Esercitazioni di Algebra e Geometria. Anno accademico Dott.ssa Sara Ferrari
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- Aloisia Ruggiero
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1 Eseritzioi di lgebr e Geometri o demio 9- Dott.ss Sr Ferrri e-mil sr.ferrri@ig.uibs.it Eseritzioi: mrtedì 8.-. veerdì 9.-. ttezioe: le lezioi del veerdì iizio esttmete lle 9.. Rievimeto studeti: veerdì presso il diprtimeto di mtemti vi Vlotti). Le tre per le eseritzioi sro reperibili ll pgi: Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-
2 trie U mtrie m x oeffiieti i u mpo K è u tbell o: m righe oloe i ui elemeti, detti etrte, pprtegoo l mpo K. Esempi di mpi soo: Q il mpo dei umeri rzioli, R il mpo dei reli, C il mpo dei umeri omplessi. Esempio π È u mtrie x oeffiieti reli. Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-
3 L otzioe ) è equivlete [ ] oppure. Per rppresetre u geeri mtrie di m righe e oloe useremo l seguete: m,,,,, m, O,, m, Idido il ome dell mtrie o u letter miusol dell lfbeto ltio e le etrte o l stess letter miusol. Notzioe più siteti è: ) i, i m,,,, dove i, è l elemeto he si trov i posizioe i,) ioè sull i-esim rig e -esim olo. Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-
4 Nell esempio preedete: B π b, - b, b, b, b, b, o b i, R e gli idii i, e l,,. L isieme delle mtrii di dimesioi mx sullo stesso mpo K è idito o K m,. Q m, h per oggetti le mtrii mx etrte rzioli, R m, h per oggetti le mtrii mx etrte reli, C m, h per oggetti le mtrii mx etrte omplesse. Csi prtiolri: Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-
5 ) m si ottegoo mtrii rig di dimesioi x oeffiieti i K. ),,, K, b) si ottegoo mtrii olo di dimesioi mx oeffiieti i K. B b b b,, m, K m, ) m si ottegoo mtrii qudrte di dimesioi x oeffiieti i K. Il umero è detto ordie dell mtrie qudrt. Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-
6 C,,,,,,,, pprtiee K, m di solito tle isieme si idi K). Ovvimete m è u mtrie o u ui etrt C, ).,,,, Esempi O,,,, R è u mtrie rig o etrte oeffiieti reli. B e R,, Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-
7 Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-7 è u mtrie olo o etrte oeffiieti reli. ) R 8 7 C π è u mtrie qudrt di ordie o etrte oeffiieti reli. Operzioi o le mtrii L somm di mtrii Sio, B due mtrii di K m,. Idihimo B u mtrie di K m, osì defiit:
8 B m,,,,, m, O,, m, b b bm,,, b b b,, m, O b b b,, m,,, m, b b b,, m,,, m, b b b,, m, O,, m, b b b,, m, K Quidi l mtrie B h i posizioe i,) l elemeto otteuto sommdo i, e b i, i K: B m, ) ) ) i,, m b i,, m b i,,, i,,, i, i, i,, m,, Osservzioi: ) prim di eseguire l somm tr due mtrii otrollre sempre he bbio lo stesso umero di righe e lo stesso umero di oloe. Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-8
9 ) L mtrie O di K m, o etrte tutte ulle o i, per ogi i,,m e,, fuge d elemeto eutro rispetto ll somm di K m, ed è dett mtrie ull di K m, : Eserizio Dte le segueti mtrii: - -, B OO. -, 7 - C -, - D - Clolre, ove si possibile, B, BC, D,, BBB) e BC)C. ) B: l operzioe o è defiit i quto b) BC: l operzioe è defiit e l mtrie somm è: Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-9
10 Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9- ) 7 ) ) C B ) D: l operzioe o è defiit i quto d) : l operzioe è defiit e) BBB) le operzioi soo defiite: B) B B
11 Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9- f) BC)C le operzioi soo defiite: C C) B Dgli esempi d) ed e) posso osservre he dt u mtrie ) m i i,,,,, è possibile lolre ) m i i,,,,,, ) m i i,,,,, ) e osì vi. Possimo geerlizzre e defiire:
12 Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9- Il prodotto tr uo slre e u mtrie Sio u mtrie di K m, e K uo slre. Idihimo u mtrie di K m, osì defiit: m m m m m m,,,,,,,,,,,,,,,,,, O O Esempio C - - D Duque l mtrie file h i qulsisi posizioe i,) l elemeto i, moltiplito per lo slre i K.
