SEFA Sapienza, Università di Roma Esercizi di Matematica 3 (C.Mascia) Alcune soluzioni di 1-2-3

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1 Esercizio 11 SEFA Spiez, Uiversità di Rom Esercizi di Mtemtic 3 (CMsci) Alcue soluzioi di ovembre Foglio 1 i Descrivere i segueti isiemi di R 2 : {1} {2}, {} [1, 2], [, 1] {2}, [, 1] [, 2] ii Descrivere i segueti isiemi di R 3 : [, 1] {2} {3}, [, 1] [, 2] {3}, [, 1] [, 2] [, 3] Soluzioe 11 mcte Esercizio 12 Dimostrre che x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ) per ogi x, y R Soluzioe 12 Si h x + y 2 + x y 2 = (x + y) (x + y) + (x y) (x y) = x x + x y + y x + y y + x x x y y x + y y = 2 x y 2 Esercizio 13 Dimostrre l disugugliz x y x y per ogi x, y R Soluzioe 13 Dll disugugliz trigolre segue x y + y, d cui y x y Scmbido x co y, y y x Quidi, vle l cte di disuguglize che è equivlete quto richiesto x y y x y Esercizio 14 Sio A, C, K R, rispettivmete, perto, chiuso, comptto Dimostrre che, per ogi λ >, gli isiemi λa, λc, λk soo, rispettivmete, perto, chiuso, comptto Soluzioe 14 Osservimo prelimirmete che, per ogi x e per ogi r >, si h λi r (x) = I ρ (λx) per ρ = λr Iftti, se w λi r (x), llor w = λy co y I r (x) e quidi w λx = λy λx = λ y x < λr = ρ Vicevers, se w I ρ (λx), llor, posto y = λ 1 w, si h y x = λ 1 w λ 1 λx = λ 1 w λx < λ 1 ρ = r Di coseguez, u diltzioi di fttore λ trsform itori di x i itori di λx e, i prticolre, isiemi perti i isiemi perti Alogmete, se y λc è u successioe covergete d u qulche y, si h y = λx co x C e covergete d u qulche x Se C è chiuso, il limite x pprtiee C e, quidi, y = λx è u elemeto di C Per l compttezz, bst osservre che le diltzioi trsformo isiemi limitti i isiemi limitti Esercizio 15 Dimostrre le segueti ffermzioi: i l uioe di u fmigli (fiit o ifiit) di perti è pert, l itersezioe di u fmigli fiit di perti è pert; ii l itersezioe di u fmigli (fiit o ifiit) di chiusi è chius, l uioe di u fmigli fiit di chiusi è chius

2 2 Soluzioe 15 i Si {A α } u fmigli di isiemi perti e si A = α A α Per x A, si h x A α per qulche α Di coseguez, esiste r > tle che I r (x) A α A L uioe di perti, quidi, è pert Sio A 1,, A u fmigli fiit di isiemi perti e si A = A Per x A, si h x A per ogi Di coseguez, esistoo r > tle che I r (x) A Scegliedo r = mi{r 1,, r }, si h I r (x) I r (x) A per ogi e, duque, I r (x) A L itersezioe di u umero fiito di perti è u isieme perto ii Si {C α } u fmigli di isiemi chiusi e si C = α C α Se l successioe x C coverge x, dto che x C α si h che x C α per ogi α, cioè x C Si C 1,, C u fmigli fiit di isiemi chiusi e si C = C Se l successioe x C coverge x, esiste lmeo u isieme C che cotiee ifiiti elemeti dell successioe L sotto-successioe idividut d tli elemeti coverge x ed è coteut i C, quidi x C C Esercizio 16 Si A R o vuoto e tle che esiste r > per cui si h I r (x) A per ogi x A Dimostrre che A = R Soluzioe 16 Si x A Sez perdit di geerlità, si x = Fissto N N, sio x := x/n co = 1,, N Dto che x x 1 = /N Pertto, per N > /r, se x 1 A llor x A Applicdo itertivmete quest ffermzioe, si deduce che x 1,, x N = x A Esercizio 17 Verificre che gli isiemi A = {(x, y) R 2 R 2 : 1 xy 2} soo chiusi Si trtt di isiemi comptti? Soluzioe 17 mcte : x 2 y 2 1} e B = {(x, y) Esercizio 18 Si f : R R u fuzioe cotiu Dimostrre che l isieme A = {x R : f(x) > } è perto e che l isieme C = {x R : f(x) } è chiuso Vle l ugugliz di isiemi C = A? Soluzioe 18 Si x A Dto che l fuzioe f è cotiu i x, per ogi ε > esiste δ > tle che f(x) f(x ) < ε per ogi x I δ (x) Visto che f(x ) >, scegliedo ε = f(x )/2, per ogi x I δ (x) si h f(x) = f(x) f(x ) + f(x ) f(x ) f(x) f(x ) f(x ) ε = 1 2 f(x ) > Quidi x A Si x C u successioe covergete x Dto che f è cotiu i x, si h f(x ) = lim + f(x ) grzie ll mootoi del limite Duque, x C L ugugliz C = A o è ver i geerle Ad esempio, se f è l fuzioe ull, A è vuoto, metre C = R Esercizio 19 Dti x R e E R, l distz di x d E è d(x, E) := if{ x y : y E} Dimostrre che i se E è chiuso, llor d(x, E) = implic x E; ii per ogi x, y R, vle l disugugliz d(x, E) d(y, E) x y Soluzioe 19 i Per defiizioe di estremo superiore, per ogi N, esiste x E tle che x x 1/ Di coseguez x coverge d x L ipotesi di chiusur di E grtisce che x E

