Capitolo 1. Richiami di teoria elementare

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1 7 Cpitolo Richimi di teori elemetre Cei di teori degli isiemi Il cocetto di isieme è u cocetto primitivo, cioè uo di quei presupposti o ssiomi che i mtemtic costituiscoo i fodmeti e dei quli o è dt lcu defiizioe Ituitivmete si può pesre d u isieme come gli elemeti che lo costituiscoo, ccomuti d u stess tur o proprietà Idicheremo gli isiemi co le lettere i miuscolo A,B,C,X,Y metre gli elemeti di esso verro idicti i miuscolo,, c,, Per idicre che u elemeto pprtiee d u isieme, scriveremo A ; per idicre che u elemeto o pprtiee d u isieme scriveremo A DEFINIZIONE L isieme privo di elemeti è detto isieme vuoto e lo idichimo co il simolo Dti due isiemi A e B se gli elemeti di A pprtegoo che ll isieme B : per ogi A B scriveremo che : A B A è coteuto i B oppure B A B cotiee A DEFINIZIONE A si dice sottoisieme proprio di B se A B ed esiste lmeo u elemeto di B che o pprtiee d A : esiste B, : = tle che A; i tl cso idicheremo A B Se ccde cotemporemete che A B e B A llor A B cioè i due isiemi soo uguli Se A e B o soo uguli scriveremo A B A diverso d B Si oti che ogi isieme A h come sottoisiemi A stesso e che vegoo chimti sottoisiemi li U isieme può essere rppresetto o per eleczioe elecdo esplicitmete i suoi elemeti o per proprietà eucido l proprietà che i suoi elemeti verifico o trmite i digrmmi di Eulero-Ve A = {,4,6,8} B = {tutti i umeri iteri pri compresi fr ed 8}

2 8 Cpitolo I C = Si oti che se u isieme è costituito d u umero fiito di elemeti lo si può idicre ei tre modi possiili; se ivece è costituito d u umero ifiito di elemeti è coveiete idicrlo per proprietà o trmite digrmm Operzioi tr isiemi DEFINIZIONE Dti due isiemi A e B si defiisce uioe tr A e B A B l isieme costituito d tutti gli elemeti di A e d quelli di B presi u sol volt se evetulmete soo ripetuti: A B A e/o B DEFINIZIONE Dti due isiemi A e B si defiisce itersezioe tr A e B A B l isieme costituito dgli elemeti che cotemporemete sto i A ed i B: A B : A ed B DEFINIZIONE Dti due isiemi A e B si defiisce differez tr A e B A/B l isieme costituito dgli elemeti di A che o pprtegoo B: A / B : A, B Sio A = {,, } B = {-,, } Si h: A B = {-,,,, } A B = {} A / B = {, } B / A = {-, } Attrverso l rppresetzioe grfic dei digrmmi di Eulero-Ve, lo stesso esempio divet: A / A/B A B - B/A B D questo esempio si può otre che A A / B A B ; A B B A metre A / B B / A ; questo sigific che le operzioi di uioe ed itersezioe soo operzioi commuttive, metre l differez o lo è

3 Richimi di teori elemetre 9 DEFINIZIONE Dto u isieme A chimeremo isieme delle prti di A, PA, l isieme costituito d tutti i sottoisiemi di A compresi quelli li: PA= {X X A} Si A = {,,, 4} determire PA Itto ed A stesso pprtegoo PA; i sottoisiemi formti d u solo elemeto soo : {}, {}, {}, {4}; i sottoisiemi formti d due elemeti soo {,}, {,}, {,4}, {,}, {,4}, {,4}; i sottoisiemi formti d tre elemeti soo {,,}, {,,4}, {,,4}, {,,4} quidi PA = {Φ, A, {}, {}, {}, {4}, {,}, {,}, {,4}, {,}, {,4}, {,4}, {,,},{,,4}, {,,4}, {,,4}}; otre che PA cotiee 6 = 4 elemeti OSSERVAZIONE I geerle, se u isieme X h r elemeti llor PX vrà r elemeti Alcue tr le proprietà di cui godoo le operzioi tr isiemi soo: P: A A = A P : A = A = P : A = A = A P4 : A B C = A C B C proprietà distriutiv P5 : A B C = A C B C P6 : A B C = A B C proprietà ssocitiv P7 : A B C = A B C P8 : A / B C = A / B A / C formul di De Morg P9 : A / B C = A / B A /C Dimostrimo, d esempio, l P9, che essedo u ugugliz isiemistic v provt fcedo vedere che preso u quluque elemeto pprteete l primo memro, esso pprtiee che l secodo memro e vicevers Si A / B C ; llor A ed B C, ovvero B oppure C D cui A ed B implic A / B ; A ed C implic A / C I defiitiv A / B oppure A / C perciò A / B A / C Vicevers, si A / B A / C : llor A / B oppure A / C Se A / B llor A ed B ; se A / C llor A m C D ciò B C ovvero A / B C DEFINIZIONE Si dice prodotto crtesio di due isiemi A e B e si deot co A B l isieme formto dlle coppie ordite, co A e B : A B ={, : A, B} Teori dei umeri Cosiderimo desso prticolri isiemi : gli isiemi umerici Idichimo co l isieme dei umeri turli = {,,,,,, };

4 Cpitolo I i tle isieme vegoo defiite le operzioi lgeriche elemetri dirette somm e prodotto e le reltive operzioi iverse differez e divisioe Osservimo che le operzioi iverse o sempre soo eseguiili, iftti dti e pprteeti d l loro differez è quel umero turle c se esiste tle che c È chiro che se llor c : c perché per ogi c itero, c c Alogmete dti e iteri o è detto che esist c risultto dell divisioe di per tle che c, ovvero che si multiplo di Dto che o è possiile i effetture tutte le operzioi di se, el seso che il risultto o è detto che si u umero itero, viee itrodotto l isieme dei umeri iteri reltivi = {,,,,, } Si gudg così l operzioe di sottrzioe, oltre le due operzioi dirette; m cor o è detto che il quoto di due iteri reltivi si cor dello stesso tipo Per tle motivo viee itrodotto l isieme dei umeri rzioli, ossi delle frzioi veti umertore u itero reltivo qulsisi, e per deomitore u itero reltivo diverso d zero m : m,, È chiro che e m Ogi umero rziole el sistem di umerzioe decimle si può scrivere come M, c c cr cc cr M, cccr dove M è u umero turle, c, c,, cr soo umeri iteri compresi tr e 9 e l rr sopr c c cr idic l periodicità, ovvero il loro ripetersi ell umerzioe decimle L isieme ci permette di eseguire tutte le operzioi lgeriche di se; ricordimo che dti,, c,d elemeti di co c e d o ulli si h: c d c d d c c d d c d c d c d c d Tuttvi si potree provre che r : r, metre vedremo che u umero che verific l suddett egugliz è l rdice qudrt ritmetic di Pertto, si defiisce l isieme dei umeri reli, mplido co quei umeri che o si possoo esprimere sotto form di frzioe, come,,e umeri irrzioli: =,, e, Chimeremo umero rele il seguete simolo: M, c c cr osservdo che se l successioe di cifre decimli dopo l virgol è periodic il umero è rele rziole, ltrimeti il umero è irrziole Lo zero vrà l seguete rppresetzioe, ; metre il umero rele si dirà positivo o egtivo se il sego che lo precede è + oppure

