Capitolo 1. Richiami di teoria elementare

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1 7 Cpitolo Richimi di teori elemetre Cei di teori degli isiemi Il cocetto di isieme è u cocetto primitivo, cioè uo di quei presupposti o ssiomi che i mtemtic costituiscoo i fodmeti e dei quli o è dt lcu defiizioe Ituitivmete si può pesre d u isieme come gli elemeti che lo costituiscoo, ccomuti d u stess tur o proprietà Idicheremo gli isiemi co le lettere i miuscolo A,B,C,X,Y metre gli elemeti di esso verro idicti i miuscolo,, c,, y Per idicre che u elemeto pprtiee d u isieme, scriveremo A ; per idicre che u elemeto o pprtiee d u isieme scriveremo A DEFINIZIONE L isieme privo di elemeti è detto isieme vuoto e lo idichimo co il simolo Φ Dti due isiemi A e B se gli elemeti di A pprtegoo che ll isieme B : = per ogi A B scriveremo che : A B A è coteuto i B oppure B A B cotiee A DEFINIZIONE A si dice sottoisieme proprio di B se A B ed esiste lmeo u elemeto di B che o pprtiee d A : = esiste B, : = tle che A; i tl cso idicheremo A B Se ccde cotemporemete che A B e B A llor A= B cioè i due isiemi soo uguli Se A e B o soo uguli scriveremo A B A diverso d B Si oti che ogi isieme A h come sottoisiemi A stesso e Φ che vegoo chimti sottoisiemi li U isieme può essere rppresetto o per eleczioe elecdo esplicitmete i suoi elemeti o per proprietà eucido l proprietà che i suoi elemeti verifico o trmite i digrmmi di Eulero-Ve ESEMPIO A = {,,6,8} B = {tutti i umeri iteri pri compresi fr ed 8}

2 8 Cpitolo I C = 6 8 Si oti che se u isieme è costituito d u umero fiito di elemeti lo si può idicre ei tre modi possiili; se ivece è costituito d u umero ifiito di elemeti è coveiete idicrlo per proprietà o trmite digrmm Operzioi tr isiemi DEFINIZIONE Dti due isiemi A e B si defiisce uioe tr A e B A B l isieme costituito d tutti gli elemeti di A e d quelli di B presi u sol volt se evetulmete soo ripetuti: A B= A e/o B { } DEFINIZIONE Dti due isiemi A e B si defiisce itersezioe tr A e B A B l isieme costituito dgli elemeti che cotemporemete sto i A ed i B: A B = : A ed B { } DEFINIZIONE Dti due isiemi A e B si defiisce differez tr A e B A/B l isieme costituito dgli elemeti di A che o pprtegoo B: A B = { : A, B} / ESEMPIO Sio A = {,, } B = {-,, } Si h: A B = {-,,,, } A B = {} A / B = {, } B / A = {-, } Attrverso l rppresetzioe grfic dei digrmmi di Eulero-Ve, lo stesso esempio divet: A / A/B A B - B/A B D questo esempio si può otre che A = A / B A B ; A B = B A metre A / B B / A ; questo sigific che le operzioi di uioe ed itersezioe soo operzioi commuttive, metre l differez o lo è

