1. Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2010, matematicamente.it

Transcript

1 PROBLEMA Si ABCD u qudrto di lto, P u puto di AB e l circoferez di cetro P e rggio AP. Si pred sul lto BC u puto Q i modo che si il cetro di u circoferez psste per C e tgete estermete. Se AP si provi che il rggio di i fuzioe di è dto d f. Riferito il pio d u sistem di coordite Oy, si trcci, idipedetemete dlle limitzioi poste d dl problem geometrico, il grfico di f. L fuzioe f è ivertibile? Se sì, qule è il grfico dell su ivers?. Si g, R ; qule è l equzioe dell rett tgete l grfico di g el puto R 0,? E el puto S,0? Cos si può dire dell tgete l grfico di g el puto S? 4. Si clcoli l re del trigolo mistilieo ROS, ove l rco RS pprtiee l grfico di g. f o, idifferetemete, di RISOLUZIONE Puto L figur rppreset l geometri del problem. Idichimo co E il puto di cottto delle due circofereze; il segmeto PQ psserà per E.Idicdo co CQ QE y, 0 y, il rggio dell circoferez, si h: A D P E C B Q

2 QP y PB QB y Applicdo il teorem di Pitgor l trigolo PQB si h: Puto QP PB y y y y y y y QB y Studimo l fuzioe y Domiio: 0,, ; Itersezioe sse scisse: y 0 ; Itersezioe sse ordite: 0 y ; Simmetrie: l fuzioe è simmetric rispetto ll rett y cos che è dimostrt che per vi lgebric dll equzioe y y ; Positività: N : 0 D :

3 y 0 Asitoti verticli: lim, lim 0 per cui 0 è sitoto verticle; Asitoti orizzotli: lim per cui y è sitoto orizzotle; Asitoti obliqui: trttdosi di fuzioe rziole frtt, l presez dell sitoto orizzotle esclude l presez di quelli obliqui; Crescez e decrescez: l derivt prim è sempre egtiv el domiio,, è strettmete decrescete el domiio; Cocvità e covessità: l derivt secod è 4 y'' per cui l fuzioe preset cocvità verso l lto i, e verso il bsso i, ; o esistoo flessi. Il grfico è lto presetto. y' che è ; quidi l fuzioe Altertivmete vremmo potuto ricvre il grfico ricorddo che l fuzioe y rietr ell mbito delle fuzioi omogrfiche b y che si ottegoo per trslzioe di u iperbole equilter c d

4 d riferit i propri sitoti, per cui è defiit per, h sitoto c d verticle ed orizzotle y, co cetro di c c simmetri i C,. X I ltro modo effettudo l trsformzioe :, l fuzioe Y y trsformt el uovo riferimeto crtesio X, Y srà X X Y Y Y XY, cioè u X X X iperbole equilter di sitoti X 0, Y 0 ; pplicdo quidi l trsformzioe, l fuzioe di prtez srà u iperbole equilter trslt di sitoti X, y Y Affichè u fuzioe f : D f C si ivertibile deve essere suriettiv ed iiettiv; l suriettività è dimostrt dl ftto che el cso i esme il domiio e il codomiio dell fuzioe y cocidoo D f C f,, ; per l iiettività, ivece, poiché l derivt dell fuzioe y' è sempre egtiv, si potrebbe essere tetti di cocludere che l fuzioe è strettmete decrescete e quidi iiettiv. Tle rgiometo, tuttvi, si bs su u teorem che richiede tr le ipotesi che l fuzioe si defiit su u itervllo, cos che el ostro cso o vviee. Coviee llor usre direttmete l defiizioe di fuzioe iiettiv:,,, d f f ovvero d cui svolgedo i clcoli ricvimo cioè l iiettività dell fuzioe. segue f 4

