MATEMATICA C 3 -ALGEBRA 2 1 NUMERI REALI E RADICALI

Transcript

1 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli MATEMATICA C -ALGEBRA NUMERI REALI E RADICALI Joycuh, Poto de covergeci NUMERI REALI.... Di umeri turli i umeri irrzioli.... I umeri reli.... Vlore ssoluto...7. RADICALI...9. Rdici qudrte...9. Rdici cubiche...0. Rdici -esime.... Codizioi di esistez.... Poteze espoete rziole.... Proprietà ivritiv e semplificzioe delle rdici Moltipliczioe e divisioe di rdici Potez di rdice e rdice di rdice Portre u fttore detro il sego di rdice Portre uo o più fttori fuori dl sego di rdice.... Somm di rdicli.... Rziolizzzioe del deomitore di u frzioe...8. Rdicli doppi.... Equzioi, disequzioi e sistemi coefficieti irrzioli.... Esercizi di riepilogo... NUMERI REALI

2 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli. NUMERI REALI. Di umeri turli i umeri irrzioli Nel volume Algebr bbimo presetto i diversi isiemi umerici. Li ripredimo brevemete per poi pprofodire i umeri reli e le loro proprietà. L'isieme dei umeri turli rcchiude i umeri che utilizzimo per cotre; si idic el seguete modo: N={0,,,,,,,7,8,9,0,,,...} Su questi umeri soo defiite le segueti operzioi: ddizioe: m è il umero che si ottiee prtedo d e cotiudo cotre per ltre m uità; sottrzioe: m è il umero, se esiste ed è uico, che ddizioto m dà come risultto ; moltipliczioe: m è il umero che si ottiee sommdo volte m, o meglio sommdo ddedi tutti uguli m; divisioe: :m è il umero, se esiste ed è uico, che moltiplicto per m dà come risultto ; potez: m è il umero che si ottiee moltiplicdo m fttori tutti uguli ; co l'ggiut di = e 0 = ; rdice: m è il umero, se esiste ed è uico, che elevto dà come risultto m. L'ddizioe, l moltipliczioe e l potez soo dte su tutto l'isieme dei umeri turli, cioè dti due umeri turli qulsisi, ed m, l loro somm m, il loro prodotto m e l potez m, escluso il cso 0 0, è u umero turle. No sempre, ivece, è possibile clcolre l loro differez m, il loro quoziete :m o l rdice m. Tuttvi, dl puto di vist prtico-pplictivo molto spesso si icotro situzioi elle quli occorre sper eseguire sempre queste operzioi. Iizimo dll'operzioe di sottrzioe. Sppimo che i tte situzioi di tur ecoomic, m o solo, deve essere possibile sottrrre u umero d uo più piccolo. Deve essere possibile, per esempio, comprre u'uto che cost.000 euro che qudo i bc bbimo solo euro. Deve quidi essere possibile eseguire u sottrzioe del tipo Il risultto di quest operzioe o v poi cofuso co il risultto di Nel secodo cso, iftti, sigific che sul ostro coto correte bbimo.000 euro e dobbimo spedere 0.000, ci rimgoo iftti.000 euro. Nel primo cso ivece, ci rime u debito di.000 euro. Per distiguere i due tipi di umeri i mtemtici mettoo dvti l umero il sego + o il sego -. Si geer così l'isieme dei umeri reltivi Z={...,,,,0,,,,...} Su questi umeri l'operzioe di sottrzioe è ovuque defiit, i ltre prole è possibile eseguire tutte le sottrzioi. No è ivece possibile eseguire sempre le divisioi. Per esempio o è possibile, co i umeri iteri, eseguire l divisioe :. Esistoo però tte situzioi reli i cui u divisioe di questo tipo deve poter essere risolt. Per esempio è possibile dividere i prti uguli uov i persoe, bst fre u frittt i u pdell tod e dividere l frittt i quttro prti uguli, ciscuo tocco di uovo. Deve essere possibile dividere i prti uguli euro tr persoe. Dopo ver otto che essuo tocc euro itero, si procede cmbire le moete d euro i moete d decimo di euro, si cmbio quidi i euro co 0 decimi di euro. Dividedo le 0 moete i prti uguli risult che ciscuo riceve 7 moetie e e vzo. Per dividere le moete d u decimo si cmbio i moete d u cetesimo, otteedo 0 cetesimi di euro. Si dividoo llor le 0 moetie i prti uguli, ciscuo vr cetesimi di euro. I tutto ciscuo tocco 7 cetesimi di euro. Per rppresetre il risultto di queste due operzioi di divisioi bbimo usto el primo cso l otzioe frziori e el secodo cso l otzioe decimle 0,7. Le due scritture soo perfettmete equivleti. Per risolvere tutti i problemi di divisioe i mtemtici ho costruito u isieme più grde di umeri, detti umeri rzioli che idichimo el seguete modo: Q= { m, Z, m N,m 0 } = { 0,,,,,,, 7, 9 7 }... Co questi umeri è possibile sempre eseguire l'ddizioe, l sottrzioe, l moltipliczioe, l divisioe (d NUMERI REALI

3 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli eccezioe dell divisiioe per 0), l potez. No sempre, ivece, è possibile eseguire le rdici. Per esempio, cioè il umero che elevto l qudrto dà, o è u umero rziole, cioè o può essere scritto é sotto form di frzioe é sotto form di umero decimle fiito o periodico. I umeri di questo tipo si dicoo umeri irrzioli. Abbimo già ffrotto questo problem el volume di Algebr ; per comodità del lettore riportimo il rgiometo. Fissimo sull rett oriett r l uità di misur e disegimo u qudrto di lto. Ci propoimo di clcolre l misur dell su digole: Dti : OABC è u qudrto OA= Obiettivo: Clcolre OB Soluzioe: il trigolo OAB è rettgolo i A, quidi per il teorem di Pitgor OB =OA AB = Sostituimo le misure: OB = = ; per otteere OB dobbimo estrrre l rdice qudrt di, cioè OB =. Sppimo che estrrre l rdice qudrt di u umero sigific trovre quel umero che elevto l qudrto dà ; questo umero deve esistere, perché è il umero che esprime l misur dell digole OB del qudrto. M quto vle? Come fccimo d esprimerlo sotto form di umero decimle, fiito o ifiito che si? o è u umero itero, iftti = e =, il umero deve quidi essere compreso tr e, cioè. Predimo tutti i umeri decimli u sol cifr compresi tr e e clcolimo il loro qudrto:,,,,,,,7,8,9,,,9,9,,,89,, Nessuo dei umeri decimli u cifr è il umero che stimo cercdo. Possimo però osservre che il umero che stimo cercdo è compreso tr, e,, cioè:,,. Abbimo così otteuto due vlori che pprossimo meo di /0. Possimo migliorre l'pprossimzioe prededo tutti i umeri due cifre decimli compresi tr, e,,0,,,,,,,7,8,9,0,900,988,0,09,07,0,,09,90,90,00 Nessuo dei umeri electo è quello che stimo cercdo, tuttvi possimo cocludere che,,. Possimo dire che, è u vlore pprossimto per difetto di metre, è u vlore pprossimto per eccesso, co u errore dell ordie di /00. Abbimo quidi migliorto l pprossimzioe, m cor o bbimo trovto u umero rziole che si ugule. E' possibile cotiure idefiitmete questo procedimeto, otteedo vlori decimli che pprossimo sempre meglio. Cotiudo co lo stesso procedimeto costruimo due clssi di umeri rzioli che pprossimo u per difetto e u per eccesso il umero cercto, migliordo ogi pssggio l'pprossimzioe. Il procedimeto purtroppo sembr o fiire mi, é trovimo cifre che si ripetoo periodicmete. Vlore per difetto umero vlore per eccesso ordie dell'errore,, 0 -,, 0 -,, 0 -,., Il procedimeto che bbimo visto ci dice semplicemete come costruire u'pprossimzioe del umero m o ci permette di cocludere che il procedimeto o fiirà mi. Per rrivre dire che o è u umero rziole, dobbimo fre u rgiometo di tipo diverso. Il tipo di dimostrzioe si dice dimostrzioe per ssurdo. Suppoimo per ssurdo che si u umero rziole e che quidi poss essere scritto i form di NUMERI REALI

