Libero Verardi, Appunti per Algebra Elementare d.p.d.v.s., A.A Numeri razionali

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1 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli I NUMERI RAZIONALI PREREQUISITI. Per l copresioe del testo soo richieste lcue ozioi eleetri su isiei, relzioi d'equivlez e d'ordie, fuzioi, operzioi, ueri turli, strutture lgebriche. SCOPI. Ripsso di ozioi già ote dl corso di Algebr I e dll scuol secodri. Coosceze itegrtive. Coteuti: 1) Frzioi e ueri rzioli ssoluti: equivlez, operzioi, ordieto. Estesioe l cpo rziole. 2) Nueri rzioli coe opertori su grdezze: operzioi, ordieto, estesioe l cpo rziole. 3) Aelli e cpi, l ello degli iteri, il cpo dei quozieti. L crtteristic ed il sottocpo iio. I due gruppi dditivo e oltiplictivo del cpo rziole. 4) Risolvere equzioi lgebriche, di ueri rzioli i reli ed i coplessi. 1

2 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli 1. Nueri rzioli ssoluti e reltivi L costruzioe qui presett riprede l prte vist el cpitolo dei ueri turli e riclc i prte l vi seguit ell scuol secodri. L differez priciple è ell defiizioe dell relzioe d equivlez tr le frzioi, che ell scuol edi è: oltiplicdo o dividedo (ove possibile) uertore e deoitore dell frzioe per uo stesso b uero k, si ottiee u frzioe equivlete quell dt. Ioltre, l relzioe d ordie è otteut riducedo due frzioi llo stesso deoitore (il c dei deoitori) e poi cofrotdo i uovi uertori. Dl ooide oltiplictivo otteere per sietrizzzioe il gruppo oltiplictivo Ricordio coe: N + &, ",1 ( dei ueri turli o ulli possio Q + &, ",1( dei rzioli ssoluti. Le coppie (, b) di eleeti di N + soo dette frzioi e soo scritte ell for L'operzioe tr le frzioi è: b " c d = " c b " d. 1 L'eleeto eutro è l frzioe 1. L relzioe b ~ c " d = b c è di equivlez ed è coptibile co l oltipliczioe. d " " b L'iverso di è. b& & ) + " Il sottoooide ( N *. è isoorfo d N +. 1, + & / + " " Idetificdo co, si h = ( b -1. 1& b& co Il gruppo quoziete è deotto co Q +. I suoi eleeti si deoto couque, e coe rppresetti delle clssi si scelgoo, b i odo che MCD(,b) = 1 b (frzioe ridott i iii terii), dto che i ogi clsse c è u sol frzioe di b. questo tipo. 2

3 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli Si defiisce poi l'ddizioe, dppri tr le frzioi poedo b + c d = " d + b " c b " d e, poiché che quest operzioe risult coptibile co l relzioe d'equivlez ~, i seguito si estede che tr le clssi di frzioi. Si ggiuge l clsse 0 = $ 0 b b " N+ & ', che divet l eleeto eutro di + e che è eleeto ssorbete per ( l oltipliczioe. Poio ooide couttivo regolre. Q = Q + "{ 0}, l isiee dei rzioli ssoluti. " $ Q, +, 0' è u & L ordie i Q è defiito dppri poedo b " c $ d " b $ c e poi, essedo tle d relzioe coptibile co l equivlez ~, si pss lle clssi di frzioi. Si trtt di u ordie deso, ossi tr due suoi eleeti ce è sepre u ltro; si h iftti, per ogi x ed y distiti, co x < y, si h x < x + y 2 < y. No è ivece u ordie copleto, ossi esistoo dei sottoisiei o vuoti privi di $ estreo superiore. U esepio è x " Q x 2 ' 2(, dto che o esistoo rzioli col & ) qudrto ugule 2. Per estedere l isiee Q dei rzioli ssoluti, si può or sietrizzre il " ooide couttivo regolre dditivo $ Q, +, 0'. I ueri rzioli reltivi soo & llor otteuti coe coppie ordite di rzioli ssoluti, ossi di eleeti di Q. Coe el cso di (N, +, 0), l relzioe ~ divet: (,b) ~ (c,d) se +d = b+c. L'operzioe di ddizioe tr coppie di rzioli ssoluti è defiit d: (,b)+(c,d) = (+c, b+d) ed è coptibile co l relzioe d equivlez ~. Il suo eleeto eutro è l coppi (0, 0); l oppost dell clsse [,b] è [b,]. Il gruppo quoziete è deotto co Q. " Le clssi del tipo [, 0] costituiscoo u sottoooide isoorfo $ Q, +, 0'. & Idetifichio [, 0] co. Si h così l seguete proprietà: ogi eleeto di Q o pprtiee Q o è l'opposto di u eleeto di Iftti, dto [,b] Q, se b si h [, b] = [-b, 0], risultdo +0 = b+(-b). Q. Se ivece < b, essedo +(b-) = b+0, si h [, b] = [0, b-] = -[b-, 0]. 3

4 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli Chiio or positivi gli eleeti di Q + = { x " Q x = [, 0], 0} e egtivi i loro opposti. Questo sottoisiee è chiuso rispetto ll ddizioe ed ll oltipliczioe e per ogi eleeto x Q o ullo, uo ed uo solo tr x e x è positivo. L ordieto i Q è defiito llor poedo: x y se y-x è positivo. Si trtt di u ordie totle, i cui i positivi soo tutti e soli i ueri ggiori di zero. Esso estede l logo ordie di Q. I ltertiv si può dire che l ordie i Q è defiito d: x y se x è egtivo ed y è positivo o ullo; x y se x ed y soo etrbi positivi e x y coe rzioli ssoluti; x y se soo etrbi egtivi e y -x coe rzioli ssoluti. L ordie è poi deso, perché dti x ed y distiti, x < y, si h copleto perché o lo è i Q. x < x + y 2 < y; o è Rest d estedere l oltipliczioe, co u cert csistic: Se e b soo etrbi positivi, si oltiplico coe i Q + e si h u uero positivo. Se è egtivo, b positivo, llor di u positivo. Se è positivo, b egtivo, llor Se soo etrbi egtivi, llor Se uo dei due è = 0, il prodotto è = 0. " b = (() " b), che è egtivo perché opposto ( ) " b = " (b) " b = () " (b), che è egtivo., che è positivo. Quest oltipliczioe risult ssocitiv, couttiv, h 1 per eleeto eutro, è distributiv rispetto l + e ogi eleeto o ullo h l iverso; ifie, ristrett coicide co quell di Q. All fie, l struttur che si ottiee è dett cpo rziole. Si defiisce or l sottrzioe tr eleeti di Q poedo: estt poedo, se y 0, x : y = x " y 1. I tl odo, per ogi, b Q le due equzioi + x = b e ( ) Q, x " y = x + "y, e l divisioe " x = b (co 0) ell icogit x ho u ed u sol soluzioe. 4

