test [ A ] - soluzioni

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1 test [ A ] - soluzioi 1. k - 1 / e Posto f ( ) log, si h f ( ) ( log + 1 ) 0 per e - 1 /. Ioltre f ( e ½ ) - 1 / e.. y ( ) rctg ½ log ( 1 + ) + 1 Itegrdo per prti : rctg d rctg - d 1+ rctg ½ log ( 1 + ) + c. Perché si y ( 0 ) 1, deve essere c M m f ( ) A A :f ( ) M 0 0 A, f ( ) M. 4. U fuzioe cotiu i u itervllo ssume tutti i vlori compresi tr iff e supf. oppure Se u fuzioe cotiu i u itervllo ssume due vlori distiti, ssume che tutti i vlori itermedi. oppure L immgie di u fuzioe cotiu i i itervllo è ch ess u itervllo Il limite si preset ell form idetermit 0/0. Applicdo iizilmete il teorem dell Hopitl, si log (1+ rctg ) ottiee: tg -

2 6. R - { 1 } Se > 1, 1. (1+ ) Applicdo il criterio dell rdice o quello del rpporto, si trov il limite 1 / < 1, e duque l serie coverge. Se < 1,. (1+ ) Applicdo il criterio dell rdice o quello del rpporto, si trov il limite < 1, e duque l serie coverge. Se 1, 1 / e l serie diverge; se -1, ( -1 ) / e l serie coverge.

3 test [ B ] - soluzioi 1. y ( ) rcse π/ - 1 Itegrdo per prti : 1- rcse d rcse - d rcse + + c. 1 Perché si y ( 0 ) π/, deve essere c π/ m mi f ( ) A A :f ( ) m 0 0 A, f ( ) m. 3. Se f ( ) è u fuzioe cotiu i [, b ], derivbile i (, b ) e tle che f ( ) f ( b ), esiste ξ (, b ) tle che f ( ξ ) Il limite si preset ell form idetermit 0/0. Applicdo iizilmete il teorem dell Hopitl, si log (1+ se ) ottiee: 1. e se ( e -1) 5. R - { ± 1} Se > 1,. 1+ Applicdo il criterio dell rdice o quello del rpporto, si trov il limite 1 / < 1, e duque l serie coverge. Se < 1,. 1+ Applicdo il criterio dell rdice o quello del rpporto, si trov il limite < 1, e duque l serie coverge. Se 1, / e l serie diverge; se -1, ( -1 ) / e l serie è idetermit.

4 6. k R Posto f ( ) log, si h f ( ) ± per ±. Ioltre f ( ) log + ( log + 1 ) 0 per e - 1. Ifie f ( ± e 1 ) m / e. Per rispodere ll domd bstv clcolre i limiti ll ifiito e pplicre il teorem dei vlori itermedi.

5 test [ C ] - soluzioi 1. 0 A A, f ( ) f ( ). 0. Se f ( ) è u fuzioe cotiu i [, b ] e derivbile i (, b ), esiste ξ (, b ) f ( ξ ) f ( b ) - f ( ) b -. tle che / Il limite si preset ell form idetermit 0/0. Applicdo iizilmete il teorem dell Hopitl, si log (1+ tg ) ottiee: -1/. - cos - 1- se 4. R Se > 1, 1. (1+ ) Applicdo il criterio dell rdice o quello del rpporto, si trov il limite 1 / < 1, e duque l serie coverge. Se < 1,. Applicdo il criterio dell rdice o quello del rpporto, si trov il limite < 1, e duque l serie coverge. Se 1, 1 /, se -1, ( -1 ) / : i etrmbi i csi l serie coverge. 5. [ 0, + ) Posto f ( ) log, si h f ( ) log + log 0 per e - o per 1; ioltre f ( e ) 4 / e ; f ( 1 ) 0.

6 6. y ( ) rccos Itegrdo per prti : 1- rccos d rccos + d rcse + c. 1 Perché si y ( 0 ) 1, deve essere c.

7 test [ D ] - soluzioi ( ) : A U ( ) - { } 1. lim 0 f ( ) L > 0 U 0 0 0, f ( ) > / 3 Il limite si preset ell form idetermit 0/0. Applicdo iizilmete il teorem dell Hopitl, si log (1+ rcse ) ottiee: -1/3. - se + se R - { ± 1} Se > 1,. 1+ Applicdo il criterio dell rdice o quello del rpporto, si trov il limite 1 / < 1, e duque l serie coverge. Se < 1,. Applicdo il criterio dell rdice o quello del rpporto, si trov il limite < 1, e duque l serie coverge. Se 1, /, e l serie diverge ; se -1, ( -1 ) / e l serie è idetermit. 4. [ 0, + ) Posto f ( ) log, si h f ( ) log + log 0 per e - 1 o per 1; ioltre f ( e 1 ) 1 / e ; f ( 1 ) y ( ) 3/ 3/ 3 4 log / 3/ 4 3/ Itegrdo per prti : log d log d log - + c

8 Perché si y ( 1 ) 0, deve essere c 4/ A ( ) : A U ( ), f ( ) f ( ). U 0 0 0