4 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli frzioe, precismete = b. Suppoimo di ver già ridotto i miimi termii l frzioe b quidi e b sio primi tr loro. Elevdo l qudrto si h : =, che possimo scrivere come =b. D ciò segue che è u umero pri, i quto lo è b. Se è pri lo è che, poiché il qudrto di u umero pri è pri metre il qudrto di u umero dispri è dispri. Se è pri possimo scriverlo ell form m, per cui si h b = =m cioè b =m.sviluppimo il qudrto l secodo membro: b =m, semplifichimo per si h: b =m. Poiché m è pri lo è che b e per il rgiometo che bbimo ftto prim lo è che b. Simo rrivti cocludere che e b soo etrmbi pri, il che o è possibile i quto vevmo detto di ver già ridotto i miimi termii l frzioe b metre or ci ccorgimo che essedo etrmbi pri si potev semplificre per. Il che è ssurdo, pertto l supposizioe che si potesse esprimere i form di frzioe è errt. Oltre vi soo ltri ifiiti umeri che o possoo essere scritti come frzioe. Per esempio, tutte le rdici qudrte di umeri turli che o soo qudrti perfetti e tutte le rdici qudrte di frzioi che o soo il qudrto di lcu frzioe. M che le rdici cubiche del tipo, 7, U ltro fmoso umero irrziole che si icotr elle misure geometriche è il umero π, che corrispode ll misur dell circoferez di dimetro. Questi umeri soo detti umeri irrzioli e isieme d ltri, come π ed ltri cor che cooscerete i seguito, costituiscoo l isieme J dei umeri irrzioli. L'uioe degli isiemi Q e J è l'isieme R dei umeri reli. Dimostr co u rgiometo logo quello ftto per che o è rziole. Per ciscuo dei segueti umeri reli scrivi u sequez di lmeo sei umeri rzioli che lo pprossimo per difetto e sei umeri rzioli che lo pprossimo per eccesso, come ell'esempio: ) A={;,7;,7;,7;,70;,70;...} B={;,8;,7;,7;,7;,70;...} b) A={... B={... c) 7 A={... B={... d) A={... B={.... I umeri reli I bse quto bbimo detto prim, essedo R=Q J, i umeri reli soo tutti quei umeri che si possoo scrivere i form decimle co u umero fiito o ifiito di cifre, o ecessrimete periodiche. 7 Per esempio, l frzioe è ugule l umero decimle fiito,0. L frzioe è ugule l umero decimle periodico 0, Il umero π è ivece u umero decimle ifiite cifre o periodico. Riportimo lcue cifre: π =, Noostte i umeri irrzioli sio stti scoperti dllo stesso Pitgor o di suoi llievi el IV secolo.c., solo el XIX secolo Augusti-Louis Cuchy e Richrd Dedekid soo giuti u formulzioe rigoros di umero rele. I effetti, ssumere che i umeri reli soo tutti quelli che si possoo scrivere i form decimle fiit o ifiit, del tipo r = +0,bcdefg..., dove r è il umero rele, è l prte iter è 0,bcd... è l prte decimle, comport dei problemi. Per esempio, i umeri iteri ho u doppi rppresetzioe: = 0, A be osservre tutti i umeri decimli fiiti mmettoo l doppi rppresetzioe:, =, Occorre quidi lmeo escludere i umeri decimli co il 9 periodico. Oltre questo problem rime l difficoltà di eseguire le operzioi tr umeri decimli illimitti. Gli lgoritmi per ddiziore, sottrrre e moltiplicre due umeri richiedoo di comicire dll'ultim cifr, cos che o è b e che NUMERI REALI

5 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli possibile per i umeri decimli che o fiiscoo mi. Altro problem o semplice d gestire è il ftto che u defiizioe di questo tipo è strettmete legt l sistem di umerzioe bse 0 che oi utilizzimo. Già el volume Algebr, el prgrfo sulle relzioi di equivlez, bbimo visto come i mtemtici ho potuto costruire l'isieme Z degli iteri reltivi ptire dll'isieme di coppie ordite di N N e l'isieme Q dei rzioli reltivi prtire dll'isieme di coppie ordite di Z Z 0. L questioe questo puto è: possimo costruire l'isieme dei umeri reli prtire dll'isieme dei umeri rzioli Q? Per rppresetre il umero bbimo costruito u isieme, chimimolo A, di umeri rzioli il cui qudrto è miore di e u isieme, chimimolo B, di umeri rzioli il cui qudrto è mggiore di. Sembr llor che il umero spezzi l'isieme dei umeri rzioli Q i due prti: quell dei umeri rzioli tli che e quell dei umeri rzioli b tli che b. L coppi di isiemi A, B crtterizz il umero, zi si può dire che è proprio l coppi A, B. É proprio quest l'ide ll bse del rgiometo del mtemtico tedesco Dedekid (8-9). Dedekid chim sezioe, o prtizioe di Q, u coppi di sottoisiemi o vuoti A e B che devoo soddisfre le codizioi: A B= ; A B=Q ; A, b B,b. Cosiderimo i due isiemi A e B così defiiti: A={ Q }, B={ Q }. Essi defiiscoo u sezioe di Q, iftti A B= ; A B=Q e ogi elemeto di A è miore di ogi elemeto di B; ioltre possimo osservre che A o mmette mssimo, o essedoci i esso u umero che si mggiore di tutti gli ltri, metre B mmette il miimo che è. Sio A={ Q }, B={ Q 0} l coppi A, B o è u sezioe di Q perché pur essedo A B= o è A B=Q. Sio A={ Q 7}, B={ Q 7}, che i questo cso l coppi A, B o è u sezioe di Q poiché A B={ 7}. Costruimo gli isiemi A e B el seguete modo: A si l'uioe tr l'isieme dei umeri rzioli egtivi e tuti i rzioli il cui qudrto è miore di, i B mettimo tutti i rzioli il cui qudrto è mggiore di. A=Q { Q }, B={ Q }. Si h A B= ; A B=Q, ioltre ogi elemeto di A è miore di ogi elemeto di B, duque A, B è u sezioe di Q, m A o possiede il mssimo e B o possiede il miimo, i quto bbimo già dimostrto che o eisste u umero rziole che h come qudrto. Quest sezioe idividu u buco ell'isieme Q. Gli esempi visti ci permettoo di ffermre che u prtizioe A, B può essere di tre tipi: A mmette mssimo e B o mmette miimo; A o mmette mssimo e B mmette miimo; A o mmette mssimo e B o mmette miimo. DEFINIZIONE. Si chim elemeto seprtore di u prtizioe A, B di Q il mssimo di A o il miimo di B, el cso i cui lmeo uo di questi elemeti esist. Nel primo esempio, poiché esiste il miimo di B, l prtizioe A, B mmette u elemeto seprtore e idetific il umero rzioe. Nel qurto esempio o esiste u umero rziole che f d elemeto seprtore, l sezioe A, B idetific u umero irrziole. DEFINIZIONE. L'isieme R dei umeri reli è l'isieme di tutte le prtizioi di Q. Chimimo umero rziole le prtizioi che mmettoo elemeto seprtore, chimimo umero irrziole le sezioi che o mmettoo elemeto seprtore. Ogi umero rele è idividuto d due isiemi di umeri rzioli: el primo tutte le pprossimzioi per difetto e ell'ltro tutte le pprossimzioi per eccesso. Ritordo ll'esempio precedete, il umero è idividuto dll sezioe costituit dgli isiemi A={ Q/ 0 oppure } e B={ Q/ }. Nell'isieme A ci soo tutti i umeri rzioli egtivi oltre quelli che pprossimo per difetto: A={ ;,;, ;, ;, ;,;...}. NUMERI REALI

