FORMULARIO prof. Danilo Saccoccioni

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1 PROPRIETA' DELLE RADICI Vlgoo le segueti proprietà se i rdicdi soo positivi: FORMULARIO prof. Dilo Sccoccioi E' fodmetle ricordre le segueti equivleze, vlide per tre umeri qulsisi, b e c che le redo seste (secodo quto illustrto i puti segueti): b= c (potez) = c b (rdice) c=log (b) (logrit.) PROPRIETA' DELLE POTENZE. m = m+. m = m m = 3. m b m =( b) m 4. m b m = m b =( m b) m=( b)m 5. ( m ) = m Potez di potez Le precedeti proprietà soo vlide ei segueti csi: se gli espoeti soo iteri (che egtivi), le bsi possoo ssumere qulsisi vlore rele (che egtivo), purché si evitio le situzioi idicte sotto; se gli espoeti soo frziori o irrzioli, le bsi devoo essere positive. Situzioi prticolri: 0 =, per qulsisi vlore di diverso d zero; 0 0, simbolo privo di sigificto; se r è positivo, 0 r =0 se r è egtivo, 0 r è u simbolo privo di sigificto; r = per qulsisi vlore r; Si ricordi ovvimete che r = r = ( ) r, purché il deomitore o si ulli e vego rispettte le codizioi precedeti.. = = m = p m p Proprietà ivritiv dei rdicli Rdice di u prodotto x y= x y 5. x y = x Rdice di u rpporto y 6. m = m Potez di u rdice m 7. = m Rdice di u rdicle Occorre fre molt ttezioe l cso di rdicdi egtivi; izitutto i tl cso l'idice deve essere dispri, ltrimeti il rdicle o è defiito ei umeri reli; ioltre tlvolt le proprietà sopr riportte o vlgoo se pplicte direttmete rdicdi egtivi, come mostr il seguete esempio: Pssggi errti: = ( ) 3 3 = 3 ( ) 3 = 6 64= 6 6 = (Tetdo di pplicre l proprietà ivritiv simo giuti ll'ssurdo che = ; duque l proprietà ivritiv o si può pplicre d u bse egtiv come ) Pssggi corretti: = ( ) 3 3 = 3 3 = 3 3 = 6 6 = L'esempio mostr che per pplicre correttmete le proprietà delle rdici co rdicdi egtivi e idici dispri occorre prim trsportre il sego '' '' fuori dell rdice, i modo che rimg detro l rdice u rdicdo positivo. m Si ricordi ifie che = m e m = m = m PROPRIETA' DEI LOGARITMI Vlgoo le segueti proprietà se gli rgometi dei logritmi soo positivi e le bsi soo positive e diverse d :. log (b) =b. log ()= 3. log ()=0 4. log (b c)=log ( b)+log (c) Logr. di u prodotto 5. log (b c)=log ( b c) =log (b) log (c) di u rpp. 6. log (b c )=c log (b) di u potez 7. log ( b m )= m log (b) di u rdice 8. log (b)= log c(b) Formul del cmbimeto di bse log c () (vlid per qulsisi c che rispetti le solite codizioi) *** FUNZIONE VALORE ASSOLUTO. Defiizioe: F ( x, se x 0 x)= x ={ x, se x<0. x = x, per qulsisi umero (che le formule successive) 3. b = b 4. b = b, b b + b disugugliz trigolre

2 FORMULE GONIOMETRICHE. Formule degli goli ssociti Possoo essere ricvte fcilmete dl seguete grfico (ruotre il foglio per u utilizzo corretto): 3. Formule fodmetli dell goiometri. si (x)+cos (x)=, per qulsisi x si (x). t (x)= cos(x), per x π +k π cos( x) 3. cot (x)=, per x k π si( x) 4. Espressioe di tutte le fuzioi goiometriche medite u sol di esse Il sego effettivo delle segueti formule v determito sull bse del qudrte di lvoro.. Vlori otevoli seo coseo tgete cotgete 3 3

3 5. Formule di ddizioe e sottrzioe Occorre scegliere SOLO i segi superiori o SOLO i segi iferiori. si (±β)=si( ) cos(β)±si(β) cos(). cos(±β)=cos() cos(β) si()si(β) t ()±t (β) 3. t (±β)= t()t (β) 6. Formule di dupliczioe. si()=si()cos(). cos()=cos () si ()= =cos () = = si () t ( ) 3. t ()= t () 7. Formule di bisezioe Il sego dipede dl qudrte di lvoro. si ( ) =± cos. cos ( ) =± +cos 3. t ( ) =± cos +cos 8. Formule di prostferesi. si ()+si (β)= si ( ) cos ( β ) ) ) ). si() si(β)= cos ( ) si ( β 3. cos()+cos(β)= cos ( ) cos ( β 4. cos() cos(β)= si ( ) si ( β 9. Formule di Werer. si()si(β)= [cos( β) cos()]. cos()cos(β)= [cos( β)+cos()] 3. si()cos(β)= [si( β)+si()] 0. Formule prmetriche Poedo t=t( ), vlgoo le segueti formule per 80 +k 360 :. si()= t +t. cos()= t +t 3. t ()= t, k 90, k multipli di 4 t. Trigoli rettgoli TRIGONOMETRIA. I u trigolo rettgolo u cteto qulsisi è ugule l prodotto dell'ipoteus per il seo dell'golo opposto l cteto, oppure per il coseo dell'golo cuto dicete (vedi sotto).. I u trigolo rettgolo u cteto qulsisi è ugule l prodotto dell'ltro cteto per l tgete dell'golo opposto l primo o per l cotgete dell'golo cuto dicete l medesimo (vedi sotto). c= si( γ)= cos(β) b= si(β)= cos( γ) c=b t ( γ)=b cot (β) b=c t (β)=c cot ( γ). Trigoli qulsisi. Teorem dei sei I u trigolo il rpporto di ciscu lto co il seo dell'golo opposto è costte, el seso che o vri l vrire dell coppi lto-golo scelt: si() = b si(β) = c si(γ). Teorem del coseo I u trigolo il qudrto costruito su u lto è ugule ll somm dei qudrti costruiti sugli ltri due lti dimiuit del doppio prodotto di questi ultimi per il coseo dell'golo fr essi compreso: =b +c bc cos() b = +c c cos(β) c = +b bcos(γ)

