Interpolazione e Approssimazione ai minimi quadrati

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1 Cludio Ettico Iterpolzioe e Approizioe i iii qudrti

2 Iterpolzioe e iii qudrti Iterpolzioe e pproizioe i iii qudrti ) L pproizioe di fuzioi: iterpolzioe e igliore pproizioe. ) Eitez e uicità del polioio iterpoltore. Clcolo del polioio iterpoltore. ) igliore pproizioe edite polioi. 4) Eitez e uicità del polioio i iii qudrti. Clcolo del polioio i iii qudrti. Rett e prbol i i. qud.

3 Iterpolzioe e iii qudrti Si dt l tbulzioe Approizioe di fuzioi, per i,,..., i i di u fuzioe f(), co f:r R, di cui o i cooce l u epreioe litic. L obiettivo è trovre u uov fuzioe p(), p: R R, dott di u rppreetzioe litic eplice, che pproii l fuzioe f() (i odo tle che p() po eere utilizzt l poto dell f()).

4 Eepio Iterpolzioe e iii qudrti Si rilev l tepertur i u tz ogi ecodo ell rco delle 4 ore. Si ho quidi dipoizioe 6*4864 dti, ovvero le coppie i, per i i,,...,864 i cui l vribile i riferice i ecodi, e l lle corripodeti teperture. 4

5 Iterpolzioe e iii qudrti L coocez, i for litic, di u fuzioe p() di for eplice che pproi l fuzioe ver f() prtire di puti di tbulzioe ( i, i ), per i,,, perette u trtteto efficiete del odello tetico che eprie il feoeo, pecie l clcoltore. Iftti per eorizzre l fuzioe bt eorizzre l legge che defiice p(), geerlete dipedete d eo pretri ripetto f(). poo pproire, trite l p(), l f() che i qulii ltro puto etero lle cie i di tbulzioe. 5

6 Iterpolzioe e iii qudrti Oervzioe Si rriv llo teo proble qudo di u fuzioe f() i cooce l u epreioe litic quet è coplict d clcolre, d derivre o d itegrre. Allor, i tl co, trite u tbulzioe di f() i vuole deterire u uov fuzioe p() dott di u rppreetzioe litic eplice d vlutre, d derivre o d itegrre, che po eere utilizzt l poto dell f(). 6

7 Iterpolzioe Iterpolzioe e iii qudrti Teciche per l oluzioe del proble i cerc quell fuzioe (i u fit figli di fuzioi) che i opportui puti (detti odi) ue gli tei vlori dell fuzioe d pproire. igliore pproizioe i cerc quell fuzioe (i u fit figli di fuzioi) l cui ditz dll fuzioe d pproire riult eere ii. 7

8 Iterpolzioe e iii qudrti Iterpolzioe fuzioe f() d pproire, coociut ttrvero u u tbulzioe ( i, i ) Puti (detti odi di iterpolzioe) i cui l fuzioe f() e l u pproizioe p() devoo coicidere 8

9 Iterpolzioe e iii qudrti Iterpolzioe polioile Si cerc il polioio p() P, dove P rppreet l iiee dei polioi di grdo, del tipo p ( )... tle che p( i ) i, i,,,..., Riultto fodetle: il polioio p(), detto polioio iterpoltore, eite ed è uico. 9

10 Eitez ed uicità del polioio iterpoltore () Trov tle che, oi tle che Iterpolzioe e iii qudrti ) ( p i p i i,...,,,, ) ( Queto è u ite liere 4 4 i cui le icogite oo i 4 pretri,, che defiicoo il polioio.

11 Il deterite dell trice del ite è Iterpolzioe e iii qudrti deterite di derode il qule è el co i cui i k per i k (odi dititi). Pertto l oluzioe eite ed è uic, e quidi il polioio iterpoltore eite ed è uico.

12 Iterpolzioe e iii qudrti Approizioe edite polioio di grdo fuzioe f() d pproire, coociut ttrvero u u tbulzioe i, i, i,,, puti i cui l fuzioe ed il polioio devoo coicidere

13 Eitez ed uicità del polioio iterp. (co geerle) Trov tle che Iterpolzioe e iii qudrti p... ) (... Queto è u ite liere () () i cui le icogite oo gli pretri,,

14 Iterpolzioe e iii qudrti Il deterite dell trice del ite è... deterite di ( ) j i i i < j derode il qule è el co i cui i, k per i k (odi dititi). Pertto l oluzioe eite ed è uic, e quidi il polioio iterpoltore eite ed è uico. Poio riuere il riultto trite il teore eguete: 4