5 Richimi di teori elemetre Dto umero rele si dice opposto del umero lo stesso umero col sego cmito - Due umeri reli e si dicoo uguli se ho lo stesso sego, l stess prte iter e l stess successioe di cifre decimle, ovvero se, sempre vedo lo stesso sego uo dei due umeri è periodico di periodo 9 e l ltro si ottiee d questo sostituedo il 9 co ed umetdo di u uità l cifr che precede il periodo 9, per esempio +5,9999 = +5, L ugugliz fr umeri reli gode delle segueti tre proprietà: P: riflessiv :, P: simmetric :,, P: trsitiv :, c c,,, c Per cofrotre due umeri reli distiti o egtivi diremo che è miore di e scriveremo se l prte iter di è miore dell prte iter di ovvero se vedo l stess prte iter l prim cifr decimle di è miore dell corrispodete cifr decimle di e così vi Ovvimete rele positivo Se e soo etrmi reli egtivi diremo che è miore di se Si deduce che ogi umero rele o egtivo è mggiore di quluque umero rele egtivo Ricordimo che l relzioe di cofroto itrodott i gode delle segueti proprietà : P: riflessiv :, P: tisimmetric :,,, P: trsitiv :, c c,,, c P4: tricotomi: se oppure P5: se c c,,, c c c se c P6: se c c se c P7: se e soo cocordi discordi P8: Assiom di completezz : sio A e B sottoisiemi o vuoti di, tli che A, B Allor esiste lmeo u umero rele c tle che c A, B I defiimo le operzioi di somm e prodotto che godoo delle segueti proprietà: P: ; proprietà commuttiv P: c c; c c proprietà ssocitiv P: ; esistez dell elemeto eutro P4:, è il reciproco di P5: c c proprietà distriutiv Le operzioi iverse soo così defiite:,

6 Cpitolo I :,, Osservimo che :,, ;,,, Vlore ssoluto DEFINIZIONE Si dice vlore ssoluto del umero rele il umero o egtivo così defiito: se se se D quest defiizioe si ho le segueti proprietà : P:,, P:, oppure P:, P4:, prim disugugliz trigolre P5:, secod disugugliz trigolre P6:,, P7: P8: P9: ESEMPI - 5 = - = e - 5 = 5 = - + = < - + = = 5 > - - = = 4 Elevmeto potez Assegti due umeri reli α e, cerchimo di dre sigificto l simolo Procedimo per pssi:

7 Richimi di teori elemetre si = umero turle; defiimo ed volte = m si = m umero itero reltivo, co m o egtivo ed, defiimo m m si umero rziole; per defiire l potez itroducimo l rdice -esim di u umero rele 4 Rdice -esim di u umero rele Si,,, DEFINIZIONE Si chim rdice -esim ritmetic di m quel uico umero rele positivo l cui potez -esim d : Si prov che u sifftto umero esiste Cosiderimo desso l equzioe co, Tle equzioe mmette o meo soluzioi ell icogit rele i fuzioe di ed, iftti: se, itero pri, l equzioe mmette i, come uiche soluzioi, l rdice -esim ritmetic di = e l opposto dell rdice -esim ritmetic di =- ; se, itero dispri, l equzioe mmette i u ed u sol soluzioe dt dll rdice -esim ritmetic di = ; se, itero, l equzioe mmette i u ed u sol soluzioe che è lo zero; 4 se, itero dispri, l equzioe mmette i u ed u sol soluzioe egtiv dt dll opposto dell rdice -esim ritmetic di =- ; 5 se, itero pri, i tl cso l equzioe o mmette soluzioi i DEFINIZIONE: si dice rdice -esim di u umero rele ogi soluzioe, se esiste, dell equzioe, co,, 4 Proprietà dell rdice -esim P:, ed itero, e < ed itero dispri > P: se se se, dispri P: co dispri Si h che m, pertto se Osservimo che ed m m m defiimo

8 4 Cpitolo I Utilizzdo l ssiom di completezz è possiile estedere l defiizioe di co ed Elechimo lcue proprietà delle poteze: P: P: P: P4:, P5: P6: P7: se P8: se se se O O ESEMPI 4 5 ; Figur Grfico dell fuzioe espoezile 7 5 m c c c c m s m 4 k ; ; z 4 z ; ; 7 s g g ; h h : cso >, cso <<

9 Richimi di teori elemetre 5 5 Logritmo DEFINIZIONE Dti e umeri reli, >,, si defiisce logritmo di i se, e lo si idic co l scrittur log, l uico umero rele soluzioe dell equzioe Si può provre che u sifftto umero esiste e, ovvimete, risult Elechimo lcue proprietà del logritmo: P: log ; log P: p log P: log c log log c p P4: log log log c c log c P5: log c formul di cmimeto di se log P6:, c log log c P7:, c log log c log Se = e il logritmo si dice turle o eperio e si idic co log oppure lg ; ivece se = i logritmi si dicoo decimli e si idico co Log Nell espressioe log M, c c l qutità M si dice l crtteristic del logritmo metre l qutità c c si chim l mtiss del logritmo O O Figur Grfico dell fuzioe logritmic log : cso >, cso << ESEMPI log 8 perchè 8 ; log 5 perchè 5 5 ; log 4 perchè ; log perchè ; log 4 perchè ; log 8 perchè 8 ;

10 6 Cpitolo I 8 log log 4 log 6 log 8 log log 8 log log6 5log 6 ; log 9 log9 ; 6 Cei di trigoometri; misur i rditi di u golo α; si α; cos α; tg α Si α u golo del pio co origie i O: O Figur Cosiderimo due circofereze cetrte i O di rggio rispettivmete r ed R cfr Figur 4 e, idichimo co l e L, rispettivmete le lughezze degli rchi itercettti dll golo α su di esse: Risult : l L r R l L O r R Figur 4 Tle umero, che o dipede dll circoferez cetrt i O, si chim l misur i rditi dell golo Pertto u golo vrà misur di rdite se l lughezz dell rco di circoferez itercettto è ugule l rggio dell stess circoferez L misur i rditi dell golo giro è πr/r = π d cui deducimo che l golo pitto è π rditi, l golo retto è π / rditi e più i geerle l formul che ci permetterà di pssre dll misur i rditi dell golo α α r ll misur i grdi α g e vicevers: g r 6 Dll precedete proporzioe segue Tell misur dell golo i grdi sessgesimli misur dell golo i rditi / 6 / 45 /4 /6 7 /

11 Richimi di teori elemetre 7 Cosiderimo or, u sistem di riferimeto crtesio cfr il Cpitolo e riportimo l golo i modo che l su origie coicid co quell del sistem di riferimeto e u delle due semirette che lo geero gicci sull sse cfr Figur 5 Si coviee che l misur di si positiv se l semirett che geer l golo e gice sull sse ruot i verso tiorrio per sovrpporsi ll ltr semirett i cso cotrrio l misur di srà egtiv Si l circoferez vete cetro ell origie del sistem di riferimeto e rggio uitrio circoferez trigoometric:, : Dicimo B il puto sull circoferez itersezioe co l semirett lier che geer l golo Eee, l ordit BH e l sciss OH del puto B si chimo rispettivmete seo di α si e coseo di α cos O H B A Evidetemete: si, cos,, e si h: k ; k si si cos cos k, Applicdo il Teorem di Pitgor l trigolo rettgolo di cteti BH, OH, ed ipoteus ugule d uo, si trov l relzioe fodmetle: si cos, Defiimo tgete dell golo α tg il seguete rpporto : si tg = cos T che ovvimete h seso se B cos k, k A Geometricmete l tgete di α rppreset l ordit del puto T itersezioe tr l rett tgete l O H cerchio trigoometrico i A e l semirett lier che geer α tg α = AT cfr Figur 6 Riportimo qui di seguito u tell co i vlori di si, cos e tg per lcui goli di uso più frequete: Tell si cos tg 5 = / 8 = / Figur 6 Figur = /6 / / 5