3 Richimi di teori elemetre 9 DEFINIZIONE Dto u isieme A chimeremo isieme delle prti di A, PA, l isieme costituito d tutti i sottoisiemi di A compresi quelli li: PA= {X X A} ESEMPIO Si A = {,,, } determire PA Itto Φ ed A stesso pprtegoo PA; i sottoisiemi formti d u solo elemeto soo : {}, {}, {}, {}; i sottoisiemi formti d due elemeti soo {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}; i sottoisiemi formti d tre elemeti soo {,,}, {,,}, {,,}, {,,} quidi PA = {Φ, A, {}, {}, {}, {}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,,},{,,}, {,,}, {,,}}; otre che PA cotiee 6 = elemeti OSSERVAZIONE I geerle, se u isieme X h r elemeti llor PX vrà r elemeti Alcue tr le proprietà di cui godoo le operzioi tr isiemi soo: P: A A = A P : A Φ = Φ A = Φ P : A Φ = Φ A = A P : A B C = A C B C proprietà distriutiv P5 : A B C = A C B C P6 : A B C = A B C proprietà ssocitiv P7 : A B C = A B C P8 : A / B C = A / B A / C formul di De Morg P9 : A / B C = A / B A /C Dimostrimo, d esempio, l P9, che essedo u ugugliz isiemistic v provt fcedo vedere che preso u quluque elemeto pprteete l primo memro, esso pprtiee che l secodo memro e vicevers Si A / B C ; llor A ed B C, ovvero B oppure C D cui A ed B implic A / B ; A ed C implic A / C I defiitiv A / B oppure A / C perciò A / B A / C Vicevers, si A / B A / C : llor A / B oppure A / C Se A / B llor A ed B ; se A / C llor A m C D ciò B C ovvero A / B C DEFINIZIONE Si dice prodotto crtesio di due isiemi A e B e si deot co A B l isieme formto dlle coppie ordite, co A e B : A B ={, : A, B} Teori dei umeri Cosiderimo desso prticolri isiemi : gli isiemi umerici Idichimo co N l isieme dei umeri turli N = {,,,,,, };

4 Cpitolo I i tle isieme vegoo defiite le operzioi lgeriche elemetri dirette somm e prodotto e le reltive operzioi iverse differez e divisioe Osservimo che le operzioi iverse o sempre soo eseguiili, iftti dti e pprteeti d N l loro differez è quel umero turle c se esiste tle che c = È chiro che se llor c N : c = perché per ogi c itero, c > c > Alogmete dti e iteri o è detto che esist c risultto dell divisioe di per tle che c =, ovvero che si multiplo di Dto che o è possiile i N effetture tutte le operzioi di se, el seso che il risultto o è detto che si u umero itero, viee itrodotto l isieme dei umeri iteri reltivi Z Z = {, ±, ±, ±, ±, } Si gudg così l operzioe di sottrzioe, oltre le due operzioi dirette; m cor o è detto che il quoto di due iteri reltivi si cor dello stesso tipo Per tle motivo viee itrodotto l isieme Q dei umeri rzioli, ossi delle frzioi veti umertore u itero reltivo qulsisi, e per deomitore u itero reltivo diverso d zero m Q= : m, Z, È chiro che N Ze Z Q m Ogi umero rziole el sistem di umerzioe decimle si può scrivere come ± M, c c cr cc cr = ± M, cccr dove M è u umero turle, c, c,, cr soo umeri iteri compresi tr e 9 e l rr sopr c c cr idic l periodicità, ovvero il loro ripetersi ell umerzioe decimle L isieme Q ci permette di eseguire tutte le operzioi lgeriche di se; ricordimo che dti,, c,d elemeti di Z co c e d o ulli si h: c d c = d d c c = d d c = d = c d c > > d > c d Tuttvi si potree provre che / r Q : r =, metre vedremo che u umero che verific l suddett egugliz è l rdice qudrt ritmetic di Pertto, si defiisce R l isieme dei umeri reli, mplido Q co quei umeri che o si possoo esprimere sotto form di frzioe, come, π,e umeri irrzioli: { π e } R= Q,,, Chimeremo umero rele il seguete simolo: ± M, c c cr osservdo che se l successioe di cifre decimli dopo l virgol è periodic il umero è rele rziole, ltrimeti il umero è irrziole Lo zero vrà l seguete rppresetzioe, ; metre il umero rele si dirà positivo o egtivo se il sego che lo precede è oppure

