Matematica Capitolo 2. Successioni. Ivan Zivko
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- Erica Benedetti
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1 Mtemtic Cpitolo Successioi Iv Zivko
2 Defiizioe U successioe ( ) è u isieme di ifiiti umeri orditi:,, 3,.,. Può essere defiit come u fuzioe: N R, Mtemtic
3 Rppresetzioe Per rppresetre u successioe si possoo usre due otzioi, etrmbe vlide: Trmite u termie geerle Trmite u defiizioe recursiv Mtemtic 3
4 Esempi di successioi ) Successioe dei umeri turli:,, 3, 4, 5... Termie geerle : Defiizioerecursiv :, Mtemtic 4
5 Esempi di successioi ) Successioe rmoic:,, 3, 4,... Termie geerle : Defiizioerecursiv :, Mtemtic 5
6 Esempi di successioi 3) Successioe dei fttorili:,, 6, 4,0,... Termie geerle :! Defiizioerecursiv :, Mtemtic 6
7 Esempi di successioi 4) Defiimo u successioe co: Otteimo: Mtemtic 7 3,
8 ) Rppresetzioe grfic Mtemtic 8
9 Rppresetzioe grfic ) Mtemtic 9
10 Defiizioe U successioe si dice: ) Crescete se ) Decrescete se 3) Costte se Mtemtic 0
11 Esempi ) Esempio di succ. crescete: :, 4, 8,... ) Esempio di succ. decrescete: :, 0.5, 0.33,... 3) Esempio di succ. costte: si( ): 0,0,0,0,... Mtemtic
12 Successioi (o progressioi) ritmetiche Mtemtic
13 Successioi ritmetiche Def.: u successioe ( )si dice ritmetic se r costte dove r si chim rgioe dell successioe. Quidi l def. recursiv srà: = + r Esempi:, 5, 9, 3, 7,.. -> r= 3, 0, 7, 4,.. -> r= Mtemtic 3
14 Successioi ritmetiche D segue: Segue che l eesimo termie, ovvero il termie geerle srà: Mtemtic 4 r... 3 r r r r r r r ) (
15 Successioi ritmetiche L somm di tutti gli elemeti dell successioe è defiit come: Si può ricvre l seguete formul: Mtemtic 5 i i S 3... S
16 Successioi ritmetiche Esempio : somm dei primi umeri pri S Esempio : somm dei primi umeri dispri. S ( ) Mtemtic 6
17 Successioi ritmetiche L iteresse semplice: è il cso i cui l iteresse file è proporziole l cpitle iizile (C), l tsso d iteresse periodle (i), che può essere mesile, uo, ; e l umero di periodi cui è sottoposto. M 0 C, M M i M 0 C i Mtemtic 7
18 Successioi (o progressioi) geometriche Mtemtic 8
19 Successioi geometriche Def.: u successioe ( )si dice geometric se dove q si chim rgioe dell successioe. Quidi l def. recursiv srà: = q q Esempi: 3, -6,, -4, 48,.. -> q=, /, /4, /8,.. -> q= costte Mtemtic 9
20 Successioi geometriche D segue: Segue che l eesimo termie srà: Mtemtic 0... ) ( 3 q q q q q q q q
21 Successioi geometriche Ache per le successioi geometriche si può dimostrre che l somm dei primi termii risult: S q, q q Oss.: se l somm è ifiit dicimo che si trtt di serie geometric. Mtemtic
22 Successioi geometriche L iteresse composto: è il cso i cui l iteresse ivece di essere restituito o elrgito viee ggiuto l cpitle iizile, provocdo ch egli uovi iteressi. M 0 C, M M i M C i Mtemtic
23 L successioe di Fibocci Mtemtic 3
24 U cso prticolre: l successioe di Fibocci L successioe di Fibocci è u successioe di umeri turli, oguo dei quli è l somm dei due precedeti. U volt defiiti i primi due è ftt: F 0, F F F F 0 0,,,, 3, 5, 8,3,, 34, 55, 89,44,... Mtemtic 4
25 U cso prticolre: l successioe di Fibocci L obiettivo di Fibocci er quello di descrivere l crescit di u popolzioe di coigli. L su successioe trov però riscotri i vri mbiti come: chimic, music, botic, geometri, iformtic, rchitettur Mtemtic 5
26 U cso prticolre: l successioe di Fibocci Mtemtic 6
27 U cso prticolre: l successioe di Fibocci Mtemtic 7
28 U cso prticolre: l successioe di Fibocci Mtemtic 8
(labeling) si ottiene così l insieme a n ordinato (codominio della funzione f ) : Primo termine. Termine Generale