6 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli Nell'isieme B ci soo tutti i umeri rzioli che pprossimo per eccesso: B={ ;,;,;, ;, ;, ;,;...}. Per ciscuo dei segueti umeri reli scrivi u sequez di lmeo sei umeri rzioli che lo pprossimo per difetto e sei umeri rzioli che lo pprossimo per eccesso: Quest costruzioe dell'isieme dei umeri reli R prtire dll'isieme dei umeri rzioli Q è purmete strtt e formle, o serve l clcolo, vuole solo cocludere il cmmio itrpreso per costruire tutti gli isiemi umerici prtire dll'isieme dei umeri turli N. Dl puto di vist teorico è possibile defiire ell'isieme delle prtizioi di Q, l'ordimeto e le operzioi. Dl puto di vist del clcolo useremo le pprossimzioi. Cofroto. Per cofrotre due umeri reli, osservimo prim di tutto i segi. Se i segi dei umeri soo discordi, il umero egtivo è miore del umero positivo. Se i segi dei umeri soo cocordi si vlut l prte iter del umero: se soo positivi è più grde quello che h l prte iter mggiore, vicevers se soo egtivi è più grde quello che h l prte iter miore. A prità di prte iter bisog cofrotre l prte decimle prtedo dlle cifre più siistr fiché o si trov l prim cifr decimle divers: se i umeri soo positivi è mggiore quello che h l cifr mggiore; se soo egtivi è mggiore quello che h l cifr miore. per verificrlo ci si può iutre co l clcoltrice per clcolre le prime cifre decimli dei due umeri =,..., =,70... ; oppure ci si rriv osservdo che il umero che elevto l qudrto dà deve essere miore del umero che elevto l qudrto dà. 990 per verificrlo è sufficiete osservre che 00=0. Determi per ciscuo dei segueti umeri irrzioli i umeri iteri tr i quli è compreso, come ell'esempio: 0 ) b) Dispoi i ordie crescete i segueti umeri reli: ),0 0,7 b) π 0, 9 0, Cocludimo il prgrfo co lcui rgometi già cceti i Algebr m che trovo solo or u giust colloczioe teoric. DEFINIZIONE. U isieme X si dice cotiuo se ogi prtizioe (X', X ) di X mmette uo e u solo elemeto seprtore, cioè se esiste u elemeto pprteete X tle che per ogi ' di X' e per ogi di X si h '. TEOREMA DI DEDEKIND. Ogi prtizioe dell'isieme elemeto seprtore. R di umeri reli mmette uo e uo solo D questo teorem segue che il umero rele è defiito come l'elemeto seprtore di u sezioe (A,B) di umeri reli. POSTULATO DI CONTINUITÀ DELLA RETTA. Esiste u corrispodez biuivoc tr l'isieme dei puti dell rett geometric e l'isieme R dei umeri reli. D questo postulto segue l possibilità di defiire sull rett u sistem di coordite: d ogi puto corrispode u umero rele (l su sciss) e vicevers d ogi umero rele è ssocito uo e u solo puto sull rett; logmete si h el pio dove il sistem di ssi crtesio permette di relizzre u corrispodez biuivoc tr coppie di umeri reli (sciss e ordit del puto) e u puto del pio geometrico. Vedrete i seguito che l possibilità di ssocire umeri e puti si estede che llo spzio geometrico. NUMERI REALI

7 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli Suddividi il digrmm di Ve che rppreset l'isieme dei umeri reli, i sottoisiemi che rppresetio l'isieme dei umeri turli N, l'isieme dei umeri iteri reltivi Z, l'isieme dei umeri rzioli Q, l'isieme J dei umeri irrzioli. Dispoi i mier opportu i segueti umeri π 0,, - 7 Idic il vlore di verità delle segueti ffermzioi ) u umero decimle fiito è sempre u umero rziole V F b) u umero decimle illimitto è sempre u umero irrziole V F c) u umero decimle periodico è u umero irrziole V F d) l somm lgebric di due umeri rzioli è sempre u umero rziole V F e) l somm lgebric di due umeri irrzioli è sempre u umero irrziole V F f) il prodotto di due umeri rzioli è sempre u umero rziole V F g) il prodotto di due umeri irrzioli è sempre u umero irrziole V F. Vlore ssoluto Vlore ssoluto. Si defiisce vlore ssoluto di u umero rele, si idic co, il umero stesso se è positivo o ullo, il suo opposto se è egtivo. = { se 0 se 0 Il umero si dice rgometo del vlore ssoluto. = = 0 =0 Proprietà del vlore ssoluto y y Il vlore ssoluto dell somm di due umeri è miore o ugule dell somm dei vlori ssoluti dei due umeri. Si h l'ugugliz solo qudo i due umeri reli ho lo stesso sego, oppure qudo lmeo uo dei due umeri è ullo. y y Il vlore ssoluto dell differez di due umeri è miore o ugule dell somm dei vlori ssoluti dei due umeri. y = y Il vlore ssoluto del prodotto di due umeri è ugule l prodotto dei vlori ssoluti dei due umeri. y = Il vlore ssoluto del rpporto di due umeri è ugule l rpporto dei vlori ssoluti dei y due umeri. = i etrmbi i csi si ottiee 8 = metre =8, pertto 8 Clcol il vlore ssoluto dei segueti umeri ) b) NUMERI REALI 7

