi umeri dispri ; 3;..; D 9
20 0 Progressioi Geometriche / Def. U progressioe geometric o successioe geometric è u successioe di umeri tli che il rpporto tr u elemeto ed il suo precedete è sempre costte. Tle costte è dett rgioe dell successioe e l idicheremo co q (per semplicità supporremo sempre q>0) q q q q q q q r s r s q crescete succ. costte succ. decrescete succ. q q q
21 Progressioi Geometriche / Es. Iserire m medi geometrici tr e b (,b,q>0) Bst porre : q m b Lo si ottiee d: q Co: b m Es. Medio geometrico: q b m g q b Il medio geometrico fr due estremi corrispode l medio proporziole di u proporzioe cotiu del tipo: E fcile dimostrre che l medi ritmetic è mggiore dell medi geometric. Scrivimo iftti:
22 Progressioi Geometriche 3/ Es. Somm dei termii di u progressioe geometric S q q
23 Limite dell Somm Progressioi Geometriche 4/ lim S q q q q - Es. Notzioe i bse 0 e frzioi geertrici di umeri periodici l somm di u serie geometric di vlore iizile /0 e rgioe /0 che per l Regol: L frzioe geertrice di u umero decimle periodico si ottiee mettedo l umertore il umero privto dell virgol meo il umero formto dll prte iter e dll tiperiodo (se c è) e l deomitore tti 9 qute soo le cifre del periodo e tti zeri qute soo le cifre dell tiperiodo. 3
24 Es. Progressioi Geometriche 5/ Es. 4
25 Serie Numeriche / Si dt l successioe R Si cosideri l successioe delle somme przili S R S S S... S L locuzioe serie di termie geerle, cui ssocimo il simbolo 0 () v ites come bbrevizioe di successioe delle somme przili di { } Quidi tutto ciò che si riferisce ll serie, si riferisce ll successioe delle somme przili { S }. 5
26 Serie Numeriche / Def. Studire l serie () sigific studire l successioe delle somme przili { S }. Si dice che l serie () coverge d S ϵ R se l successioe { S } coverge d S. Il umero S si dice che somm dell serie. I tl cso si scrive : 0 S () Alogmete si dice che l serie () diverge (positivmete o egtivmete) se l successioe { S } diverge (positivmete o egtivmete). I tl cso si scrive: 0 (3) Ifie si dice che l serie () o è regolre se tle risult l successioe { S }. Not: Ci riferiremo lle espressioi covergete, divergete, o regolre come l crttere dell serie. Gli esempi più semplici di serie umeriche si preseto qudo è possibile dre u espressioe litic per l successioe { S } e quidi clcolre il limite. Precisimo che si trtt di situzioi estremmete rre. 6
27 Serie geometric q N Pssdo l limite: lim S Serie Geometric 4/ S lim se q k q k 0 se q q k 0 Es. Numeri periodici (vedi sopr) q k se q q se q irregorle se q 7
28 8 Serie Geometric 5/ Serie geometric 0 k k Esempi ( co prticolre ttezioe ll uso degli idici): k k k k, k k 0, k k 0, k k
29 9 Serie Telescopiche 6/ Serie Telescopiche Es. Studimo l covergez dell serie B A Itroducimo lo sviluppo i somme przili Scrivimo i primi termii: Otteimo: S 4 3 lim S
30 Serie Telescopiche Serie Telescopiche 7/ Es. Serie di Megoli: ( ) A B Osservimo: ( ) A B ( ) Scrivimo i primi termii: / / / 3 Otteimo: S 3 / 3/... 4 lim S 30
31 Serie Telescopiche Es. Studimo l covergez dell serie Osservimo: l l( ) l( ) Serie Telescopiche 7b/ l Scrivimo i primi termii: l( ) l() l(3) l( ) 3 l( 4) l(3)... Otteimo: lim S S l( ) 3
32 Teoremi su serie covergeti 8/ Ove o si possibile dre u espressioe litic ll successioe delle somme przili o clcolre il limite, ci si ccotet di stbilire il crttere dell serie (covergete, divergete, o regolre). Per questo motivo (o iteress l somm delle serie), l serie verrà idict geericmete co Omettedo il rge degli idici Teoremi sulle serie covergeti Teo (Codizioe ecessri di covergez) Codizioe ecessri ffiché l serie Coverg è che: lim 0 Not : l codizioe è solo ecessri iftti : lim l 0 Ioltre si dimostr che l serie rmoic M l serie reltiv è divergete (vedi es. precedete) È divergete pur vedo il termie geerle che tede zero 3
