I. COS E UNA SUCCESSIONE

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1 5 - LE SUCCESSIONI I. COS E UNA SUCCESSIONE L sequez 0 = = 0 3 = 3 = 4 = = +... costituisce u esempio di SUCCESSIONE. 90 Ecco u ltro esempio di successioe: 3 4 = 3 = 3 3 = 3 4 = 3... = 3... U successioe è duque u sequez ifiit di umeri reli (m potrebbe trttrsi che di oggetti di ltr tur: vettori, fuzioi, umeri complessi, figure geometriche...), ciscuo idicbile per mezzo di u letter (oi ei ostri due esempi bbimo scelto l letter ) muit di u idice, il qule idice potrà ssumere i suoi vlori i (isieme dei umeri turli), oppure i u sottoisieme ifiito di. Nel seguete terzo esempio di successioe, i termii soo umeri complessi: z = + i z = + i z3 = + 3 i... z = + i... E ifie u qurto esempio. Quest volt ciscu termie dell successioe è u fuzioe: f 3 ( x) = x f( x) = x f3( x) = x... f ( ) x = x... Nel seguito ci occuperemo esclusivmete di successioi i cui termii sio umeri (si prl di successioi umeriche ); zi, supporremo sempre che si trtti di umeri reli (come ei primi due esempi). Ioltre, per semplicità, cosidereremo esclusivmete successioi defiite su, oppure su * ( sez lo 0). U successioe può essere duque iterprett come UNA FUNZIONE AVENTE COME DOMINIO L INSIEME DEI NUMERI NATURALI, O UN SUO SOTTOINSIEME INFINITO D: d ogi umero turle del domiio corrispode uo ed u solo be determito termie (o elemeto ) dell successioe, per idicre il qule si può usre u letter fisst dell lfbeto, muit dell idice (es. ) Per visulizzre grficmete u successioe, bbimo sostzilmete disposizioe due metodi. Oguo preset vtggi e svtggi. Li illustrimo el seguete esempio, co riferimeto ll successioe di termie geerle = : Questo tipo di visulizzzioe mette bee i evidez il ftto che u successioe è u fuzioe: ogi umero turle (i questo cso, o ullo), corrispode uo e u solo be determito vlore = /. Il domiio dell fuzioe è *. L differez rispetto lle ormli fuzioi è che i u successioe o bbimo u vribile CONTINUA x, m u vribile DISCRETA. Emerge che co efficci che, l tedere di ll ifiito, il corrispodete termie tede 0. Quest ltr visulizzzioe mette bee i evidez il ftto che i termii dell successioe costituiscoo u isieme umerico: =, co * =,,,, l isieme { } { } L figur mostr che molto chirmete che l isieme { } mmette il puto 0 come puto di ccumulzioe o pprteete ll isieme).

2 II. PARTICOLARI, SEMPLICI SUCCESSIONI: LE PROGRESSIONI A) PROGRESSIONI ARITMETICHE Si dice progressioe ritmetic u successioe di umeri tli che l differez fr ciscuo di essi e il precedete si costte (quidi ciscu termie è otteibile dl precedete ddiziodogli u costte). L differez costte tr ogi termie di u progressioe ritmetic e il precedete si dice rgioe dell progressioe (idicheremo l rgioe col simbolo d, dll iizile di differez ). ESEMPI L successioe, 7,, 7,, 7,... è u progressioe ritmetic di rgioe d = L successioe,, 0,,,,,,... è u progressioe ritmetic di rgioe d =. Dt u progressioe ritmetic,, 3,...,,... di rgioe d, è fcilissimo verificre che vlgoo le segueti uguglize: k k = d ( per defiizioe) k = k + d = + ( ) d r = s + ( r s) d Se di u progressioe ritmetic cosiderimo soltto u umero fiito di termii cosecutivi (d esempio, soltto i primi termii), prleremo di progressioe ritmetic fiit. Sussiste il seguete TEOREMA L somm dei termii di u progressioe ritmetic fiit è ugule ll semisomm dei termii estremi moltiplict per il umero dei termii: =... k + k + k+ + + = ( k + ) Dimostrzioe L tecic dimostrtiv è perfettmete log quell seguit per ricvre ( + ) l Formul di Guss per l somm degli iteri d : =. Duque: S = S = S = ( + ) + ( + ) ( + ) dove risult + = + per il ftto che + = ( + d) + ( d) = + e così per tutte le ltre coppie di termii i colo: k + k =... = + Se or cosiderimo che S = ( + ) + ( + ) ( + ) = ( + ) ddedi + vremo S = C.V.D. 9 ESERCIZI di ppliczioe del teorem Verificre che ) l somm dei primi umeri dispri:, 3, 5, 7,..., è ugule ) l somm dei primi umeri pri:, 4, 6, 8,..., è ugule + ( )