8 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli 9 Due umeri reli ed y soo etrmbi o ulli e di sego opposto. Verific le segueti relzioi co gli esempi umerici riportti fico. Relzioe =- y=+ =- y=+ =-0 y=+ =+ y=- ) < y V F V F V F V F b) = y V F V F V F V F c) < y V F V F V F V F d) + y < + y V F V F V F V F e) - y = - y V F V F V F V F f) - y = - y V F V F V F V F Quli delle relzioi soo vere i lcui csi e flse i ltri, quli soo sempre vere, quli soo sempre flse? ) dipede d e y; b) dipede d e y; c) dipede d e y; d) sempre ver; e) sempre ver; f) sempre fls. I geerle, se l'rgometo del vlore ssoluto è u fuzioe f si h f = { f se f 0 f se f 0 = { se se = iftti è u qutità sempre o egtiv. = iftti è sempre positivo, umetto di srà sempre >0. Nelle espressioi coteeti vlori ssoluti di rgometo letterle si deve cercre di elimire il vlore ssoluto. f = cquist due sigificti secod che l'rgometo del vlore ssoluto si o egtivo o egtivo. L su espressioe lgebric è f = = { se 0 se 0 = se { se U fuzioe di questo tipo si dice defiit per csi. = se ; se Elimi il sego di vlore ssoluto dlle segueti espressioi 0 o L'rgometo del primo vlore ssoluto è o egtivo qudo. L'rgometo del secodo vlore ssoluto è positovo qudo. L'isieme dei umeri reli rest diviso i tre itervlli: () i questo itervllo etrmbi gli rgometi dei vlori ssoluti soo egtivi, pertto = = =. () l'rgometo del primo vlore ssoluto è egtivo metre l'rgometo del secodo vlore ssoluto è positivo, pertto = = =7. () gli rgometi di etrmbi i vlori ssoluti soo positivi, pertto = =. Possimo llor sitetizzre i questo modo { se = 7 se se Come ell'esempio, elimi il sego di vlore ssoluto dlle segueti espressioi NUMERI REALI 8

9 . RADICALI. Rdici qudrte Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli Ricordimo che il qudrto di u umero rele r è il umero che si ottiee moltiplicdo r per se stesso: r =r r. Il qudrto di u umero è sempre u umero o egtivo; umeri opposti ho lo stesso qudrto: =9 ; = ; = =. L'operzioe ivers dell'elevmeto l qudrto si chim rdice qudrt. L rdice qudrt di u umero rele è llor quel umero che elevto l qudrto, cioè, che moltiplicto per se stesso, dà il umero. Osservimo che o esiste l rdice qudrt di u umero egtivo, poiché o esiste essu umero che elevto l qudrto può dre come risultto u umero egtivo. DEFINIZIONE. Si dice rdice qudrt di u umero rele positivo o ullo quel umero rele positivo o ullo che elevto l qudrto dà come risultto il umero dto. I simboli =b b = dove, b R {0}. Il simbolo è il simbolo dell rdice qudrt; il umero è detto rdicdo, il umero b è detto rdice qudrt di. Dll defiizioe = co 0. = 8 9. Per esempio 8=9 perché 9 =8 ; 9 = perché 8 Osserv or che 8= 9 m o è vero che 9 = 9 perché ell defiizioe di rdice qudrt bbimo imposto che il risultto dell'operzioe di rdice qudrt è sempre u umero positivo o ullo. Quest osservzioe ci iduce porre molt ttezioe qudo il rdicdo è u'espressioe letterle: i questo cso = o è del tutto corretto poiché può ssumere si vlori positivi si vlori egtivi. Scriveremo correttmete =. = iftti = = iftti = 9 = iftti = 9 0,0=0, iftti 0, =0,0 = iftti = 0=0 iftti 0 =0 o esiste perché il rdicdo è egtivo. esiste m o è u umero itero é rziole, è u umero irrziole. = dobbimo mettere il vlore ssoluto l risultto perché o cooscimo il sego di. = = dobbimo mettere il vlore ssoluto perché - può che essere egtivo. 9 = Determi le segueti rdici qudrte rzioli (qudo è possibile clcolrle) ) b) c) 0,0 0,09 0,000 0, 0,09 d) 9 0,0 0, e) 79 Sez usre l clcoltrice determi per ciscu delle segueti rdici qudrte il vlore pprossimto /0: ; ; 7 ; ; ; 7 Estri le segueti rdici di espressioi letterli, fcedo ttezioe l vlore ssoluto 8 9 NUMERI REALI 9

10 . Rdici cubiche Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli DEFINIZIONE: Si dice rdice cubic di u umero rele quel umero che, elevto l cubo, dà come risultto. I simboli =b b = se b = dove, b R. Puoi otre che l rdice cubic di u umero rele positivo o egtivo o ullo esiste sempre. 8= iftti = = 8 = iftti = = = iftti = = 0=0 iftti 0 =0 0 0=0 000= 0 iftti 0 = 000 = iftti 8 = 8 0,=0, iftti 0, =0, = per le rdici cubiche o si deve mettere il vlore ssoluto = = o si deve mettere il vlore ssoluto Osserv che l rdice cubic di u umero mtiee sempre lo stesso sego del umero i quto il cubo di u umero rele coserv sempre lo stesso sego dell bse. Determi le segueti rdici cubiche ) b) ,00 7 0,008 8 c) Sez usre l clcoltrice determi per ciscu delle segueti rdici cubiche il vlore pprossimto / Estri le segueti rdici cubiche di espressioi letterli NUMERI REALI 0

11 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli. Rdici -esime Oltre lle rdici qudrte e cubiche si possoo cosiderre rdici di idice qulsisi. Si prl i geerle di rdice -esim per idicre u rdice co u qulsisi idice. DEFINIZIONE. Si dice rdice -esim di u umero rele quel umero b che elevto d dà come risultto. I simboli =b b = co N,. 0 No si defiisce l rdice di idice 0: l scrittur è priv di sigificto. All scrittur si dà il vlore. Qudo si trtt co le rdici -esime di u umero rele, bisog fre ttezioe se l idice dell rdice è pri o dispri. Si preseto iftti i segueti csi: se l idice è dispri l è defiit per qulsisi vlore di R, ioltre è egtiv se <0, positiv se >0 e ull se =0; se l idice è pri l è defiit solo per i vlori di 0 e si h che 0. = iftti = o esiste = iftti = = iftti = 0=0 per ogi >0 = iftti = = v il vlore ssoluto perché l'idice dell rdice è pri = o v il vlore ssoluto perché l'idice dell rdice è dispri. 9 Determi le segueti rdici se esistoo ) b) c) , ,008 NUMERI REALI