33 Teoremi su serie covergeti 9/ Teo Sio: Teo 3 b b Covergeti. Allor: Soo covergeti, e vle: b Sio: b b Divergeti co lo stesso sego. Allor: Soo divergeti. b 33
34 Def. L serie Serie termii positivi 0/ Si dice termii positivi se (lmeo defiitivmete) 0 Not : Ogi serie termii positivi è regolre, precismete o coverge o diverge positivmete. Not : Ogi serie termii defiitivmete egtivi h lo stesso crttere dell serie di sego opposto. Seguoo teoremi sui criteri immediti (o ho ecessità di cofroto co serie stdrd ) Teo 4 (Criterio del rpporto) Dt l serie: se: lim lim Es. Si determii il crttere dell seguete serie: l l serie serie diverge coverge 34
35 Criterio del Rpporto / Es. Si determii il crttere dell seguete serie: L serie ssegt è covergete Es. Si determii il crttere dell seguete serie: L serie ssegt è divergete 35
36 Criterio del Rpporto / Es. Si determii il crttere dell seguete serie: L serie ssegt è divergete 36
37 Teo 5 (Criterio dell rdice) Dt l serie: Criterio dell Rdice 5/ se: lim l serie coverge lim l serie diverge Es. Si determii il crttere dell seguete serie: L serie ssegt è covergete Es. Si determii il crttere dell seguete serie: L serie ssegt è covergete 37
38 Serie Armoiche Geerlizzte 6/ Teo 6 (Criterio di Riem Serie rmoic geerlizzt) L serie: log ( ) Dett serie «rmoic geerlizzt» h il seguete crttere: log ( ) coverget e coverget e divergete divergete Def. Serie sitotiche Due successioi b lim b Si dicoo sitotiche (o meglio sitoticmete equivleti) se: Si scrive: b 38
39 Criterio del Cofroto 6/ Teo 7 (Criterio del cofroto) Sio Allor se: b Serie termii positivi tli che (defiitivmete): diverge b b coverge diverge coverge b Es. 39
40 Criterio del Cofroto 7/ Es. (crttere dell serie rmoic) Prtedo d: e f ( x) x x Pssdo l logritmo: l l Avedo già dimostrto che l serie: l diverge diverge 40
41 Criterio del Cofroto 8/ Es. Es. 4
42 Criterio del Cofroto Asitotico 9/ Teo 8 (Criterio del cofroto sitotico) Sio b Serie sitoticmete equivleti. Allor esse lo stesso crttere. Cioè uo coverge (risp. diverge) se e solo se l ltr coverge (risp. diverge). Es Poiché : 3 3 È covergete, e segue che 3 È covergete 4
43 Criterio del Cofroto Asitotico 0/ Es Poiché : Es. 3 3 È covergete, e segue che 3 L serie è divergete È covergete Es. 43
44 Criterio del Cofroto Asitotico / Es. Es. 44
45 Criterio Itegrle per Serie / Teo 9 (Criterio dell itegrle per serie) 45
46 Serie termii lterti 3/ Teo 0 (Criterio di Leibiz) Si: ( ) Co 0, u serie termii lteri. Suppoimo che: i) si mooto strettmete decrescete ii) lim 0 Allor l serie ( ) È covergete Es. È covergete Es. lim 0 46
47 Serie termii lterti 4/ 47
48 Serie termii lterti 5/ Es. lim 0 Per l mootoi : 75 3 Duque l serie è covergete 48
49 Somm di Serie Prticolri / 6 0 ( ) 8 ( k) k p p primo k k R (k) fuzioe Zet di Riem ! e ( ) l( ) ( ) 4 49
PROGETTO SIRIO PRECORSO di MATEMATICA Teoria
Vi Aldo Mo ro, 1097-300 15 Chioggi (VE) t el. 0414 965 81 1 - fx 0 414 96 54 3 - ww w. itisri ghi.com POTENZA i N... DIVISIBILITÀ e NUMERI PRIMI...3 MASSIMO COMUN DIVISORE e MINIMO COMUNE MULTIPLO...3
, dove s n è la somma parziale n-esima definita da. lim s n = lim s n = + (= ). a n = a 1 + a 2 +...
. serie umeriche Def. (serie). Dt u successioe ( ) (co R per ogi ), si chim serie di termie geerle l successioe (s ), dove s è l somm przile -esim defiit d () s = + 2 +... + = k. L serie coverge (semplicemete)
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GLI INSIEMI NUMERICI R π, _ -,8,89 Q Z N - 8-8 -8 _,,66 - e, - -,6 _ -,6 6 R Numeri Reli Q Numeri Rzioli Z Numeri Iteri Reltivi N Numeri Nturli Dl digrmm di Eulero-Ve ovvio è che : N è u sottoisieme rorio
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