3 3 ii Per ogi z E, si h d(x, E) x z y z + x y Di coseguez, pssdo ll estremo iferiore d(x, E) d(y, E) + x y Ivertedo il ruolo di x e y, si ottiee d(y, E) d(x, E) + x y Combido le due disugugliz, si ottiee d(y, E) x y d(x, E) d(y, E) + x y che equivle ll disugugliz propost Esercizio 11 Dti E, F R, si chim distz di E d F il umero Dimostrre che i se E F, llor d(e, F ) = ; d(e, F ) := if{ x y : x E, y F } ii se E è chiuso e F è comptto, d(e, F ) = implic E F iii Esibire csi di E, F chiusi co d(e, F ) = e E F = Soluzioe 11 i No proibitivo Scelto x E F, si h x x = ii Sio x E e y F tli che x y per + Dto che F è comptto, è possibile estrrre u sottosuccessioe y j d y che risult essere covergete y F Dto che x j y x j y j + y j y, l successioe x j coverge y per j + Dto che E è chiuso, y E iii Tr i molteplici esempi, E = {(x, y) R 2 : y = }, F = {(x, y) R 2 : y = 1/x} L distz di E d F è ull dto che 1/x per x + 2 Foglio 2 Esercizio 21 U fuzioe f : A R m R tle che, per qulche C >, vlg l stim f(x) f(y) C x y m x, y A, si dice lipschitzi Dimostrre le segueti ffermzioi: i le fuzioi lipschitzie soo cotiue; ii l combizioe liere di fuzioi lipschitzie è lipschitzi Soluzioe 21 i Per mostrre l cotiuità i x, bst osservre che, per ogi ε >, scegliedo δ ε := ε/c, si h x y m < δ ε f(x) f(y) C x y m = Cδ ε = ε ii Sio f e g due fuzioi lipschitzie co costti C f e C g, rispettivmete Per ogi α, β R, posto h = αf + βg, si h h(x) h(y) α f(x) f(y) + β g(x) g(y) ( α C f + β C g ) x y m

4 4 Esercizio 22 Si f : E R cotiu i E R m i Dimostrre che se x E coverge x E, llor f(x ) f(x ) ii Dimostrre che se E è comptto, llor f(e) è comptto Soluzioe 22 i Fissto ε >, esiste δ > tle che f(x ) f(x ) < ε se x x m < δ Dto che x coverge x, l stim è ver per sufficietemete grde ii Si y u successioe i f(e), cioè si y = f(x ) per qulche successioe x E Dto che E è comptto, esiste u sottosuccessioe x j covergete x E Essedo f cotiu, si h y j = f(x j ) f(x ) Esercizio 23 Clcolre l lughezz dell rco di elic φ : [t, t 1 ] R R 3 defiito d co t < t 1 e, r > φ(t) = (r cos t, r si t, t) t [t, t 1 ] Soluzioe 23 Dto che φ (t) = ( r si t, r cos t, ), si h φ (t) = r L lughezz richiest è l = t1 t φ (t) dt = (t 1 t ) r Esercizio 24 L cicloide è descritt dll prmetrizzzioe φ(t) = (t si t, 1 cos t) t [, 2π] Determire φ, φ 2 e l lughezz di tle curv Soluzioe 24 Si ho Di coseguez, l = 2π = 2 2 φ (t) = (1 cos t, si t) e φ (t) 2 = 2(1 cos t) π π 2(1 cos t) dt = cos t dt = 2 2 π si t 1 + cos t dt = ds s = 4 2 [ s ] 2 = 8 Esercizio 25 L fuzioe tgete iperbolic è defiit d th x := sih x cosh x x R 1 cos2 t 1 + cos t dt Dimostrre che si trtt di u fuzioe ivertibile, clcolre l ivers th 1 e determire opportue formule di derivzioe per th e per th 1 Mostrre che il grfico dell espoezile x e x per x [, b] h lughezz l dt dll formul l = F (b) F () dove F (x) = 1 + e 2x th 1 ( 1 + e 2x ) Soluzioe 25 mcte Esercizio 26 Si φ : [, b] R R u curv di clsse C Dimostrre che b b φ(τ) dτ φ(τ) dτ, dove l itegrle primo membro si itede effettuto compoete per compoete Dedure che l lughezz di u curv di clsse C 1 è sempre mggiore o ugule dell lughezz del segmeto che e cogiuge gli estremi

