Stime per intervalli. Corso di Misure Meccaniche e Termiche. David Vetturi

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1 Corso di Dvid Vetturi

2 Iferez ttistic Il cmpo dell iferez sttistic è costituito d metodi utilizzti per ssumere decisioi o per trrre coclusioi su u popolzioe e per tle scopo si bso sull iformzioe coteut i u cmpioe

3 Iferez ttistic POPOLAZIONE CAMPIONE Cmpi di ppliczioe: psicologi-sociologi,mrketig, gestioe dell qulità i mbito idustrile, ecoomi, medici, ecc. 3

4 Cmpiometo Defiizioe: si defiisce popolzioe oggetto l isieme di tutti quegli elemeti che ho i comue lmeo u crtteristic (o ttributo) U popolzioe può essere fiit o ifiit Riferimeto: Vicrio, Levi Clcolo delle probbilità e sttistic per igegeri Progetto Leordo Cpitoli 7 e 8 4

5 Cmpiometo Defiizioe: u isieme {,,..,} viee detto cmpioe csule di dimesioe estrtto d u popolzioe co desità f(.) se l desità cogiut fx,x,..,x(x,x,..,x) delle vribili,,.., può essere espresso come:,,.., x x,.., x f x f x.. f x f, 5

6 ttistiche Defiizioe: dto u cmpioe {,,..,} proveiete d u popolzioe si defiisce medi cmpiori l qutità: i i 6

7 ttistiche Teorem: dto u cmpioe {,,..,} proveiete d u popolzioe vete desità f(x), si h che: E vr dove e soo rispettivmete medi e vriz di f(x) 7

8 ttistiche Defiizioe: si defiisce vriz cmpiori di u cmpioe {,,..,} proveiete d u popolzioe vete desità f(x) l qutità: i i 8

9 ttistiche Teorem: dto u cmpioe {,,..,} proveiete d u popolzioe vete desità f(x), si h che: E dove è l vriz di f(x) 9

10 Teorem Limite Cetrle Teorem: si dt u popolzioe distribuit co desità f(x) vete medi e vriz e fiite, si l medi di u cmpioe csule di umerosità estrtto d ess, llor l medi cmpiori segue u distribuzioe ormle co medi e vriz / l tedere di ll ifiito. 0

11 tim per itervlli Defiizioe: si defiisce itervllo fiducirio per il prmetro q u itervllo etro il qule il prmetro può ssumere i vlori co u prefisst probbilità chimt livello di fiduci (-) q U P L

12 tim per itervlli dell medi i {,,..,} u cmpioe estrtto d u popolzioe vete distribuzioe ormle co medi e vriz ot. Allor l medi cmpiori è uo stimtore per l medi dell popolzioe ed ioltre segue u distribuzioe ormle co medi e vriz /. Cosiderimo Z

13 tim per itervlli dell medi i h che Z segue l distribuzioe ormle stdrdizzt, duque P Z Z Z 3

14 4 tim per itervlli dell medi e quidi: Z Z P Z Z P

15 tim per itervlli dell medi duque u itervllo fiducirio per l medi Z Z 5

16 tim per itervlli dell medi e l vriz o è ot llor si h che l qutità T segue u distribuzioe chimt di studet co - grdi di libertà 6

17 7 tim per itervlli dell medi e quidi, i modo logo quto ppe visto, si h:,, t t P,, t t P

18 8 tim per itervlli dell medi e duque u itervllo fiducirio per l medi, i questo cso è dto d t t,,

19 Tbell per l distribuzioe di studet p

20 Tbell per l distribuzioe di studet p t 0.975,

21 tim per itervlli dell differez tr due medie Tlvolt è iteresste poter stimre l differez fr le medie di due popolzioi. Esmido le vrize delle due popolzioi e, bbimo tre csi prticolri: e soo ote; e o ote m uguli; e o ote e o uguli.

22 tim per itervlli dell differez tr due medie (vrize ote) e e soo distribuite ormlmete co vriz ot e, llor l vribile csule = - è distribuit ormlmete co medi pri -, ioltre si h:

23 tim per itervlli dell differez tr due medie (vrize ote) Cosiderdo l vribile Z così defiit Z è distribuit ormlmete co medi ull e vriz uitri (ormle stdrdizzt) 3

24 4 Z Z P e quidi si h: tim per itervlli dell differez tr due medie (vrize ote) duque Z Z P

25 5 Rissumedo l itervllo fuducirio per l differez delle medie risult tim per itervlli dell differez tr due medie (vrize ote) Z Z

26 tim per itervlli dell differez tr due medie (vrize o ote m uguli) e le vrize delle popolzioi o soo ote m è rgioevole riteerle uguli si h che l miglior stimt per l vriz delle popolzioi è dt d: P e duque l stim dell vriz di è dt d ˆ P 6

27 tim per itervlli dell differez tr due medie (vrize o ote m uguli) Quidi, logmete quto già visto, risult che l qutità T defiit d T p segue l distribuzioe di studet co + - grdi di libertà 7

28 8,, t t E duque l itervllo fiducirio per l differez delle medie risult: tim per itervlli dell differez tr due medie (vrize o ote m uguli) p co:

29 tim per itervlli dell differez tr due medie (vrize o ote e o uguli) e le vrize delle popolzioi o soo ote e o è rgioevole riteerle uguli si h che l qutità T defiit d: T segue pprossimtivmete l distribuzioe di studet co u grdi di libertà 9

30 30 Dove u è dto d: tim per itervlli dell differez tr due medie (vrize o ote e o uguli) u

31 3,, t t u u E duque l itervllo fiducirio per l differez delle medie risult: tim per itervlli dell differez tr due medie (vrize o ote e o uguli) co:

32 tim per itervlli dell vriz Alogmete quto visto per medi e differez di medie si può costruire u itervllo fiducirio per l vriz di u popolzioe. Cosiderdo l qutità defiit d: V i i quest segue u distribuzioe chimt chi-qudrto (c ) co - grdi di libertà. 3

33 E duque risult: tim per itervlli dell vriz Pc c,, c, c, c 33

34 E l itervllo fiducirio: tim per itervlli dell vriz c, c, 34

35 Tbell per l distribuzioe c p E-05.57E E E E-03.58E-0.7E E E E E E

36 Tbell per l distribuzioe c p E-05.57E E E E-03.58E-0.7E E E E E E c 3, c 3,

37 L qutità: tim per itervlli del rpporto tr le vrize di due popolzioi F segue u distribuzioe di Fisher co u = - grdi di libertà umertore e u = - grdi di libertà deomitore f, 37

38 E duque risult: tim per itervlli dell vriz P f,,, f, f,, f,, F 38

39 39 tim per itervlli del rpporto delle vrize E l itervllo fiducirio:,,,, f f