5 Richimi di teori elemetre Dto umero rele si dice opposto del umero lo stesso umero col sego cmito - Due umeri reli e si dicoo uguli se ho lo stesso sego, l stess prte iter e l stess successioe di cifre decimle, ovvero se, sempre vedo lo stesso sego uo dei due umeri è periodico di periodo 9 e l ltro si ottiee d questo sostituedo il 9 co ed umetdo di u uità l cifr che precede il periodo 9, per esempio 5,9999 = 5, L ugugliz fr umeri reli gode delle segueti tre proprietà: P: riflessiv : =, R P: simmetric : = =,, R P: trsitiv : =, = c = c,,, c R Per cofrotre due umeri reli distiti o egtivi diremo che è miore di e scriveremo < se l prte iter di è miore dell prte iter di ovvero se vedo l stess prte iter l prim cifr decimle di è miore dell corrispodete cifr decimle di e così vi Ovvimete > rele positivo Se e soo etrmi reli egtivi diremo che è miore di se < Si deduce che ogi umero rele o egtivo è mggiore di quluque umero rele egtivo Ricordimo che l relzioe di cofroto itrodott i R gode delle segueti proprietà : P: riflessiv :, R P: tisimmetric :, =,, R P: trsitiv :, c c,,, c R P: tricotomi: se < oppure < P5: se c c, c,, R c c se c P6: se c c se c < P7: se e soo cocordi discordi P8: Assiom di completezz : sio A e B sottoisiemi o vuoti di R, tli che A, B Allor esiste lmeo u umero rele c tle che c A, B I R defiimo le operzioi di somm e prodotto che godoo delle segueti proprietà: P: = ; = proprietà commuttiv P: c = c; c = c proprietà ssocitiv P: = ; = esistez dell elemeto eutro P: = =, = = è il reciproco di P5: c = c proprietà distriutiv Le operzioi iverse soo così defiite: =, R

6 Cpitolo I : =, R, Osservimo che : > >, R, ; <,,, R Vlore ssoluto DEFINIZIONE Si dice vlore ssoluto del umero rele il umero o egtivo così defiito: se > = se < se = D quest defiizioe si ho le segueti proprietà : P:, R, P:, R oppure P: y = y, y R P: ±, R prim disugugliz trigolre P5: ±, R secod disugugliz trigolre P6: =, R, P7: < ε ε > = P8: R P9: = R ESEMPI - 5 = - = e - 5 = 5 = - = < - = = 5 > - - = = Elevmeto potez β Assegti due umeri reli α e β, cerchimo di dre sigificto l simolo α Procedimo per pssi:

7 Richimi di teori elemetre si β = umero turle; defiimo α = α α α ed volte α = α m si β = m umero itero reltivo, co m o egtivo ed α, defiimo α = α m m si β = umero rziole; per defiire l potez α itroducimo l rdice -esim di u umero rele Rdice -esim di u umero rele Si R, >, N, > DEFINIZIONE Si chim rdice -esim ritmetic di quel uico umero rele positivo l cui potez -esim d : = Si prov che u sifftto umero esiste Cosiderimo desso l equzioe = co R, N Tle equzioe mmette o meo soluzioi ell icogit rele i fuzioe di ed, iftti: se >, itero pri >, l equzioe = mmette i R, come uiche soluzioi, l rdice -esim ritmetic di = e l opposto dell rdice -esim ritmetic di =- ; se >, itero dispri >, l equzioe = mmette i R u ed u sol soluzioe dt dll rdice -esim ritmetic di = ; se =, itero >, l equzioe = mmette i R u ed u sol soluzioe che è lo zero; se <, itero dispri >, l equzioe = mmette i R u ed u sol soluzioe egtiv dt dll opposto dell rdice -esim ritmetic di =- ; 5 se <, itero pri >, i tl cso l equzioe = o mmette soluzioi i R DEFINIZIONE: si dice rdice -esim di u umero rele ogi soluzioe, se esiste, dell equzioe =, co R, N, > Proprietà dell rdice -esim P: =, ed itero >, e < ed itero dispri > P: se > > se = = se <, dispri < P: = co dispri Si h che = m, pertto se Osservimo che α α R ed α = α m m m α defiimo α = α = α m