5 5 Soluzioe 26 Poimo F (t) := Dto che df dt (t) = 2 t t φ(τ) dτ φ(τ) φ(t) dτ, 2 { t, G(t) := dg dt (t) = 2 si ho, grzie ll disugugliz di Cuchy Schwrz, F () = G() =, df dt (t) dg dt (t), t } 2 φ(τ) dτ φ(τ) φ(t) dτ, e, di coseguez, F (t) G(t) per ogi t L ffermzioe reltiv lle lughezze discede dlle stime b b φ(b) φ() = φ (τ) dτ φ (τ) dτ = l dove l idic l lughezz dell curv Esercizio 27 Clcolre l itegrle curvilieo γ f ds dove f(x, y, z) = 1 + x 2 + 3y e γ è l rco di prbol y = x 2 co x [, 1] Soluzioe 27 Posto φ = (t, t 2 ) co t [, 1], si ho φ = (1, 2t) e φ 2 = 1 + 4t2 Quidi γ f ds = t2 + 3t t 2 dt = (1 + 4t 2 ) dt = 7 3 Esercizio 28 Dti, h, T >, clcolre l itegrle curvilieo γ f ds dove f(x, y, z) = xyz, γ : x = cos t, y = si t, z = ht t [, T ] Soluzioe 28 Posto φ = ( cos t, si t, ht) co t [, T ], si ho φ = ( si t, cos t, h) e φ 2 = 2 + h 2 Quidi T f ds = 2 h t si t cos t dt = 1 T γ 2 2 h t si(2t) dt = 1 T 4 2 h t d cos(2t) dt dt { } = h T cos(2t ) + T cos(2t) dt 3 Foglio 3 = h {si(2t ) 2T cos(2t )} Esercizio 31 Determire e rppresetre grficmete l isieme di defiizioe di f(x, y) = l ( rcsi(x/y) ), g(x, y) = l ( si(x 2 + y 2 ) ) ( ) x + y, h(x, y) = rct x y Soluzioe 31 mcte Esercizio 32 Descrivere le curve di livello delle segueti fuzioi f(x, y) = xy, g(x, y) = l ( si(x 2 + y 2 ) ), h(x, y) = x y 2 Soluzioe 32 mcte Esercizio 33 Idividure l isieme di defiizioe e l isieme di positività di f(x, y) = x 2 y 2 x 2 + y 2 Successivmete, studire le curve di livello dell fuzioe 1 Soluzioe 33 mcte

6 6 Esercizio 34 Clcolre le derivte prime e secode delle fuzioi f(x, y) = l(x 2 + y 2 ), g(x, y) = e x2 /y, h(x, y, z) = 1 x 2 + y 2 + z 2 Soluzioe 34 Per le derivte prime, si h x = 2x x 2 + y 2, g x = 2x y e x h x = x ρ 3, 2 /y, h y = y ρ 3, y = 2y x 2 + y 2 ; g y = x2 2 y 2 e x /y ; h z = z ρ 3 dove ρ = x 2 + y 2 + z 2 Per le derivte secode (teedo coto che, grzie l Teorem di Schwrz, le derivte miste o dipedoo dll ordie di derivzioe), 2 f x 2 = 2(y2 x 2 ) (x 2 + y 2 ) 2, 2 f x y = 4xy (x 2 + y 2 ) 2, 2 f y 2 = 2(x2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 ; 2 g x 2 = 2(2x2 y) y 2 e x 2 /y, 2 g x y = 2x(y x2 ) y 3 e x 2 /y, 2 g y 2 = x2 (x 2 2y) y 4 e x 2 /y ; 2 h x 2 = 3x2 ρ 2 2 h ρ 5, x y = 3xy ρ 5 Le ltre derivte secode dell fuzioe h si ottegoo teedo coto dell simmetri dell fuzioe rispetto llo scmbio di coordite Esercizio 35 Verificre che l fuzioe f(x, y) = l(x 2 + y 2 ) soddisf l equzioe f(x, y) := 2 f x 2 (x, y) + 2 f (x, y) = y2 Soluzioe 35 Applicdo le formule di derivzioe, si trovo x = 2x x 2 + y 2, y = 2y x 2 + y 2, Sommdo, si ottiee l coclusioe 2 f x 2 = 2(y2 x 2 ) (x 2 + y 2 ) 2, 2 f y 2 = 2(x2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 Esercizio 36 Si 3 Trovre α R tle che l fuzioe f(x) = x α verifichi l equzioe 2 f f(x) := x 2 (x) = =1 Soluzioe 36 Osservimo prelimirmete che 1/2 x x = x 2 j = x x Ne segue che, per f(x) = x α, = α x α 1 x 2 f x 2 = α Di coseguez, { x α 2 f(x) = x x j=1 = αx x α 2 + (α 2)x x α 3 =1 e il vlore α richiesto è α = 2 } x x j=1 x 2 j 1/2 = x = α x α 4 { x 2 + (α } 2)x2 α x α 4 { x 2 + (α } 2)x2 = α( + α 2) x α 2,