5 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli 2. I ueri rzioli coe opertori su grdezze Or vedio u costruzioe ltertiv, che tet di forlizzre quel che sui ueri rzioli ipro gli lui delle scuole eleetri, e che forse è più itutiv e turle. Si cosideri l isiee Σ dei segeti del pio, copresi quelli degeeri, ossi ridotti d u puto. Su di esso oper il gruppo Γ delle isoetrie pie, ossi delle trsforzioi biiettive del pio che lscio ivrite le distze. Perciò si cosidero uguli due segeti isoetrici, cioè per i quli esist u isoetri che trsfori l uo ell ltro. Quest ugugliz è u relzioe d equivlez, che produce u isiee quoziete che deotio co Σ/Γ. A eo di queste uguglize, ossi sull isiee Σ/Γ quoziete di Σ rispetto ll zioe di Γ, i segeti si possoo sore: dti AB e CD, o degeeri, sull rett AB si cosider u segeto BH ugule CD, i odo che B sti fr A ed H. Allor si poe AB + CD = AH, e l defiizioe è be post perché ivrite per isoetrie. Il segeto CD è trsportto sull rett AB edite due sietrie ssili, rispetto ll sse di CB e ll bisettrice di L so è il segeto AH. D " B ˆ H. L clsse dei puti, ossi dei segeti degeeri AA, è l eleeto eutro, che deotereo co O; l ddizioe è couttiv ed ssocitiv, ed ioltre vle l legge di ccellzioe: AB + CD = AB + EF " CD = EF. Si trtt cioè di u ooide couttivo regolre (" /, +, O). Su questo ooide i ueri turli giscoo izi tutto coe ultipli AA se = 0 iteri: N, AB Σ, si poe: AB = $. & ( "1)AB + AB se > 0 Co le sietrie rispetto lle rette trtteggite, si ottiee A A " = 2AB, A B " = 3AB, AH = 4AB. 5

6 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli I ueri turli positivi giscoo che coe sottoultipli, ossi " N +, "AB $, 1 AB = AC AC = AB Trccit u seirett per A, preso su di ess u puto P, si costruisc il segeto AQ = AP. L prllel per P BQ itersec AB el puto C tle che AC = AB. I figur è = 3. Possio quidi defiire l zioe dell frzioe, co 0, poedo: ( ) AB = 1 AB L defiizioe è be post, perché se AB = A B llor AB = A " B ". Ioltre, si h: " 1 AB = 1 ( & AB ) = AB Abbio defiito quidi delle fuzioi sul ooide dei segeti, fuzioi che deotereo co le frzioi stesse. Tr le fuzioi è defiit ote l ugugliz: dte f, g : X " Y si h coppi di frzioi, p q f = g " x $ X, f x si h ( q)ab = ( p)ab, ossi q = p. ( ) = g ( x ). Nel ostro cso quidi per ogi = p q " AB, AB = p AB. Per otteere u q codizioe ritetic si pplicherà l defiizioe di quest zioe, otteedo: Ne segue, i defiitiv, = p " q = p, e quest è l cosuet equivlez tr le q frzioi. I prticolre, si h "k 0, = $ k. Ciscu di queste fuzioi è $ k rppresetbile edite u quluque delle ifiite frzioi equivleti, fr le quli di or sceglio 0 per l fuzioe ull e 1 Tli frzioi soo dette ridotte i iii terii., MCD(, ) = 1, egli ltri csi. L ddizioe è defiit puto per puto : per ogi coppi di frzioi "AB, + p & ( $ q AB = ' AB + p q AB, p q si h: 6

7 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli Quest ddizioe è coptibile si co l zioe di Γ, si co l equivlez delle frzioi. Si h poi: "AB, + p & ( $ q AB = ) q + ) p AB. Quest ugugliz si diostr ' ) q per pssi, provdo dppri che "AB, + h & ( AB = + h AB e poi: "AB, + p & ( $ q AB = ) q ' ) q + p ) & ( $ q ) AB = ) q ' ) q AB + p ) q ) AB = ) q + ) p AB ) q Ne segue l usule regol per sore le frzioi, che è coptibile co l equivlez di frzioi. Tr le fuzioi è defiit che l coposizioe. Si h proprio: " o p q AB = & " p q AB = ( p & ( q AB + p q = " q + " p, e si diostr " q Co u poco di pziez ed pplicdo l defiizioe di queste frzioi, si rriv diostrre l ugugliz di cui sopr, coptibile co l zioe di Γ. Allor possio porre: " p q = " p " q e quest idetità è coptibile co l ugugliz di frzioi. Alcue proprietà di queste operzioi soo iedite: per l ddizioe (puto per puto) vlgoo le stesse proprietà del ooide, ossi l couttività e l ssocitività, ed ioltre le frzioi 0, tutte equivleti fr loro, soo l eleeto eutro. L oltipliczioe, ossi l coposizioe, è ssocitiv, h l idetità (che è l clsse delle frzioi ) coe eleeto eutro ed è distributiv siistr rispetto ll ddizioe,, di più, è couttiv e quidi è distributiv che destr. Ifie, ogi fuzioe, " 0, è biiettiv, i quto "AB, CD = AB AB = CD. L ivers è l frzioe, e ciò è coptibile co l equivlez di frzioi. Rissuedo, bbio u clsse Q di fuzioi defiite sui segeti e rppresette d frzioi. I questo isiee di fuzioi bbio u ddizioe che costituisce u ooide couttivo regolre, u oltipliczioe che è couttiv, ssocitiv, distributiv rispetto ll ddizioe, h l fuzioe ull per eleeto ssorbete e, esclus quest ulti, for u gruppo. 7

8 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli Per cocludere l costruzioe c solo l ordieto. È oto che è possibile cofrotre sepre due segeti, stbiledo chi è il ggiore, se o soo uguli. Si può diostrre che dte due fuzioi, p, se si h q AB " p AB per u dto q segeto AB, llor ciò vle per ogi ltro segeto, quidi si può porre i questo cso " p. L relzioe vle per ogi ltr rppresetzioe delle due fuzioi q edite frzioi. Quest è ioltre u relzioe d ordie totle tr le ostre fuzioi, e si può trdurre riteticete così: si h " p q $ q " $ p. I prticolre, si h " p " p, e d qui, co qulche pssggio si ricv l forul precedete. Tle ordie è coptibile co l ddizioe e l oltipliczioe, ed ioltre è deso, ossi tr due frzioi distite ce e soo ifiite ltre. Questo percorso per costruire i rzioli ssoluti è coe detto u possibile rziolizzzioe di quto gli scolri ppredoo ell scuol eleetre. Esso h tuttvi vrie difficoltà. - Il ooide di prtez, (" /, +, O) è sostzilete sottoisiee forto di ultipli turli di 1 e di loro quozieti. ( R + "{ 0},+,0), e se si cooscoo già i ueri reli, i rzioli si trovo coe il prticolre - L zioe sui segeti presuppoe u buo cooscez del pio euclideo e del gruppo delle sue trsforzioi isoetriche. - Si oper di ftto sul quoziete dell isiee dei segeti rispetto ll relzioe d isoetri, il che è difficile che per studeti uiversitri. - Alle splle vi è il cocetto di fuzioe, si pure ietizzto; l su ct esplicitzioe vific l turlezz delle defiizioi di equivlez di frzioi, di ddizioe, oltipliczioe ed ordieto tr frzioi e poi tr rzioli ssoluti. Pertto, ll fie le regole per sore, oltiplicre e cofrotre soo couque dte i odo strtto ed ipertivo. - I teori si potrebbero usre ltre clssi di grdezze l posto dei segeti. Tuttvi, per esepio le ustissie torte (ossi gli goli di dto vertice) ho grosse difficoltà, si cocettuli, per esepio il o poter defiire co chirezz e seplicità che cos si l so di due fette ggiori dell età, 8