5 Per ricvre l ivers poimo l equzioe y ; si h 5 cioè l ivers di f è f stess; quidi f ed y f e risolvimo ell vribile y, per cui f f y f ho stesso grfico o equivletemete il grfico di f è il simmetrico di quello di f rispetto ll bisettrice del primo e terzo qudrte di equzioe y. Puto L fuzioe g g può essere riscritt el seguete modo: se se il cui grfico lo si ricv d quello di y ribltdo verso le ordite positive le prti di grfico l di sotto dell sse delle scisse. I prticolre l derivt prim srà: se g' se L equzioe dell tgete l grfico di g i u puto geerico P, y P è y yp g' P P ; el puto d sciss R 0 si h y R, g' R per cui l equzioe dell R tgete i 0, R 0 R è t : y Per quto rigurd l tgete l puto di sciss, clcolimo il S

6 limite destro e siistro dell derivt lim g' lim g' : lim g' lim Essedo limite destro e siistro fiiti e differeti, deducimo che i l fuzioe preset u puto goloso di o derivbilità, per S cui o h seso prlre di tgete l grfico di g i S,0 ; i prticolre, trttdosi di puto goloso, possimo prlre di tgete siistr ed destr del grfico di rispettivmete equzioi t : y t : y Il grfico lto rffigur l fuzioe g e le tre tgeti ello stesso riferimeto crtesio. g che ho 6

7 7 Puto 4 Cosiderimo il grfico lto i cui l re d clcolre è colort i grigio: L re vle e d d A 4 l l 4 l l 0 0 0

8 PROBLEMA Nel pio, riferito coordite crtesie Oy, si cosideri l fuzioe f f b b 0, b. defiit d Si G b il grfico di illustri come vri f reltivo d u ssegto vlore di b. Si G b l vrire di b. G. L tgete. Si P u puto di b G b i P e l prllel per P ll sse y iterseco l sse rispettivmete i A e i B. Si dimostri che, qulsisi si P, il segmeto AB h lughezz costte. Per quli vlori di b l lughezz di AB è ugule?. Si r l rett psste per O tgete G e (e = umero di Nepero). Qule è l misur i rditi dell golo che l rett r form co il semisse positivo delle scisse? 4. Si clcoli l re dell regioe del primo qudrte delimitt dll sse y, d Puto G e dll rett d equzioe e RISOLUZIONE 8 y e. Al vrire di b 0, b, il grfico G b st sempre el semispzio delle ordite positive e tutti i grfici pssero per il puto 0,. Fissto b 0, b, studimo l fuzioe f b : se b lim b 0 se 0 b 0 se b lim b se 0 b Di limiti soprstti deducimo che f b preset l sitoto orizzotle destro y 0 se 0 b, metre preset l sitoto orizzotle siistro y 0 se b

9 Le derivte prim e secod soo rispettivmete: f ' l b b f '' l b b d cui deducimo che se l b 0 crescete, metre se 0 l b 0 b l fuzioe è strettmete b è strettmete decrescete; i mbo i csi l fuzioe è covess i tutto R cioè volge sempre cocvità verso l lto i quto l b 0 b 0 b Ioltre poiché b, deducimo che, y G se, ygb, b b i ltre prole il grfico di G lo si ricv per simmetri itoro ll sse delle ordite prtire d quello di G b. Di seguito due grfici per b, b : b Puto Cosiderimo l figur lto, i cui si è ssuto sez ledere l geerlità del problem b Il geerico puto P h 9

10 coordite,b P, per cui il puto B vrà coordite B,0 tgete l grfico di f b i u puto geerico P y P y y f ' ; el puto d sciss P si h P P P l b b l b b,b y l b b P ; l, è f ' per cui l equzioe dell tgete i P P è b si ricv impoedo 0 A, 0. l b Il segmeto AB misur llor:. L sciss del puto A y l b b b, d cui y i AB B A l b che risult essere, fissto b, costte l vrire di P,b. L l b lughezz del segmeto orietto ABsi chim sottotgete e le fuzioi espoezili f b ho l sottotgete costte pri log b e. l b Ioltre AB l b se l b l b e cioè se b e b. e Puto U geerico puto P del grfico e l tgete i P,e e G di e 0 g e h coordite P,e G h equzioe y e e Impoedo il pssggio per l origie 0,0 0 e 0 e e 0 i quto e. O dell rett tgete, si h: 0 R. Quidi l rett tgete psste per l origie h equzioe y e e form co il semisse positivo delle scisse u golo pri ll rcotgete del coefficiete golre rct e rd,8 rd.