15 Iterpolzioe e iii qudrti Teore (eitez e uicità) Dti gli puti, detti odi di iterpolzioe, (, ), per i,,,...,, e i k, i i eite ed è uico il polioio iterpoltore p P, oi il polioio p P tle che p( i ) i, i,,,..., i k 5

16 Iterpolzioe e iii qudrti Oervzioe Sull be di quto vito, per trovre il polioio iterpoltore u odi è ufficiete riolvere u ite liere i icogite. L oluzioe del ite ci forice i coefficieti polioio. del Eitoo tuttvi delle forule che do i odo diretto il polioio iterpolte, ez l eceità di riolvere il ite di derode. 6

17 Iterpolzioe e iii qudrti Polioio i iii qudrti Si cerc quel prticolre polioio di grdo l cui ditz di puti dell tbulzioe è ii. Queto proble rietr i u cle più pi di problei, dett igliore pproizioe figli di fuzioi fuzioe d pproire i iiizz l ditz b 7

18 Iterpolzioe e iii qudrti Coiderio u tbulzioe {f( ), f( ),,, f( )} ull iiee degli odi {,,, } i [,b]. L obiettivo è deterire u polioio p() P, dove P rppreet l iiee dei polioi di grdo, del tipo p ( )... tle che l ditz i i ii tr tutti i polioi di grdo. Si oervi che i oo i qudrti delle ditze i ogi puto, d cui il oe i iii qudrti. / ( p( i ) f ( i )) 8

19 Iterpolzioe e iii qudrti Nel co P ()b, oi i cerc l rett i iii qudtti ell iiee di tutte le rette, grficete i h figli di rette: p()b b Si deterio i pretri,b che iiizzo l ditz: i g(,b)[ i (f( i )-(b i )) ] / fuzioe f() d pproire ot ttrvero u u tbulzioe f( i ) 9

20 Iterpolzioe e iii qudrti Nel co P ()bc, oi i cerc l rett i iii qudtti ell iiee di tutte le rette, grficete i h figli di prbole: p()bc b Si deterio i pretri,b,c che iiizzo l ditz: i g(,b,c)[ i (f( i )-(b i c i )) ] / fuzioe f() d pproire ot ttrvero u u tbulzioe f( i )

21 Iterpolzioe e iii qudrti Eitez e uicità del polioio i iii qudrti Coiderio u tbulzioe {f( ), f( ),,, f( )} ull iiee degli odi {,,, } i [,b]. Si >. Allor il polioio p() P, dove P rppreet l iiee dei polioi di grdo, che pproi i vlori dell tbulzioe i iii qudrti eite ed è uico.

22 Iterpolzioe e iii qudrti Cotruzioe del polioio i iii qudrti Il polioio i iii qudrti i può fcilete deterire riolvedo u ite liere ocito. I prticolre, dt l tbulzioe {f( ), f( ),,, f( )} ull iiee degli odi {,,, }, il polioio p() P del tipo p ( )... i ottiee rioilvedo il ite liere qudrto ()*() eguete t t dove è l trice rettgolre ()*() di derode coteeti i vlori, ed è il vettore, j i j i colo di eleeti coteete i vlori i f( i ) per i,,,.

23 Riuedo, dl ite liere co Iterpolzioe e iii qudrti t t L L L i ottiee coì il vettore coteete i coefficieti del polioio di igliore pproizioe L ) ( p L

24 Iterpolzioe e iii qudrti t Poiché l trice è o igolre per ogi,>, i ottiee che il polioio i iii qudrti eite ed uico. Queto giutific l eiitez e uicità già oervt. edio u pio di eepi: co : Rett i iii qudrti (dett che rett di regreioe liere); co : Prbol i iii qudrti. 4

25 Rett i iii qudrti () L trice del ite liere diviee quidi Iterpolzioe e iii qudrti t t,, t 5 ed il terie oto c c t K,, K

26 Iterpolzioe e iii qudrti oi il ite qudrto X S c del tipo,,,, c c che, u volt riolto, coete di deterire i due coefficieti dell rett p ( ) che riult eere l rett i iii qudrti, o rett di regreioe liere. 6

27 Prbol i iii qudrti () L trice del ite liere diviee quidi Iterpolzioe e iii qudrti t t,,, t L L 7 ed il terie oto c c c t L L L,,,,,, L L

28 Iterpolzioe e iii qudrti oi il ite qudrto X S c del tipo,,,,,,,,, c c c che, u volt riolto, coete di deterire i tre coefficieti dell prbol p ( ) che riult eere l prbol i iii qudrti. 8