9 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli si opertive, coe il o potere gevolete trovre i sottoultipli: coe costruire i odo estto u terzo di u sesto dell tort? Dll teori di Glois sppio che o è possibile frlo co rig e copsso. Peggio cor l usre N stesso coe isiee di grdezze: chi è l età di 3? Proseguedo su quest vi, l estesioe dei rzioli ssoluti l cpo rziole, ossi l itroduzioe dei ueri egtivi, coport poi ltre difficoltà, legte ll giustificzioe del sego egtivo. Si può pesre di usre u geerlizzzioe degli opertori su grdezze, dove le grdezze soo i segeti, sui quli gisce il gruppo Γ delle isoetrie. L ide più turle è usre segeti orietti l posto dei segeti. Tuttvi, pesre che così sepliceete si risolv il proble è illusorio, i quto e si corrispodoo co u rotzioe di piezz u golo pitto, ossi co u isoetri dirett. Allor dovreo riucire ll zioe dell itero gruppo Γ e liitrci solo l sottogruppo Τ delle trslzioi. I tl cso, le clssi soo i vettori del pio, l so turle dei vettori è quell co l regol del prllelogr. Ci soo quidi lcue odifiche d fre. Si poe itto - =. Si defiisce poi " & ( = $ ' = (- ). Allor il sego è u fuzioe sui vettori, dett opposto, che cout co le frzioi e che, sot co l idetità, dà l fuzioe ull. Più i geerle, + " & ( $ = 0. Allor, l ' 1 fuzioe opposto coicide co l fuzioe " 1, oppost dell idetità. 1 L equivlez di frzioi o cbi, perché è l ugugliz delle fuzioi corrispodeti. L isiee di queste fuzioi si deot co Q. L regol dei segi ell oltipliczioe è sepliceete frutto dell defiizioe, i quto, per ogi : (- ) = - =. L oltipliczioe o cre perciò difficoltà, o leo o dovrebbe. L ddizioe è ivece coplict d u otevole csistic, coe oto che gli llievi i terz edi. No soo sicuro che quest ipostzioe si l igliore. Iftti, vedo vrie difficoltà: 9

10 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli I rzioli costruiti coe fuzioi sui vettori del pio o dello spzio couque presuppogoo l cooscez del pio o dello spzio euclidei, ossi, i defiitiv, dei ueri reli. Il cbire l isiee delle grdezze su cui lvorre (i segeti orietti del pio sotto l zioe delle trslzioi, gli loghi oggetti dello spzio ) port costruire fuzioi diverse e quidi u cpo rziole diverso : l isoorfiso è llor d diostrre. Le costruzioi e le diostrzioi soo ugulete coplicte rispetto d ltre ipostzioi. Se lcue prti si possoo cosiderre cocettulete più seplici, ciò vviee spese dei prerequisiti, che soo più oerosi. 10

11 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli 3. Il cpo rziole e le sue proprietà Vedio or il percorso uiversitrio, ossi l costruzioe di Q prtire dll ello degli iteri. Vedio che più fodo le sue proprietà dditive, oltiplictive e d ordie. Ricordio che u ello è u gruppo belio; ( A, +, ",1 A ) (destr e siistr) di. rispetto +, ossi: ( A, ",1 A ) è u struttur lgebric ell qule ( A, + ) è u ooide e vlgoo le due proprietà distributive ' $ b + c ", b, c A, & (' ( ) = $ b + $ c ( + b) $ c = $ c + b $ c L eleeto eutro 0 A dell ddizioe + è eleeto ssorbete dell. oltipliczioe. Se l'operzioe. è couttiv l'ello si dice couttivo, e si dice doiio d'itegrità se ioltre vle l legge di ulleto del prodotto: x " y = 0 A x = 0 A oppure y = 0 A. I tl odo, il prodotto di due eleeti o ulli è o ullo. L isiee A \ { 0 A } costituisce quidi u sottoooide regolre del ooide oltiplictivo. Esepio 3.1. Nel gruppo ciclico regolre ( N, +, 0) ( Z, + ) otteuto dll sietrizzzioe del ooide couttivo si può defiire u oltipliczioe el odo seguete. Poiché ogi eleeto o ullo è o u uero turle (positivo) o l opposto di u uero turle (e lo direo egtivo), defiio il prodotto " b el odo seguete: Se e b soo etrbi positivi, si oltiplico coe i N e si h u uero positivo. (( ) " b) Se è egtivo, b positivo, llor " b = positivo. Se è positivo, b egtivo, llor " b = " b Se soo etrbi egtivi, llor Se uo dei due è = 0, il prodotto è = 0. ( ( )) " b = () " (b), che è egtivo perché opposto di u, che è egtivo., che è positivo. 11

12 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli Si ottiee llor u operzioe ssocitiv, couttiv, co eleeto eutro 1, eleeto ssorbete 0, distributiv rispetto l + e che sugli iteri positivi o ulli è coe su N. Pertto bbio u ello couttivo ( Z, +, ",1), detto ello degli iteri reltivi, ed è che u doiio d itegrità. Circ il gruppo delle uità di u ello ( A, +, ",1 A ), el cso di Z gli eleeti uitri soo 1 e -1. I ltri csi gli eleeti uitri soo tutti gli eleeti o ulli. Qudo ciò ccde i u ello couttivo, l ello prede il oe di cpo. L costruzioe seguete ierge u doiio d itegrità i u cpo. Se pplict ll'ello Z degli iteri, produce il cpo rziole Q. TEOREMA 3.2. Dto u doiio d itegrità (A, +,., 1 A ), esiste u cpo Q(A) coteete u sottoello A isoorfo d A e tle che ogi eleeto di Q(A) è del tipo " b 1,, b $ A. Tle cpo è poi l uico, eo d isoorfisi, co quest proprietà. Diostrzioe. Prtio dll isiee F delle coppie ordite (,b) di eleeti di A, co b 0 A : chiereo frzioi queste coppie e le idichereo co. Defiio tr le frzioi le due b operzioi segueti: b + c d = " d + b " c, b " d b " c d = " c b " d. L defiizioe è corrett perché bd 0 A i quto A è u doiio d itegrità. È u esercizio provre che l'isiee F delle frzioi è u ooide couttivo rispetto d etrbe queste operzioi. Vedio solo l proprietà ssocitiv dell ddizioe: ( ) ( f + ( b ( d) ( e ( ) ( f ( ) + b ( ( c ( f + d ( e) ( b ( d) ( f " b + c d + e & f = ( d + b ( c + e b ( d f = ( d + b ( c b ( d b + " c d + e f = & b + c ( f + d ( e = ( d ( f d ( f = ( d ( f + b ( c ( f + b ( d ( e b ( d ( f = ( d ( f + b ( c ( f + b ( d ( e b ( d ( f Gli eleeti eutri soo rispettivete 0 A 1 A e 1 A 1 A. Defiio or i questo isiee di frzioi l seguete relzioe ~: Si verific fcilete b ~ " b " $ b " = b $ ". che quest relzioe è di equivlez. Vedio solo l proprietà trsitiv: sio b ~ " b ", " b " ~ " b ". Allor: b ~ " b " $ b " = b $ ", " b " ~ " b " " $ b " = b " $ ". Ne 12