12 8 Cpitolo I / 45 = /4 / / 6 = / / / 9 = / 8 = - o esiste 7 = / - o esiste = 6 = Ricordimo, ioltre: formule di ddizioe e sottrzioe: si si cos cos si cos cos cos si si ; formule di isezioe: cos si, cos cos cos tg ; cos formule di dupliczioe : si si cos, cos cos si tg tg tg formule prmetriche: si tg tg, cos tg tg I grfici delle fuzioi trigoometriche soo i segueti: si è u fuzioe periodic di periodo defiit per ogi, il codomiio è [-,] Il grfico itersec l sse ei puti dell form k, co k

13 Richimi di teori elemetre 9 O Figur 7 Grfico di si = cos è u fuzioe periodic di periodo defiit per ogi, il codomiio è [-,] Il grfico itersec l sse ei puti dell form k, co k O Figur 8 Grfico di cos tg, defiit per k e codomiio, è u fuzioe periodic di periodo Il suo grfico itersec l sse ei puti dell form k, co k O Figur 9 Grfico di tg

14 Cpitolo I 7 Poliomi, equzioi e disequzioi lgeriche DEFINIZIONE Si chim poliomio lgerico di grdo o ordie u comizioe liere di poteze itere dell vriile del tipo : p, i i,,, Osservimo che il grdo del poliomio deg p è l mssim potez co cui compre l vriile, d esempio p 5 è u poliomio di ordie deg p= Se p il suo grdo è zero Si chim vlore del poliomio per e lo si idic co pα l espressioe umeric p Se p, α si chim rdice del poliomio Assegto u poliomio lgerico p di grdo si chim equzioe lgeric ssocit l poliomio, e l si idic co p=, il prolem dell ricerc delle rdici del poliomio Osservimo che il umero delle rdici dell equzioe lgeric è ugule ll ordie del poliomio cotdo le rdici, che se complesse e molteplici Teorem fodmetle dell lger Teorem I Pricipio d idetità dei poliomi Due poliomi p e q soo uguli se ho lo stesso ordie, ed i coefficieti corrispodeti uguli 7 Divisioe tr poliomi Sussiste il seguete Teorem Sio A e B due poliomi co deg A deg B Allor esiste uivocmete determit l coppi di poliomi Q quoziete ed R resto tli che A B Q R co deg R deg B Osservimo che è rdice di p se e solo se p è divisiile per -α cioè il resto dell divisioe deve vlere zero Sio A e B ; eseguimo l divisioe 4 4 4

15 Richimi di teori elemetre d cui otteimo: Q ed R 4 4 Lscimo l lettore l verific che: 4 4 Osservimo ifie che ote,,, le rdici di p= evetulmete o tutte distite e o tutte reli il poliomio mmette l uic decomposizioe p Si p Esso mmette come rdici e quidi si decompoe i 7 Equzioe lgeric di primo ordie Si defiisce equzioe lgeric di primo ordie l equzioe : co,, Utilizzdo le proprietà dei umeri reli tle equzioe mmette l uic soluzioe Iftti: d ggiugedo d mo i memri risult d cui dividedo etrmi i memri per si ottiee D ltr prte è fcile verificre che soddisf l ostr equzioe Risolvere l equzioe 5 Aggiugedo d mo i memri -5 e dividedo per - si ottiee l soluzioe 5 7 Equzioe lgeric di secodo ordie Si defiisce equzioe lgeric del secodo ordie l equzioe: c c co,,, Si chim discrimite dell equzioe e lo si idic co il simolo il umero 4c L risoluzioe dell equzioe è legt l sego di Si prov che : Se > l equzioe mmette due rdici reli e distite forite dll seguete formul:, e quidi c Se = l equzioe mmette due rdici reli e coicideti dte d ed c

16 Cpitolo I Se < l equzioe o mmette rdici reli m ovvimete e mmetterà due complesse coiugte OSSERVAZIONE Assegto il poliomio lgerico p, il prolem dell risoluzioe di p si ffrot determido le soluzioi di p= ed escludedo tli vlori Per risolvere, sterà risolvere Tle equzioe h come soluzioi 9 8 per cui, soo le soluzioi del ostro prolem 74 Sistemi di equzioi Il prolem dell risoluzioe di due o più equzioi, ovvero l ricerc dei vlori d dre ll vriile per soddisfre cotemporemete le equzioi ssegte p,, p si chim sistem e lo si idic ell mier seguete: r p pr Si cosideri il sistem:, l prim equzioe h come soluzioi metre l secod equzioe h soluzioe Quidi il sistem mmette come uic soluzioe OSSERVAZIONE U sistem potree o vere soluzioi, qudo le sigole equzioi che lo compogoo o ho soluzioi o o ho soluzioi comue U sistem, ifie, potree presetrsi el seguete modo : p q 75 Equzioi frtte p Assegti i poliomi p e q, si chim equzioe frtt l equzioe q p Ess è equivlete l sistem: q

17 Richimi di teori elemetre, quidi l uic soluzioe dell equzioe è = 76 Disequzioi lgeriche Si p u poliomio di ordie Si chim disequzioe lgeric il prolem dell ricerc dei vlori di per cui è soddisftt u delle segueti relzioi: p ; p ; p ; p Osservimo che srà sufficiete sper risolvere d esempio l disequzioe p ed è questo il cso i cui, i seguito, lizzeremo l risoluzioe dei vri tipi di disequzioe Iftti: p p ; p p e p 77 Disequzioe lgeric di primo ordie L form geerle di u disequzioe lgeric di primo ordie è del tipo:, se Dlle proprietà dei umeri reli se Risult evidete che, l cotrrio dell equzioe di primo ordie che mmette u sol soluzioe, le soluzioi dell ostr disequzioe soo ifiite 78 Disequzioe lgeric di secodo ordie L form geerle di u disequzioe lgeric di secodo ordie è del tipo: c, Detto 4c il discrimite dell equzioe ssocit ll disequzioe cosidert, si possoo presetre tre csi: Se l equzioe ssocit mmette due rdici reli e distite: I tl cso le soluzioi dell disequzioe si ottegoo seguedo l regol: il sego del triomio c è ugule l sego del coefficiete per le tli che, ; i- vece il sego del triomio è opposto l sego di per le tli che Risolvere l seguete disequzioe:

18 4 Cpitolo I 9 Risult 8 9 per cui, soo le soluzioi dell equzioe ssocit; duque essedo il coefficiete dell di secodo grdo positivo come il sego del triomio, le soluzioi dell disequzioe soo:, Se l equzioe ssocit mmette come uic rdice I tl cso il sego del triomio è lo stesso del sego di, ESEMPI Risolvere l seguete disequzioe: Risult 4 4 per cui = è l soluzioe dell equzioe ssocit; duque le soluzioi dell disequzioe soo R, Risolvere l seguete disequzioe: 4 4 Risult 6 6 per cui = è l soluzioe dell equzioe ssocit; duque l disequzioe o mmette soluzioi Se l equzioe ssocit ll disequzioe o mmette soluzioi reli, quidi il sego del triomio è ugule l sego di ESEMPI Risolvere l seguete disequzioe: Risult 4 ; duque le soluzioi dell disequzioe soo Risolvere l seguete disequzioe: Risult 4 ; duque l disequzioe o mmette soluzioi 79 Sistemi di disequzioi Si chim sistem di disequzioi il prolem dell ricerc dei vlori di per cui risultio cotemporemete soddisftte u umero fiito di disequzioi ssegte: p p pr ESEMPI Risolvere il sistem :