12 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli. Codizioi di esistez Qudo il rdicdo è u'espressioe letterle dobbimo fre molt ttezioe operre su di esso. Le codizioi di esistez, i breve si può scrivere C.E., di u rdicle co rdicdo letterle, soo le codizioi cui devoo soddisfre le vribili che compioo el rdicdo ffiché l rdice bbi sigificto. Suppoimo di vere l rdice A co A() poliomio ell idetermit, dobbimo distiguere i segueti csi: se è pri l rdice esiste per tutti i vlori di che redoo o egtivo il rdicdo, cioè C.E. A 0 se è dispri l rdice esiste per qulsisi vlore dell vribile, purché esist il rdicdo stesso. C.E. 0 Occorre discutere il sego dell frzioe Pertto C.E. Poiché l rdice h idice dispri o occorre porre essu codizioe di esistez. Determi le codizioi di esistez dei segueti rdicli. 0 y y y NUMERI REALI

13 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli. Poteze espoete rziole I questo prgrfo ci propoimo di scrivere l rdice -esim di u umero rele 0 sotto form di potez di, voglimo cioè che si: = Cso co espoete positivo Elevdo mbo i membri dell ugugliz ll potez otteimo: = d cui si ottiee = Trttdosi di due poteze co bse 0 uguli tr loro, l'ugugliz è res possibile solo se soo uguli gli espoeti. I ltre prole, deve essere: = = Possimo quidi scrivere: = Vedimo or di geerlizzre l formul. Si m u umero itero positivo, possimo scrivere Pertto possimo scrivere che m = m m = m Clcol 7 Clcol Si h che 7 =7 = =9 Si h che = = = Cso co espoete egtivo Per defiire l potez d espoete rziole egtivo è ecessrio imporre l restrizioe 0, iftti risult: m = m 7 = 7 = = 9 = = = = = 8 = =8 8 = = 9 9 =9 =9=7 m = I geerle si dà l seguete DEFINIZIONE. Si dice potez espoete rziole m = m = m m co di u umero rele positivo l espressioe: m Q Perché bbimo dovuto imporre l codizioe che si u umero positivo? Prtimo dll espressioe ogi vlore dell bse, metre se è pri Nel cso geerle m Iftti fccimo u esempio: co N {0}, se è dispri l potez è sempre defiit per co m Z l formul è defiit solo per 0. m = m è fls se <0. NUMERI REALI

14 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli } = che o è defiit ei umeri reli perché o esiste l rdice sest di u ={ umero egtivo. Tuttvi possimo che scrivere ={ } = = = Arrivimo pertto due risultti differeti. Per estedere l defiizioe l cso di bsi egtive srebbe ecessrio stbilire u ordie di priorità delle operzioi m ciò drebbe cotro l proprietà commuttiv del prodotto degli espoeti di u potez di potez. Clcol le segueti poteze co espoete rziole ) b) c) d) 7 e) 0, 0, 0, 00 0, 7 Trsform le segueti espressioi i form di potez co espoete frziorio ) b) 8 Trsform ell form rdicle le espressioi: 0, Scrivi i ordie crescete i segueti umeri 0, , 0 0, 0, 0 0 0, NUMERI REALI

15 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli. Proprietà ivritiv e semplificzioe delle rdici PROPOSIZIONE. Il vlore di u rdice i R {0} o cmbi se moltiplichimo l'idice dell rdice e l'espoete del rdicdo per uo stesso umero itero positivo. I simboli m = t mt co 0, m,, t N {0} = bbimo moltiplicto idice dell rdice ed espoete del rdicdo per. = 9 bbimo moltiplicto per idice dell rdice ed espoete del rdicdo PROPOSIZIONE. Il vlore di u rdice i R {0} o cmbi se dividimo l'idice dell rdice e l'espoete del rdicdo per u loro divisore comue. t I simboli mt = m co 0, m,,t N {0} 8 = bbimo semplificto per idice dell rdice ed espoete del rdicdo. 0 = bbimo semplificto per. 7 9 o è riducibile perché idice dell rdice ed espoete o ho divisori comui. = 8 = Semplificdo l frzioe dell'espoete = = 9 = 9 = = = 0 semplificdo per idice dell rdice ed espoete del rdicdo si h 0 = scompoedo i fttori primi otteimo le segueti poteze = = =90 Se il rdicdo è u'espressioe letterle, quidi si positiv che egtiv, dobbimo scrivere m se t è dispri m se t è pri y = y = y bbimo semplificto per gli espoeti e l rdice stess. t ={ mt = = Dopo ver ricoosciuto che il rdicdo è il qudrto del biomio, bbimo semplificto per gli idici. y = y ; y y = y = y ; y o è semplificbile perché il rdicdo o può essere espresso sotto form di potez. = L proprietà ivritiv si può pplicre per semplificre i rdicli se l bse del rdicdo è positiv o ull, se fosse egtiv si potrebbe perdere l cocordz del sego, come mostrto dl seguete esempio: 0 iftti il primo rdicdo è positivo metre il secodo è egtivo. Ivece l cocordz del sego è coservt i questo esempio: 9 = Iftti pur essedo l bse egtiv, l espoete rest dispri, coservdo il sego dell bse. Se il rdicdo h bse egtiv e ell semplificzioe il suo espoete pss d pri dispri è ecessrio mettere il rdicdo i vlore ssoluto: 0 = NUMERI REALI

16 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli Se il rdicdo è letterle si segue l stess procedur: ogi volt che studido il sego del rdicdo si trov che l bse può essere egtiv, se l espoete del rdicdo pss d pri dispri, si mette il modulo per grtire l cocordz del sego. 0 = C.E: può ssumere quluque vlore di R 0 Trsform i segueti rdicli pplicdo l proprietà ivritiv ) = =... =... =... b) =... =... 8 =... 7 =... 8 c) 7 =... co >0 8 =... co >0 7=... =... 7 Semplific i rdicli y b 9 b 0 9 y 9 y b 8 c 7 c b 0 0,008 y b b y b b b b NUMERI REALI