3 B) PROGRESSIONI GEOMETRICHE 9 Si dice progressioe geometric u successioe di umeri tli che il rpporto fr ciscuo di essi e il precedete si costte (quidi ciscu termie è otteibile dl precedete moltiplicdolo per u costte). Il rpporto costte tr ogi termie (escludedo, ovvimete, il primo) e il precedete si dice rgioe dell progressioe: lo idicheremo col simbolo q. ESEMPI L successioe, 0, 50, 50, 50, 650,... è u progressioe geometric di rgioe q = 5. L successioe,,,,,,... è u progressioe geometric di rgioe q = Se l rgioe q vle i termii soo tutti uguli; escluderemo perciò questo cso, privo di iteresse. Se l rgioe è positiv tutti i termii soo dello stesso sego; se è egtiv, i termii ho sego ltero. Noi supporremo sempre, per semplicità, che l rgioe q si positiv e che tutti i termii sio positivi; ciò che diremo potrà essere i qulche modo poi dttto l cso i cui i termii bbio sego ltero, m dttmeti di questo geere sro lsciti l lettore. Dt u progressioe geometric,, 3,...,,... di rgioe q, è fcilissimo verificre che vlgoo le segueti uguglize: k = q ( per defiizioe) k = k q k = q 3 = q = q q = q = q e, più i geerle, r s r = s q Se di u progressioe geometric cosiderimo soltto u umero fiito di termii cosecutivi (d esempio, soltto i primi termii), prleremo di progressioe geometric fiit. Determiimo or il vlore dell somm dei termii di u progressioe geometric fiit. Comicimo co l osservre che (... = + q+ q + + q = + q+ q + + q ) quidi il problem si ricoduce quello del clcolo dell somm + q+ q q. Come si può fcilmete verificre, vle l formul di scomposizioe 3 b ( b)( b b... b = b ) e tle formul è ver per tutti gli =, 3, 4, 5,... (NOTA) NOTA: Avevmo scritto che, co pri, qudo il ostro obiettivo è di scomporre d oltrz il biomio b, l ppliczioe dell formul è poco coveiete, ed è cosiglibile piuttosto iizire co u scomposizioe come differez di qudrti. M o è u scomposizioe d oltrz che ci iteress i questo mometo. Or, pplicdo l formul co = e b= q, vremo: q = ( q)( + q+ q q ) d cui... q q q q =. q I defiitiv, l somm dei termii di u progressioe geometric fiit di rgioe q (oppure: l somm dei primi termii di u progressioe geometric di rgioe q) è 3... (... q q q q = ) = q ESERCIZIO Verific che il prodotto vle P = ( ) P dei termii di u progressioe geometric fiit,, 3,...,