19 Richimi di teori elemetre 5 4 7, , 4,, Grficmete si h: quidi, il sistem dto h come soluzioi: <-, >4 Risolvere l disequzioe 4 Quest disequzioe è equivlete ll uioe dei due segueti sistemi: 4 4 che ho come soluzioi per cui le soluzioi dell disequzioe iizile soo c Risolvere l seguete disequzioe : 7 9 L disequzioe è equivlete ll uioe dei due sistemi: ,,, 4, per cui le soluzioi dell disequzioe iizile soo:, 4 7 Equzioi e disequzioi irrzioli Si defiisce equzioe irrziole u equzioe del tipo B A -

20 Cpitolo I 6 dove, e A B soo due poliomi ell vriile L risoluzioe di tle equzioe dipede dll idice Precismete l equzioe cosidert è equivlete meo di verific file : se è pri l sistem: B A B A se è dispri ll equzioe: B A Risolvere l seguete equzioe : Ess è equivlete l sistem :, 4 4, 4 5 Grficmete si h: per cui l uic soluzioe è 4 5 ; lscimo l lettore l verific file osserv che l elevmeto potez di u poliomio port geerlmete ll itroduzioe di soluzioi spurie U tipo di disequzioe irrziole è: B A Si possoo presetre due diversi csi: Se è dispri, occorre risolvere l disequzioe: B A Se è pri, occorre risolvere i due segueti sistemi: B A B A B A L equivlez ovvimete è meo di verific file - -5/4 -

21 Richimi di teori elemetre 7 Risolvere l seguete disequzioe: L disequzioe è equivlete i due sistemi,,, Pertto l isieme delle soluzioi dell disequzioe dt è formto dlle : 7 Equzioi e disequzioi espoezili Si chim equzioe disequzioe espoezile u equzioe u disequzioe i cui l vriile oppure u poliomio d ess dipedete figur come se o espoete di u potez L equzioe p, è equivlete risolvere l equzioe lgeric p log L disequzioe p è equivlete, se >, ll disequzioe p log se > oppure ll disequzioe p log se ; metre è sempre verifict se ESEMPI Risolvere l seguete equzioe espoezile L equzioe equivle log log log Risolvere l seguete equzioe espoezile: 4 L equzioe equivle t t 6 log, t 4t t 6, t t 6 t per cui l soluzioe dell equzioe è log c Risolvere l seguete disequzioe espoezile : L disequzioe equivle : t t 5 6 t 5t 6 t, t log, log, per cui l soluzioe dell disequzioe iizile è log, d Risolvere l seguete disequzioe espoezile : L disequzioe equivle : 4

22 Cpitolo I per cui le soluzioi soo 7 Equzioi e disequzioi logritmiche Si chim equzioe disequzioe logritmic u equzioe u disequzioe i cui l vriile oppure u poliomio d ess dipedete figur come rgometo o se di u logritmo L equzioe, log co p è equivlete risolvere il sistem: p p L disequzioe, log log co p è equivlete l sistem se p p oppure l sistem p se p ESEMPI Risolvere l seguete equzioe logritmic: log Ess equivle l sistem,, ; Quidi le soluzioi dell equzioe soo :, Risolvere l seguete disequzioe : log 5 Ess è equivlete l sistem 5, 5 5, d cui, trmite itersezioe grfic delle soluzioi, si ottiee: 5, 5 c L disequzioe : lg equivle risolvere e e t t t t lg lg lg lg, le cui soluzioi soo : e e

23 Richimi di teori elemetre 9 d Risolvere l seguete disequzioe : lg e 5 5 Ess equivle l sistem 5 5 poedo 5 t 5 5 per cui deve essere 5 t t t t t R t t R t R, t 8 Isiemi limitti Si X, X ; DEFINIZIONE U umero rele L l si dice u mggiorte miorte per l isieme X se L l X È ee otre esplicitmete che u isieme X o sempre mmette mggiorti o miorti Se, d esempio, X R :, X o mmette mggiorti, metre lo zero ed che u qulsisi umero rele egtivo è u miorte di X DEFINIZIONE Diremo che X è limitto superiormete iferiormete se mmette u mggiorte miorte e si dice limitto se è limitto si iferiormete che superiormete l, L : l L, X Proposizioe X è limitto H : H H, X Dimostrzioe: Dll defiizioe, X è limitto l, L : l L X pertto : ; d ltr prte l L, X l L L l L X, d cui l ffermzioe per H l L OSSERVAZIONE Se K è u mggiorte di X h u miorte di X llor u quluque h ' h è cor u mggiorte miorte di X k ' k Assegto X, X, DEFINIZIONE M si dice mssimo di X se: M X M è u mggiorte M X Alogmete, m si dice miimo di X se : m X m è u miorte m X

24 Cpitolo I OSSERVAZIONE No tutti i sottoisiemi o vuoti di ho mssimo e miimo Ad esempio se A :, A o h é mssimo é miimo o esiste il più piccolo umero rele positivo; d esempio lo zero è u miorte m o è miimo perché o pprtiee d A OSSERVAZIONE Si verific fcilmete che qudo esistoo, il mssimo ed il miimo soo uici Teorem 4 esistez dell estremo superiore Si X, X esiste il miimo dell isieme dei mggiorti di X, limitto superiormete; llor Tle umero, deotto co sup X, viee chimto estremo superiore di X, e, risult evidete che prop crtteristiche dell estremo sup: L sup X L X X : L iftti l proprietà fferm che L è u mggiorte metre l proprietà equivle dire che L è il più piccolo dei mggiorti I mier log si prov Teorem 5 esistez dell estremo iferiore Si X, X limitto iferiormete; llor e- siste il mssimo dell isieme dei miorti di X Tle umero, che si deot co if X, si chim l estremo iferiore di X Evidetemete prop crtteristiche dell estremo if: l if X ' ' l X X : l OSSERVAZIONE Se u isieme X h mssimo M miimo m llor M = sup X m = if X, iftti M è u mggiorte di X ed M X pertto soo verificte le due proprietà crtteristiche dell estremo superiore l prim è ovvi, l secod per M Ifie, si X, X DEFINIZIONE X si dice o limitto superiormete iferiormete se o mmette mggiorti miorti * * k X : k risp h X : h OSSERVAZIONE Nelle relzioi precedeti ci si può limitre cosiderre k> ed h< Dire se l isieme umerico X, è limitto superiormete e/o iferiormete e clcolre, i cso ffermtivo, l estremo iferiore e l estremo superiore, precisdo se soo miimo e mssimo rispettivmete

25 Richimi di teori elemetre Osservimo che : d cui X è limitto iferiormete e poiché X mi X if X Provimo che X o è limitto superiormete k : k Osservimo che il sistem k mmette, quluque si k >, ifiite soluzioi k

26 Cpitolo I

27 Cpitolo Mtrici e Sistemi lieri Mtrici e determiti Si chim mtrice m u tell costituit d m umeri reli, ij, disposti su m righe orizzotli e su coloe verticli del tipo : A m m m ; gli idici i, j idico rispettivmete l rig e l colo di pprteez dell elemeto, d e- sempio pprtiee ll secod rig ed ll terz colo 5 7 Nell mtrice A, che è del tipo, l elemeto vle, l elemeto vle,,etc DEFINIZIONE U mtrice si dice ull se tutti i suoi elemeti soo ulli, cioè se i m, j ij DEFINIZIONE U mtrice si dice qudrt di ordie se m ; ltrimeti si dice rettgolre DEFINIZIONE U mtrice qudrt di ordie si dice mtrice sclre qudo ij se i j ij ki se i j, ki R I prticolre se k i i l mtrice si dice idetic