17 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli 7. Moltipliczioe e divisioe di rdici Prim di operre co i rdicli letterli, è ecessrio determire le codizioi di esistez: il prodotto di due rdicli esiste là dove soo soddisftte le codizioi di esistez di tutti i fttori; il quoziete esiste là dove soo soddisftte le codizioi di esistez di dividedo e divisore, ioltre il divisore deve essere diverso d zero. Moltipliczioe e divisioe di rdici co lo stesso rdicdo Per effetture l moltipliczioe o l divisioe tr rdici veti lo stesso rdicdo si possoo trsformre le rdici i form di poteze co espoete rziole e utilizzre le proprietà delle poteze. = = : = : = 7 = = = 7 = Moltipliczioe e divisioe di rdici co lo stesso idice Il prodotto di due rdici che ho lo stesso idice è u rdice che h per idice lo stesso idice e per rdicdo il prodotto dei rdicdi: b= b Allo stesso modo, il quoziete di due rdici che ho lo stesso idice è u rdice che h per idice lo stesso idice e per rdicdo il quoziete dei rdicdi: : b= : b b = b Ache per redersi coto di quest proprietà si possoo trsformre le rdici i poteze d espoeti rzioli e pplicre le proprietà delle poteze: b= b =b = b = = 9 7 = 9 7 = = 8 b : b C.E. 0 b0 9 b : b 9 = b 9 b = 9 b = b Moltipliczioe e divisioe di rdici co idici diversi Per moltiplicre o dividere rdici co idici differeti è ecessrio prim ridurre le rdici llo stesso idice, cioè trsformrle i rdici equivleti che però ho lo stesso idice, per quest trsformzioe si us l proprietà ivritiv. Dopo ver otteuto rdici co lo stesso idice si pplic l regol precedete. Procedur per ridurre due o più rdici llo stesso idice: psso: scomporre i fttori irriducibili tutti i rdicdi; psso: porre le codizioi di esistez; psso: clcolre il miimo comue multiplo tr gli idici delle rdici; psso: per ciscu rdice dividere il m.c.m. per l'idice dell rdice e moltiplicre il quoziete trovto per l'espoete del rdicdo. Gli idici delle rdici soo e, il loro m.c.m. è, il primo rdicdo v elevto : cioè, metre il secodo rdicdo v elevto : cioè = = = 8 7 : Il m.c.m. tr gli idici delle rdici è. Il primo rdicdo v elevto :=; il secodo rdicdo v NUMERI REALI 7

18 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli elevto :=; il terzo v elevto :=. 8 7 : = 8 7 : = : = 9 : 9 9 = 9 = = y y C.E. 0 y0. Il m.c.m. degli idici delle rdici è, quidi y = y y y = y y y = 7 y y y y y = y Prim di operre co i rdicli letterli, è ecessrio determire le codizioi di esistez: il prodotto esiste là dove soo soddisftte le codizioi di esistez di tutti i fttori; il quoziete esiste là dove soo soddisftte le codizioi di esistez di dividedo e divisore, ioltre il divisore deve essere diverso d zero Esegui le segueti moltipliczioi e divisioi di rdicli : : co >0 0 : : o o : 0 Scompoimo i fttori i rdicdi 8 : : co >0 Poimo le C.E. 0 0 Semplifichimo le frzioi ll'itero di ciscu rdicdo Trsformimo ello stesso idice: il m.c.m. degli idici è, quidi = = : Scompoimo i fttori i rdicdi : Determiimo le C.E. 0 Per le codizioi di esistez bisog teer coto che essedo il divisore deve NUMERI REALI 8

19 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli essere diverso d zero, cioè o si deve ullre eche il umertore dell frzioe Semplifichimo i rdicdi Riducimo llo stesso idice: il m.c.m. degli idici è Poimo sotto l stess rdice b b : [ 8 8 = b : b : 9 : y y : 7 b : b b b : b b : 9 0 : b b y y : y b : b y y : y y y b b y b y b : b b ] b b b : 8. b b R.[ b ] NUMERI REALI 9

20 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli 8. Potez di rdice e rdice di rdice Per elevre u potez u rdice si elev quell potez il rdicdo: m = m. Si cpisce il perché di quest proprietà trsformdo, come egli ltri csi, le rdici i espoeti co idici frziori: m = m = m = m = = b c = b c L rdice di u'ltr rdice è ugule u rdice co lo stesso rdicdo e co idice il prodotto degli idici m delle rdici: = m. Ache quest proprietà si può spiegre co le proprietà delle poteze: m = m = m = m = = = b b b 8 b b 78 b b 0 b b NUMERI REALI 0

21 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli 9. Portre u fttore detro il sego di rdice Per portre u fttore detro il sego di rdice bst elevrlo ll idice dell rdice e riscriverlo sotto il sego di rdice: b= b se pri e 0 b= b se pri e 0 b= b se dispri Ricorddo che bbimo posto =, portre u fttore sotto rdice quivle svolgere l moltipliczioe tr u rdice di idice e u rdice di idice qulsisi. portre il detro il sego di rdice = = 0 7= 7= = = 9 = 7. lscimo fuori dll rdice il sego meo = = = = 9 = = = = = 0 b= b poiché l'idice dell rdice è dispri si può portre sotto rdice sez porre lcu codizioe. = L'idice dell rdice è dispri, o soo ecessrie codizioi sull. y per portre detro il sego di rdice il coefficiete (-) bisog fre l distizioe: y={ y se y= y se Il rdicle esiste per 0, per questi vlori il coefficiete estero (-) è positivo e può essere portto detro l rdice =. Determiimo le codizioi di esistez del rdicle. Per l'esistez dell frzioe deve essere 0, ovvero. Affiché il rdicdo si positivo o ullo, essedo il deomitore sempre positivo (ovvimete per ), è sufficiete che si 0 ovvero Pertto le codizioi di esistez soo e e Se si h = = NUMERI REALI

22 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli Se il fttore d portre sotto rdice è egtivo, quidi = [ ] = Se =- l'espressioe d clcolre vle zero. Il cso = è escluso dll codizioe di esistez. Trsport detro l rdice i fttori esteri Portre uo o più fttori fuori dl sego di rdice È possibile portre fuori dl sego di rdice quei fttori veti come espoete u umero che si mggiore o ugule ll idice dell rdice. I geerle si prte d u rdicle del tipo: m co m si divide m per e si port fuori il termie elevto l quoziete q dell divisioe iter, cioè q v fuori dll rdice, metre rime detro il sego di rdice il termie elevto l resto r dell divisioe iter, cioè r rest sotto rdice. Quidi si h: m = q r dove q è il quoziete dell divisioe iter m: ed r è il resto dell stess divisioe. Si può che procedere trsformdo l potez m el prodotto di due poteze, u delle quli può essere semplifict co l rdice. Per esempio, = = = Qudo portimo fuori dll rdice u termie letterle dobbimo verificre se l'idice dell rdice è pri o dispri e se il termie che portimo fuori è positivo o egtivo. I prticolre b={ b se dispri b se pri 00 Si scompoe i fttori primi il rdicdo 00= e segue llor che 00= = =0 7= = 70= = = = bisog mettere i vlore ssoluto perché sotto rdice potev essere si egtivo che positivo, l rdice ivece deve essere sempre positiv. b 7 c d Portre fuori dl sego di rdice il mggior umero di fttori. Occorre eseguire le divisioi itere tr gli espoeti e l'idice dell rdice. Comicimo d risult : = quoziete, resto ; per b 7 si h 7: = quoziete, resto ; per c o è possibile portre iete fuori; per d si h := quoziete, resto 0. I defiitiv b 7 c d =b d bc y portre fuori dl sego di rdice i fttori possibili y = y z z z NUMERI REALI

23 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli portre fuori dl sego di rdice i fttori possibili Rccoglimo fttor comue detro l rdice per poter studire le codizioi di esistez del rdicle e portre fuori qulche fttore: = C.E. 0 Pertto = = ={ se 0 se 0 se portre fuori dll rdice = ={ 0 se = se Negli esempi che seguoo sommimo i rdicli come ell somm di moomi simili. 8= == 80= = = = Semplific i rdicli portdo fuori dei fttori 8 0 R.[0] 8 R.[9] 8 8 R.[] R.[] , y b c b d b 7 9 b 7 7 b 8 8 b c b c 9 98 b c 7 b c d 7 b b R.[ ] NUMERI REALI