8 Cpitolo I Utilizzdo l ssiom di completezz è possiile estedere l defiizioe di β α co β R ed α > Elechimo lcue proprietà delle poteze: P: P: β γ α α = α β γ β γ α = α β γ P: α β > P: α >, β < γ β α < α P5: < γ α α P6: = γ β β γ P7: α β = α β α < β < γ α > γ γ β γ γ γ α < β se γ > γ P8: se < α < β α = se γ = γ γ α > β se γ < γ α γ y y O O ESEMPI = ; Figur Grfico dell fuzioe espoezile [ ] = c c c c ; m m ; s m s k = ; = ; z = z g g = ; = h h = = = 7 : cso >, cso <<

9 Richimi di teori elemetre 5 5 Logritmo DEFINIZIONE Dti e umeri reli, >,, si defiisce logritmo di i se, e lo si idic co l scrittur log, l uico umero rele soluzioe dell equzioe = log Si può provre che u sifftto umero esiste e, ovvimete, risult = Elechimo lcue proprietà del logritmo: P: log = ; log = p P: p = log P: log c = log log c P: log = log log c c P5: log c log c = log formul di cmimeto di se P6: >, < c log < log c P7: < <, < c log > log c Se = e il logritmo si dice turle o eperio e si idic co log oppure lg ; ivece se = i logritmi si dicoo decimli e si idico co Log Nell espressioe log = ± M, c c l qutità ± M si dice l crtteristic del logritmo metre l qutità c c si chim l mtiss del logritmo y y O O Figur Grfico dell fuzioe logritmic log : cso >, cso << ESEMPI log 8 = perchè = 8 ; log 5 = perchè 5 = 5 ; 5 log = perchè = ; log = perchè = ; log = perchè = ; log 8 = perchè = 8 ;

10 6 Cpitolo I 8 log 6 8 = log log6 log8 ; log = log8 log 5 log6 = 5 log 6 ; log 9 = log9 6 Cei di trigoometri; misur i rditi di u golo α; si α; cos α; tg α Si α u golo del pio co origie i O: O α Figur Cosiderimo due circofereze cetrte i O di rggio rispettivmete r ed R cfr Figur e, idichimo co l e L, rispettivmete le lughezze degli rchi itercettti dll golo α su di esse: Risult : l L = r R l L O r R Figur α Tle umero, che o dipede dll circoferez cetrt i O, si chim l misur i rditi dell golo α Pertto u golo vrà misur di rdite se l lughezz dell rco di circoferez itercettto è ugule l rggio dell stess circoferez L misur i rditi dell golo giro è πr/r = π d cui deducimo che l golo pitto è π rditi, l golo retto è π / rditi e più i geerle l formul che ci permetterà di pssre dll misur i rditi dell golo α α r ll misur i grdi α g e vicevers: α g αr = 6 π Dll precedete proporzioe segue Tell misur dell golo i grdi sessgesimli misur dell golo i rditi 6 π 8 π 9 π/ 6 π/ 5 π/ π/6 7 π/

11 Richimi di teori elemetre 7 Cosiderimo or, u sistem di riferimeto crtesio cfr il Cpitolo e riportimo l golo α i modo che l su origie coicid co quell del sistem di riferimeto e u delle due semirette che lo geero gicci sull sse cfr Figur 5 Si coviee che l misur di α si positiv se l semirett che geer l golo e gice sull sse ruot i verso tiorrio per sovrpporsi ll ltr semirett i cso cotrrio l misur di α srà egtiv Si Γ l circoferez vete cetro ell origie del sistem di riferimeto e rggio uitrio circoferez trigoometric: Γ= { y, R R : y = } Dicimo B il puto sull circoferez itersezioe co l semirett lier che geer l golo α Eee, l ordit BH e l sciss OH del puto B si chimo rispettivmete seo di α siα e coseo di α cosα Γ y O α H B A Evidetemete: Figur 5 siα, cosα, α R, e si h: si α kπ = siα ; cos α kπ = cosα k Z, α R Applicdo il Teorem di Pitgor l trigolo rettgolo di cteti BH, OH, ed ipoteus ugule d uo, si trov l relzioe fodmetle: si α cos α =, α R Defiimo tgete dell golo α tg α il seguete rpporto : siα tg α = cos α y T che ovvimete h seso se π B cosα α kπ, k Z α A Geometricmete l tgete di α rppreset l ordit del puto T itersezioe tr l rett tgete l O H cerchio trigoometrico i A e l semirett lier che geer α tg α = AT cfr Figur 6 Figur 6 Riportimo qui di seguito u tell co i vlori di si α, cos α e tgα per lcui goli di uso più frequete: Tell α siα cosα tgα 5 = π/ 8 = π/ = π/6 / / 5