28 4 Cpitolo II I è l mtrice idetic di ordie tre D or i poi, per revità, idicheremo l mtrice A di elemeti Operzioi co le mtrici Se A ij e ij ij co A ij B soo due mtrici m, si chim somm di A e B, e si idic co C A B l mtrice m il cui elemeto c ij è dto d c ij Se, si chim prodotto di per A ij, A, l mtrice ij vle ij Se A ij è di tipo m q e ij ij ij m il cui elemeto di posto B è di tipo q si defiisce prodotto righe per coloe di A per B, e si idic co C A B l mtrice m il cui elemeto cij i j i j ij prodotto dell rig i-esim di A per l colo j-esim di B Osservimo che el prodotto tr mtrici righe per coloe occorre che il umero delle coloe di A si ugule l umero delle righe di B; quidi se è possiile clcolre A B, o è detto che si possiile clcolre B A, ed ioltre se etrmi i prodotti ho seso, i geerle A B B A ESEMPI Sio 5 8 A e 4 4 B Risult C A B Se cosiderimo risult Sio A e B Risult A B ; è possiile clcolre B A che ovvimete srà divers d A B i 4 quto B A è qudrt di ordie tre Le operzioi fr mtrici così defiite godoo delle segueti proprietà:

29 Mtrici e Sistemi Lieri 5 P A B B A prop commuttiv P A A A è l elemeto eutro dell somm P A B C A B C prop ssocitiv P4 A B C A B C P5 A I I A A I è l elemeto eutro del prodotto Determite Dt u mtrice qudrt umero rele detto determite di A A det A se Distiguimo vri csi:, A ij di ordie d ess è possiile ssocire i modo uivoco u A si chim determite di A il umero ; se, A si chim determite di A il umero det A si A ; det A ; se, A si chim determite di A il umero det A si A ; det A 6 4 ; Nel cso, il clcolo del determite può essere effettuto trmite l regol di Srrus : si ggiugoo ll mtrice le prime due coloe; si somm l prodotto degli elemeti dell digole priciple i prodotti degli elemeti delle ltre due digoli d ess prllele, quidi si sottre il prodotto degli elemeti dell digole secodri dimiuito dei prodotti degli elemeti delle due digoli d ess prllele: A det A ;

30 6 Cpitolo II i geerle Teorem di Lplce scelt u rig o idifferetemete u colo, d esempio quell i-esim i, i, i, il determite è il umero: i i i det A i det Ai i det Ai i det Ai, dove A ij, j,, è l mtrice che si ottiee d quell dt sopprimedo l rig i-esim e l co- i j lo j-esim osservimo che A ij è di ordie -, metre il umero det Aij è detto complemeto lgerico di ij ; pertto il determite di A è l somm dei prodotti degli e- lemeti dell rig i, i,, i per i rispettivi complemeti lgerici tle clcolo, è ee precisre, o dipede dll rig o dll colo scelt : i j det A ij det Aij imo scelto l rig i-esim j Risult evidete che per il clcolo di u determite di ordie quttro si ricorre l clcolo dei determiti di ordie tre, così, i geerle, per il clcolo di u determite di ordie si ricorre l clcolo di determiti di ordie - Proprietà dei determiti Le pricipli proprietà dei determiti soo le segueti: il vlore di u determite è ullo se tutti gli elemeti di u lie soo ulli; il vlore di u determite o cmi se si scmio le righe co le coloe; c se l mtrice A ' si ottiee d A scmido fr loro due file prllele, llor det A' det A d se l mtrice A ' si ottiee d A moltiplicdo tutti gli elemeti di u fil rig o colo per u costte llor det A' det A ; e se ell mtrice A due file prllele soo proporzioli llor il determite è ullo; f l somm dei prodotti degli elemeti di u rig o colo per i complemeti lgerici degli elemeti loghi di u ltr rig o colo è ugule zero Le proprietà, e d soo di fcile verific Per l proprietà c possimo procedere per iduzioe È immedito vedere che ess vle per llor suppoimo che si ver per e provimo che è ver per Sviluppimo det A e det A ' secodo u rig o colo divers d quelle scmite tr loro: i j ij Aij i i j ij det A' ij i det A det A ' Poiché Aij e A' ij ho ordie e due righe scmite tr di loro, dll ipotesi di iduzioe si h det A det ' d cui l sserto L proprietà e è u coseguez dell d e del ftto che se i A ij A ij due file prllele soo uguli llor det A iftti dll c si h che det A det A

31 Mtrici e Sistemi Lieri 7 jk Ifie, per provre l proprietà f, osservimo che u somm del tipo jk Ajk i j è lo sviluppo del determite dell mtrice A ' che si ottiee d A sostituedo l posto degli elemeti dell rig j-esim quelli dell rig i-esim Pertto A ' h due righe eguli e duque det A ' Osservimo che se A è u mtrice digole, A,,, llor det A k 4 Clcolre il determite dell seguete mtrice A 4 4 Addizioimo ll terz rig l prim rig, otteedo A 4 e clcoldo A secodo l prim rig, 4 Mtrice ivers 4 A Si A u mtrice qudrt di ordie DEFINIZIONE Diremo che A è ivertiile se esiste u mtrice B di ordie tle che A B B A L mtrice B si chim mtrice ivers di A e si idic co se C è tle che A C C A I llor Vle il seguete A A I A AC A I A Se A C I C C A esiste ess è uic, iftti Teorem Si A u mtrice di ordie co det A, llor A è ivertiile e gli elemeti ij ij dell mtrice ivers A soo defiiti d ij det A i j ji det A

32 8 Cpitolo II Si A Risult A ; A, A, A, A Pertto,,, e quidi A 5 Crtteristic di u mtrice Dt u mtrice rettgolre di tipo m, d ess si possoo estrrre delle mtrici qudrte i cui determiti si dicoo miori di A Il umero di righe o coloe dell mtrice estrtt si chim ordie del miore Si chim crtteristic di A l ordie mssimo dei miori o tutti ulli che si possoo estrrre d A k mi m, è l crtteristic di A se: Pertto l itero positivo esiste lmeo u miore di ordie k i A co determite o ullo, tutti i miori i A di ordie mggiore di k ho determite ullo Si 4 A risult che crtta 6 6 Cosiderimo tutti i miori di ordie ; 8 6 4, , pertto crtta e poiché 4 si h che crtta Sistemi lieri U sistem liere di m equzioi i icogite h l form : S m m m m

33 Mtrici e Sistemi Lieri 9 dove,, soo le icogite, ij, i,, è il termie oto i si chimo i coefficieti del sistem e Risolvere S sigific determire u -upl,, tle che i i i i i,, m Accto l sistem S si cosidero le due mtrici : A m m m m dett mtrice complet B m m m dett mtrice icomplet Metodi di risoluzioe m V- Affrotimo or il prolem dell risoluzioe del sistem S Comicido dl cso le il seguete Teorem di Crmer Se det A, il sistem liere S mmette u ed u sol soluzioe dt d det Bi i, det A dove B i è l mtrice che si ottiee dll mtrice A sostituedo gli elemeti dell colo i-esim co quell dei termii oti Cosiderimo il sistem z z z Risult det A pertto 7 ; 6 ; z