Successioi umeriche / Def. Si chim successioe umeric ogi fuzioe f d N i R defiit i u isieme del tipo I= { N 0 }, co 0 umero turle e che ssoci d u itero di I u umero rele f(). I geerle però porremo f: N
LE SUCCESSIONI. ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,... I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea: =
LE SUCCESSIONI Si cosideri l seguete sequez di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fibocci. Ess rppreset il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u llevmeto! Si cosideri l sequez
Successioni in R. n>a n+1
Successioi i R U successioe è u fuzioe f : N R. Si preferisce deotre f() co e quidi u successioe co ( ). Il codomiio di u successioe ( ) è l'isieme dei vlori che ssume l successioe, cioè { } successioe
Progressioni geometriche
Progressioi geometriche ) Proprietà geerli U isieme ordito di umeri,,,...,,...dicesi progressioe geometric se N si h : co q qutità costte divers d dett rgioe o quoziete. U progressioe geometric di rgioe
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esercizi R. Argiols L? Quest piccol rccolt di esercizi sulle serie umeriche è rivolt gli studeti del corso di lisi mtemtic I. E bee precisre fi d or che possedere e svolgere gli esercizi di quest dispes
{ } { } Successioni numeriche. Scheda n 2 pag1. n 2. Pag. 3. Rappresentazione di una successione sul piano cartesiano. Esempio n 1 a) a n
Successioi umeriche Sched pg Rppresetzioe di u successioe sul pio crtesio Esempio ) { } { } Esempio ) ( ) b) ( ) Esempio ) 5 b) Esercizio L successioi degli esempi,,, soo covergeti, divergeti o idetermite?
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Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u allevameto! Si
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Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR UNITA. UCCEIONI E PROGREIONI. Le successioi ueriche.. Le rppresetzioi i u successioe.. Le successioi ootoe.. Il pricipio i iuzioe co ppliczioi..
Successioni. Grafico di una successione
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ANALISI MATEMATICA STUDIO DI FUNZIONI
ANALISI MATEMATICA STUDIO DI FUNZIONI. RELAZIONI Le fuzioi soo prticolri relzioi; le relzioi (birie) soo sottoisiemi del prodotto crtesio tr due isiemi. L trttzioe prte quidi dl cocetto di prodotto crtesio.
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Matematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1
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Esercitazioni di Geometria II
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Capitolo 1 Numeri Reali
Cpitolo Numeri Reli L Alisi Mtemtic studi il comportmeto delle fuzioi co prticolre ttezioe i umeri reli Iftti, discuteremo di cotiuità, derivzioe e itegrzioe per fuzioi reli di vriile rele I questi primi
I numeri reali come sezione nel campo dei numeri razionali
I umeri reli come sezioe el cmpo dei umeri rzioli Come sppimo, el cmpo dei umeri rzioli, le quttro operzioi fodmetli soo sempre possibili, el seso che, effettudo sopr u quluque isieme fiito u sequel fiit
Insiemi numerici. Sono noti l insieme dei numeri naturali: N = {1, 2, 3, }, l insieme dei numeri interi relativi:
Isiemi umerici Soo oti l isieme dei umeri aturali: N {1,, 3,, l isieme dei umeri iteri relativi: Z {0, ±1, ±, ±3, N {0 ( N e, l isieme dei umeri razioali: Q {p/q : p Z, q N. Si ottiee questo ultimo isieme,
2 Criteri di convergenza per serie a termini positivi
Uiversità Roma Tre L. Chierchia 65 (29//7) 2 Criteri di covergeza per serie a termii positivi I questo paragrafo cosideriamo serie a termii positivi ossia serie a co a > 0. Si ricordi che ua serie a termii
