I numeri naturali. Cosa sono i numeri naturali? Quali sono le caratteristiche di N? Le operazioni in N. addizione = 15. moltiplicazione 3 7 = 21

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1 I ueri turli Cos soo i ueri turli? I ueri turli soo i ueri L isiee dei ueri turli si idic co N. N { 0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1,..} Quli soo le crtteristiche di N? L isiee N è u isiee ifiito (preso u quluque uero turle è sepre possibile trovre il suo successivo) ordito ( presi due ueri turli quluque è sepre possibile stbilire se soo uguli o qule dei due è il ggiore e qule il iore) discreto (tr due ueri turli quluque o cosecutivi esistoo u uero fiito di ueri turli) Le operzioi i N ddizioe ddedi so oltipliczioe 7 1 Fttori prodotto L ddizioe e l oltipliczioe soo operzioi che do sepre coe risultto u uero turle, soo cioè operzioi itere N. 1

2 Legge d ulleto del prodotto Il prodotto di due fttori è zero se e solo se leo uo dei fttori è zero. I siboli cioè: 0 se e solo se 0 oppure 0 se 0 oppure 0 llor 0 se 0 llor 0 oppure 0 sottrzioe iuedo sottredo differez Qudo il iuedo è iore del sottredo l sottrzioe o si può eseguire i N divisioe 48 : 8 6 dividedo divisore quoziete Ricord: dividere due ueri sigific trovre u terzo uero (quoziete) che oltiplicto per il divisore di coe risultto il dividedo. Ad esepio : 6 : 9 4 perché I u divisioe il divisore deve essere sepre diverso d zero. l divisioe : 0 co 0 è ipossibile perché o esiste lcu uero che oltiplicto per 0 di coe risultto u uero diverso d 0; l divisioe 0 : 0 è ideterit perché quluque uero oltiplicto per 0 dà coe risultto 0. Ci soo dei csi i cui, pur essedo il divisore diverso d 0, l divisioe o è possibile i N. Ad esepio 17 : o dà coe risultto u uero itero. L sottrzioe e l divisioe o soo operzioi itere N perché o do sepre coe risultto u uero turle,

3 espressioi ritetiche Per clcolre il vlore di u espressioe ritetic cioè trovre il risultto che si ottiee eseguedo tutte le operzioi, si procede seguedo lcue regole di precedez : - se o ci soo pretesi si eseguoo pri le oltipliczioi e le divisioi e poi le ddizioi e le sottrzioi (ell ordie i cui soo scritte) - se ci soo delle pretesi, si eseguoo pri i clcoli che si trovo elle pretesi iizido dlle pretesi più itere ed eseguedo i clcoli secodo l ordie idicto el puto precedete; dopo ver eliito tutte le pretesi si procede coe idicto el puto precedete. Esepi :5 6 4 Nell espressioe o ci soo pretesi perciò 1 eseguio i clcoli prtedo dlle oltipliczioi e divisioi, eseguedole ell ordie i cui si preseto quidi pri l divisioe eseguio l oltipliczioe le uiche operzioi riste soo ddizioi e sottrzioi: eseguiole ell ordie i cui si preseto : { { { 4: Eseguio le operzioi elle pretesi tode prtedo d oltipliczioi e divisioi + { + 1 4{ eseguio le operzioi riste elle pretesi tode

4 + 7{ 6 1 eseguio le operzioi ell pretesi + 1 qudr eseguio le oltipliczioi + 9 eseguio le operzioi riste ell ordie i cui si preseto 1 10 ESERCIZIO.1 Clcol il vlore delle segueti espressioi ( 9 5) ( + 6 ) ( 8 + 4) + ( 8 5) ( ) { 9 + [ ( 7 ) ( 11 6) ]} : [ 7 ( 6 4) ] 4. [ 7 + ( 9 5) 6] + ( 9 6) [ 8 ( + ) + ( 5 4) ] ( + 10 : 6 1) : { 6 [ 5 : 7 + ( 40 5) : 5 + 6] : 4 + 1} : ( 9 5) 1 6. { 18 : [ + ( 1 + 1) : ( 49 : 7) + 1] + ( 0 : 6 ) } 7. ( 0 + 4) : [( 1) + ( 1: + 5) : 40 : ] {[ ( ) : ( 5) ] 9 6} : ( 5 ) 8. ( ) : { 1 : [( 6 8) ( ) :11] } ( 40 :10 : ) {[ ( 7 11 ) ( 8 9 :18 : + 10 ) ]: } 0 : [ 1] [ ( 1 9) ] 10. {[ 54 : 6 : ( ) ]: } : ( 6 7 : 9) eleveto potez Il prodotto di fttori tutti uguli fr di loro si chi potez: volte 4

5 si chi bse si chi espoete 1 0 Rie o defiito i N e quidi privo di sigificto il sibolo 0. proprietà delle poteze Attezioe: le bsi o devoo essere oltiplicte fr loro : 4 :4 4 4 b b ( ) Attezioe: volte è ecessrio pplicre l proprietà el verso opposto cioè : b : b ( ) 6 :1 6:1 ESERCIZIO. Clcol il vlore delle segueti espressioi pplicdo, dove possibile le proprietà delle poteze ( : + ) :. 15 : 5 4 : 6 5

6 : : : ( ) 5. {[ ( 1 : 6 4 ): + 5 ] + 6} : 4 : : ( ) ( ) ( ) 11 [ ] : ( 11 11) 6 5 [ 7 ] : ( 7 ) ( ) : ( 7 ) : ( 7 ) [ 4 : 4 : 4 ]: [( 5 5 ) : 5 ] 4 9. ( 4 ) ( 1 1 ) : ( 10 :10 ) 0 : [ 1 ] : ( 1 ) ( 8 : 4 ) : [ : 5 1] ( 5 ) [ ] : ( 4 ) ( 1 + ) 4 : ( 4 ) M.C.D. e.c.. U uero prio è u uero turle ggiore di 1 che ette coe divisori solo 1 e il uero stesso. Si chi M.C.D. di due o più ueri turli, diversi d zero, il più grde divisore coue. Per deterire il M.C.D. di due o più ueri si scopogoo i ueri i fttori prii si clcol il prodotto dei fttori coui presi u sol volt co il più piccolo espoete Due ueri turli si dicoo prii fr loro qudo il loro M.C.D. è ugule 1. Si chi.c.. di due o più ueri turli, diversi d zero, il iore ultiplo coue, diverso d zero. Per deterire il.c.. di due o più ueri si scopogoo i ueri i fttori prii si clcol il prodotto dei fttori coui e o coui presi u sol volt co il più grde espoete 6

7 ESERCIZIO. Deteri il M.C.D. e il.c.. fr i segueti ueri

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