13 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli segue: $ " b = b " & " b = b " ' " b " " b = b " " b ", d cui seplificdo per b, che è 0 A segue: " " b = b " ". Or, se 0 A segue uovo b ~ " b ". Allor, per l oltipliczioe si h subito: " b = b " $ b ~ b ; se = 0 A segue = = 0 A e di Di più, quest relzioe è coptibile co le due operzioi. Sio iftti $ " b = b " & c " d = d " c Per l ddizioe è più coplicto: ' " b " c " d = b " " d " ( " d + b " c ) " ( b " d ) = " d " b " = ( b " ) " d " d + ( d " c ) " b " d + b " c " b " d = " b b = c ' " c b " d ~ " c b " d b ~ " b ", ( ) " d " d + ( c " d ) " b " ( " d + c " b ) " ( b " d), b = c d ~ c " d ". quidi b + c d = " d + b " c ~ " d + b " c = b " d b " d b + c d. " 0 ) Si h $ A ' = 0, " * A b ( 0 A - 1 A & + b. e 1 ) $ A ' = b 1 A & b b ( 0, * A -, coe si vede subito. +. Cosiderio quidi l struttur quoziete F/~ : ess è u ooide rispetto d etrbe le operzioi, co eleeti eutri rispettivete " 0 $ A ' e 1 A & " 1 $ A ',, di più ogi suo eleeto 1 A & " h b& " & " b l opposto ( e, se 0 A, h che l iverso oltiplictivo,. Ifie, l oltipliczioe quoziete $ b ' & è distributiv rispetto ll'ddizioe quoziete; iftti si h " b + c d ( e & f = ( d + b ( c ( e b ( d f = ( d ( e + b ( c ( e, b ( d ( f e le due frzioi otteute soo equivleti, dto che ( " d " e + b " c " e) " ( b " f " d " f ) = " e " d " f + c " e " b " f coe si vede eseguedo le due oltipliczioi. b " e f + c d " e f = " e " d " f + c " e " b " f, b " f " d " f ( ) " ( b " d " f ), Allor, l struttur quoziete è u cpo, che si deot co Q(A). Il sottoisiee ) + " - + * ( A. costituisce u sottoello di Q(A), coe si verific fcilete, e l fuzioe, + 1 A & / + Φ:A Q(A), defiit d " ( ) = & " (, è u ooorfiso di elli. Ioltre, per ogi ( Q A $ 1 A ' b& " " " = ( 1 " A " b )1 = (. Per quest rgioe Q(A) è detto cpo dei quozieti di A. b& 1 A & b & 1 A & 1 A & ( ) si h 13

14 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli Si può che diostrre che per ogi cpo K che coteg u sottoello A isoorfo d A, l itersezioe di tutti i sottocpi coteeti A è u sottocpo costituito di quozieti degli eleeti di A, ed è isoorfo Q(A), quidi Q(A) è i questo seso il cpo geerto d A. Perciò è uico. NOTA. Se l ello A è fttorile, ossi se h seso prlre di MCD ed c, gli eleeti di Q(A) di or si rppreseto edite frzioi MCD(, b) = 1 A. b ridotte i iii terii, ossi tli che I u ello ( A, +, ",1 A ) il periodo di 1 A el gruppo dditivo (A, +) si chi crtteristic di A. Per esepio Z h crtteristic ifiit (e però si us dire che h crtteristic zero), etre Z h crtteristic. Nel cso dei doiii d itegrità e dei cpi l crtteristic o è zero o è u uero prio. Per il cpo Q l crtteristic è 0, dto che cotiee Z. Si h: TEOREMA 3.3. Ogi cpo K di crtteristic 0 cotiee u sottocpo isoorfo l cpo rziole. Diostrzioe. Ogi sottocpo di K cotiee 1 K, quidi che l itersezioe K 0 di tutti i sottocpi lo cotiee. Poiché l crtteristic è 0, il sottogruppo ciclico dditivo 1 k geerto d 1 K, costituito di suoi ultipli iteri, è isoorfo l gruppo dditivo di Z. M 1 k è chiuso che rispetto l prodotto, dto che, per l proprietà distributiv dell oltipliczioe rispetto ll ddizioe, per ogi, Z risult: ( 1 A ) " ( 1 A ) = ( )1 A, quidi è u sottoello ed è isoorfo ll ello Z. 1 Allor l isiee K 0 dei quozieti A, ( 0), è u sottocpo di K ed è icluso i ogi ltro 1 A sottocpo di K. Si verific ifie che fcedo corrispodere l uero rziole l eleeto 1 A di K 0 si ottiee u fuzioe be defiit (frzioi equivleti ho lo stesso corrispodete) 1 A ed è u ooorfiso di elli, l cui igie K 0 risult isoorf l doiio, che è Q. Si (K, +,. ) u cpo. Deotio co 0 ed 1 i suoi eleeti eutri. Si poi dt i K u relzioe d'ordie totle tle che, per ogi, b, c K si bbi: ) b +c b+c 14

15 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli b) $ c " bc se c > 0. & c bc se c < 0 L quter (K, +,., ) si dice cpo ordito. E' fcile provre che per il cpo ordito (K, +,., ) si h: i) -1 < 0 < 1 ii) K h crtteristic 0, quidi cotiee il cpo rziole. iii) Posto K + = {x K x > 0}, llor K + è chiuso rispetto so e prodotto e, per ogi x 0, fr x e -x uo ed uo solo pprtiee K +. Iversete, se K h u sottoisiee K + chiuso rispetto so e prodotto e, per ogi x 0, fr x e -x uo ed uo solo pprtiee K +, (isiee dei positivi) llor si può ordire i odo totle poedo: x < y se y " x K +. Vlgoo llor le proprietà ), b) di coptibilità co le operzioi. Il cpo ordito (K, +,., ) si dice rchiedeo se per ogi x, y " K +, x < y, esiste u ultiplo itero kx di k che si ggiore di y. Si or Ø A K. U eleeto b K si dice ggiorte di A se per ogi A si h b. Il iio dei ggiorti, se esiste, è detto estreo superiore di A e deotto co sup(a). Il cpo ordito (K, +,., ) si dice copleto se per ogi sottoisiee o vuoto A che possied ggiorti esiste i K il sup(a). Nel cpo Q si osserv che per ogi uero rziole, se " > 0 llor ogi frzioe equivlete d h l stess proprietà. Ne segue che l isiee di queste frzioi defiisce u sottoisiee, Q +, che risult vere le crtteristiche per essere l isiee dei positivi. Ne segue che il cpo rziole si può ordire totlete. L struttur ( Q, +, ", ) è duque u cpo ordito. È poi rchiedeo, perché dti due ueri positivi x = h k, y =, co x < y, si h: x " ( k " ) = h " > h " > = y. Però o è copleto. Iftti il sottoisiee {x Q + x 2 < 2} o h i Q l'estreo superiore. 15

16 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli NOTA. I ogi cpo ordito K c è u sottocpo K 0 isoorfo Q. L isoorfiso che f corrispodere l uero rziole l ordieto, el seso che se " p q l eleeto 1 A 1 A di K 0 è coptibile che co 1 i Q llor A " p1 A i K, e vicevers. 1 A q1 A Esiio or seprtete i due gruppi dditivo e oltiplictivo di Q Il gruppo dditivo (Q, +). 1) È belio, o ciclico. Iftti, dto u suo quluque eleeto, MCD(,) =1, i prii che dividoo il deoitore soo i uero fiito, quidi esiste u prio p o divisore di. Ne segue che per ogi k Z, o può essere k " = 1, quidi il sottogruppo ciclico geerto d p o coicide co Q. 2) Lo stesso rgoeto diostr che (Q, +) o si è geerto d u S " Q fiito: l isiee Π dei prii che dividoo leo uo dei deoitori degli eleeti di S è fiito, quidi esiste u prio p Π. Coe sopr, coefficieti iteri degli eleeti di S, quidi S o geer Q. o è cobizioe liere 3) U proprietà curios di (Q, +) è l ciclicità locle: ogi sottogruppo H geerto d u isiee fiito S di eleeti è ciclico. Bsterà verificrlo per due geertori, poi 1 p procedere per iduzioe. Sio h k, r s i due geertori di H e si = c( k, s). Allor posto Ossi, H = = k " p = s " q, si h " h k, r & $ s ' ( 1 h k = ph = ph " 1, e logete r s = qr = qr " 1., che è ciclico e quidi che il suo sottogruppo H lo è. 4) Il solo eleeto di (Q, +) d vere periodo fiito è lo zero; tutti gli ltri ho periodo ifiito. 5) U proprietà otevole di (Q, +) è l divisibilità: per ogi esiste x Q, tle che " Q, per ogi k " N + k " x =. Ovviete, è x =. No è u proprietà coue: k " 16