12 8 Cpitolo I 5 = π/ / / 6 = π/ / / 9 = π/ 8 = π - / o esiste 7 = /π - o esiste = 6 = π Ricordimo, ioltre: formule di ddizioe e sottrzioe: si α ± β = siαcos β ± cosαsiα cos α ± β = cosαcos β siαsi β ; formule di isezioe: α cosα si =, α cosα cos = α cosα tg = ; cos α formule di dupliczioe : si α = siαcosα, α = α α cos cos si tgα tgα = tg α formule prmetriche: siα = α tg α tg, cosα = α tg α tg I grfici delle fuzioi trigoometriche soo i segueti: y = si è u fuzioe periodic di periodo π defiit per ogi R, il codomiio è [-,] Il grfico itersec l sse ei puti dell form k π, co k Z

13 Richimi di teori elemetre 9 y O Figur 7 Grfico di si y = cos è u fuzioe periodic di periodo π defiit per ogi R, il codomiio è [-,] π Il grfico itersec l sse ei puti dell form kπ, co k Z y O Figur 8 Grfico di cos π y = tg, defiit per kπ e codomiio R, è u fuzioe periodic di periodo π Il suo grfico itersec l sse ei puti dell form kπ, co k Z y O Figur 9 Grfico di tg

14 Cpitolo I 7 Poliomi, equzioi e disequzioi lgeriche DEFINIZIONE Si chim poliomio lgerico di grdo o ordie u comizioe liere di poteze itere dell vriile del tipo : p =, i R i=,,, Osservimo che il grdo del poliomio deg p è l mssim potez co cui compre l vriile, d esempio p = 5 è u poliomio di ordie deg p= Se p = il suo grdo è zero Si chim vlore del poliomio per = α e lo si idic co pα l espressioe umeric p α = α α α Se p α =, α si chim rdice del poliomio Assegto u poliomio lgerico p di grdo si chim equzioe lgeric ssocit l poliomio, e l si idic co p=, il prolem dell ricerc delle rdici del poliomio Osservimo che il umero delle rdici dell equzioe lgeric è ugule ll ordie del poliomio cotdo le rdici, che se complesse e molteplici Teorem fodmetle dell lger Teorem I Pricipio d idetità dei poliomi Due poliomi p e q soo uguli se ho lo stesso ordie, ed i coefficieti corrispodeti uguli 7 Divisioe tr poliomi Sussiste il seguete Teorem Sio A e B due poliomi co deg A deg B Allor esiste uivocmete determit l coppi di poliomi Q quoziete ed R resto tli che A = B Q R co deg R < deg B Osservimo che = α è rdice di p se e solo se p è divisiile per -α cioè il resto dell divisioe deve vlere zero ESEMPIO Sio A = e B = ; eseguimo l divisioe

15 Richimi di teori elemetre d cui otteimo: Q = ed R = Lscimo l lettore l verific che: = Osservimo ifie che oteα, α, α, α le rdici di p= evetulmete o tutte distite e o tutte reli il poliomio mmette l uic decomposizioe p = α α α ESEMPIO Si p = Esso mmette come rdici = ± e quidi si decompoe i 7 Equzioe lgeric di primo ordie Si defiisce equzioe lgeric di primo ordie l equzioe : = co, R, Utilizzdo le proprietà dei umeri reli tle equzioe mmette l uic soluzioe = Iftti: d = ggiugedo d mo i memri risult = d cui dividedo etrmi i memri per si ottiee = D ltr prte è fcile verificre che = soddisf l ostr equzioe ESEMPIO Risolvere l equzioe 5 = Aggiugedo d mo i memri -5 e dividedo per - si ottiee l soluzioe 5 = 7 Equzioe lgeric di secodo ordie Si defiisce equzioe lgeric del secodo ordie l equzioe: = co,, R, c c Si chim discrimite dell equzioe e lo si idic co il simolo il umero = c L risoluzioe dell equzioe è legt l sego di Si prov che : Se > l equzioe mmette due rdici reli e distite forite dll seguete formul: ±, = e quidi c = Se = l equzioe mmette due rdici reli e coicideti dte d = = ed c =

