DERIVATE.. Si chiama rapporto incrementale della f (x) relativo al punto x

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1 DERIVATE Si f ( ; Se e soo due puti del suo domiio, si cim icremeto dell fuzioe il vlore f = f( f( Si cim rpporto icremetle dell f ( reltivo l puto e ll'icremeto il rpporto: y = u fuzioe rele defiit ell'itervllo [ b] f f ( ( cioè f ( Se esiste fiito il limite di tle rpporto per, si dice ce l fuzioe è derivbile i e il vlore di tle limite si cim derivt dell fuzioe el puto e scriveremo: f ( f ( ' lim = f ( ( Codizioe ecessri m o sufficiete percé u fuzioe si derivbile i è ce ess si cotiu i tle puto Vicevers, se u fuzioe è derivbile ess è cotiu Se f ( è derivbile i ogi puto di [ ; b] l fuzioe si dice derivbile Se f ( è derivbile i, i tle puto l derivt destr è ugule ll derivt siistr Ovvero lim = lim Sigificto geometrico dell derivt t r Osservdo l figur e ricorddo il sigificto di coefficiete golre dell rett r psste per i f ( f ( puti P ( ; f ( e P( ; f ( si : m = Fcedo tedere zero l'icremeto dell vribile idipedete il puto P, muovedosi sull curv tederà P e l rett r si porterà ll posizioe limite t, ovvero risulterà tgete ll curv el puto di sciss f ( f ( ' Per l defiizioe di derivt si può scrivere: mt = lim = f ( L derivt i è quidi il vlore del coefficiete golre dell rett tgete i, cioè l tgete dell'golo ce l rett tgete form co il semisse positivo delle scisse ' L'equzioe dell rett tgete srà: y f = f ( ( (

2 Osservzioi Poicé si dimostr ce ei puti reltivi di u fuzioe si : ' f = (vedi teorem di Fermt ' Se m t = f = l rett tgete è prllel ll'sse ( Ioltre fficé u fuzioe si derivbile i occorre ce si verifict l seguete ugugliz f ( f ( f ( f ( lim = lim Come si vedrà i seguito, i u puto goloso l fuzioe pur essedo cotiu o è derivbile Se i suddetti limiti tedoo rispettivmete m l curv preset i u cuspide rivolt verso il bsso o verso l'lto Se etrmbi i limiti tedoo l curv u puto di flesso i (vedi " Puti critici " Teorem di Fermt Negli estremi reltivi di u fuzioe derivbile iteri l domiio l derivt è ull Sppimo ce se è u puto di miimo reltivo di u fuzioe f( I D : I f( ( f, ossi f f ( ( ( f o - Scelto u icremeto i modo ce I, cosiderimo i rpporti icremetli destro e siistro dell fuzioe f( f( f( f( E, cosiderdo il limite per ce tede zero, otteimo: f( f( lim = f '( ( f( f( lim = f '( ( Poicé per ipotesi l f( è derivbile i devoo vlere cotemporemete l ( e l ( Quidi, ecessrimete, deve essere = Procededo i modo logo possimo dimostrre ce i u puto di mssimo reltivo =

3 Teorem di Rolle Si f ( ; e ssume vlori uguli gli estremi ( f ( b ] b [ y = u fuzioe cotiu ell'itervllo ciuso e limitto [ b] f =, ] b [: ; = ; Se ess è derivbile i Iftti, essedo l fuzioe cotiu ell'itervllo ciuso e limitto[ ; b], per il teorem di Weierstrss mmette mssimo (M e miimo (m Si possoo presetre due csi: M = m, l f ( risult costte e quidi f'( = ] b ; [ M m, l fuzioe o è costte Idicdo co e le scisse di m ed M Per le codizioi dettte dl teorem ( f ( = f ( b, lmeo u di esse srà iter d [, b] Suppoimo ce si ] b, [ Scegliedo u vlore > i modo ce ] b[ Segue ce:, f f ( (vedi figur ( Dividedo l disugugliz per si ricv (come già visto el teorem di Fermt: f ( f ( per > : f( f( per < f( f( Cosiderdo il limite di detti rpporti icremetli, rispettivmete destro e siistro, per, si : e '( b,, deve essere f Poicé l fuzioe è derivbile i ogi puto di ] [ f ' = f ' Quidi, ecessrimete, deve essere = Sigificto geometrico del teorem di Rolle Il grfico dell fuzioe possiede lmeo u puto i cui l tgete risult prllel ll'sse delle scisse b 3