17 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli iftti, oltre (Q, +) è possedut solo di gruppi oltiplictivi ( C p " = & z C $h N, z ph =1), dove C deot il cpo coplesso e p u prio ' * qulsisi, e di prodotti diretti di copie di Q per copie di questi gruppi. I prticolre, lo stesso gruppo dditivo rele (R, +), che è su volt divisibile, è prodotto diretto di c copie di Q, dove c deot l potez del cotiuo. (Lo stesso ccde per il gruppo dditivo coplesso (C, +), che duque è isoorfo d (R, +), che se o sebr) 6) Il gruppo (Q, +) possiede sottogruppi otevoli. Uo di essi è turlete (Z, +). Si or p u uero prio. Deotio co Q p l isiee degli eleeti che, ridotti i iii terii, ho l deoitore u potez di p. È u sottogruppo, cotiee 1 e quidi cotiee Z. Nel gruppo quoziete Q/Z, i quozieti Q p /Z ho proprietà otevoli: ogi eleeto h periodo potez di p, o solo, gli eleeti di periodo divisore di p soo tutti e soli quelli del tipo p + Z, 0 " < p, e foro u sottogruppo ciclico, geerto d 1 + Z. Tle p sottogruppo cotiee tutti i sottogruppi 1 + Z, k <, ed è icluso i tutti quelli p k co k >. No ci soo ltri sottogruppi oltre questi, perciò i sottogruppi foro u cte scedete: 0 = 1 p 0 + Z < 1 p + Z < 1 p 2 + Z < 1 p 3 + Z < LSi trtt i defiitiv di u gruppo isoorfo l già citto ( C p " = & z C $h N, z ph =1) ' *. 7) Tordo (Q, +) ed i sottogruppi Q p, chiio frtti seplici gli eleeti di questi sottogruppi. Ne segue che ogi uero rziole è so di u uero x = fiito di frtti seplici. Si iftti dto x Q. Se x è itero, o c è ull d provre. Si x =, r 1, ridott i iii terii. Se r = 1, o c è ull " p 1 " 1 p 2 " 2 Lp r r d provre. Per iduzioe, si r > 1, llor cerchio u, v Z, tli che: p 1 " 1 p 2 " 2 Lp r " r = u p 1 " 1 p 2 " 2 Lp r$1 " r$1 + " v u p r " = r + v p 1 " 1 p 2 " 2 Lp r$1 r$1 " p r " r p 1 " 1 p 2 " 2 Lp r r 17

18 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli I defiitiv, bbio l equzioe diofte liere: $ u " p r ' $ & r ) + v " p 1 1 " p 2 2 Lp r*1 ' & r*1 ) = ( ( elle icogite u, v, i cui coefficieti soo coprii. U tle equzioe h sepre ifiite soluzioi. Scelt u di esse, ( u, v r ), per l ipotesi iduttiv esistoo v 1,K, v r"1 tli che x = u p 1 " 1 p 2 " 2 Lp r$1 " r$1 + v r = " p r r v 1 p 1 " 1 + v 2 p 2 " 2 + K + v r$1 p r$1 " r$1 + v r p r " r, coe si volev. L scoposizioe o è uic, turlete. Per esepio, 5 12 = = 3 " = L differez tr due scoposizioi di x è u r-upl di iteri. Ne segue che el quoziete Q/Z l scoposizioe è uic, ossi Q/Z è so dirett dei suoi sottogruppi Q p /Z. 8) Coe i ogi cpo, per ogi Q, l fuzioe del gruppo dditivo, dto che f : x " x, è u edoorfiso Ne Se 0, "x, y Q, f x + y ( ) = $ x + y ( ) = $ x + $ y = f x f è u utoorfiso, vedo coe ivers f ( 2 ) = f 1 +1 ( ) + f ( y ). f 1. Duque, Aut( Q, + ) cotiee u sottogruppo isoorfo Q * &, "(. Ci soo ltri utoorfisi? Vedio: si f u utoorfiso, llor poio = f 1 ( ). Ne segue subito ( ) = f ( 1 ) + f ( 1 ) = 2 " f ( 1 ) = 2 = "2. Più i geerle, per ogi itero si h f() =. Ioltre, segue = f 1 $ ( ) " & Q *, Aut Q, + ( ) = f " 1 $ & & ( = f 1 ' + K + 1 ( ( = f 1 & $ ' ( + Kf 1 & $ ( ( = " f 1 & ' $ ' ( ) f 1 & ( = " 1 $ ' " f $ & ' = ( f " 1 $ ' = ( 1 & ( = ( ' ). ( e, i defiitiv, f = f. Ossi, 18

19 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli 3.5. Il gruppo oltiplictivo 1) Il gruppo oltiplictivo sottogruppi { 1, "1} e Q * &, "(. Q * &, "( è scopoibile el prodotto diretto dei due Q +. Questo perché, coe si iseg lle scuole edie, ogi uero rziole o ullo è costituito d u sego e d u vlore ssoluto, che lo idividuo perfettete. Le due fuzioi sego e vlore ssoluto soo defiite d: sig ( x ) = +1 se x > 0 "1 se x < 0, x = bs ( x ) = x se x > 0 "x se x < 0 e soo etrbe edoorfisi del gruppo Q * &, "(, i quto: "x, y Q * ' sig( x $ y) = sig x, ( ) $ sig ( y & ) (' x $ y = x $ y Il ucleo di ciscu è l igie dell ltr e si h "x Q *, x = sig ( x ) $ x. 2) Gli eleeti di Q * &, "( veti periodo fiito soo solo 1 e -1. L struttur di Q * &, "( è ot se è oto il sottogruppo otzioe oltiplictiv, o è vero che per ogi Q +. Quest ultio o è divisibile: trdotto i " Q+, per ogi k " N + esist x Q +, tle che x k =. Bst cosiderre k = = 2, perché, coe be oto, l equzioe x 2 = 2 è ipossibile i Q +. I prticolre, quidi, Q + &, "( o è isoorfo ( Q, + ), coe ivece vviee per il cpo rele. 3) Or esiio proprio Q + &, "(. Izi tutto, o è fiitete geerto, e l 4) diostrzioe è coe quell per ( Q, + ). I prticolre, o è ciclico. Q + &, "( o è eppure loclete ciclico: iftti, il sottogruppo geerto per esepio d 2 e d 3 cotiee tutte e sole le frzioi del tipo 2 "3, co, Z, e 19

20 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli poiché si h 2 "3 & ( " 2 p "3 q & ( = 2 +p "3 +q, è isoorfo l prodotto diretto del gruppo dditivo Z co se stesso, che o è ciclico. Questo esepio, però, suggerisce qulche ide. 5) Cosiderio i sottogruppi ciclici di Q + &, "( geerti di prii: si h: $ p = p " " Z & ' (. Ciò posto, si ) x = p " 1 " 1 p 2 " 2 Lp r r, ridott i iii terii. $ q 1 $ 1 q 2 $ 2 Lq s s " Allor x = p 1 " 1 p 2 " 2 Lp r $ r q 1 $ 1 q 2 $ 2 Lq s s, quidi x " p 1 L p r q 1 L q s, e l fttorizzzioe è uic. Pertto, Q + &, "( è l so dirett dei sottogruppi geerti di prii, quidi è isoorfo ll so dirett di " 0 copie del gruppo ciclico ( Z, + ). Not. Ache il gruppo ( Z[ x], + ) isoorfo ll so dirett di costruibile dll tbell seguete: dei polioi coefficieti iteri i u ideterit è " 0 copie del gruppo ciclico ( Z, + ). U isoorfiso esplicito è p K x k x 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Allor l polioio K 3 " 5x 3 + 6x 4 corrispode il uero rziole positivo 2 3 "7 5 "11 6 = 23 " Iversete, 21 l uero rziole 20 = 2" "1 7 1 corrispode il polioio "2 + x " x 2 + x 3. Pertto, i gruppi Q + &, "( e ( Z[ x], + ) soo isoorfi. I defiitiv, poiché ({ 1, "1}, ) è isoorfo l gruppo ( Z 2, + ) e Q + &, "( è isoorfo ( Z[ x], + ) e si h Q " Q + $ { 1, 1}, llor Q " Z[ x] $ Z 2. 6) Ogi perutzioe sull isiee dei prii si prolug d u utoorfiso di Q + &, "(, quidi Aut Q + &, "( cotiee il gruppo sietrico su " 0 oggetti. Ioltre, che l ssocire d u eleeto il suo iverso è u utoorfiso. Lo studio di Aut Q + &, "( ppre duque o eleetre. 20