34 4 Cpitolo II I geerle, se il umero delle equzioi m è diverso dl umero delle icogite, si può tetre di pplicre il seguete Teorem di Rouchè - Cpelli Codizioe ecessri e sufficiete ffiché il sistem S i soluzioi è che le mtrici complet ed icomplet del sistem io l stess crtteristic I tl cso se k è l crtteristic delle due mtrici, per risolvere il sistem si procede el seguete modo: si scelgoo k delle m equzioi i modo tle che l mtrice dei coefficieti di queste i crtteristic ugule k; el uovo sistem otteuto, vete k equzioi i icogite, si scelgoo k icogite, i modo tle che il determite dei loro coefficieti si o ullo ed lle rimeti -k icogite si ttriuiscoo vlori ritrri; si risolve questo sistem di k equzioi i k icogite co det ttrverso, d esempio, Crmer; 4 gli umeri così trovti costituiscoo u soluzioe del sistem S ESEMPI 4 Cosiderimo il sistem Risult A 6 ; B Poiché det B crtta crttb 4 Cosiderimo llor il sistem che h soluzioe 6 5 6, 4z 4 Cosiderto il sistem 6 z 5 9 z 4 Risult A 6 ; 5 9 Poiché l ultim rig di B è comizioe liere delle prime due, crttb crtta ; cosiderimo llor il sistem : 4z 4 6 z e per Crmer si h : 4 4z 6 z

35 Mtrici e Sistemi Lieri ; z z z z z z pertto le ifiite soluzioi del sistem dto si ottegoo l vrire di z ell ter z z z, 6 6, 5 5 Ifie ricordimo che per risolvere u sistem è sempre vlido il metodo di sostituzioe Risolvere il sistem 5 Si h : Sistemi lieri omogeei Se m il sistem liere S si dice omogeeo Tle sistem h sempre l soluzioe,, ioltre è di semplice verific che se,,, è soluzioe llor che,,, è soluzioe l vrire di Per l risoluzioe di u tle sistem supporremo m ; i tl cso dl Teorem di Crmer se det A il sistem omogeeo h l sol soluzioe ull, metre se det A, differedo A d B per u colo di elemeti ulli, risult crttb crtta e quidi il sistem è risoluile trmite Rouchè - Cpelli Risolvere il sistem 4 z z z Risult det 4 A A Poiché crttb crtta il sistem ssegto è equivlete per Rouchè - Cpelli l sistem seguete: z z z z e per Crmer :

36 Cpitolo II 4 ; 5 z z z z z z pertto le soluzioi soo tutte le tere del tipo : z z z,, 5 l vrire di z

37 4 Cpitolo Elemeti di geometri litic Sistem di riferimeto sull rett Assegt u rett r per fissre su di ess u sistem di riferimeto rett coordit occorre: fissre u puto O di r detto origie, fissre u uità di misur u, scegliere u verso di percorrez sull rett O u P r Figur Rett coordit Preso P r diremo che O precede P se percorredo l rett lugo il verso scelto positivo si icotr prim O e poi P Ad ogi puto P r possimo ssocire u umero rele sciss di P ell seguete mier: se P ssocimo P = ; se O precede P ssocimo P l lughezz del segmeto cogiugete O co P misurt rispetto d u; se P precede O ssocimo P l lughezz del segmeto cogiugete O co P misurt rispetto d u e cmit di sego; Evidetemete se O precede P srà > ivece se P precede O srà < Vicevers d ogi umero rele possimo ssocire u puto P sull rett i tle mier: d = ssocimo il puto O ; d > ssocimo il puto P tle che O precede P e l lughezz del segmeto cogiugete O e P misur ; d < ssocimo il puto P tle che P precede O e l lughezz del segmeto cogiugete O e P misur - I tle mier si stilisce u corrispodez iuivoc tr i puti dell rett e l isieme dei umeri reli: r

38 44 Cpitolo III Distz tr due puti e loro puto medio Figur Assegti P di sciss e P di sciss si defiisce distz tr P e lughezz del segmeto che li cogiuge ; risult d P, P Il puto di sciss M Il pio crtesio - / r P d P, P risult il puto medio del segmeto cogiugete P e P Assegto u pio per fissre su di esso u sdr occorre cosiderre due rette coordite ed perpedicolri tr loro ssi coorditi ed veti origie i comue: Ad ogi puto P possimo ssocire due umeri reli sciss ed ordit ell mier segue- te: d P si coducoo le rette prllele gli ssi coorditi; detti P e P le itersezioi rispettivmete co P, P '' l sse ed, P ssoceremo le scisse ed di P e P rispetto lle uità dimisur u ed u scelte sui due u '' ssi Vicevers pres u coppi di umeri reli, d ess ssocimo u puto el pio ell seguete mier: se, =, ssocimo l origie O; se, O u ' P ', idividuimo sull sse il puto P di sciss Figur Pio coordito e sull sse il puto P di sciss ; d, ssocimo il puto P itersezioe delle rette prllele gli ssi coorditi codotte d P e P I tle mier si stilisce u corrispodez iuivoc tr i puti del pio e l isieme delle coppie ordite di umeri reli Il pio co il sdr O costruito si chim pio coordito Osservimo che il sdr suddivide i quttro prti o qudrti umerti i verso tiorrio e che u puto pprtiee l primo qudrte se h sciss ed ordit etrme o egtive, etc l Distz tr due puti e loro puto medio, P, si chim distz tr i due puti l lughezz del segmeto che li cogiuge Dll ppliczioe del Teorem di Pitgor l trigolo rettgolo P P Q cfr Figur 4 risult: Dti due puti P e d P, P P P Q O Figur 4

39 Elemeti di Geometri Alitic 45 e tle formul vle quluque sio i puti P e P del pio coordito che i futuro ci riferiremo l primo qudrte sez perdere i geerlità Il puto M, risult il puto medio del segmeto cogiugete P e P Coordite polri Assegto u sdr crtesio ortogole O, ogi puto P del pio è uivocmete determito d u coppi di umeri reli, Lo stesso puto può essere idividuto d u coppi di umeri reli,, dove è l distz di P d O e è l golo formto dl semisse positivo delle co l semirett OP, misurto i verso tiorrio: P O Figur 5 L coppi, prede il ome di coordite polri del puto P: è detto modulo e l omli di P cfr Figur 5 Le relzioi tr le coordite crtesie e le coordite polri soo: cos ; se d cui e se, metre se = si h che Cmimeti del sistem di riferimeto tg oppure secodo che > oppure < Vedimo, or cos ccde se si pss dl sdr ortogole crtesio O l sdr crtesio ortogole ' O ' : ' P cso : trslzioe Il sdr ' O ' h ssi prlleli d O O ' cfr Figur 6 O m O O ' ' Figur 6

40 46 Cpitolo III Preso u puto P sul pio e dette,,, le sue coordite rispetto i due riferimeti cosiderti si h: ',dove, soo le coordite di O ' i O ' cso : rotzioe Il sdr ' O ' h origie comue d O seso tiorrio co l sse cfr Figur 7 e l sse form u golo misurto i ' O=O' P Figur 7 ' α ' Preso u puto P di coordite, ed, rispettivmete ei due sdr, ci propoimo di determire il legme che itercorre fr le coordite Itroducedo le coordite polri di P ei due riferimeti, sio, e ', ' rispettivmete, osservimo che ' e ' ' cos' Poiché ' se' si h ' cos se ' cos se E d queste lscimo che il lettore ricvi quelle iverse cso : cso geerle roto-trslzioe ' ' Preso u puto P cfr Figur 8, comido le formule dei due csi precedeti, le relzioi che lego le coordite, rispetto d O lle coordite, rispetto d ' O ' soo: O α O ' ' cos se ' cos se Figur 8