4 Teorem di Lgrge o del vlor medio Si f ( y = u fuzioe cotiu ell'itervllo ciuso e limitto [ b] ] ; b [, esiste lmeo u puto f ( b f ( i cui si : = b ; Se ess è derivbile i Per dimostrre il teorem cosiderimo l fuzioe usiliri ϕ ( = f( k ( k Dopo ver osservto ce tle fuzioe è cotiu i [ ; b] e derivbile i ] ; b [ percé combizioe liere di due fuzioi cotiue e derivbili, determiimo il vlore di k fficé si bbi ϕ( = ϕ( b e si quidi pplicbile il teorem di Rolle Essedo ϕ( = f( k; ϕ( b = f( b kb si ottiee: f( k = f( b kb d cui k = f( b f( b Per tle vlore di k è quidi possibile pplicre ll fuzioe teorem di Rolle Poicé ] [ = ; b : ϕ '( = si : f( b f( b f( b f( ϕ '( = = b f( b f( ϕ( = f( b ovvero: il Sigificto del teorem di Lgrge Il grfico dell fuzioe possiede lmeo u puto i cui l tgete è prllel ll rett psste per gli estremi dell'itervllo [ ; b] b Il teorem di Lgrge permette di ffermre ce u fuzioe cotiu e derivbile è crescete (decrescete qudo > ( < D Esempio: 3 f ( = Poicé f ( = f ( = 5 e b = si : < 5 5 = 3c d cui si ricv: = ± = dll qule si = 4 f Di queste rdici solo l positiv pprtiee d [ b] ce o pprtiee d [ b] ; ; 4

5 Teorem di Cucy Dte due fuzioi ( ( f eg cotiue ell'itervllo ciuso e limitto [ b] derivbili i ] ; b [ e, esiste lmeo u puto ;, se esse soo f( b f( i cui si : = b Per dimostrre il teorem cosiderimo l fuzioe usiliri ϕ ( = f( k ( k ; percé combizioe liere di due fuzioi cotiue e derivbili, determiimo il vlore di k fficé si bbi: ϕ( = ϕ( b Dopo ver osservto ce tle fuzioe è cotiu i [ ; b] e derivbile i ] b [ Essedo ϕ( = f( kg ( ; e ϕ( b = f( b kgb ( uguglido otteimo: f( k = f( b k b d cui Per tle vlore di k è quidi possibile pplicre ll fuzioe teorem di Rolle Poicé ] [ ; b : ϕ '( = si : f( b f( = b f( b f( k = gb ( g ( ( ( ( ( f b f ϕ = f b ( ( '( '( f b f ϕ = f = b ovvero il Teorem di De L'Hospitl Form Se due fuzioi ( e f (ξ = e (ξ = esiste ed è fiito il lim si : lim ξ g, e soo derivbili i ] b [ f soo cotiue ell'itervllo ciuso [ b] ; co ;,escluso l più il puto ξ co g '(, se f ( = lim ξ ξ Form Se due fuzioi ( e f ( ξ = e ( ξ = esiste ed è fiito il lim si : lim ξ f soo cotiue ell'itervllo ciuso [ b] g, e soo derivbili i ] b [ ; co ;, escluso l più il puto ξ co g '(, se f ( = lim ξ H ξ ξ Per dimostrre il teorem cosiderimo ell'itoro H di u puto ξ e pplicimo il teorem di Cucy lle fuzioi f ( e ell'itervllo [ ξ, ] f ( f ( ξ Si : = ed essedo per ipotesi: f ( ξ = e g ( ξ =, vremo: ξ f ( = ( 5