11 Puto 4 Cosiderimo il grfico lto i cui l re d clcolre D è colort i grigio: Tle re può essere clcolt come differez delle ree: del rettgolo R di vertici 0,0,,0,, e, 0,e ; dell re D sottes d compres tr le scisse 0, G e L re del rettgolo vle S e e compres tr le scisse 0, R metre l re sottes d G e 0 0 vle SD e d e e I coclusioe D SR SD e e S. Altertivmete l ivers dell fuzioe g e è g y l y y 0, per cui l re d clcolre divet: S e D e l ydy yl y el e l e 0 i cui si è pplict l itegrzioe per prti.. co

12 QUESTIONARIO Quesito Si p u poliomio di grdo. Si dimostri che l su derivt - esim è p! dove è il coefficiete di. U geerico poliomio p di grdo può essere scritto el seguete modo: 0 p co,,, i R i, 0 Clcolimo le derivte prim, secod e così vi sio ll -esim: p p p p! 4 6 ''' '' ' 4 Quesito Sio ABC u trigolo rettgolo i A, r l rett perpedicolre i B l pio del trigolo e P u puto di r distito d B. Si dimostri che i tre trigoli PAB, PBC, PCA soo trigoli rettgoli. Cosiderimo l figur lto rppresette l geometri del problem. Poiché l rett PB è ortogole l pio del trigolo, ess è ortogole tutte le rette del pio pssti per B, quidi è ortogole BA e BC, d cui deducimo che i trigoli PBC e PBA soo etrmbi

13 rettgoli i B. Ci rest d dimostrre che che PAC è rettgolo; i prticolre voglimo dimostrre che PAC è rettgolo i A. Ciò è vero se, pplicdo il teorem di Pitgor, si h PC PA AC. Applicdo il teorem di Pitgor i trigoli PBA, PBC ed ABC otteimo: PB PC PA PB AB BC BC AB AC Sostituedo le espressioi e i si h: PA AB AB AC PA AC PC PB BC cioè il trigolo PAC è rettgolo i A. Quesito Si il grfico di f e i f. Per qule vlore di l rett tgete, h pedez ugule? f è l derivt f. Nel cso i esme l derivt prim di f e è ' e, per cui impoedo f ' e si ricv L pedez dell rett tgete i u fuzioe prim di f e l l l l si h fuzioe e. l l f e f h tgete i. I corrispodez di 5. Quidi l 5 l, co pedez pri

14 Quesito 4 Si clcoli: lim 4si Effettuimo il cmbio di vribile y ; se y 0, per cui si y lim 4si 4 lim 4 y0 y si y i cui si è sfruttto il limite otevole lim y 0 y Quesito 5 U serbtoio h l stess cpcità del mssimo coo circolre retto di potem 80 cm. Qule è l cpcità i litri del serbtoio? Cosiderimo l figur lto i cui è rppresetto i sezioe u coo di potem 80cm, ltezz h e rggio di bse r. Poimo CH, Il rggio di bse per il teorem di Pitgor misur HB r Il volume del coo è hr V L mssimizzzioe del volume l effettuimo medite derivzioe. A C H =80 cm B Si h: 4

15 V ' V ' V ' quidi il volume è strettmete crescete i decrescete i 80,80. Ioltre V' ' 80 0, e strettmete e V '' 0 per cui il volume è 80 mssimo per e vle VMAX V 6400 cm 7 04 dm 7 Ricorddo che l dm, il volume mssimo i litri è 5

16 04 V MAX litri 06,7 litri. 7 6

17 Quesito 6 Si determii il domiio dell fuzioe f cos Il domiio di f cos disequzioe cos 0 Quesito 7 è l isieme degli R che soddisfo l, cioè k k co k Z. Per qule o quli vlori di k l fuzioe 4, 4 h k, 4 è cotiu i = 4? Affiché l fuzioe lim h lim h 4 4 vlgoo rispettivmete: lim h lim 4 4 lim h 4 4 h si cotiu i 4 deve versi. Per il cso i esme i limiti siistro e destro 0 lim k 6k Impoedoe l ugugliz si h 6k 9 0 k. 6 I 4 l fuzioe è tuttvi o derivbile e preset u puto goloso i quto lim h' lim 6 4 lim h' lim