4 LE CONICHE SUL PIANO CARTESIANO 3. LA CIRCONFERENZA. LA RETTA Per l rett si deve fre riferimeto l seguete lik: Ioltre è molto importte cooscere e cpire fodo i coteuti dell dispes che si trov quest'ltro lik, rigurdti il sigificto geometrico del coefficiete golre e del termie oto (o quot) di u rett o verticle sul pio crtesio: LA PARABOLA Illustrimo le formule reltive d u prbol co sse verticle; el cso di prbol co sse orizzotle è sufficiete ivertire il ruolo delle scisse e delle ordite. Equzioe crtesi: (x ) +( y β) =r Sviluppdo i qudrti si ottiee l'equzioe coic: x +y + x+b y+c=0, dove: =, b= β, c= +β r. Vicevers, ivertedo le formule precedeti, è fcile redersi coto che u'equzioe del tipo x +y + x+b y+c=0 rppreset u circoferez se ( ) e i tl cso il cetro e il rggio soo dti d: +( b c>0 ) 4. L'ELLISSE cetro: =, β= b rggio: r = ( ) +( b c ) Illustrimo le formule reltive d u'ellisse co cetro di simmetri i O e fuochi sull'sse x; el cso di ellisse co fuochi sull'sse y è sufficiete ivertire il ruolo delle scisse e delle ordite. Luogo dei puti P per i quli: PF =PD Equzioe coic: y= x +b x+c, 0 Se soo oti fuoco e direttrice llor: = ( y F d ) x F b= y F d c= x F+ y F d (y F d ) Se ivece soo oti, b e c, posto Δ=b 4 c, si h Fuoco: x F = b, y F= Δ+ 4 Vertice: Equz. dell direttrice: Equz. sse di simmetri: x V = b, y V = Δ 4 y= Δ 4 x= b Luogo dei puti P per i quli: PF '+PF =cost (ovvimete l costte vle ) x Equzioe coic (o ormle): + y b = risultdo: c= b Eccetricità: e= c (è compres fr 0 e ; vle zero per l circoferez; ll'umetre dell'eccetricità umet lo schiccimeto dell'ellisse).

5 5. L'IPERBOLE Illustrimo le formule reltive d u'iperbole co cetro di simmetri i O e fuochi sull'sse x; el cso di iperbole co fuochi sull'sse y è sufficiete ivertire il ruolo delle scisse e delle ordite. PROPORZIONALITA' DIRETTA E INVERSA E' fodmetle si i mtemtic che i fisic vere be chiri i cocetti di proporziolità dirett ed ivers. Due grdezze x ed y si dicoo direttmete proporzioli se il loro rpporto rime costte l vrire di esse, ovvero: y =m, dove m è dett costte di proporziolità. x Poiché l relzioe precedete può essere meglio scritt come y=m x (i tl modo l coppi di grdezze x e y può che ullrsi, sez pericolo per il deomitore), il grfico crtesio di due grdezze direttmete proporzioli è u rett psste per l'origie e di coefficiete golre m (l'esempio di figur mostr u proporziolità dirett di costte ): Luogo dei puti P per i quli: PF ' PF =cost (ovvimete l costte vle ) x Equzioe coic (o ormle): y b = risultdo: c= +b Eccetricità: e= c (è sempre mggiore di ; per vlori prossimi d, l'iperbole è molto schiccit verso l'sse x). Equzioi degli sitoti: y= b x, y= b x L'sse che cotiee i due fuochi (i questo cso l'sse x) si chim sse trsverso (m tlvolt co questo termie si deot il segmeto AA'). L'sse che o cotiee i due fuochi (i questo cso l'sse y) si chim sse o trsverso (m tlvolt co questo termie si deot il segmeto BB'). Se = b l'iperbole viee dett equilter e h ovvimete equzioe x y =. Se u'iperbole equilter viee ruott di 45 i seso tiorrio ttoro l puto O, si ottiee l'equzioe x y=, che corrispode ll relzioe di proporziolità ivers fr le grdezze rppresette d x e y: Ovvimete se m è egtivo l rett h pedez verso il bsso. *** Due grdezze x ed y si dicoo iversmete proporzioli se il loro prodotto rime costte l vrire di esse, ovvero: x y=k, dove k è dett costte di proporz. ivers. Poiché l relzioe precedete può essere scritt come y= k x (i ogi cso x o può ullrsi), il grfico crtesio di due grdezze iversmete proporzioli è u'iperbole equilter di cui si può clcolre l misur dell'sse trsverso (vedere formule dell'iperbole). L'esempio di figur mostr u proporziolità ivers di costte ½. Ovvimete se k è egtivo, i due rmi dell'iperbole giccioo el II e el IV qudrte.

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