6 Ioltre, poicé esiste il lim ; l tedere di ξ, ce tede ξ Quidi potremo ξ f ( scrivere: lim = lim e per l ( segue: lim = lim ξ ξ ξ ξ Form Sio ( e co g '( ] ; b [ f due fuzioi derivbili i ] b [ Se lim f ( = e lim = f ( lim = lim ;, escluso l più il puto ed esiste lim, si : Il teorem vle ce se le fuzioi soo derivbili i u itervllo illimitto e tedoo d per tedete d Form Se lim f ( = e lim = possimo ricodurci ll form o f ( cosiderdo il lim o il lim o o f ( Form I questo cso si deve trsformre l differez delle fuzioi i u prodotto o i u quoziete Forme g ( Queste forme si preseto qudo i limiti soo del tipo: lim [ f ( ] I questi csi occorre trsformre l form del limite ssegto medite l'idetità: l f ( [ f ( ] = e ed effettudo l'operzioe di limite ll'espoete Esempi 3 : lim lim 3 cos = = 3 lim = lim se = log e e : lim = lim = lim = lim = lim ctg se se se ctg se : lim ctg = lim = lim = = lim (se l se tg ctg tg tg tg tg tg tg l se = lim e poicé lim = lim = lim = dell fuzioe ssegt è ugule il limite 6

7 Mssimi, miimi e flessi medite l'uso delle derivte successive Se f ( y = è u fuzioe derivbile i ] b [ ; e soo verificte le segueti codizioi: = f ''( = = f ( = e f (, si possoo presetre due csi: L'ordie dell derivt è pri Se f ( > ( f ( < il puto è u miimo (mssimo L'ordie dell derivt è dispri Se f ( > ( f ( < il puto è u flesso tgete orizzotle scedete (discedete Com'è fcile osservre, ei puti di flesso tgete orizzotle l fuzioe cmbi cocvità E' quidi possibile stbilire i flessi se si cooscoo gli itervlli i cui l cocvità è rivolt verso l'lto e quelli i cui l cocvità è rivolt verso il bsso Per determire detti itervlli bst studire il sego dell derivt secod dell fuzioe f ''( > f ''( < Puti critici Soo i puti i cui l derivt prim è ull o o esiste U puto è detto stziorio se = 7

8 Se = il puto è u estremte; Se o esiste, pur essedo l fuzioe cotiu i, si possoo vere i segueti csi: lim = ± il puto è u puto di flesso tgete verticle scedete; b lim = ± il puto è u puto di flesso tgete verticle discedete; c lim = ± ± il puto è u cuspide tgete verticle rivolt verso il bsso d lim = m ± il puto è u cuspide tgete verticle rivolt verso l'lto e lim f ( f ( lim f ( f ( il puto è u puto goloso Differezile Si f ( y = u fuzioe derivbile ell'itervllo [ b] i modo ce ( ] b[ ssegimo u icremeto y = f( f( ; e si u puto di tle itervllo Se l fuzioe subisce l icremeto ; lim y = lim f( f( = f( f( = Poicé l fuzioe è derivbile si : [ ] Quidi, l icremeto dell vribile e l icremeto dell fuzioe soo ifiitesimi dello stesso ordie y Essedo lim = possimo ffermre ce: gli icremeti y e soo ifiitesimi dello stesso ordie qudo 8

9 l icremeto y è u ifiitesimo di ordie superiore Quidi y = ε( ( lim ε( = y = ε ( ( df( = Il prodotto ( qudo = si cim differezile dell fuzioe el puto Possimo quidi dre l seguete Defiizioe Il differezile di u fuzioe, i u puto i cui ess è derivbile, è il prodotto dell derivt dell fuzioe i tle puto per l icremeto dell vribile idipedete Se, i prticolre, cosiderimo l fuzioe f( = si d f( = d= Quidi, l icremeto dell vribile idipedete è ugule l suo differezile e l ( prede l form: dy df ( = d = d Riprededo i cosiderzioe l ( osservimo ce: y = ε ( ovvero y df( = ε ( ε ( Poicé il lim = lim ε ( = ε( è u ifiitesimo di ordie superiore possimo ffermre ce l icremeto dell fuzioe differisce dl suo differezile per u qutità ifiitesim di ordie superiore ll icremeto dell vribile Sigificto geometrico del differezile P Q S R RS = PR tg α = = dy ( RQ = y SQ = y dy = ε α 9