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Uiversità degli Studi Rom Tre - Corso di Lure i Mtemtic Tutorto di GE220 A.A. 2010-2011 - Docete: Prof. Edordo Seresi Tutori: Filippo Mri Boci, Amri Iezzi e Mri Chir Timpoe Soluzioi Tutorto 4 (7 Aprile
DAI RAZIONALI AI REALI
DAI RAZIONALI AI REALI. L isieme dei umeri rzioli. Le operzioi fr umeri rzioli: ddizioe, moltipliczioe, sottrzioe e divisioe.. L elevmeto potez. L ordimeto.. Proprietà delle disuguglize (?disuguglize e
1 + 1 ) n ] n. < e nα 1 n
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Esercizi preparati e i parte svolti martedì 0.. Calcolare al variare di α > 0 Soluzioe: + ) α Per α il ite è e; se α osserviamo che da + /) < e segue che α + ) α [ + ) ] α < e α Per α > le successioi e
N 02 B I concetti fondamentali dell aritmetica
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Approssimazione di funzioni mediante Interpolazione polinomiale
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LIMITI DI SUCCESSIONI
LIMITI DI SUCCESSIONI Formalmete, ua successioe di elemeti di u dato isieme A è u'applicazioe dall'isieme N dei umeri aturali i A: L'elemeto a della successioe è quidi l'immagie a = f) del umero secodo
SULLE PARTIZIONI DI UN INSIEME
Claudia Motemurro Ricordiamo la SULLE PRTIZIONI DI UN INSIEME Defiizioe: Ua partizioe di u isieme è ua famiglia { sottoisiemi o vuoti di X tali che: - X è l uioe degli isiemi X i (i I ), cioè X = U i X
1 Esponenziale e logaritmo.
Espoeziale e logaritmo.. Risultati prelimiari. Lemma a b = a b Lemma Disuguagliaza di Beroulli per ogi α e per ogi ln a k b k. k=0 + α + α Teorema Disuguagliaza delle medie Per ogi ln, per ogi upla {a
. La n a indica il valore assoluto della radice.
RADICALI Defiizioe: U umero irrziole è u umero decimle illimitto o periodico. Esempio:, 0, π Per clcolre il vlore pprossimto di u espressioe coteete rdici coviee mipolre l espressioe per ridurre l mssimo
DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI
DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI Idice Premess... Regole geerli.... Sigificto dei termii mggiore e miore.... Proprietà trsitiv delle disuguglize.... Regol del trsporto.... Regol del prodotto... 5. Regole
Successioni e Logica. Preparazione Gara di Febbraio 2009. Gino Carignani
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ANALISI MATEMATICA 1 Commissione F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
(Viee dato u ceo di soluzioe del Tema. I Temi, 3 e 4 possoo essere svolti i modo del tutto simile) TEMA cos(3x) + π cos(3x) + 3. (a) Determiare il domiio di f, evetuali simmetrie, periodicità e sego. (b)
1 Congruenze. Definizione 1.1. Siano a, b, n Z con n 2, definiamo a b (mod n) se n a b.
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Universitá di Roma Tor Vergata
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LEZIONE 14 14.1. Numeri complessi. Sppimo già come sommre le coppie di umeri reli. Se, b,, b R 2 llor l coppi somm è, b +, b = +, b + b R 2. Voglimo or defiire che u operzioe di prodotto i R 2. Defiizioe
CALCOLO COMBINATORIO
CALCOLO COMBINATORIO Che cosa sigifica cotare Tutti coosciamo la successioe dei umeri iteri Naturali N = {0, 1,,, } si tratta di ua struttura metale fodametale, chiaramete presete alla ostra ituizioe che
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Capitolo 1. Richiami di teoria elementare
7 Cpitolo Richimi di teori elemetre Cei di teori degli isiemi Il cocetto di isieme è u cocetto primitivo, cioè uo di quei presupposti o ssiomi che i mtemtic costituiscoo i fodmeti e dei quli o è dt lcu
( 1) k+1 x k + R N+1 (x), k. 1 + x 10 2, 5 R N+1 ( 1 3 ) ) )
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