24 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli. Somm di rdicli Si dice rdicle u espressioe del tipo b co e b umeri reli, b 0 ed N. Il umero prede il ome di coefficiete del rdicle. Operre co i rdicli è simile l modo di operre co i moomi. Iftti è possibile effetture somme lgebriche soltto se i rdicli ho lo stesso idice e lo stesso rdicdo, metre si possoo sempre effetture moltipliczioi e divisioi dopo verli ridotti llo stesso idice. DEFINIZIONE. Due rdicli si dicoo simili se ho lo stesso idice e lo stesso rdicdo. È possibile effetture, duque, somme lgebriche soltto se i rdicli soo simili; se si eseguoo le somme llo stesso modo i cui si eseguoo le somme lgebriche dei moomi. Attezioe quidi o scrivere scritture errte come l seguete =. o si può eseguire perché i rdicli o soo simili o si può eseguire perché i rdicli o soo simili = = 7 7= 8 7= 7= 7 sommimo tr di loro i rdicli simili = = = : = := = = = = = = = = = = = = = = = = =0 = = 9 7= = 87 7=9 Esegui le segueti operzioi co rdicli R.[] 0 7 [ 7 ] R.[77] 0 0 R R.[ ] R.[0] errto NUMERI REALI

25 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli R.[0] 0 R.[ ] 8 0 R.[ ] R.[ 7 ] R.[0] 7 b 0,b R.[ b] 8 b 7b9b R.[9b b] 9 b b b b R.[ b b] 0 b b b b 0, 7 y y y R.[] R.[7] R.[9] R.[9 8] 7 R.[8] R.[ 7 8] R.[8 0 ] R.[ ] [ ] 9 9 : 0 0 y y R.[ y] y 7 y NUMERI REALI

26 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli b b b bb : b b b R.[ b 7 ] y y y y 8 8 y b b b bb : b b b b b b b 7 9 b b b b 8 9 bb b b b 9 y y y y y 0 : R.[b] R.[ 8 b b b b y y y y y R.[ b y b b R.[ ] ] ] R.[b b] R.[ y ] b b : b R.[ b b b bb ] b b b b bb R.[ ] 7 y y 9 y R.[ ] y 8 : R.[ ] 9 y y y y y y 70 y y y y y : y y R.[ y y] NUMERI REALI

27 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli 7 : 7 R.[ 7 b b b y R.[ y b b b 7 R.[ ] 7 R.[ ] 7 9 : 9 R.[ 7 ] R.[ ] y y : 78 : 8 y y y y R.[ y ] ] ] 0 b b 8 R.[ ] R.[ ] 80 8 yy 8 8 y 8 y y y y 8 8y y R.[ y] y y y y y R.[ ] y y 9 9 R.[] 9 8 y y y y y y y y y y R.[ y] y R.[ ] NUMERI REALI 7

28 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli Le espressioi co rdicli possoo essere trsformte i poteze. b b b = 0 b y = b b b = b 9 = 0 9 b. y = y 7 =[ y y y 8 = b b = = ] 7 = y : b b y y 9 b = b = b b = 0 y b y 9 y = b 9 = = R.[ ] 87 7 : 7 R.[ 88 R.[ 9 9 ] 89 b b b bb : b b b R.[b]. Rziolizzzioe del deomitore di u frzioe Rziolizzre il deomitore di u frzioe vuol dire trsformrl i u frzioe equivlete vete deomitore u espressioe ell qule o compio rdici. I Cso: Rziolizzzioe del deomitore di u frzioe del tipo Per rziolizzre il deomitore di u frzioe di questo tipo bst moltiplicre umertore e deomitore per b, che prede il ome di fttore rziolizzte: b = b b b = b b = = = = = = = = = II Cso: Rziolizzzioe del deomitore di u frzioe del tipo co >m. b m I questo cso il fttore rziolizzte è b m. Iftti si h: b m b m b m b m= b m b m= b m b m= = b m b b Se bbimo u esercizio i cui l potez del rdicdo super l'idice dell rdice, prim di rziolizzre possimo portre fuori dll rdice. b ] NUMERI REALI 8

29 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli il fttore rziolizzte è = = = b b il fttore rziolizzte è b b b b = b b = b b b b = b b b b = b = b bb = bb b = b b co b 0. III Cso: Rziolizzzioe del deomitore delle frzioi, b b Per questo tipo di frzioe occorre sfruttre il prodotto otevole b b= b. Il fttore rziolizzte el primo cso è b, el secodo è b. Sviluppimo solo il primo cso, poiché il secodo è del tutto logo: b = b b b = b b = b b = = = = = = = 9 = = = = = 7 IV Cso: Rziolizzzioe del deomitore dell frzioe bc Ache i questo cso si utilizz il prodotto otevole dell differez di qudrti, solo che v ripetuto più volte. o il fttore di rziolizzzioe è = = = il fttore rziolizzte di quest frzioe è = =8 0 0 portdo fuori rdice si h V Cso: Rziolizzzioe del deomitore di u frzioe del tipo b Per rziolizzre u deomitore di questo tipo si utilizz il prodotto otevole b bb = b e quello logo b bb = b b = b b b b b b b = b b b = b NUMERI REALI 9

30 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli Rziolizz i segueti rdicli b b b b b c b b y y 00 b b y y y y y b 9 b 9 9 y b c 7 y NUMERI REALI 0

31 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli b b 9 0 b b b bb b b b b b b. Rdicli doppi Si dice rdicle doppio u'espressioe del tipo b oppure b I lcui csi i rdicli doppi possoo essere trsformti i rdicli semplici medite l seguete formul: ± b= ± b b Quest formul è utile solo qudo b è u qudrto perfetto. 7 0= = = = 7= 7 = = 7 7 = = = = = = = 7 9 = 7 7 =. = utilità i quto il rdicle doppio o è stto elimito. 9 l formul o è stt di lcu NUMERI REALI

32 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli. Equzioi, disequzioi e sistemi coefficieti irrzioli Avedo imprto come operre co i rdicli puoi risolvere equzioi, sistemi e disequzioi co coefficieti irrzioli. Equzioi di primo grdo =9 =9 = 9 = 9 = 9 = = = = = = = = =8 9 = = Risolvi le segueti equzioi coefficieti irrzioli 9 = = = = 0 = R.[] = R.[ ] = R.[] = R.[ ] 8 = R.[8 ] = impossibile = = R.[ ] impossibile = R.[ 7 ] ] = R.[ ] 7 = R.[ = R.[ 7 0 ] 8 8 [ =0 R. 0 9 ] NUMERI REALI