16 Cpitolo I Se < l equzioe o mmette rdici reli m ovvimete e mmetterà due complesse coiugte OSSERVAZIONE Assegto il poliomio lgerico p, il prolem dell risoluzioe di p si ffrot determido le soluzioi di p= ed escludedo tli vlori ESEMPIO Per risolvere, sterà risolvere = Tle equzioe h come soluzioi ± 9 8 ± = = = per cui, soo le soluzioi del ostro prolem 7 Sistemi di equzioi Il prolem dell risoluzioe di due o più equzioi, ovvero l ricerc dei vlori d dre ll vriile per soddisfre cotemporemete le equzioi ssegte p =,, pr = si chim sistem e lo si idic ell mier seguete: p = pr = ESEMPIO Si cosideri il sistem: =, = l prim equzioe h come soluzioi = ± metre l secod equzioe h soluzioe = Quidi il sistem mmette come uic soluzioe = OSSERVAZIONE U sistem potree o vere soluzioi, qudo le sigole equzioi che lo compogoo o ho soluzioi o o ho soluzioi comue U sistem, ifie, potree presetrsi el seguete modo : p = q 75 Equzioi frtte p Assegti i poliomi p e q, si chim equzioe frtt l equzioe = q p = Ess è equivlete l sistem: q ESEMPIO

17 Richimi di teori elemetre = = =, = quidi l uic soluzioe dell equzioe è = 76 Disequzioi lgeriche Si p u poliomio di ordie Si chim disequzioe lgeric il prolem dell ricerc dei vlori di per cui è soddisftt u delle segueti relzioi: p > ; p ; p < ; p Osservimo che srà sufficiete sper risolvere d esempio l disequzioe p > ed è questo il cso i cui, i seguito, lizzeremo l risoluzioe dei vri tipi di disequzioe Iftti: p < p > ; p p > e p = 77 Disequzioe lgeric di primo ordie L form geerle di u disequzioe lgeric di primo ordie è del tipo: >, > se > Dlle proprietà dei umeri reli > > < se < Risult evidete che, l cotrrio dell equzioe di primo ordie che mmette u sol soluzioe, le soluzioi dell ostr disequzioe soo ifiite 78 Disequzioe lgeric di secodo ordie L form geerle di u disequzioe lgeric di secodo ordie è del tipo: c >, Detto = c il discrimite dell equzioe ssocit ll disequzioe cosidert, si possoo presetre tre csi: Se > l equzioe ssocit mmette due rdici reli e distite: < I tl cso le soluzioi dell disequzioe si ottegoo seguedo l regol: il sego del triomio c è ugule l sego del coefficiete per le tli che <, > ; i- vece il sego del triomio è opposto l sego di per le tli che < < ESEMPIO Risolvere l seguete disequzioe: >

18 Cpitolo I ± 9 = = Risult = 8 = 9 > per cui, = = soo le soluzioi = = dell equzioe ssocit; duque essedo il coefficiete dell di secodo grdo positivo come il sego del triomio, le soluzioi dell disequzioe soo: <, > Se = l equzioe ssocit mmette come uic rdice = I tl cso il sego del triomio è lo stesso del sego di, ESEMPI Risolvere l seguete disequzioe: > Risult = = per cui = è l soluzioe dell equzioe ssocit; duque le soluzioi dell disequzioe soo R, Risolvere l seguete disequzioe: > Risult = 6 6 = per cui = è l soluzioe dell equzioe ssocit; duque l disequzioe o mmette soluzioi Se < l equzioe ssocit ll disequzioe o mmette soluzioi reli, quidi il sego del triomio è ugule l sego di ESEMPI Risolvere l seguete disequzioe: > Risult = = < ; duque le soluzioi dell disequzioe soo R Risolvere l seguete disequzioe: > Risult = = < ; duque l disequzioe o mmette soluzioi 79 Sistemi di disequzioi Si chim sistem di disequzioi il prolem dell ricerc dei vlori di per cui risultio cotemporemete soddisftte u umero fiito di disequzioi ssegte: p < p pr > ESEMPI Risolvere il sistem :