18 8 Quesito 8 Se e,, soo i progressioe ritmetic, qul è il vlore di? U progressioe ritmetic è u successioe di umeri tli che l differez tr ciscu termie e il suo precedete si u costte. Tle costte viee dett rgioe dell progressioe. Nel cso i esme, i umeri,, soo i progressioe ritmetic se ovvero se 0. Esplicitimo i sigoli coefficieti biomili: 6!6!!!!!!!!!!!!!! Si h quidi:

19 o cc. o cc. 7 cc. I coclusioe il vlore ccettbile è 7 cui corrispodoo i tre vlori 7,, Quesito 9 Si provi che o esiste u trigolo ABC co AB =, AC = e A Bˆ C 45. Si provi ltresì che se AB =, AC = e A Bˆ C 0, llor esistoo due trigoli che soddisfo queste codizioi. Cosiderimo l figur lto, rppresette il trigolo ABC co AC,AB,ABˆ C e cosiderimo i csi corrispodeti d 45 ed Applicdo il teorem dei sei si h: si AB AC si AĈB si AB AĈB si siaĉb AC 4 9

20 Poiché, u trigolo co AC,AB,ABˆ C 45 o 4 esiste. 0 Applicdo cor u volt il teorem dei sei si ricv: AB AC AB siaĉb si siaĉb si AĈB si AC AĈB rcsi 48,6 AĈB 80 rcsi,4 4 4 Il terzo golo srà di coseguez C ÂB 80 0 rcsi 0,4 CÂB 8, 6. 4 I tl cso esistoo, quidi, due trigoli che soddisfo le codizioi AC,AB,ABˆ C 0. Per clcolre l misur del terzo lto si può procedere i due modi distiti: Teorem dei sei ˆ ˆ AC BC si CAB si 50-ACB BC AC BC AC si si CAB ˆ si BC AC si 50-ACB ˆ 4 si50cos ACB ˆ cos50si ACB ˆ ˆ ˆ cos ACB si ACB si ACB ˆ si ACB ˆ BC BC

21 Teorem di Crot posto BC si h AC AB AB cos BC Quesito 0 Si cosideri l regioe delimitt d y, dll sse e dll rett = 4 e si clcoli il volume del solido che ess geer ruotdo di u giro completo itoro ll sse y. Cosiderimo l figur lto rppresette il solido di volume V otteuto B dll rotzioe itoro y ll sse y dell regioe delimitt d y, O A dll sse e dll rett Il volume richiesto è dto dll differez del volume del cilidro di ltezz AB e rggio di bse OA 4 ed il volume otteuto dll rotzioe dell prte di pio delimitt d y, dll sse y e dll rett y. Il volume del cilidro è VC OA AB. Il volume otteuto dll rotzioe dell prte di pio delimitt d y, dll sse y e dll rett y, è g D ydy 0 V dove y y,0 y g ; y

22 quidi 5 4 y VD g ydy y dy I coclusioe V VC VD. 5 5 È possibile seguire ltre svrite strde per risolvere il quesito. U prim ltertiv cosete di clcolre il volume el seguete modo: cosiderimo il cilidro C otteuto ruotdo ttoro ll sse A,0,B, ; tle cilidro vrà delle y il segmeto AB di estremi superficie lterle pri S itegrdo l qule i,4 ottiee il volume: V S d d d si U secod ltertiv cosiste, ivece, el pesre l regioe decompost i tti rettgoli oguo dei quli geer u solido pri ll differez di due cilidretti, i modo che, ituitivmete potremo pesre il solido come somm progressiv di ifiiti gusci cilidrici cossili di spessore d, dove il rggio vri d 0 4. Il volume del guscio (ifiitesimo) può essere clcolto come prodotto dell re circolre di bse di rggio estero, per l ltezz: V i ifiitesimi di ordie superiore i i i i i i i i i i i i e rggio itero. Trscurdo gli i il volume ifiitesimo srà V i. Se il umero di gusci cilidrici i cui suddividimo l itervllo 0,4 è N il volume richiesto srà:

23 4 5 4 N N 4 8 lim i lim i i N N. i i V V d