41 Elemeti di Geometri Alitic 47 L rett I u sdr crtesio ortogole si ssegt u rett r Proveremo che u puto P =, pprtiee d r se e solo se le sue coordite soddisfo u equzioe liere i ed del seguete tipo: c co,, c umeri reli, dett equzioe dell rett i form implicit Nel cso i cui l rett è prllel ll sse, i suoi puti soo crtterizzti dll vere l stess ordit, si quest k ; pertto l rett è idividut liticmete dll equzioe = k I mier log se l rett è prllel ll sse i suoi puti soo crtterizzti dll vere l stess sciss, si quest h ; pertto l rett è idividut liticmete dll equzioe = h Nel cso i cui r è oliqu ovvero o è pr llel essuo dei due ssi coorditi sio P, e P, due suoi puti: P P Q P Q r O Figur 9 Se P, r dll similitudie dei trigoli P QP e P QP risult: d cui Allor se idichimo co,, c, le coordite del puto P soddisfo l equzioe c Vicevers si P, tle che c c e quidi P Provimo che P pprtiee ll rett c r r cfr Figur Q Se per ssurdo P o pprteesse d r, cosiderimo il puto Q r, vete l stess sciss di P: O Figur

42 48 Cpitolo III Ovvimete P Q Poiché Q r le sue coordite soddisfo l equzioe c d cui essedo l sciss di Q ricvimo c c ordit di Q c per cui Q, Cofrotdo le coordite di P e Q si h P Q : ssurdo! L ssurdo è to dll vere ssuto che P o pprtiee ll rett r L prede il ome di equzioe dell rett per due puti Ioltre dll equzioe, se, ricvimo c c e poedo m ed otteimo m, equzioe dell rett i form esplicit OSSERVAZIONE L o può rppresetre u rett prllel ll sse Ioltre se l rett pss per O dovrà essere c Scrivere l equzioe dell rett psste per i puti A, e B, ; dll formul si h: 4 4 ; grficmete: A O - - B Figur Coefficiete golre Si ssegt u rett r o prllel ll sse e sio P, P, e P, tre puti distiti di tle rett cfr Figur :

43 Elemeti di Geometri Alitic 49 P α Q Q Q P α O Figur P r Di teoremi di similitudie dei trigoli rettgoli PQ P, PQP e PQ P risult che d cui il clcolo del umero m o dipede dll coppi di puti scelti su r Tle umero si chim il coefficiete golre dell rett r e rppreset vedi Figur, per u ot proprietà dei trigoli rettgoli, l tgete trigoometric dell golo α che l rett form co l sse, quidi misur l pedez dell rett rispetto ll sse Se l rett r h equzioe c è fcile verificre che m d cui l equzioe esplicit può essere scritt : c m q co q Osservimo che se l rett è prllel ll sse il suo coefficiete golre vle zero, metre o h seso clcolre il coefficiete golre di u rett prllel ll sse Itersezioe tr due rette Sio ssegte due rette r : c ed s : ' ' c' U puto P, pprtiee lle due rette se le sue coordite soddisfo le equzioi di etrme, ovvero se il sistem c mmette soluzioi le due rette si iterseco Pertto, si h: ' ' c' se ' ' vd Teorem di Crmer il sistem cosiderto mmette u ed u sol soluzioe, e segue che le due rette soo icideti i u puto le cui coordite, soo l soluzioe del ostro sistem; ' ' c Se ivece ' ' il sistem diviee: c' c' d cui vremo ifiite soluzioi se oppure essu soluzioe c c' se vd Teorem di Rouchè - Cpelli c Poiché geometricmete due rette si dicoo prllele se o ho lcu puto comue o se soo coicideti, risult evidete che le rette soo prllele el cso i cui

44 5 Cpitolo III ' ' ' ' cioè se ho lo stesso coefficiete golre Assegt, ifie, l rett r : c ed il puto P,, l equzioe dell rett psste per P e prllel d r è : Rette perpedicolri O Nel pio, riferito d u sdr, sio ssegte due rette r, s ortogoli fr loro cfr Figur Dicimo e ' rispettivmete gli goli che le rette r ed s formo co l sse s Risult r ' l somm degli goli iteri di u qulsisi trigolo vle, d cui ' Ricorddo che ' tg ' m' coefficiete golre di s e tg m coefficiete golre di r, si h che: Figur si si cos cos si si ' cos m' tg ' cos ' cos cos si si si tg m cos e vicevers D ciò l codizioe litic di perpedicolrità tr due rette di coefficieti golri m ed m' è: m' ovvero m ' m m Assegt, ifie, l rett r: c ed il puto P, l rett psste per P e perpedicolre d r h equzioe: 4 Distz puto - rett Cosiderimo, or, el ostro sistem di riferimeto u rett r : c ed u puto P, cfr Figur 4 Se P r, per covezioe si poe d P, r ; se P r, coducimo d P l rett perpedicolre d r e si Q il puto di itersezioe fr le due rette: d P, r d P, Q O r P Q dp,r Figur 4

45 Elemeti di Geometri Alitic 5 L seguete formul ci permette di clcolre i ogi cso l distz di P d r: ESEMPI d P, r c Clcolre l distz ed il puto medio fr i puti A ; B 5 5 Risult che d A, B e che P M Clcolre l distz ed il puto medio fr i puti A, ; B,7 Risult che d A, B metre 7 5 P M,, c Determire il coefficiete golre dell rett psste per i puti A,, B, Risult che m d Determire u equzioe per l rett psste per i puti A, e B,4 Risult 4 e Determire u equzioe per l rett psste per il puto A, e coefficiete golre m L equzioe richiest è 6 f Determire il coefficiete golre delle segueti rette: r : ed s : Si h rispettivmete che : m r, m s g Dire se le segueti rette soo prllele: r :, s : Le due rette soo distite e prllele essedo i loro coefficieti golri etrmi pri c' c - e h Scrivere l equzioe dell rett psste per A, e prllel ll rett r : Si h 4 i Scrivere l equzioe dell rett psste per A, e perpedicolre ll rett r : Risult che 5

46 5 Cpitolo III j Clcolre l distz del puto P, dll rett r : Si h d P, r 4 Coiche Le curv pie rppresetili d equzioi di secodo grdo i ed del tipo: 4, ij si dicoo coiche All coic defiit dll 4 è ssocit l mtrice qudrt simmetric M ; l coic si dice sigolre o degeere se det M, ltrimeti si dice o sigolre o o degeere Le coiche o sigolri soo suddivise i : ellissi, iperoli o prole; precismete, detto A se ccde che : det A ed det M l coic è u ellisse det A l coic è u iperole c det A l coic è u prol I seguito ritoreremo più i dettglio sui luoghi geometrici itrodotti trmite tle clssificzioe ffie Dllo schem precedete rest escluso il cso det A ed det M ; i tl cso l equzioe 4 rppreset l isieme vuoto, d esempio l equzioe: o è soddisftt d lcu puto del pio coordito ESEMPI Eseguire l clssificzioe delle segueti coiche: A B C \ Risult per A: M \ det A ed quidi l coic A è u iperole A \ \ 9 4 4

47 Elemeti di Geometri Alitic 5 Risult per B: M \ \ quidi l coic B è degeere i effetti è spezzt elle due rette di equzioi ed Risult per C: M \ 5 \ 4 ed A \ quidi l coic C è u prol 4 Circoferez P Fissto u puto P ed u umero rele r>, l circoferez di cetro P e rggio r è il luogo geometrico dei P r puti del pio l cui distz d P vle r Itrodotto su u sdr, dette, le coordite di P, u puto P di coordite, pprtiee se e solo se: O d P, P r r L equzioe così determit si chim equzioe crtesi Figur 5 dell circoferez di cetro P, e rggio r Dll suddett equzioe, sviluppdo i qudrti, otteimo: r ed che 5 dove,, r L equzioe 5 è del tipo 4 Chiedimoci or, se u equzioe del tipo 5 rppreset sempre u circoferez L equzioe 5, trmite il completmeto dei qudrti, diviee: 4 4 Tle equzioe rppreset: isieme vuoto se 4 4 il puto, se 4 4 l circoferez di cetro, e rggio r se Pertto l equzioe 5 rppreset u circoferez se e solo se 4 4