13 Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9- Eserizi d svolgere Si eseguo, qudo possibile, le segueti operzioi o le mtrii: B, CD, C; - B, C D, B C; -, B, -C, -D; B, C D, D. - D C B
14 Il prodotto tr mtrii Prim di tutto defiimo os si itede per prodotto tr mtrie rig e mtrie olo. Sio, mtrie rig di K,, e B, mtrie olo di K, : idihimo o B u elemeto di K osì defiito B b, b b, Osservzioe:,,,, ),b,,b,, b, il prodotto è defiito solo se il umero di oloe di è ugule l umero di righe di B. Esempio ) ) Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-
15 metre o è defiito. ) llor, dte K m, e B K,p, defiimo il prodotto tr l i-esim rig di e l -esim olo di B: i B b b b,, ) i,b, i,b, i, b, i, i, i, Osservzioe: il prodotto è defiito perhé il umero delle oloe di è per ipotesi ugule l umero di righe di B., Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-
16 Il prodotto tr l i-esim rig di e l -esim olo di B può essere osì sritto: i B ) ) i h bh, i, h bh,, h,, h,, h,, Esempio Dte C - - il prodotto tr u rig di e u olo di C è sempre defiito. Per esempio il prodotto tr l -rig di e l -olo di C è: C ) ttezioe: il prodotto tr u rig di C e u olo di o è defiito. Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-
17 Defiimo or il prodotto tr due mtrii: dte due mtrii K m, e B K,p, defiimo il prodotto B u mtrie di K m,p il ui elemeto i posizioe i,) si ottiee moltiplido l i-esim rig di per l -esim olo di B b, b B) i, i, i, i,,,,, b,, ) i b i b i b i, h b h, h,,,, Osservzioi: ) Il prodotto B è defiito solo se il umero delle oloe di è ugule l umero delle righe di B. Se il prodotto B è defiito l mtrie risultte h il umero delle righe di e il umero delle oloe di B. Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-7
18 Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-8 ) Se è defiito B, o è detto he lo si B: per esempio mtrie di R, e B mtrie di R, ) Se soo defiiti B e B o è detto he BB: esempio mtrie di R, e B mtrie di R,. Esempi C - - H Clolre, se possibile, C, C, CH e HC C
19 Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9-9 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) C impossibile perhé CH HC Osservzioi per le mtrii qudrte ) Dt K) è possibile defiire riorsivmete r r- o r N, r>.
20 Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9- b) Dte, B K) è sempre possibile lolre B e B i geere mtrii diverse). ) Idit o I i k, ) k,,, l mtrie osì defiit: i k, se k i k, se k llor I I qulsisi K). I è l mtrie he fuge d uità rispetto l prodotto di mtrii) per le mtrii qudrte di ordie su K ed è dett mtrie ideti. Esempio C CI C C I
21 Lezioe - Eseritzioi di lgebr e Geometri - o demio 9- Eserizio d svolgere Dte le mtrii determire, qudo possibile, B, B, CD, DC;, BC, BD; I, -B). - D C B
A=B se e solo se 1) m=p 2) n=q 3) a i,j =b i,j K per ogni i=1,,m e j=1,,n. Studiamo ora alcune delle proprietà che regolano queste operazioni.
Osservzioe: due trii soo idetihe se e solo se ho lo stesso uero di righe lo stesso uero di oloe e ho le stesse etrte i K: dte A i j i B i j i p j...... j...... q AB se e solo se p q ij ij K per ogi i e
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