19 Richimi di teori elemetre 5 = ± = = = = = > > > 7, , > < > <,, Grficmete si h: quidi, il sistem dto h come soluzioi: <-, > Risolvere l disequzioe Quest disequzioe è equivlete ll uioe dei due segueti sistemi: < che ho come soluzioi per cui le soluzioi dell disequzioe iizile soo c Risolvere l seguete disequzioe : 7 9 > L disequzioe è equivlete ll uioe dei due sistemi: < < > > < < < < > < > <,,, < > Φ, per cui le soluzioi dell disequzioe iizile soo:, < > 7 Equzioi e disequzioi irrzioli Si defiisce equzioe irrziole u equzioe del tipo B A = -

20 Cpitolo I 6 dove, e A B N soo due poliomi ell vriile L risoluzioe di tle equzioe dipede dll idice Precismete l equzioe cosidert è equivlete meo di verific file : se è pri l sistem: [ ] = B A B A se è dispri ll equzioe: [ ] B A = ESEMPIO Risolvere l seguete equzioe : = Ess è equivlete l sistem : = =, =, 5 Grficmete si h: per cui l uic soluzioe è 5 = ; lscimo l lettore l verific file osserv che l elevmeto potez di u poliomio port geerlmete ll itroduzioe di soluzioi spurie U tipo di disequzioe irrziole è: B A > Si possoo presetre due diversi csi: Se è dispri, occorre risolvere l disequzioe: [ ] B A > Se è pri, occorre risolvere i due segueti sistemi: [ ] > < B A B A B A L equivlez ovvimete è meo di verific file ESEMPIO - -5/ -

21 Richimi di teori elemetre 7 Risolvere l seguete disequzioe: > L disequzioe è equivlete i due sistemi < >,, < < < <, > Pertto l isieme delle soluzioi dell disequzioe dt è formto dlle : < 7 Equzioi e disequzioi espoezili Si chim equzioe disequzioe espoezile u equzioe u disequzioe i cui l vriile oppure u poliomio d ess dipedete figur come se o espoete di u potez L equzioe p =, > è equivlete risolvere l equzioe lgeric p = log L disequzioe p > è equivlete, se >, ll disequzioe p > log se > oppure ll disequzioe p < log se < < ; metre è sempre verifict se ESEMPI Risolvere l seguete equzioe espoezile = L equzioe equivle = log = log = ± log Risolvere l seguete equzioe espoezile: = L equzioe equivle = t = t = 6 = t t = t = 6, t = t = 6 t = Φ = log, per cui l soluzioe dell equzioe è = log c Risolvere l seguete disequzioe espoezile : > L disequzioe equivle : = = t t 5 6 > < > t 5t 6 > t <, t > < log, > log =, per cui l soluzioe dell disequzioe iizile è < log, > d Risolvere l seguete disequzioe espoezile : L disequzioe equivle : <

22 8 Cpitolo I < per cui le soluzioi soo > > > > > 7 Equzioi e disequzioi logritmiche Si chim equzioe disequzioe logritmic u equzioe u disequzioe i cui l vriile oppure u poliomio d ess dipedete figur come rgometo o se di u logritmo L equzioe log p = co >, è equivlete risolvere il sistem: p > p = L disequzioe log p < = log co >, è equivlete l sistem p > p < se > oppure l sistem p > p > se < < ESEMPI Risolvere l seguete equzioe logritmic: log Ess equivle l sistem = > = = ; = ± <, = = =, Quidi le soluzioi dell equzioe soo : =, = > = Risolvere l seguete disequzioe : log Ess è equivlete l sistem 5 < > 5 5 <, > < 5, < < d cui, trmite itersezioe grfic delle soluzioi, si ottiee: 5 5 < <, < < c L disequzioe : lg < equivle risolvere lg = t lg = t lg < < < e > t < < t < lg > e le cui soluzioi soo : < < e e,