4 93 III. SUCCESSIONI MONOTONE (CRESCENTI O DECRESCENTI); LIMITE DI UNA SUCCESSIONE SUCCESSIONI CRESCENTI E DECRESCENTI U successioe { } si dice crescete (risp.: decrescete) se, per ogi k (o, evetulmete, * ) è k < k + (risp.: k > k + ). Se l posto di <, > scrivimo, otteimo le def. di successioe crescete (decrescete) i seso lto. Ad esempio, l successioe = è decrescete (i seso stretto). Successioi limitte e illimitte; estremo superiore e iferiore di u successioe; evetule mssimo e miimo di u successioe Tutti questi termii vo riferiti ll isieme umerico costituito di termii dell successioe cosidert. Ad esempio, l successioe { =, co *} = {,,,,... 4 } è limitt si iferiormete 3 (il suo estremo iferiore è 0) che superiormete (il suo estremo superiore, che e è che il mssimo, è ). Ivece l successioe { =, co } = { 0,,4,9,6,... } è limitt iferiormete, co estremo iferiore 0 che e è che il miimo, m è illimitt superiormete (l estremo superiore è + ). LIMITE DI UNA SUCCESSIONE U successioe, come bbimo visto, può essere pest come u prticolre fuzioe: u fuzioe il cui domiio si o u suo sottoisieme ifiito (oi prederemo sempre come domiio oppure * ). Spesso iteress chiedersi qule vlore tede qudo divet molto grde, tede ll ifiito. Ad esempio, è del tutto spoteo ffermre che l successioe { =, co *} = {,,,, } tede 0 l tedere di metre l successioe { =, co } = {,,,,, } tede qudo +. Prim di tutto, osservimo che il tedere + di (vribile discret ) è, sotto u certo spetto, diverso dl tedere + di u vribile cotiu x; l vribile discret ssume solo CERTI vlori, crescedo sctti, slti, metre u vribile cotiu cresce ssumedo TUTTI i vlori itermedi. Per il resto, però, ull cmbi ell ide di bse che ci coduce ll ozioe di limite: bbimo u vribile idipedete (discret ziché cotiu), cui fccimo ssumere vlori rbitrrimete lti, e ci chiedimo che vlore tede d ssumere il corrispodete termie dell successioe. L defiizioe precis di limite di u successioe qudo tede + dovrà essere, quidi, perfettmete log quell di limite di u fuzioe f ( x ) qudo x tede +. Occorrerà soltto qulche piccolo dttmeto. Aggiugimo u blissim osservzioe: el cso di u vribile discret, i cui vlori possoo essere soltto umeri turli, srebbe ssurdo pesre di fr tedere, oppure d u vlore fiito: questo è be ovvio! Quidi, evidetemete, le uiche defiizioi che ci iteressero sro quelle di limite (fiito o ifiito) di u successioe, qudo tede +. E per brevità, o essedo possibili equivoci, l posto di + scriveremo semplicemete. DE lim = ε > 0, /, ( > < ε ) FI NI lim =+ M > 0, /, ( > > M) ZIO NI lim = M > 0, /, ( > < M) U successioe si dice: CONVERGENTE se tede d u limite fiito, DIVERGENTE se tede ifiito, INDETERMINATA se o tede d lcu limite.

5 94 Esempio: verificre, pplicdo l defiizioe, che l successioe Impostimo l disequzioe + <ε + + = tede per. + co l obiettivo di mostrre che esiste u umero turle tle che ess si verifict per tutti gli + + < ε; < ε; < ε < ε; + > ; > ε ε Pertto l verific richiest è positivmete coclus: si può predere come u qulsisi itero fr quelli o iferiori l umero ε. >. TEOREMI SUI LIMITI DI SUCCESSIONI Estedoo l loro vlidità lle successioi, purché si pportio lievi ed ovvie modifiche gli euciti, i teoremi vlidi per i limiti delle fuzioi. Citimo i prticolre: Teorem di uicità del limite: Se u successioe, per, tede d u limite (fiito o ifiito), questo limite è uico Teorem dell permez del sego: Se u successioe, per, tede d u limite (fiito o ifiito) diverso d 0, llor esiste u idice tle che, >, il termie mtiee lo stesso sego del limite Teoremi del cofroto Se esiste u idice tle che, >, si h c b, e ioltre lim = lim b =, llor è che lim c = ed euciti loghi gli ltri due teoremi del cofroto dimostrti per le fuzioi Teorem sull esistez del limite delle successioi mootoe: Se u successioe è mooto (crescete o decrescete), i seso stretto o i seso lto, llor esiste certmete il lim, e tle limite è ugule ll estremo superiore (se l succ. è crescete) o iferiore (se l succ. è decrescete) dell isieme umerico { }. I teoremi sul limite di u somm, di u prodotto, di u quoziete Per iciso, dte due succ. e b, per loro somm si itede l succ. di termie geerle c = + b. Alogmete per l differez, il prodotto e il quoziete. I teoremi sitetizzti d pseudo-uguglize (es. / = 0 ). Ache per le successioi vlgoo le stesse forme di idecisioe già riscotrte per le fuzioi. E ESTREMAMENTE UTILE il seguete TEOREMA, che permette di estedere, i u sol colpo, lle successioi, u mucchio di risultti già cquisiti per le fuzioi: «Dt u successioe, e pres u fuzioe f ( x ) tle che i suoi vlori qudo x è itero positivo coicido co quelli dell successioe, ossi: tle che si bbi f ( ) =, llor, se esiste il lim f( x) =, srà che lim x + =» OSSERVAZIONE Il teorem vle che se l ugugliz f () = vle soltto d u certo idice i poi! + 4 Esempio di ppliczioe - Determire il lim 3 +. Si trtt di u F.I., m, cosidert l fuzioe x + 4x y = l qule, x3 + per vlori iteri positivi di x, ssume gli stessi vlori dell successioe dt, x + 4x + 4 poiché si h lim = 0, srà pure lim = 0. x + x