21 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli 4. DAI NUMERI RAZIONALI AI NUMERI REALI U delle rgioi che ho portto cercre estesioi dell isiee N è l ecessità di potere eseguire sepre l sottrzioe e l divisioe, ossi, equivleteete, risolvere le equzioi + x = b e " x = b. Il proble è risolto dll costruzioe del cpo rziole Q, se si eccettu l divisioe per zero. Tuttvi, ltri problei, che di origie geoetric, o ho soluzioi rzioli. Il prio di essi deriv dll ppliczioe del teore di Pitgor i trigoli otevoli, i prticolre l ezzo qudrto e l ezzo trigolo equiltero. Nel prio cso, preso coe uità di isur u cteto, l ipoteus h coe isur u uero il cui qudrto è 2; el secodo, pres l ipoteus coe uità di isur, u cteto isur ½, il doppio dell ltro è u uero che l qudrto dà 3. Deott co x l lughezz icogit, el prio cso bbio l codizioe x 2 = 2, el secodo x 2 = 3, o equivleteete, oltiplicdo bo i 4 ( ) 2 = 3. ebri per 4, 2x U ltro esepio cocere l sezioe ure di u segeto scelto coe uità di isur. Più precisete, si cerc u rettgolo co l bse ugule l ostro segeto e tle che, ritglitovi u qudrto di lto ugule ll ltezz, resti u rettgolo siile quello di prtez. Dett x l ltezz, bbio l codizioe: 1 : x = x : (1 " x), ossi x 2 = 1 " x. Co u poco di ipolzioi lgebriche, ossi sodo per 4, possio scrivere x + 1 i due ebri e poi oltiplicdo 4 Ebbee, essuo di questi problei h soluzioi rzioli. Di qui l ecessità di cercre estesioi del cpo rziole. ( 2x +1) 2 = 5. LEMMA 4.1. Si p u uero prio. No esiste u uero rziole il cui qudrto si p. Diostrzioe. Ricordio l proprietà euclide: u uero prio p, ogi volt che divide u prodotto, divide leo uo dei fttori. Ricordio poi che i due ueri rzioli o ulli x e x ho lo stesso qudrto, ed uo dei due è positivo. Rgioio llor co u uero rziole positivo x =, co MCD(,) = 1. Suppoio si bbi x 2 = p. Allor, 2 = p " 2, quidi dto che p è prio e divide il prodotto ", divide. Ossi, esiste tle che 21 = p ". Allor si h

22 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli l ugugliz p 2 " 2 = p " 2, che per l legge di ccellzioe iplic p " 2 = 2. M llor p divide che 2, e di coseguez p divide che. Allor p è u divisore coue di ed, i cotrsto co l ipotesi MCD(,) = 1. Allor per ogi rziole o ullo x si h x 2 " p. I problei d cui sio prtiti o ho quidi soluzioe rziole: iftti, 2, 3 e 5 soo prii e u soluzioe rziole x l proble porterebbe trovre u rziole di cui essi srebbero il qudrto. Problei di questo tipo si chio equzioi di secodo grdo coefficieti rzioli. Esse ho l for: " x 2 + b " x + c = 0, co 0. No è detto che bbio soluzioi: per esepio: x 2 " 4 = 0 h due soluzioi: 2 e -2. x 2 " x = 0 h due soluzioi: 0 e 1 x 2 + 2x +1 = 0 h l sol soluzioe -1. x 2 " 2 = 0 o h soluzioe, perché 2 è prio. x = 0 o h soluzioi: iftti, dlle proprietà dell'ordieto di Q segue, per ogi x Q, x 2 0 per cui 4+x 2 > 0 per ogi x Q. Coe vedere se le soluzioi ci soo? Osservio izitutto che l'equzioe " x 2 + b " x + c = 0 si può riscrivere così: " x + b 2 2 & ( ) 4 2 = 0, dove Δ = b 2-4c è detto discriite. Se Δ è u qudrto i Q ed h Q è tle che h 2 = ", l'equzioe h per soluzioi "b ± h 2. Pertto, se potessio risolvere l'equzioe bioi x 2 -k = 0 per ogi k Q, potreo risolvere tutte le equzioi di secodo grdo i Q, questo o è possibile, coe visto. Geerlizzio cor: u equzioe lgebric di grdo 1 è del tipo: " x + 1 " x 1 + K + 1 " x + 0 = 0, co " 0. 22

23 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli I ueri rzioli 0, 1,... soo detti coefficieti; 0 è detto terie oto, è detto coefficiete direttore. Possio oltiplicre i due ebri per il c dei deoitori dei coefficieti, otteedo così u equzioe coefficieti iteri e co le stesse soluzioi. Possio ifie rccogliere fttor coue il MCD dei uovi coefficieti, ed otteere così u equzioe coefficieti iteri coprii e co le stesse soluzioi. Dicio priitiv quest ulti equzioe. A questo puto, u teore ffer che le evetuli rdici rzioli di quest equzioe coefficieti iteri e col terie oto diverso d zero soo dell for p/q, dove p è u divisore (positivo o egtivo) del terie oto, etre q è u divisore (positivo) del coefficiete direttore. Esepi ) 3x 2 + 4x + 1 = 3(x + 1)(x ). 2) x 4 + x o h ovviete rdici, è ugule (x 2 +x+1)(x 2 -x+1). 3) x - 2 è irriducibile, pur vedo u rdice. 4) L'equzioe 5x 3-24x = 0 h i coefficieti iteri. Le evetuli rdici rzioli soo d ricercrsi ell'isiee 1, "1, 1 5, " 1 & $ '. Si verific così che " 1 5( 5 è l'uic rdice rziole. U ltro proble sce dll geoetri, i prticolre dll isur, deott usulete co π, dell lughezz di u circoferez di dietro uitrio. " Archiede l stiò i circ 3,14 = $ ' e trovò l seplicissi frzioe 100& 7 per esprierl. Tuttvi, quest o è l lughezz estt. Ess coici co , queste cifre decili o bsto, e o bsto eppure le 2,7 "10 12 cifre clcolte di recete i Frci. Si trtt iftti di u uero o rziole. L vi igliore per risolvere le equzioi lgebriche pss ttrverso l'alisi Mtetic e l Geoetri. L costruzioe del cpo rele R vviee izitutto per esigeze geoetriche: il rpporto fr l digole del qudrto ed il lto, o fr l circoferez rettifict ed il dietro, o soo espriibili edite frzioi, cioè si trtt di grdezze icoesurbili. Di qui sce, per oper di 23