33 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli Disequzioi di primo grdo o Risolvi le segueti disequzioi coefficieti irrzioli 0 R.[ ] R.[ ] 0 R.[ 0 ] R.[ ] { { Sistemi di primo grdo R.[ 7 ] impossibile R.[ ] o { y= y= risolvimolo co il metodo di sostituzioe y { y= { y= { = y y= y y= y y= y y {= y= y y {= yy y {= y { = y = y y= y y {= y y y= y { = y { = y { = yy= y= y= y= { = y= NUMERI REALI

34 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli Risolvi i segueti sistemi coefficieti irrzioli 7 y = { y = y = 8 { y = y= 9 { y= y= 0 { y= y= { 8 y=8 y= { y= 8 y= { 8 y= y=7 { y=0 y= { y= y= { y= y= 7 { y= 8 y= { y=0 y= 9 { y= 8 0 y= { 8 y=8 y=7 { y=0 y= { 8 y= y= { y= = y R. ; { = y R. ; R. 8 ; 7 7 { R. ; { = y y = R. R. ; y= y=0 R. ; R. ; 0 0 idetermito R. ; impossibile R. 99 ; R. ; R. 8 ; 7 7 R. R. ; ; 0 0 R. ; idetermito R. 99 ; impossibile R. ; NUMERI REALI

35 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli. Esercizi di riepilogo Per ciscu delle segueti ffermzioi idic se è Ver o Fls. É dto u qudrto di lto. ) Il suo perimetro è i umero irrziole V F b) L su re è u umero irrziole V F É dto u rettgolo di bse e ltezz. ) Il suo perimetro è u umero irrziole V F b) L su re è u umero rziole V F c) Il perimetro o esiste perché o si sommo umeri rzioli co umeri irrzioli V F d) L misur del perimetro è u umero si rziole che irrziole V F U trigolo rettgolo h i cteti lughi rispettivmete cm e cm. ) L ipoteus h come misur u umero rziole V F b) Il perimetro è u umero irrziole V F c) L're è u umero irrziole V F 7 É dto u qudrto di lto ) L misur dell digole è i umero irrziole V F b) L're è u umero irrziole V F 8 É dto u rettgolo di bse e ltezz. ) Il perimetro è u umero irrziole V F b) L re è u umero irrziole V F c) L misur dell digole è u umero irrziole V F d) Il qudrto dell misur del perimetro è u umero irrziole V F 9 U trigolo rettgolo h u cteto lugo 7cm. Determi, se esiste, u possibile misur dell ltro cteto i modo quest si u umero irrziole e che l ipoteus si, ivece, u umero rziole. 70 Perché l'ugugliz = è fls? 7 Determi il vlore di verità delle segueti ffermzioi ) L rdice terz del triplo di è ugule d. V F b) Dti due umeri reli positivi, il quoziete delle loro rdici qudrte è ugule ll rdice qudrt del loro quoziete. V F c) Il doppio dell rdice qudrt di è ugule ll rdice qudrt del qudruplo di. V F d) Dti due umeri reli positivi, l somm delle loro rdici cubiche è ugule ll rdice cubic dell loro somm. V F e) L rdice cubic di è l metà dell rdice cubic di 8. V F f) Dti due umeri reli positivi, il quoziete delle loro rdici qudrte è ugule ll rdice qudrt del loro quoziete. V F g) Dti due umeri reli positivi, l somm delle loro rdici cubiche è ugule ll rdice cubic dell loro somm. V F h) Dti u umero rele positivo, l rdice qudrt dell su rdice cubic è ugule ll rdice cubic dell su rdice qudrt. V F i) Sommdo due rdicli letterli simili si ottiee u rdicle che h l stess prte letterle dei rdicli dti. V F 7 Riscrivi i ordie crescete i rdicli ; ; 7 Verific che il umero irrziole 7 pprtiee ll'itervllo (; ) e rppresetlo sull'sse dei umeri reli. 7 Soo ssegti i umeri = e =, quli fffermzioi soo vere? [A] soo etrmbi irrzioli [B] solo α è irrziole [C] α è miore di β [D] α è mggiore di β [E] β è irrziole egtivo 7 Le misure rispetto l cm dei lti di u rettgolo soo i umeri reli l = 8 7 e. Determire l misur del perimetro e dell digole del rettgolo. l = 8 : NUMERI REALI

36 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli 7 Se è positivo e diverso d, l'espressioe E= : è ugule : [A] 8 [B] 8 [C] [D] [E] 0 77 Stbilire se l seguete ffermzioe è ver o fls. Per tutte le coppie (,b) di umeri reli positivi co =b, l'espressioe E= b b b b b h il umertore doppio del deomitore. b 78 Clcol il vlore delle segueti espressioi letterli per i vlori idicti delle lettere ) per = b) per = c) per = d) per = e) per = b b : b b 79 Trsform i u rdicle di idice 9 il seguete rdicle b b Determi l'isieme delle Soluzioi delle segueti equzioi coefficieti irrzioli 80 = 8 = R.[ ] R.[ ] 8 Per qule vlore di k il sistem liere è determito? { k y= y= k 8 L isieme di soluzioi dell disequzioe 0 è: [A] 0 [B] 0 [C] 0 [D] 0 [E] sempre verifict. 8 Stbilire se esistoo vlori di che redoo positiv l'espressioe: E= NUMERI REALI

37 Mtemtic C Algebr. Numeri reli e rdicli Copyright Mtemticmete.it 0 Questo libro, eccetto dove diversmete specificto, è rilscito ei termii dell licez Cretive Commos Attribuzioe Codividi llo stesso modo.0 Itli il cui testo itegrle è dispoibile l sito Tu sei libero: di riprodurre, distribuire, comuicre l pubblico, esporre i pubblico, rppresetre, eseguire e recitre quest'oper, di modificre quest'oper, lle segueti codizioi: Attribuzioe Devi ttribuire l pterità dell'oper ei modi idicti dll'utore o d chi ti h dto l'oper i licez e i modo tle d o suggerire che essi vllio te o il modo i cui tu usi l'oper. Codividi llo stesso modo Se lteri o trsformi quest'oper, o se l usi per crere u'ltr, puoi distribuire l'oper risultte solo co u licez idetic o equivlete quest. Autori Ersmo Modic: teori, esercizi Atoio Berrdo: teori, esercizi Cludio Crbocii: esercizi Cristi Mocchetti: itegrzioi Germo Pettri: esercizi Frcesco Dddi: esercizi Nicol Chirio: correzioi Lucio Srr: correzioi Gemm Fiorito: correzioi, risultti esercizi Rffele Storo: teori, esercizi Gvio Npoleto: teori, esercizi Livi Noris: itegrzioi Roberto Cpcioi: idiczioi Riccrdo Sl: correzioi Diel Héri: correzioi Luci Rpell: correzioi Collborzioe, commeti e suggerimeti Se vuoi cotribuire che tu ll stesur e ggiormeto del mule Mtemtic C o se vuoi ivire dei commeti e/o suggerimeti scrivi toioberrdo@mtemticmete.it Versioe del documeto Versioe. del.09.0 NUMERI REALI 7