7 Esercizio 37 Dte f e g fuzioi d R i R derivbili i x, clcolre (fg) Suppoedo che f e g sio derivbili due volte, quto vle (fg)? Suggerimeto Dimostrre prelimirmete l idetità f = 2 f Soluzioe 37 Seguedo il suggerimeto, osservimo prim di tutto che, idicto co l opertore ( x1,, x ), si h 2 f ( ) f = x 2 = = f = 2 f x x =1 =1 Dto che xi (fg) = ( xi f)g + f( xi g), si h (fg) = ( f)g + f( g) Per clcolre (f g), pplichimo ll relzioe precedete: (fg) = 2 (fg) = (fg) = {( f)g + f( g)} = ( f)g + 2 f g + f( g) = ( f) g + 2 f g + f( g) Esercizio 38 Dimostrre che l fuzioe se y =, f(x, y) = si(xy) y se y è cotiu i (, ) Idividure le direzioi v = (cos θ, si θ) lugo cui l fuzioe è derivbile i (, ) Dimostrre che l fuzioe f o è differezibile i (, ) Soluzioe 38 mcte Esercizio 39 Dt φ : [, + ) R derivbile i, si f(x) := φ( ) Studire l cotiuità, l derivbilità (przile e direziole) e l differezibilità di f i Soluzioe 39 Per l cotiuità, osservimo che, per x, f(x) f() = φ( ) φ() = φ() φ() φ () = Per le derivte direzioli, fissto v R co v = 1, si h f(tv) f() t = φ( t ) φ() t = φ( t ) φ() t φ( t ) φ() = sg(t) t t t Dto che l fuzioe sg o h limite per t, il limite esiste se e solo se φ () = I prticolre, se φ (), le derivte direzioli o esistoo e l fuzioe o è differezibile Se φ () =, le derivte direzioli esistoo e soo tutte ulle Per l differezibilità, ossevimo che f(x) f() f() x per e duque l fuzioe è differezibile = φ( ) φ() Esercizio 31 Dte φ = φ(x, y) e ψ = ψ(x, y) due fuzioi differezibili i R 2, si { φ(x, y) y, f(x, y) = ψ(x, y) y <, Trovre codizioi ecessrie e sufficieti su φ e ψ ffiché f si differezibile i R 2 Soluzioe 31 I problemi si pogoo ell rett di icollmeto y = L cotiuità (codizioe ecessri per l differezibilità) si ottiee ssumedo φ(x, ) = ψ(x, ) x R 7

8 8 I ggiut, suppoimo che il pio tgete delle due superifici coicid i y =, cioè che si bbi φ(x, ) = ψ(x, ) per ogi x R L ipotesi ftt per ssicurre l cotiuità grtisce già che le derivte przili rispetto d x coicidoo per y =, quidi l precedete codizioe si riduce ll richiest y φ(x, ) = y ψ(x, ) x R Co tli ipotesi, l differezibilità i (x, ) co x R è grtit Iftti, posti R φ (h, ) := φ(x + h, + ) φ(x, ) φ(x, ) (h, ), R ψ (h, ) := ψ(x + h, + ) ψ(x, ) ψ(x, ) (h, ), per ogi ε >, esistoo r φ, r ψ tli che Quidi, per R φ (h, ) ε (h, ) 2 se (h, ) 2 < r φ, R ψ (h, ) ε (h, ) 2 se (h, ) 2 < r ψ R f (h, ) := f(x + h, + ) f(x, ) f(x, ) (h, ) = per ogi ε >, scelto r f = mi{r φ, r ψ }, si h R f (h, ) ε (h, ) 2 se (h, ) 2 < r f { Rφ (h, ) se h, R ψ (h, ) se h <,