24 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli Eudosso di Cido e poi di Archiede, l costruzioe dell teori delle grdezze e quidi dei ueri reli ssoluti (che si dovrebbe studire ll'iizio del II o del liceo scietifico). Aggiugedo i segi, si rriv poi l cpo R dei ueri reli. Il cpo dei ueri reli si può defiire che per postulti. Abbio visto l ozioe di cpo ordito e quell di copletezz. Si osservi che dti u cpo ordito K ed u sottoisiee A ø co estreo superiore, se sup(a) A, llor per ogi ε K, ε > 0 esiste u eleeto di A ggiore di sup(a) - ε, perché ltrieti che sup(a) - ε srebbe u ggiorte di A. U proprietà equivlete ll copletezz è l seguete. Sio A e B due sottoisiei di K o vuoti; essi si dicoo seprti se per ogi A e b B si h b. U eleeto x 0 tle che x 0 b per ogi A e b B è detto eleeto di seprzioe fr A e B. Il cpo ordito (K, +,., ) si dice cotiuo se ogi coppi di sottoisiei seprti h eleeti di seprzioe i K. Si h: copletezz cotiuità: x 0 = sup(a) cotiuità copletezz: sup(a) = eleeto di seprzioe fr A e quluque isiee di suoi ggiorti. I u cpo ordito e copleto K vle l seguete proprietà: TEOREMA 4.3 (Legge di Archiede): per ogi, b K tli che 0 < < b, esiste N tle che > b. Diostrzioe. Osservio dppri che, idetificto co Q il sottocpo iio K 0 di K, si 1 h < 1, quidi 0 < 1 " < 1 " =. Ciò posto, si flso il teore. Allor, l isiee A dei ultipli 2 2 iteri di possiede b coe ggiorte, quidi, per l copletezz di K, possiede l estreo superiore sup(a). Se sup(a) è u ultiplo di, llor ( +1) " > ", ssurdo. Perciò sup(a) A. Allor per ogi ε > 0 esiste u ultiplo di tle che sup(a)- < ε. Preso quidi ε = /2 <, si h (+1) = + > +ε sup(a), ssurdo i ogi cso. Duque, b o è u ggiorte di A, quidi esiste u ultiplo di, tle che > b. U isoorfiso tr due cpi orditi H e K è u biiezioe f:h K tle che, per ogi,b H, ( ) = f( ) + f ( b) ( ) = f( ) "f ( b) ( ) f( b) f + b ' & f " b ' ( b $ f. I sostz, due cpi isoorfi soo 24

25 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli sostzilete lo stesso cpo scritto co siboli diversi. Si può llor diostrre l seguete proposizioe, di cui o si riport l diostrzioe: TEOREMA 4.4. Tutti i cpi orditi copleti soo isoorfi tr loro. Chiio cpo rele R u cpo ordito e copleto, che per il teore precedete è uico eo di isoorfisi. Questo tuttvi o prov l su esistez, occorre dre u costruzioe. L più clssic è quell di Dedekid, che chi uero rele ogi sezioe di Q, cioè ogi coppi (A, B) di sottoisiei o vuoti e seprti di Q tli che A B = Q. Le operzioi soo u poco rtificiose, o troppo. I quest costruzioe i ueri irrzioli soo le sezioi (A, B) tli che sup(a) o esiste i Q, etre i ueri rzioli corrispodoo lle ltre sezioi. Nell scuol superiore volte si f uso di quest costruzioe. U costruzioe olto elegte, ssi poco copresibile, è quell di Ctor. Si chi successioe di Cuchy ogi successioe f i Q tle che ε Q, ε > 0, ε N tle che f() - f() < ε, > ε. Si prov che le successioi di Cuchy, co le operzioi puto per puto, foro u ello couttivo S. Dto u Q, u successioe di Cuchy f coverge d u se ε Q, ε > 0, ε N tle che f()-u < ε > ε. Le successioi covergeti 0 foro u idele ssile I di S. L'ello quoziete S/I è quidi u cpo. Co u opportu relzioe d'ordie, tle cpo risult ordito e copleto e quidi i suoi eleeti f+i soo i ueri reli. I ueri rzioli corrispodoo i lterli f+i, dove f coverge d u u Q, gli irrzioli soo i lterli di I deteriti dlle successioi o covergeti. Nell scuol edi e elle ppliczioi si f uso dell costruzioe edite i ueri decili e le loro operzioi. Chiio uero decile ogi successioe di cifre 0, 1,..., 9, precedute d u sego + o - e co iterclt u virgol. U uero decile x h quidi l for: x = x 0,x 1 x 2..., dove x 0 Z e x i {0, 1,..., 9} per ogi i > 0. Il uero decile x si chi periodico se esistoo r, p > 1 e u sequez fiit di p cifre p tli che x = x 0,x 1 x 2...x r p p p... 25

26 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli Se p è il iio itero positivo per cui si h quest ripetizioe, si us scrivere x = x 0,x 1 x 2...x r p. I tl cso, il uero turle p si chi periodo p(x) di x. Il uero turle x r +x 1 x 2...x r si dice tiperiodo p(x) di x. Di solito il periodo 0 o si scrive ed il uero si dice decile fiito. Ciò posto, direo equivleti due ueri decili x ed y se soo periodici e tli che p(x) = 0, p(y) = 9, p(x) = p(y)+1. Per esepio, 32,75 = 32, = 32, Ogi ltro uero decile è posto equivlete solo se stesso. Chiio or uero rele ogi clsse d'equivlez di ueri decili. E' oto che i ueri rzioli corrispodoo i decili periodici. M coe defiire le operzioi? Sio dti i due ueri rzioli x = 1/3 ed y = 12/7. Ad essi possio ssocire i ueri decili periodici x' = 0, , y' = 1, L loro so è s = x+y = 43/21, corrispodete d s' = 2, E' possibile ricvre s' d x' ed y' sez ricorrere lle frzioi geertrici? Cosiderio le due successioi segueti: 0 =0 1 =0,3 2 =0,33 3 =0,333 4 =0, =0, b 0 =1 b 1 =0,4 b 2 =0,34 b 3 =0,334 b 4 =0,3334 b 5 =0, Esse soo forte d decili fiiti tli che per ogi idice N si h: x' b e b - = 10 - (l'ordieto idicto co è quello lessicogrfico solito, corrispodete per ltro quello delle frzioi geertrici. Le operzioi fr decili fiiti si do per ote). I ueri 0, 1,... si dicoo pprossizioi per difetto di x' eo di 10 0 (u uità), 10-1 (u decio), ecc. I ueri b 0, b 1,... si dicoo pprossizioi per eccesso di x' eo di 10 0 (u uità), 10-1 (u decio), ecc. Ripetio or per y': c 0 =1 c 1 =1,7 c 2 =1,71 c 3 =1,714 c 4 =1,7142 c 5 =1, d 0 =2 d 1 =1,8 d 2 =1,72 d 3 =1,715 d 4 =1,7143 d 5 =1, Ricordio or l seguete proprietà dei ueri rzioli: 26