48 54 Cpitolo III L equzioe rppreset u circoferez? 7 Risult che pertto l equzioe rppreset l circoferez di cetro C, -/ e rggio 7 r 4 Circoferez e rett Assegte sul pio u circoferez ed u rett s può ccdere che : I circoferez e rett si iterseco i due puti distiti: soo dette secti II circoferez e rett si iterseco i due puti coicideti: soo dette tgeti III circoferez e rett o si iterseco : soo dette estere rett secte rett tgete Figur 6 Rett e circoferez Determiimo l codizioe litic per cui ed s soo secti, tgeti o estere Itrodotto u sdr e cosiderte le equzioi rispettivmete di ed s: : s : c il prolem di determire gli evetuli puti comue fr ed s è ricodotto ll risoluzioe del seguete sistem : ; c tle sistem si può risolvere per sostituzioe, d esempio se ricvimo dll secod e- c quzioe che sostituito ell prim equzioe ci d: rett ester c c ; l equzioe così otteut, dett risolvete, è u equzioe di secodo grdo i, quidi mmette o meo soluzioi secodo il sego di, pertto: i se l equzioe risolvete h due soluzioi distite i corrispodez delle quli il sistem mmette due soluzioi distite: ed s soo secti;

49 Elemeti di Geometri Alitic 55 ii se iii se l equzioe risolvete h due soluzioi coicideti i corrispodez delle quli il sistem mmette due soluzioi coicideti: ed s soo tgeti; l equzioe risolvete o h soluzioi quidi il sistem o mmette soluzioi ed s soo estere 4 Rette tgeti d u circoferez D u puto B dell circoferez u sol tgete due coicideti D u puto estero A esistoo due rette tgeti D u puto itero essu rett rele tgete 44 Ellisse Figur 7 Rette tgeti d u circoferez Assegti sul pio due puti distiti F ed F, ed il umero rele, si chim ellisse di fuochi F ed F il luogo geometrico dei puti di l cui somm delle distze d F ed F vlg Fissimo su u sdr i modo tle che l sse pssi per i due fuochi e l sse coicid co l sse del segmeto F F Co tle, P scelt se F c, c llor srà F F c, ; -, F -c, O c,, u puto del pio P, se e solo se d P, F d P, F, ovvero c c c divie- Tle relzioe, posto,- e: Figur 8 equzioe coic dell ellisse Osservimo che l ellisse cosidert itersec gli ssi crtesii ei puti, o,, che soo detti vertici dell ellisse; ioltre è evidete che > d cui il ome per di semisse mggiore e per di semisse miore

50 56 Cpitolo III c DEFINIZIONE Si chim eccetricità dell ellisse l qutità e Ess, i u certo seso, misur l differez dei semissi, e quidi di quto l ellisse si differezi dll essere u circoferez, iftti se e c ovvero l ellisse si riduce ll circoferez di cetro l origie e rggio 45 Iperole Assegti sul pio due puti distiti F ed F ed il umero rele, si chim iperole di fuochi F ed F il luogo geometrico dei puti di l cui differez i vlore ssoluto delle distze d F ed F vlg F -c, Fissimo su u sdr i modo tle che l sse pssi per i due fuochi e l sse coicid co l sse del segmeto Co tle scelt se F c, c llor srà F c, ed u puto del pio P, se e solo se d, P F, d P F, ovvero c c Poedo diviee: c tle relzioe equzioe coic dell iperole L iperole cosidert itersec l sse crtesii ei puti, o che soo detti vertici dell iperole, metre o itersec l sse Le rette di equzioe si dicoo sitoti L iperole che h come sitoti gli ssi crtesii si chim iperole equilter, l su equzioe è k 46 Prol -, O, Figur 9 c, F P Assegti sul pio u rett d direttrice ed u puto F fuoco si chim prol di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei puti del pio equidistti d F e d d L rett ortogole ll rett d e psste per F si chim sse dell prol Se sceglimo su u sdr i mier tle che l sse dell prol si prllelo ll sse ; vremo che u puto P, pprtiee se e solo se d, F d, d ; d quest relzioe otteimo Figur P

51 Elemeti di Geometri Alitic 57 c equzioe coic dell prol; i coefficieti,, c di tle equzioe soo legti l fuoco ed ll direttrice d dlle formule: c d c F : 4 4 4, Si chim vertice dell prol il puto V di itersezioe dell prol co il suo sse, e risult: c V 4 4, Osservimo che l cocvità dell prol srà rivolt verso l lto o verso il sso secodo che si rispettivmete mggiore o miore di zero ESEMPI Determire l equzioe dell circoferez psste per i tre puti, ;, ;, C B A L equzioe dell geeric circoferez di cetro, e rggio 4 4 è ; impoedo che tle circoferez pssi per A risult : ; logmete, impoedo il pssggio per B e C si ottiee rispettivmete: 5 ; pertto e, soo soluzioi del sistem liere 5 pertto l circoferez volut vrà equzioe: Figur Vri tipi di cocvità

52 58 Cpitolo III Determire l equzioe dell circoferez di cetro C, e tgete ll rett r : Dll egugliz,, e ffiché l circoferez si tgete d r è sufficiete che 4 d C, r L circoferez è rppresett dll equzioe c Tr le equzioi che seguoo idividure quelle che rppreseto u circoferez e determire cetro e rggio: i ii 4 iii iv 4 L i rppreset u circoferez i quto 4 4 e precismete è l circoferez di cetro, e rggio; L iii o rppreset u circoferez, i quto soo differeti i coefficieti di e di Lscimo llo studete l risoluzioe di ii e di iv d Determire l equzioe dell ellisse di fuochi F,, F, e costte 4 L equzioe cerct è del tipo 4 dove e c 4 Ne segue che l ellisse h equzioe 4 e Determire i fuochi ed i vertici dell seguete ellisse: 6 9 Risult 6, 9 i vertici soo i puti 4,,, ; ioltre essedo c c 7, pertto i fuochi soo i puti F 7, F 7, f Determire l equzioe dell prol co sse prllelo ll sse, di vertice V, e psste per il puto P, L prol cerct h equzioe del tipo c ; impoedo il pssggio per P, c ; dll egugliz,, si è teuto coto che c 4 4c si h che l prol richiest h equzioe 6 5

53 Elemeti di Geometri Alitic 59 g Scrivere le equzioi delle rette pssti per,5 P e tgeti 4 : L geeric rett psste per,5 P h equzioe 5 : s ; l circoferez h cetro i, C e rggio r Affiché s si tgete è sufficiete che 5 4 5, r C s d le rette cercte soo : 5 6 : 5 6 : s s h Determire le itersezioi fr : : e r Occorre risolvere il seguete sistem: 5 4 l rett r itersec l prol ei puti,5, B e A i Assegt l circoferez : e l rett : k r, determire k ffiché r si secte Cosiderimo il sistem k ; le evetuli soluzioi rppreseto i puti di itersezioe tr r e L equzioe risolvete il sistem è : k il cui k k k è sicurmete sempre positivo Pertto r è secte quluque k