23 Richimi di teori elemetre 9 d Risolvere l seguete disequzioe : lg e 5 5 > Ess equivle l sistem 5 5 > poedo 5 = t 5 5 > per cui deve essere 5 t t t > t > t R t > t R t R, t 8 Isiemi limitti Si X R, X Φ; DEFINIZIONE U umero rele L l si dice u mggiorte miorte per l isieme X se L l X È ee otre esplicitmete che u isieme X o sempre mmette mggiorti o miorti Se, d esempio, X = { R : }, X o mmette mggiorti, metre lo zero ed che u qulsisi umero rele egtivo è u miorte di X DEFINIZIONE Diremo che X è limitto superiormete iferiormete se mmette u mggiorte miorte e si dice limitto se è limitto si iferiormete che superiormete l, L R: l L, X Proposizioe X è limitto H > : H H, X Dimostrzioe: Dll defiizioe, X è limitto ll, R : l L X α R α α α pertto : ; d ltr prte l L, X l L L l L X, d cui l ffermzioe per H = l L OSSERVAZIONE Se K è u mggiorte di X h u miorte di X llor u quluque h' < h è cor u mggiorte miorte di X k' > k Assegto X R, X Φ, DEFINIZIONE M R si dice mssimo di X se: M X M è u mggiorte M X Alogmete, m R si dice miimo di X se : m X m è u miorte m X

24 Cpitolo I { } OSSERVAZIONE No tutti i sottoisiemi o vuoti di R ho mssimo e miimo Ad esempio se A= R : >, A o h é mssimo é miimo o esiste il più piccolo umero rele positivo; d esempio lo zero è u miorte m o è miimo perché o pprtiee d A OSSERVAZIONE Si verific fcilmete che qudo esistoo, il mssimo ed il miimo soo uici Teorem esistez dell estremo superiore Si X R, X esiste il miimo dell isieme dei mggiorti di X Φ, limitto superiormete; llor Tle umero, deotto co sup X, viee chimto estremo superiore di X, e, risult evidete che prop crtteristiche dell estremo sup: L = sup X L X ε > X : > L ε iftti l proprietà fferm che L è u mggiorte metre l proprietà equivle dire che L è il più piccolo dei mggiorti I mier log si prov Teorem 5 esistez dell estremo iferiore Si X R, X Φ limitto iferiormete; llor e- siste il mssimo dell isieme dei miorti di X Tle umero, che si deot co if X, si chim l estremo iferiore di X Evidetemete prop crtteristiche dell estremo if: l = if X ' l X ' ε > X : < l ε OSSERVAZIONE Se u isieme X Φ h mssimo M miimo m llor M = sup X m = if X, iftti M è u mggiorte di X ed M X pertto soo verificte le due proprietà crtteristiche dell estremo superiore l prim è ovvi, l secod per = M Ifie, si X R, X Φ DEFINIZIONE X si dice o limitto superiormete iferiormete se o mmette mggiorti miorti * * : risp : k R X > k h R X < h OSSERVAZIONE Nelle relzioi precedeti ci si può limitre cosiderre k> ed h< ESEMPIO Dire se l isieme umerico X =, < è limitto superiormete e/o iferiormete e clcolre, i cso ffermtivo, l estremo iferiore e l estremo superiore, precisdo se soo miimo e mssimo rispettivmete

25 Richimi di teori elemetre Osservimo che : < d cui X è limitto iferiormete e poiché X = mi X = if X Provimo che X o è limitto superiormete k > : < > k < < Osservimo che il sistem > k mmette, quluque si k >, ifiite soluzioi < k

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