27 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli se x b e c y d llor +c x+y b+d Pertto, per ogi N si h +c s b +d. Posto u = +c, v =b +d, si h: u 0 =1 u 1 =2,0 v 0 =3 v 1 =2,2 u 2 =2,04 u 3 =2,047 u 4 =2,0475 u 5 =2,04761 v 2 =2,06 v 3 =2,049 v 4 =2,0477 v 5 =2,04763 (i grssetto le cifre estte di s', il qule, ricordio, è 2, ). I geerle u e v ho -1 cifre estte di s', cioè è icert solo l'ulti. Si osservi però che el cso di u 6 e v 6, essedo u 9 l cifr successiv estt di s', o si h per il oeto l certezz che l cifr 1 si estt. Si h però u 7 = 2, e v 7 = 2, Pssio or ll oltipliczioe. Si p = xy = 4/7. Il uero decile corrispodete è p' = 0, Cerchio di ricvrlo prtire d x' ed y', osservdo che per i ueri rzioli positivi si h: se 0 x b e 0 c y d llor c x y b d Pertto per ogi N si h c p b d. Posto f = c, g = b d, si h (i grssetto le cifre estte di p'): f 0 =0 f 1 =0,51 f 2 =0,5643 f 3 =0, f 4 =0, f 5 =0, g 0 =2 g 1 =0,72 g 2 =0,5848 g 3 =0, g 4 =0, g 5 =0, Di qui si deduce u regol, siile quell per l'ddizioe, per ricvre le cifre estte di p' prtire d quelle di x' ed y'. Ache qui occorre l cosuet cutel qudo si ho le cifre 9 e 0. Regole siili, u poco più coplicte, si possoo dedurre che per l sottrzioe e l divisioe di ueri decili periodici positivi. A questo puto è possibile usre queste regole per defiire le operzioi che fr ueri decili o periodici. Per esepio sio: x' = 1, y' = 3, Cerchio di ricvre l so s'. Le successioi soo: 0 =1 1 =1,7 2 =1,71 3 =1,717 4 =1, =1, b 0 =2 b 1 =1,8 b 2 =1,72 b 3 =1,718 b 4 =1,7178 b 5 =1,

28 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli Pertto: c 0 =3 c 1 =3,0 c 2 =3,01 c 3 =3,012 c 4 =3,0123 c 5 =3, d 0 =4 d 1 =3,1 d 2 =3,02 d 3 =3,013 d 4 =3,0124 d 5 =3, Si h così, ettedo i grssetto le cifre vi vi "sicure": u 0 =4 u 1 =4,7 u 2 =4,72 u 3 =4,729 u 4 =4,7300 u 5 =4,73005 v 0 =6 v 1 =4,9 v 2 =4,74 v 3 =4,731 v 4 =4,7302 v 5 =4,73007 Duque il uero cercto s' = x'+y' è 4, Se uo leo dei due ueri è egtivo, per il prodotto si oltiplico i vlori ssoluti e si ggiust il sego co l regol cosuet. Per l'ddizioe si procede coe per i ueri iteri reltivi: secod dei segi si soo o si sottrggoo i vlori ssoluti e si ggiust poi il sego. Chido co R l'isiee dei ueri decili (positivi e egtivi), co le operzioi di ddizioe e oltipliczioe sopr ccete si ottiee u cpo, il qule cotiee il cpo dei ueri decili periodici, isoorfo l cpo Q dei ueri rzioli. Chiereo R cpo dei ueri reli. I R l'ordieto lessicogrfico, copletto l solito odo per i ueri egtivi, dà luogo d u ordieto totle che risult essere che copleto, ossi ogi sottoisiee o vuoto A di R, che ett ggiorti, possiede che l'estreo superiore. Iftti: A ette che dei ggiorti iteri, e si b 0 il iio itero che si ggiorte di A. Si poi 0 = b 0-1: tr i ueri ,1 0 +0,2 0 +0, , = b 0, idichio co b 1 il più piccolo che si ggiorte di A e poio 1 = b 1-0,1; tr i ueri , , , , ,1 = b 1, idichio co b 2 il più piccolo che si ggiorte di A e poio 2 = b 2-0,01; tr i ueri , , , , ,01 = b 2, idichio co b 3 il più piccolo che si ggiorte di A e poio 3 = b 3-0,001; 28

29 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli Così seguitdo, otteio u coppi di successioi , b 0 b 1... b... di ueri decili fiiti tli che per ogi N si h b ed ioltre b " =10 ". Tle coppi di successioi idividu u uero rele x 0 che si prov fcilete essere l'estreo superiore di A cercto. Per esepio, si A = {x R x > 0 e x 2 < 2}. Si h: 0 =1 1 =1,4 2 =1,41 3 =1,414 4 =1, =1, b 0 =2 b 1 =1,5 b 2 =1,42 b 3 =1,415 b 4 =1,4143 b 5 =1, Iftti: 0 2 =1 1 2 =1, =1, =1, =1, b 0 2 = 4 b 1 2 = 2,25 b 2 2 = 2,0164 b 3 2 = 2, b 4 2 = 2, cosicché il uero x 0 è 1, Rissuedo, i ueri decili soo u odello del cpo rele. I ueri reli rzioli, ossi i decili periodici, foro loro volt u cpo ordito isoorfo l cpo rziole. Ioltre, Q è deso i R, el seso che tr due ueri reli qulsisi distiti c è sepre u uero rziole, zi, c è u decile fiito (che pprossi per eccesso il iore e per difetto il ggiore). M l equzioe x 2 +1 = 0 o h soluzioe eppure i R, quidi ppreteete o bbio risolto ull. Se però, prtedo d R, "ivetio" il sibolo i per deotre u soluzioe di quest equzioe, e ttrverso questo i plio R, l'plieto che si ottiee è sufficiete per risolvere tutte le equzioi lgebriche di grdo ggiore di 1. Il procedieto è tecicete il seguete, detto plieto qudrtico: Nell'isiee R R defiio ddizioe e oltipliczioe el odo seguete: (, b)+(c, d) = (+c, b+d), (, b). (c, d) = (c-bd, d+bc) (**) Possio fcilete verificre che (R R, +,. ) è u cpo. I prticolre, gli eleeti eutri dditivo e oltiplictivo soo (0, 0) e (1, 0), e se (, b) (0, 0) si h 2 +b 2 0 e (,b) "1 = 2 + b 2, "b & $ 2 + b 2 (. ' 29

30 Libero Verrdi, Apputi per Algebr Eleetre d.p.d.v.s., A.A Nueri rzioli Questo cpo cotiee u sottocpo R 1 costituito dlle coppie (, 0) ed isoorfo d R. Idetifichio (, 0) co e quidi R 1 co R. Poio i = (0, 1). Allor: (, b) = (, 0) + (b, 0)(0, 1) = +bi. Ioltre, (0, 1) 2 = (-1, 0), ossi i 2 = -1. Ne segue che, i questo uovo cpo, i è soluzioe dell'equzioe x 2 +1 = 0. Deotio co C questo cpo, che chiereo cpo coplesso. L'eleeto i si chi uità igiri. Il teore fodetle dell'lgebr, eucito dll'eciclopedist D'Alebert, diostrto i odo copleto d Guss, ffer che i C ogi equzioe lgebric f(x) = 0 di grdo 1 h leo u soluzioe. Si esprie quest proprietà dicedo che il cpo coplesso è lgebricete chiuso. Allor etro C possio cercre le soluzioi di tutte le equzioi lgebriche coefficieti rzioli. E qui si h u sorpres: queste soluzioi costituiscoo u sottocpo proprio di C, il cpo dei ueri lgebrici: è uerbile coe Q, etre C, che cotiee che R o lo è. Pertto, i ueri lgebrici o solo o riepioo tutto C, soo u'esigu iorz. Si h ioltre che che questo sottocpo è lgebricete chiuso. Si chio ueri trscedeti i ueri coplessi o lgebrici. Coe detto, l qusi totlità dei ueri coplessi è trscedete, u proble dvvero difficile è vedere se u dto uero o rziole si trscedete o lgebrico. Esepio 4.5. Si k = 5" : è lgebrico o trscedete? Co qulche pssggio si h: ( k " 4) 2 = 5" 32, [(k-4) 2-5] 3 = -2, k " 4 = 5" 32, d cui : (k 2-8k + 11) = 0, quidi k è soluzioe dell'equzioe (x 2-8x + 11) = 0 e duque è lgebrico. M, il uero π = 3, è lgebrico o trscedete? Si può diostrre che è trscedete, e coe lui, che e = 2,71... (il uero di Nepero), le sue poteze co espoete rziole, i logriti turli di ueri rzioli, seo e coseo di ueri rzioli ecc. 30